江苏省南京市江宁高级中学高三数学周周练(3)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题

．．卡．相应位置

．．．．上．．

1.在复平面内，复数

2

1

i

i

-

+

对应的点位于第四象限.

2. 命题“若1

x>，则0

x>”的否命题是若1

x≤，则0

x≤ ;

3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .

4.在区间)

2

,

2

(

π

π

-上随机取一个实数x，使得

2

1

x

cos>成立的概率为

3

2

；

5. 向量b

a,的夹角为120°，|

5|

,3

|

|,1

|

|b

a

b

a-

=

=则= 7 ．

6. 执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 720 .

7. 过双曲线)0

,0

(

1

2

2

2

2

>

>

=

-b

a

b

y

a

x

的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM2

=，则该双曲线离心率为 3 ;

8.计算123

23n

n n n n

C C C nC

++++，可以采用以下方法：k s*5u

构造恒等式0122(1)

n n n

n n n n

C C x C x C x x

++++=+，两边对x求导，得

（第3题图）

11

（第6题图）

11

12321

123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =，得

123

1232n

n n n n n C C C nC n -++++=?．

类比上述计算方法，计算12223

223n

n n n n C C C n C ++++= 2

2

)1(-+n n n ．

9. 若函数12sin y x =（[0,2)x π∈）在P 处的切线平行于函数2(1)3

x

y =+在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为

3

8

10. 已知)2,0(,1010)4cos(π∈θ=π+

θ，则)4

2sin(π-θ的值为 102 ； 11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC

，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为

23，则这个球的表面积为 4

； 12. 已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*

n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+?≥+都

成立，则1110a a -= 1024

13. 已知，点)

,(y x

P 的坐标满足0200

y x y -<-+

，则223y x y x ++的取值范围为

)3,3[- ．

14.已知函数)M a 0(1ax x )x (f 02

3≤≤--=存在整数零点的a 恰有3个，则0M 的取

值范围是 )16

63

,926[

。 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为

a ，

b ，

c ，且,sin 2sin .a b A A B ≥+= （1）求角C 的大小；

（2）求

a b

c

+的最大值． 15.解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π

3

)＝sin B ．

因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，

所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π

3

．

（2）由正弦定理及（Ⅰ）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23

[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π

6)． 当A ＝ π

3时，a ＋b c 取最大值2．

16. （本小题满分14分）

在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为

PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．

（1）求证：PC ⊥AE ；

（2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ． 解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴

BC AC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则

∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． （1分）

∵PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，

∴EF PC ⊥． (3分) ∴PC AEF ⊥平面． (4分)

∴PC ⊥AE ． （5分）

（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则 EM ∥PA ．∵EM ?平面PAB ，PA ?平面PAB ，

∴EM ∥平面PAB ． （7分） 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ?平面PAB ，AB ?平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． （9分）

∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ?平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． （10分） 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． P A

D

B

C

E P

A D B

C

E F M

∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． （7分） ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ． （9分） ∵EC ?平面PAB ，PN ?平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． （10分）

(3)由(1)知AC ＝2，

1

,2

EF CD EF PAC =⊥且平面． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝

EF =

（12分）

则V

＝112232E PAC V -=??? (14分)

17. 如图，2012年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30?，已知S

(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60?的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S 点,做SC 垂直OB 于

C ,,60,30

=∠=∠ASB CSB

又,3=

SA 故在SAB Rt ?中,可求得BA =3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分

由SC =3，,30

=∠CSO 在SCO Rt ?中,可求得,3=

OC

又,3==SA BC 故,32=OB 即立柱高为32米. --------------------------

------ ------ - 6分

(2) （注：若直接写当SO MN ⊥时，MSN ∠最大，并且此时

60<∠MSN ，得2分） 连结SM ,SN , 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,

1

3221)32(1

3221)32(2

222

22??-+-

=??-+a b 262

2=+∴b a

2

1

1311221122cos 2

2222>=+≥=-+=∠b a ab ab b a MSN 60<∠∴MSN

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. ……………………………………………………… 14分

18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>它的离

心率为

1

2

，一个焦点是(-1,0)，过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A 、B.

(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；

(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y y

a b

+=.

