江苏省南京市江宁高级中学高三数学周周练(3)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置．．．．上．．1.在复平面内，复数21ii-+对应的点位于第四象限.2. 命题“若1x>，则0x>”的否命题是若1x≤，则0x≤ ;3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .4.在区间)2,2(ππ-上随机取一个实数x，使得21xcos>成立的概率为32；5. 向量ba,的夹角为120°，|5|,3||,1||baba-==则= 7 ．6. 执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 720 .7. 过双曲线)0,0(12222>>=-babyax的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM2=，则该双曲线离心率为 3 ;8.计算12323nn n n nC C C nC++++，可以采用以下方法：k s*5u构造恒等式0122(1)n n nn n n nC C x C x C x x++++=+，两边对x求导，得（第3题图）11（第6题图）1112321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =，得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．类比上述计算方法，计算12223223nn n n n C C C n C ++++= 22)1(-+n n n ．9. 若函数12sin y x =（[0,2)x π∈）在P 处的切线平行于函数2(1)3xy =+在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为3810. 已知)2,0(,1010)4cos(π∈θ=π+θ，则)42sin(π-θ的值为 102 ； 11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 4； 12. 已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都成立，则1110a a -= 102413. 已知，点),(y xP 的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则223y x y x ++的取值范围为)3,3[- ．14.已知函数)M a 0(1ax x )x (f 023≤≤--=存在整数零点的a 恰有3个，则0M 的取值范围是 )1663,926[。
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且,sin 2sin .a b A A B ≥+= （1）求角C 的大小；（2）求a bc+的最大值． 15.解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ．因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3．（2）由正弦定理及（Ⅰ）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)． 当A ＝ π3时，a ＋b c 取最大值2．16. （本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）求证：PC ⊥AE ；（2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ． 解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC AC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． （1分）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥． (3分) ∴PC AEF ⊥平面． (4分)∴PC ⊥AE ． （5分）（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则 EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ． （7分） 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． （9分）∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． （10分） 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． P ADBCE PA D BCE F M∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． （7分） ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ． （9分） ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． （10分）(3)由(1)知AC ＝2，1,2EF CD EF PAC =⊥且平面． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝EF =（12分）则V＝112232E PAC V -=⨯⨯⨯ (14分)17. 如图，2012年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知S(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S 点,做SC 垂直OB 于C ,,60,30=∠=∠ASB CSB又,3=SA 故在SAB Rt ∆中,可求得BA =3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分由SC =3，,30=∠CSO 在SCO Rt ∆中,可求得,3=OC又,3==SA BC 故,32=OB 即立柱高为32米. -------------------------------- ------ - 6分(2) （注：若直接写当SO MN ⊥时，MSN ∠最大，并且此时60<∠MSN ，得2分） 连结SM ,SN , 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,13221)32(13221)32(222222⋅⋅-+-=⋅⋅-+a b 2622=+∴b a211311221122cos 22222>=+≥=-+=∠b a ab ab b a MSN 60<∠∴MSN故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. ……………………………………………………… 14分18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22221(0),x y a b a b+=>>它的离心率为12，一个焦点是(-1,0)，过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A 、B.(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标；(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由..解：（I ）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-，故1c =，又12c a =，所以2,a b ===，所以所求的椭圆Ω方程为22143x y +=. ………………………4分（II ）设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ，则切线方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=，又两切线均过点M ，即11221,133t tx y x y +=+=，即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=，故直线AB 的方程是13t x y +=，显然直线13tx y +=恒过点（1,0），故直线AB 恒过定点()1,0C .…………………………………10分 （III ）将直线AB 的方程13t x y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以121222627,1212t y y y y t t -+==++，不妨设120,0y y ><，1AC y===，同理2BC y=，…………13分所以211212121111y yAC BC y y y y⎛⎫-+=-==⎪⎝⎭24312t===+，即43AC BC AC BC+=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BCλ+=⋅. ……………………………16分19. (1) 设函数)(21)(Rxxxg∈-=，且数列}{nc满足1c= 1，)(1-=nncgc(n∈N，1>n)；求数列}{nc的通项公式．(2)设等差数列}{na、}{n b的前n项和分别为n S和n T，且827643bbabba+++52=，721++=nAnTSnn，62=S；求常数A的值及}{na的通项公式．(3)若⎪⎩⎪⎨⎧=)()(为正偶数为正奇数ncnadnnn，其中na、nc即为(1)、(2)中的数列}{n a、}{n c的第n项，试求nddd+++21．19．(1) 由题意：)1(211-=-nncc，变形得：)1(2111+=+-nncc，（1分）∴数列}1{+nc是以21为公比，211=+c为首项的等比数列. （3分）∴1)21(21-⋅=+nnc，即1)21(2-=-nnc．（5分）(2) ∵由等差数列}{na、}{n b知：573582642,2aaabbbbb=+=+=+；∴由52827643=+++bbabba得：5255=ba，（6分）∴52929255919199==⨯+⨯+=b a b b a a T S ，∵721++=n An T S n n ，∴5279219=+⨯+A ，解得1=A ；（8分） ∴)72()1(721++=++=n n n n n n T S n n ，n S 和n T 分别是等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和； ∴可设)72()1(+=+=n kn T n kn S n n ，； ∵62=S ， ∴1=k ，即n n S n +=2. （10分） 当1=n 时，211==S a ，当n ≥2时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(221=-+--+=-=-.