求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标；

(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=?恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

.解：（I ）设椭圆方程为()22

2210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-，故1c =，又12c a =，所以

2,a b ===，所以所求的椭圆Ω方程为22

143

x y +=. ………………………4分

（II ）设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ，则切线方程分别为

11143x x y y +=，22143x x y y +=，又两切线均过点M ，即11221,133

t t

x y x y +=+=，即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=，故直线AB 的方程是13

t x y +=，显然直线1

3t

x y +=恒过点（1,0），故直线AB 恒过定点()1,0C .…………………………………10分 （III ）将直线AB 的方程13

t x y =-+，代入椭圆方程，得

2

23141203t y y ??-++-= ???，即2242903t y ty ??+--= ???

，

所以1212

22627

,1212

t y y y y t t -+=

=++，不妨设120,0y y ><，

1

AC y

===

，同理

2

BC y

=，…………13分

所以

21

121212

1111y y

AC BC y y y y

??-

+=-==

?

??

2

4

3

12

t

===

+

，

即4

3

AC BC AC BC

+=?，

故存在实数4

3

λ=，使得AC BC AC BC

λ

+=?. ……………………………16分19. (1) 设函数)

(

2

1

)

(R

x

x

x

g∈

-

=，且数列}

{

n

c满足

1

c= 1，)

(1-

=

n

n

c

g

c(n∈N，1

>

n)；求数列}

{

n

c的通项公式．

(2)设等差数列}

{

n

a、}

{n b的前n项和分别为n S和n T，且

8

2

7

6

4

3

b

b

a

b

b

a

+

+

+5

2

=，

7

2

1

+

+

=

n

An

T

S

n

n，6

2

=

S；求常数A的值及}

{

n

a的通项公式．

(3)若

??

?

?

?

=

)

(

)

(

为正偶数

为正奇数

n

c

n

a

d

n

n

n

，其中

n

a、

n

c即为(1)、(2)中的数列}

{n a、}

{n c的第n项，

试求

n

d

d

d+

+

+

2

1

．

19．(1) 由题意：)1

(

2

1

1

-

=-n

n

c

c，变形得：)1

(

2

1

11+

=

+-n

n

c

c，（1分）∴数列}1

{+

n

c是以

2

1

为公比，2

1

1

=

+

c为首项的等比数列. （3分）∴1

)

2

1

(

2

1-

?

=

+n

n

c，即1

)

2

1

(2-

=-n

n

c．（5分）(2) ∵由等差数列}

{

n

a、}

{n b知：

5

7

3

5

8

2

6

4

2

,

2a

a

a

b

b

b

b

b=

+

=

+

=

+；

∴由

5

2

8

2

7

6

4

3=

+

+

+b

b

a

b

b

a

得：

5

2

5

5=

b

a

，（6分）

∴529

2

9255919

199==?+?+=b a b b a a T S ，∵721++=n An T S n n ，∴5279219=+?+A ，解得1=A ；

（8分） ∴

)

72()1(721++=++=n n n n n n T S n n ，n S 和n T 分别是等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和； ∴可设)72()1(+=+=n kn T n kn S n n ，

； ∵62=S ， ∴1=k ，即n n S n +=2. （10分） 当1=n 时，211==S a ，

当n ≥2时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(221=-+--+=-=-.

综上得：n a n 2=. （12分） (3)当12+=k n (∈k N *

)时，

)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=++++

])21

(1[3422])41(1[34)1(2122

--+++=--++=n k n n k k

（14分）

当k n 2= (∈k N *

)时，

)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=+++-

])2

1

(1[342])41(1[34222

n k n n k k -+-=--+=． （16分）

20. (本小题满分15分)记函数()ln(1),()f x x g x x =+=．

（1）若函数2

()()()F x af x g x =+在1x =处取得极值，试求a 的值；

（2）若函数2

()()()()G x af x g x b g x =+-?有两个极值点12,x x ,且

[]1243,,0,155x x ??

∈--∈????

，试求a 的取值范围；

（3）若函数11()()()

H x f x g x =

-对任意[]12,1,3x x ∈恒有12()()H x H x a -≤成立，试求a 的取值范围．（参考：ln 20.7≈）

20解：（1）2

()ln(1),(1)F x a x x x =++>-，'()21a

F x x x

=

++ 由'(1)04F a =?=-……3分

（3）22

2211(1)ln (1)(),'()ln(1)(1)ln (1)

x x x H x H x x x x x x ++-=-=+++……10分

记2

2

()(1)ln (1),(1)m x x x x x =++->-

则2

'()ln (1)2ln(1)2m x x x x =+++-，又2ln(1)2''()1x x

m x x

+-=+……11分

记2()2ln(1)2(1),'()1x

n x x x x n x x

-=+->-=

+ 当0x ≥时，'()0()[0,)n x n x

可得()[0,)m x +∞在上单调递减，故()(0)0m x m ≤= 可得'()0()[0,)H x H x ≤?+∞在上单调递减，……13分

即()H x 在[]1,3上单调递减，由题意max min |()()||(1)(3)|a H x H x H H ≥-=-

11112121ln 2ln 432ln 232ln 23

=

--+=-=-……16分 数学Ⅱ（附加题）

21(1) 选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵12b c ??=?

?

??

M 有特征值41＝λ及对应的一个特征向量123??

=????e ． （1）求矩阵M ；

（2）求曲线2

2

5841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程．

解：（1）由已知1283122b c ??????

=?

???????????

，即238,2612b c +=+=，2,3b c ==， 所以1232M ?

?=????

; …………………………4分

（2）设曲线上任一点P (,)x y ，P 在M 作用下对应点///

(,)P x y ，则//1232x x y y ??????=????????????

即{

//232x x y y x y =+=+，解之得//

//234

y x x x y y ?-= - =

?，代入225841x xy y ++=得222x y ''+=， 即曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程是22

2x y +=．………10分 21. (2) 选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴

为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程为12(2

x t y t ?=+

????=??为参数），若直线l 与曲线C 相切，求a 的值．

解析：曲线C 化为直角坐标方程为2

2

0x y ax +-=，即22

222a a x y ????

-+= ? ?????

，（3分）

直线l 的参数方程化为普通方程为10x y --=． （6分）

由题设条件，

|

1|

2a

a

-=，

∴|1|22a a -=

， (8分)

∴

122a a =+（舍去）

或122

a =-，

∴)

21a =． (10分)

22．（本小题满分10分）

如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧面与底面垂直，11,AA AB AC AB AC ===⊥，

,,M N P 分别是1CC ，BC ，11B A 的中点．

（1）求证：AM PN ⊥；

（2）若直线MB 与平面PMN 所成的角为θ，求sin θ的值． 22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，

则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,1(0,1,1)C , 1(,0,1)2P ,1(0,1,)2M , 11(,,0)22N ,1

(0,,1)2=-

,1(0,1,)2=,

因为?PN 11

001(1)022

=?+?+-?=,

所以AM PN ⊥． ………………4分 （2）设平面PMN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,

1(0,,1)2NP =-,111

(,,)222

NM =-,

则1100n NP n NM ??=???=???11

1111

0,21110.2

22y z x y z ?-+=????-++=??

令12y =，得11z =，13x =

所以1(3,2,1)n =． …………………………………………………6分

B A 1

A

B 1

C 1

C

M P

（第22题图）

又1(1,1,)2

MB =--，

所以1112

sin 342||||2

n MB n MB θ?=

==?． ……………………10分 23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F T M P 、、、满足

(1,0),(1,)OF OT t ==-，

,,//FM MT PM FT PT OF =⊥．

（1）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；

（2）若过点F 的直线交曲线C 于A ,B 两点，求证：直线TA ,TF ,TB 的斜率依次成等差数列． 解析：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由FM MT =，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2

t

M ，

(,)2

t

PM x y =--，(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---， (2分)

由PM FT ⊥，得2()02

t

x t y +-=，―――――――――――① (3分)

由//PT OF ，得(1)0()10,x t y --?+-?= ∴t=y ――――② (4分)

由①②消去t ，得2

4y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程． (5分) （2）设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有

2

t

k =-． （6分）

设直线AB 方程为1x my =+，由241

y x x my ?=?=+?，得2

440y my --=，∴121244y y m y y +=???=-?，（8分）

∴2222121212()2168y y y y y y m +=+-=+，∴12121211

y t y t k k x x --+=+++ 22

211222

12()(1)()(1)

44(1)(1)44

y y y t y t y y -++-+=++ 22

121212122222

12124()4()16()3224()16

y y y y t y y y y t

t k y y y y +-+++-==-=+++，∴12,,k k k 成等差数列．（10分）