综上得：n a n 2=. （12分） (3)当12+=k n (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=++++])21(1[3422])41(1[34)1(2122--+++=--++=n k n n k k（14分）当k n 2= (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=+++-])21(1[342])41(1[34222n k n n k k -+-=--+=． （16分）20. (本小题满分15分)记函数()ln(1),()f x x g x x =+=．（1）若函数2()()()F x af x g x =+在1x =处取得极值，试求a 的值；（2）若函数2()()()()G x af x g x b g x =+-⋅有两个极值点12,x x ,且[]1243,,0,155x x ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦，试求a 的取值范围；（3）若函数11()()()H x f x g x =-对任意[]12,1,3x x ∈恒有12()()H x H x a -≤成立，试求a 的取值范围．（参考：ln 20.7≈）20解：（1）2()ln(1),(1)F x a x x x =++>-，'()21aF x x x=++ 由'(1)04F a =⇒=-……3分（3）222211(1)ln (1)(),'()ln(1)(1)ln (1)x x x H x H x x x x x x ++-=-=+++……10分记22()(1)ln (1),(1)m x x x x x =++->-则2'()ln (1)2ln(1)2m x x x x =+++-，又2ln(1)2''()1x xm x x+-=+……11分记2()2ln(1)2(1),'()1xn x x x x n x x-=+->-=+ 当0x ≥时，'()0()[0,)n x n x <⇒+∞在上单调递减，故()(0)0n x n ≤= 可得''()0'()[0,)m x m x ≤⇒+∞在上单调递减，故'()'(0)0m x m ≤=……12分可得()[0,)m x +∞在上单调递减，故()(0)0m x m ≤= 可得'()0()[0,)H x H x ≤⇒+∞在上单调递减，……13分即()H x 在[]1,3上单调递减，由题意max min |()()||(1)(3)|a H x H x H H ≥-=-11112121ln 2ln 432ln 232ln 23=--+=-=-……16分 数学Ⅱ（附加题）21(1) 选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵12b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 有特征值41＝λ及对应的一个特征向量123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程．解：（1）由已知1283122b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即238,2612b c +=+=，2,3b c ==， 所以1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; …………………………4分（2）设曲线上任一点P (,)x y ，P 在M 作用下对应点///(,)P x y ，则//1232x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即{//232x x y y x y =+=+，解之得////234y x x x y y ⎛-= - =⎝，代入225841x xy y ++=得222x y ''+=， 即曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程是222x y +=．………10分 21. (2) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12(2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），若直线l 与曲线C 相切，求a 的值．解析：曲线C 化为直角坐标方程为220x y ax +-=，即22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（3分）直线l 的参数方程化为普通方程为10x y --=． （6分）由题设条件，|1|2aa-=，∴|1|22a a -=， (8分)∴122a a =+（舍去）或122a =-，∴)21a =． (10分)22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧面与底面垂直，11,AA AB AC AB AC ===⊥，,,M N P 分别是1CC ，BC ，11B A 的中点．（1）求证：AM PN ⊥；（2）若直线MB 与平面PMN 所成的角为θ，求sin θ的值． 22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,1(0,1,1)C , 1(,0,1)2P ,1(0,1,)2M , 11(,,0)22N ,1(0,,1)2=-,1(0,1,)2=,因为⋅PN 11001(1)022=⨯+⨯+-⨯=,所以AM PN ⊥． ………………4分 （2）设平面PMN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,1(0,,1)2NP =-,111(,,)222NM =-,则1100n NP n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒1111110,21110.222y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令12y =，得11z =，13x =所以1(3,2,1)n =． …………………………………………………6分B A 1AB 1C 1CM P（第22题图）又1(1,1,)2MB =--，所以1112sin 342||||2n MB n MB θ⋅===⨯． ……………………10分 23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F T M P 、、、满足(1,0),(1,)OF OT t ==-，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥．（1）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点F 的直线交曲线C 于A ,B 两点，求证：直线TA ,TF ,TB 的斜率依次成等差数列． 解析：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由FM MT =，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2tM ，(,)2t PM x y =--，(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---， (2分) 由PM FT ⊥，得2()02t x t y +-=，―――――――――――① (3分) 由//PT OF ，得(1)0()10,x t y --⨯+-⨯= ∴t=y ――――② (4分)由①②消去t ，得24y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程． (5分)（2）设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有2t k =-． （6分） 设直线AB 方程为1x my =+，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，（8分） ∴2222121212()2168y y y y y y m +=+-=+，∴12121211y t y t k k x x --+=+++ 2221122212()(1)()(1)44(1)(1)44y y y t y t y y -++-+=++ 2212121212222212124()4()16()3224()16y y y y t y y y y t t k y y y y +-+++-==-=+++，∴12,,k k k 成等差数列．（10分）。
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
上学期江苏省南京市江宁高级中学高三数学周周练(五) 苏教版
江宁高级中学2010届高三数学周周练（五） 2009.10.16 考查内容：集合、简易逻辑、函数与导数、平面向量、三角函数一、填空题： 1、=⎰-dxx3118；2、函数y x a =-的图象关于直线3x =对称.则a =3、在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= ___ __4、已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是5、 设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 6、有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+=其中真命题的是 ；7、若命题“∃x ∈R,使x 2+(a －1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为8、如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=9、若8.0l o g 7.0=a ，8.0log 1.1=b ，7.01.1=c ，则c b a ,,从小到大的关系是 ；10、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-，若a 与2b c - 垂直，则tan()αβ+的值为11、已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t=AB DC12、若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .13、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ；14、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.二、解答题15、（本题满分14分）设91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，且20,2πβπαπ<<<<，求：)cos(βα+16、（本题满分14分）已知向量a =（cos ,sin θθ），b =（cos 2,sin 2θθ），c =（-1，0），d =（0，1）． （1）求证：()a b c ⊥+； （2）设()f θ=()a b d ⋅-，求()f θ的值域．17、（本题满分14分）已知函数和的图象关于y 轴对称，若2()2f x x a x =+()(1)()g x g x R ≥-∈恒成立.（1）求函数的解析式； （2）解不等式.M B18、（本题满分16分）已知函数||212)(x xx f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。
2023届江苏省南京市高三三模联考数学试题【含答案】
一、单选题1．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.2．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A ．B ．C ．D ．D【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知非零向量a ，b满足()3,1b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．14bB ．12bC ．32b D ．bA【分析】依题意可得()0a a b -⋅= ，根据数量积的定义及运算律求出a r ，即可求出a b ⋅ ，最后根据a b b b b⋅⋅⋅计算可得.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又()3,1b =，所以()22312b =+=，∴1a = 或0a =（舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4．已知集合{}1,2,3,4U =，若A ，B 均为U 的非空子集且A B ⋂=∅，则满足条件的有序集合对(),A B 的个数为（）A ．16B ．31C ．50D ．81C【分析】根据集合A 中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.【详解】1°A 中有1个元素，4种情况，B 有321-=7种情况，此时有4728⨯=种情况；2°A 中有2个元素，24C 种情况，B 有221-=3种情况，此时有24C 318⨯=种情况；3°A 中有3个元素，34C 种情况，B 有1种情况，此时有34C 14⨯=种情况.所以满足条件的有序集合对(),A B 一共有2818450++=个.故选：C.5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为A ．12B ．20C ．25D ．27D【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．【详解】设这个数字是x ，则平均数为617x+，众数是8，若8x ，则中位数为8，此时5x =-，若810x <<，则中位数为x ，此时61287xx +=+，9x =，若10x ，则中位数为10，6121087x+⨯=+，23x =，所有可能值为5-，9，23，其和为27．故选D ．本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2:1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（）A ．3B ．3C ．33D ．9C【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解.【详解】设土星轨道所在球面半径为R ，内接正六面体边长为a ，则32a R=，∴23a R =，所以正六面体内切球半径1123a R =，设正四面体边长b ，外接球球心为O ，G为底面中心，如图，正四面体中，323=233AG b b ⨯=，226=3PG PA AG b -=，在Rt AOG △中，222()AO AG PG AO =+-，则6143b R =，223b R =，设正四面体内切球半径r ，利用等体积法可得2213136434343V b r b b =⨯⨯⋅=⨯⋅，解得62231239r R R =⋅=，∴3339R R r R ==，故选：C.7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为33米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l 米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A ．7.2B ．27210C ．2725D ．9D【分析】先研究铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，建立()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出min ()8f θ=；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.【详解】如图，铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，1sin PA θ=，33cos PB θ=，()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()332222cos 33sin 33sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθ--'=+=.令()0f θ'<，解得：π06θ<<，令()0f θ'>，解得：ππ62θ<<，所以()f θ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以min ()86f f πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时通过最大长度l AB '≤，∴8l '≤，∴倾斜后能通过的最大长度228610+=，∴0.9109m =⨯=.故选：D.8．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =.若函数2ππ()e ()e (1)sin 36x x g x f x a x --⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭有且只有一个零点，则实数a 的值为（）A ．e -B ．2e-C ．eD ．2eB【分析】由函数()f x 的性质设()2e e x xf x =+，得到()()()22ππe e e e 1sin 36x x x x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.由零点的定义得到()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a 的值.【详解】由函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =，不妨设()2e e x xf x =+满足条件.此时()()()22ππeee e 1sin 36xxx x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即()2ππe 1e 1sin 036x x a x -⎛⎫+++-+= ⎪⎝⎭，()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点.因为22e e 12e 12e 1x x -++≥+=+，当且仅当2e e x x -=即1x =时取“＝”，当1x ≠时，2e e 12e 1x x -++>+，又ππ1sin 136x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()ππ11sin 136a a x a ⎛⎫--≤-+≤- ⎪⎝⎭，此时()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭要么没零点，要么不仅一个零点，所以1x =是()g x 的唯一零点，此时()()11ππ1e 1e 1sin 2e 11036g a a ⎛⎫=+++-+=++-= ⎪⎝⎭，解得2a e =-，所以2a e =-.故选：B.二、多选题9．已知m ，n ，l 为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB ．已知l αβ= ，m βγ= ，n γα=I ，若l m P = ，则P n ∈C ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγD ．若αβ⊥，γα⊥，δβ⊥，则γδ⊥BC【分析】对于A ，由空间中的两直线的位置关系判断，对于B ，由平面的性质分析判断，对于C ，由线面垂直的性质和面面平行的判定方法分析判断，对于D ，在正方体模型中分析判断.【详解】m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，A 错.因为l αβ= ，m βγ= ，l m P = ，所以,P P αγ∈∈，因为n γα=I ，所以P n ∈，B 对.m α⊥，m β⊥，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，C 对.正方体中，设面α为面ABCD ，平面β为面11BCC B ，面γ为面11ABB A ，面δ为面11CDD C ，则αβ⊥，αγ⊥，δβ⊥，但γδ∥，D 错，故选：BC.10．记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（）A ．若事件A ，B 互斥，()12P A =，()13P B =，()56P A B = B ．若事件A ，B 相互独立，()12P A =，()13P B =，则()23P A B ⋃=C ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()13P B =D ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()14P B A =BC【分析】对于A ，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B ，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD ，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.【详解】11()()()()1()23P A B P A P B P AB P AB =+-=-+- 1()()()()3P B P AB P AB P AB =+==，∴1()2P A B = ，A 错.11112()()()()()()()()23233P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-=+-⨯= ，B 对.令()P B x =，()1P B x =-，()()()()34P AB P AB P A B P B x===，∴()34P AB x =，()()()()318P AB P AB P A B x P B ===-，∴()()318P AB x =-，331()()()(1)1482P A P AB P AB x x =+=+-=-，∴13x =，C 对.()()()()()()1311343162P B P AB P AB P B A P A P A -⨯-====，D 错，故选：BC.11．已知双曲线2214y x -=，直线l ：()2y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()0,0A x ，()00,B y 两点.当点M 变化时，点()00,P x y 之变化.则下列结论中正确的是（）A ．224k m =+B ．002y kx =C ．P 点坐标可以是()7,6D ．220011x y -有最大值125ACD【分析】联立双曲线和直线方程并根据有唯一公共点可得224k m =+，可判断A 正确；利用直线的点斜式方程写出直线AB 的直线方程可解得05k x m =-，05y m =-，所以B 错误；易知55,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可知当56m -=时，57km-=，所以P 点坐标可以是()7,6，即C 正确；由4222222001154412525255k k k x y k k ⎛⎫-+--==-++ ⎪⎝⎭可利用基本不等式得当2k =±时，220011x y -有最大值125，即D 正确.【详解】对于A ，联立2214y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消y 可得()2224240k x kmx m ----=，直线与双曲线只有一个公共点，且2k ≠±，则Δ0=，∴()()222244440k m k m ----=，∴224k m =+，即选项A 正确；对于B ，由方程可得M k x m =-，则2224M k m k y m m m m --=-+==，∴4,k M m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则AB 的直线方程为41k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，令0y =，05kx m=-，令0x =，05y m=-，所以00y kx =，即B 错误；对于C ，则易知55,kP mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若56m -=，则56m =-，22549466k =+=，取76k =，7565756k m -=-⨯=-，即()7,6P ，所以C 正确；对于D ，可得()()222222242222222004111542525252525k k m m m m k k k x y k k k k ----+--=-===22414112252552525525k k ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⨯⎝⎭，当且仅当2k =±时，等号成立，即D 正确；故选：ACD12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（）A ．sin 3sin1cos1>B ．3tan12>C ．()()ln cos1sin cos 2<D ．1sin 412sin 43⎛⎫<⎪⎝⎭BC【分析】对于A ，利用三角函数的性质判断出sin 30.3<，sin1cos10.3⋅>，即可判断；对于B ，判断出5tan111>，即可判断；对于C ，令cos1x =，1222x <<，利用导数判断单调性即可判断；对于D ，构造函数()ln f x x x =，利用导数判断出2()ln 3f x >，即可判断，【详解】对于A ，∵62sin 3sin171sin 9sin150.34-<︒=︒<︒=<，11112sin1cos1sin 2sin115sin 65sin 450.322224⋅=>︒=︒>︒=>，∴sin 3sin1cos1<，故A 错误；对于B ，记()3sin 6x g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()2cos 12x g x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，记()2cos 12x p x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，0x >，则()sin p x x x '=-+，令()sin m x x x =-+，0x >，则()cos 10m x x '=-+≥恒成立，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00m x m >=，所以()0p x '>，所以()p x 在()0,∞+上单调递增，而()()200cos 0102p x p ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以3sin 6x x x >-，0x >，所以5sin16>，所以11cos16<，5tan111>，53211>，故3tan12>，故B 正确；对于C ，记()()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立，令cos1x =，1222x <<，所以ln(cos1)ln 1x x =<-，对于函数()sin n x x x =-+，0x <，因为()cos 10n x x '=-+≥恒成立，所以()n x 在(),0∞-上单调递增，所以()()00n x n <=，即sin x x <在0x <上恒成立，因为cos20<，即2210x -<，所以()22sin(cos 2)sin 2121x x =->-，因为2121(12)0x x x x --+=-<，所以()22ln 121sin 21ln(cos1)sin(cos 2)x x x x <-<-<-⇒<，故C 正确，对于D ，令1sin4x =，若22ln ln 33x x x x <⇒<，令()ln f x x x =，()1ln 10ef x x x '=+=⇒=，由()0f x ¢>解得：1e x >，()0f x '<解得：10e x <<，所以()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()0.4e f x ≥->-，记()()21ln ,01x x x x x ϕ-=->+，因为()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=≥++，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为()()2111ln1011ϕ-=-=+，所以()2103ϕϕ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即22123ln 0.42313⎛⎫- ⎪⎝⎭<=-+，所以2()ln 3f x >，则1sin412sin 43⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 错.故选：BC.方法点睛：比较大小类题目解题方法：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.三、填空题13．设随机变量()~3,2,10X H ，则()1P X ==______.715【分析】根据超几何分布计算公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.【详解】由随机变量X 服从超几何分布()~3,2,10X H ，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.故71514．74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______.10516/6.5625【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.【详解】74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭可看作7个4212x y xy ++相乘，要求出常数项，只需提供一项4x ，提供4项12xy，提供2项2y ，相乘即可求出常数项，即()421442761105C C 216x y xy ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故1051615．已知抛物线1C ：216y x =，圆2C ：()2241x y -+=，点M 的坐标为()8,0，P Q 、分别为1C 、2C 上的动点，且满足PM PQ =，则点P 的横坐标的取值范围是______.3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用抛物线的定义和圆的性质得到4141x PM x +-≤≤++，转化为222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，即可解得.【详解】因为抛物线：216y x =的焦点()4,0，准线：4x =-，所以圆心2C 即为抛物线的焦点F ，设(),P x y ，∴11PF PQ PF -≤≤+，∴4141x PQ x +-≤≤++.∵PM PQ =，∴4141x PM x +-≤≤++，2241(8)41x x y x +-≤-+≤++，∴222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，∴3955106x ≤≤.故3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、双空题16．已知数列{}n a 满足1a a =，()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩，当1a =时，10a =______；若数列{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为______.63162【分析】先利用递推公式求出121(2)42n n a a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，再由1a =，求出10a ；利用通项公式判断出a 的值为2.【详解】∵()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩∴222121222n n n a a a ++=+=+∴()2221442n n a a +-=-.∵1a a =，∴2122a a a =+=+，∴1122114(2)(2)422n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-⋅⇒=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∴当1a =时，()410163124216a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因为2212n n a a -=+，所以1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.要使{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则2a =，此时24n a =，212n a -=.否则2a ≠时，{}n a 取值有无穷多个.故6316；2.五、解答题17．已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos ,3cos b x x ωω= ，其中0ω>，函数()32f x a b a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围.(1)单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由最小正周期为π可得1ω=，即可知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数单调性即可求得()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）根据三角形形状可得ππ62B <<，再由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为(sin ,cos )a x x ωω=，(cos ,3cos )b x x ωω= ，则22sin cos 1a x x ωω=+= ，(sin ,cos )(cos ,3cos )a b x x x x ωωωω⋅=⋅2sin cos 3cos x x xωωω=+133sin 2cos 2222x x ωω=++π3sin 232x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故2333()sin 22223f x a b a a b a a b x πω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）由（1）及322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ3sin 2sin 2332A A ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2π33A +=，解得π3A =，又ABC 为锐角三角形，即π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π02π0π2B B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得ππ62B <<；由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又ππ62B <<，则1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18．已知正项数列{}n a 满足11a =，2218n n a a n +-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记sin π2n n n a b a ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2023项的和.(1)()221n a n =-(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得2n a 的通项公式，分析可得{}n a 的通项公式；（2）根据n b 的关系式，结合并项求和即可得{}n b 的前2023项的和.【详解】（1）对任意的*n ∈N ，因为2218n n a a n +-=，当2n ≥时，()()2222221211n n n a a a a a a -=-++-+ ()81811n =-+⋅⋅⋅+⨯+()812311n =+++⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎣⎦(1)812n n -=⨯+()221n =-，因为0n a >，故21n a n =-.当1n =时，11a =符合21n a n =-，所以21n a n =-，*n ∈N .（2）1sin π(1)(21)2n n n n a b a n +⎛⎫=⋅⋅=-- ⎪⎝⎭，所以当*k ∈N 时，()22141412k k b b k k ++=--++=，故1232023b b b b +++⋅⋅⋅+()()()1234520222023b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅++1210112023=+⨯=.19．如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE AD =，ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高18DO =，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当36PO =时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】（1）利用勾股定理证明出AP BP ⊥和AP CP ⊥，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为AE AD =，AD DE =，所以ADE V 是正三角形，则3DAO π∠=，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO AE ⊥，在Rt AOD 中，18DO =，所以633DO AO ==，因为ABC 是正三角形，所以32633182AB AO =⨯⨯=⨯=，2292AP AO PO =+=，BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .（2）如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -.设PO x =，（018x ≤≤），所以()0,0,P x ，()33,9,0E -，()33,9,0B ，()63,0,0C -，所以()33,9,EP x =- ，()33,9,PB x =- ，()63,0,PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ，则3390630n PB a b cx n PC a cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令a x =，则3b x =-，63c =-，故(),3,63n x x =--，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则2222233936363sin cos ,10831081084108x x x x EP n x x x x x θ+-===+⋅+++⋅+ 222222636313108108454024540x x xx=≤=++⋅+，当且仅当2221084x x=，即36PO x ==时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.20．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A 表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B 表示“两次取出小球的标号之和是m ”.(1)若用不放回的方式取球，求()P A ；(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.(1)110；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.【详解】（1）用C 表示“第一次取出小球的标号是2”，则1()10P C =，(|)0P A C =，9()10P C =，1(|)9P A C =，所以()()()()P A P CA CA P CA P CA =+=+()()()()P C P A C P C P A C =⨯+⨯191101010910=⨯+⨯=.（2）记第一次取出的球的标号为x ，第二次的球的标号为y ，用数组(),x y 两次取球，则()100n Ω=，充分性：当9m =时，事件B 发生包含的样本点为)(,(,5),(4,)),((,6),(3,)),((,7),921),,0,827,36,45()(81,9,0,，因此()101()()10010n B P B n ===Ω，事件AB 发生包含的样本点为()7,2，则()1()()100n AB P AB n ==Ω，又1()10P A =，于是()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 相互独立；必要性因为事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，即()()()P AB P A P B =，而1()10P A =，()()()()P AB n AB P B n B =，于是()1()10n AB n B =，事件AB 发生包含的样本点为()2,2m -，即()1n AB =，则()10n B =，又x y m +=，09x ≤≤，09y ≤≤，因此关于x 的不等式组0909x m x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，有10组整数解，即关于x 的不等式组099x m x m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，有10组整数解，从而990m m =⎧⎨-=⎩，得9m =，所以事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.21．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.(1)是定值，定值为14(2)13-【分析】（1）由题意求出直线AB 的斜率，再求//CD AB 可设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解AD BC k k 即可；（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=，表示出点D 的坐标，将A ，D 两点的坐标代入椭圆方程，化简得3331220x y λλλ++-=，再由CD AB ∥可得PC CB λ=，从而可得4431220x y λλλ++-=，进而可得直线AB 的方程，则可求出其斜率.【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得2222t -<<，且2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x tx x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=(0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD 的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出AD BC k k ，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.22．已知函数21()ln 2f x x x ax =-，()(R)g x x a a =-+∈.(1)若y x =与()f x 的图象恰好相切，求实数a 的值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为1x ，2x （12x x <）.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求正数λ的取值范围（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)22e a =(2)（i ）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）[)1,+∞【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.（2）求导得到导函数，构造函数ln ()x h x a x=-，求导得到单调区间，计算极值确定1e a <，再排除0a ≤的情况，得到取值范围，确定1212lnx x a x x =-，设12x t x =，转化得到(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）21()ln 2f x x x ax =-，()ln 1f x x ax =+-'，设y x =与()f x 的图象的切点为()00,x x ，则0020000ln 11 1ln 2x ax x x ax x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得20e x =，22e a =.（2）（i ）21()()()ln 2F x f x g x x x x ax a =+=--+，定义域为()0,∞+，()ln F x x ax '=-.()ln 0F x x ax '=-=有两个不等实根1x ，2x ，考察函数ln ()x h x a x =-，21ln ()xh x x-'=，所以()e 0h '=，当0e x <<时，()0h x '>，所以()h x 在区间()0,e 上单调递增；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间()e,+∞上单调递减.故()h x 的极大值也是最大值为()1e eh a =-.因为()h x 有两个不同的零点，所以()e 0h >，即10ea ->，即1ea <；当0a ≤时，当e x >时，()0h x >恒成立，故()h x 至多一个零点，不符合题意，综上所述10ea <<下证：当10ea <<时，()h x 有两个不同的零点.()10h a =-<，()e 0h >，所以()h x 在区间()0,e 内有唯一零点；222111ln h a aaa ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =，考察函数()2ln t t t ϕ=-，2()1t t ϕ'=-，可得max ()2ln 220t ϕ=-<，所以210h a⎛⎫⎪⎭<⎝，所以()h x 在区间()e,+∞内有唯一零点.综上所述：a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）由题设条件和（i ）可知：121x e x <<<，11ln x ax =，22ln x ax =，所以：11221212lnln ln x x x x a x x x x -==--，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，两边取对数得12ln ln 1x x λλ-<-，所以()1112221212121122ln ln1ln ln 1x x x x x x x x ax a x x x x x x x λλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=⋅+=--，令12x t x =，则()0,1t ∈，()ln 11t t t λλ++<-恒成立，所以(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+在()0,1t ∈时恒成立.令(1)(1)()ln ()t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈，则()2222(1)1(1)()()()t t h t t t t t λλλλ--+'=-=++.若21λ≥，即1λ≥，则当()0,1t ∈时()0h t '>，故()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=恒成立，满足题意；若01λ<<，则当()2,1t λ∈时有()0h t '<，故()h t 在()2,1λ上单调递减，所以当()2,1t λ∈时，()()10h t h <=，不满足题意.综上所述，正数λ的取值范围为[)1,+∞.关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到1212lnx x a x x =-，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.。
江苏省南京市江宁高中2013届高三迎市统测模拟考试数学试题(含详解)
2012-2013年南京市江宁高级中学迎市统测高三模拟试卷2012-12-16姓名 班级 成绩 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知ni i+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = 1 ． ２．命题p ：∀x ∈R ，2x 2+1>0的否定是____∃x ∈R ，2x 2+1≤0 __________.3．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 36 个.(用数字作答)4．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重y (kg)的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是ˆ27yx =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是 17 kg ．5．定义nx M =x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，其中x ∈R ，n ∈N *，例如 4-4M =(-4)(-3)(-2)(-1)=24，则函数f(x)= 2007x-1003M 的奇偶性为____奇函数__________.6．曲线y=x x 62+-,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 x y 6= ．7．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则yx8．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，ab 可被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为 假设,a b 都不能被3整除 ． 9．给出下面类比推理命题（其中R 为实数集，C 为复数集）：①“若,,a b R ∈则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,a b R ∈则0ab =0a ⇒=或0b =”类比推出“若,,a b C ∈则0ab =0a ⇒= 或0b =”；③“若,,a b R ∈则0a b a b ->⇒>” 类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b ->⇒>”； ④“若,,a b R ∈则220a b +≥”类比推出“若,,a b C ∈则220a b +≥” 所有命题中类比结论正确的序号是 ①② ．10．对于R 上的可导函数()f x ，若满足(2)'()0x f x -≥，则(0)(3)f f +与2(2)f 的大小关系为 不小于 ．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）11．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤)N *∈，共有1m n C +种取法。
江苏省南京市江宁高级中学高三数学联考试卷（含附加题）
ICME －7 O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6 A 7 江苏省南京市江宁高级中学2009年高三数学联考试卷（含附加题）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件B A ,互斥，那么()()()B P A P B A P +=+．A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则MN = ▲ ．2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．5． 下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是 ▲ ．说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a＝ ▲ ．说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识． 7． 以下伪代码：Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ▲ ．说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +的求法就不一样了，难度会加大．9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ▲ ．说明：注意对称性．10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小． 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =，则直线AB 的斜率为 ▲ ．说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ． 说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题． 13．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 ▲ ．说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m 表示）．说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解．ABDC 1 B 1A 1 填空题答案：1．{}1122x x -<< 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 6n 7．－8 8．3 9．－110．< 11．3±1223614π+ 13．4(0,1][,)3+∞ 14．(1)2m m +二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，……………………………………………3分即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A =． ………………………………………………5分 ∵0πA <<，∴π3A =．………………………………………………………………7分 （Ⅱ）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--．…………10分 ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈． 从而ππ7π2666B -<-<．……………………………………………………………12分∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．……………………13分所以，|m +n |min 2．………………………………………………………………14分评讲建议：本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．16．（本小题满分14分） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ． ………………2分又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，∴2AC =CAB ＝45°，∴2BC ∴ BC ⊥AC ．………………………………5分 又1BB BC B =，1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． ………………7分（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． ……………………………………………………………8分 证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ．……………………………………9分 又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ．……………………………………………11分 又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1．………………………………13分 同理，DP‖面BCB 1．……………………………………………………………………14分 评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ⊥AC ，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的． 变题：求证：（1）A 1B ⊥B 1D ；（2）试在棱AB 上确定一点E ，使A 1E ∥平面ACD 1，并说明理由． 17．（本小题满分15分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏： 甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ……………………4分所以51()255P A ==． ………………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为15．…………………………………………………………………7分（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， ……………………………………………10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325＝1225．…………14分由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分评讲建议：本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．引申：连续玩此游戏三次，若以D 表示甲至少赢一次的事件，E 表示乙至少赢两次的事件，试问D 与E 是否为互斥事件?为什么?（D 与E 不是互斥事件．因为事件D 与E 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P （D ）、P （E ），由P （D ）＋ P （E ）>1可得两者一互斥．）18．（本小题满分15分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=，11()22b y x b -=-．………………………………………………………………2分联立方程组，解出21,2.2cx b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分 21022c b cm n b--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0，∴ b >c ． ……………………………………………………………………………………6分 从而22b c >即有222a c >，∴212e <．……………………………………………………7分又0e >，∴0e <<2． …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．…………………………………………………………………9分由AB k b =，22102PBb c b b k c --=--＝2(1)b c b c +-． ………………………………………………10分如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)b cb c +-＝－1． ………………………………………12分解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾， (14)分所以直线AB 与⊙P 不能相切． …………………………………………………………15分此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾．19．（本小题满分16分）已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． 解：（Ⅰ）因为21()2log 2a h x x x x =-+(0)x >， 所以21ln 2ln 1()2ln ln x a x a h x x x a x a-+'=-+=． …………………………………………3分因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数，所以2ln 2ln 10ln x a x a x a-+≥在区间(0,)+∞上恒成立．若0<a <1，则ln a <0，于是2ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立．又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0，ln a ＝0，或ln a ＝1与ln a <0矛盾． 所以a >1．由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0， 所以ln a ＝1，即a ＝e ． ……………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），001()g x x '=，于是210211y y x x x -=-，21021ln ln x x x x x -=-． (9)分以下证明21121ln ln x x x x x -<-． （※）（※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<． ……………………………………………11分 令r （x ）＝x ln x 2－x ln x －x 2＋x ，…………………………………………………………13分 r ′（x ）＝ln x 2－ln x ，在（0，x 2］上，r ′（x ）>0，所以r （x ）在（0，x 2］上为增函数． 当x 1<x 2时，r （x 1）< r （x 2）＝0，即121121ln ln 0x x x x x x --+<，从而01x x >得到证明．……………………………………………………………………15分 对于21221ln ln x x x x x ->-同理可证……………………………………………………………16分所以102x x x <<．此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：要证明21121ln ln x x x x x -<-，只要证明21211ln x x x x ->1，令21x t x =，作函数h （x ）＝t －1－ln t ，下略．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列{}n na 的前n 项和S n ．（Ⅰ） 证明：由条件，得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----，则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----． (2)分即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又，所以1122(2)n n n n b b b b +--=-，21220b b -=-≠． 所以1{2}n n b b +-是首项为-2，公比为2的等比数列． …………………………………4分 2122b b -=-，所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-．两边同除以12n +，可得111222n n n n b b ++-=-．…………………………………………………6分 于是2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以12首项，－12为公差的等差数列． 所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得．………………………………………………8分 （Ⅱ）111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-，令2n n nc a =-，则1n n c nc -=．而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅，．∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+． ……………………………………………………………12分 (1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅，A EBCD O·A EB∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)nnS n n n=-+-+++-+⨯+⨯++⨯．………………14分令T n＝212222nn⨯+⨯++⨯，①则2T n＝2311222(1)22n nn n+⨯+⨯++-⨯+⨯．②①－②，得-T n＝212222n nn++++-⨯，T n＝1(1)22nn+-+．∴1(1)!(1)21nnS n n+=++-+． (16)分评讲建议：此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．B．附加题部分一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于O，AB AD=，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：2AB BE CD=⋅．证明：连结AC．…………………………………………………1分因为EA切O于A，所以∠EAB＝∠ACB．…………3分因为AB AD=，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分又四边形ABCD内接于O，所以∠ABE＝∠D．xyO A DBCC' B'所以ABE ∆∽CDA ∆．于是AB BE CD DA =，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD =⋅．…………………………………10分2． 选修4－2：矩阵与变换如图所示， 四边形ABCD 和四边形AB C D ''分别是矩形和平行四边 形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2），D （－1，－2），B '（3，7），C '（3，3）．求将四边形ABCD 变成四边形AB C D ''的变换矩阵M ．解：该变换为切变变换，设矩阵M 为1 0 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………3分 则1 033 123k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………………………………………6分 ∴323k -=，解得53k =．…………………………………………………………………9分所以，M 为 1 05 13⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (10)分说明：掌握几种常见的平面变换．3． 选修4－4：坐标系与参数方程过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为33,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………3分曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………………………5分将直线的参数方程代入上式，得263100s s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴1212310s s s s +==，．…………………………8分 AB 2121212()4s s s s s s =-+-＝217．…………………………………………………10分说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．4． 选修4－5：不等式选讲 已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥ 证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， ………………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，………………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．…………10分二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．已知()2nx x 的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯， ………………………………………………3分即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）． (4)分（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥……………………………………………6分即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r ＝3． ………………………………………………8分 所以系数最大的项为537T x =，9247T x =． (10)分说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．11 / 11 6． 动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积． 解：（Ⅰ）设P （x ，y 22(1)34x y y +--=．……………………………3分化简，得21(3)4y x y =≤．…………………………………………………………………4分（Ⅱ）设过Q 的直线方程为1y kx =-，代入抛物线方程，整理，得2440x kx -+=．∴△＝216160k -=．解得1k =±．………………………………………………………6分 所求切线方程为1y x =±-（也可以用导数求得切线方程），此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C 上． ………………………8分由对称性知所求的区域的面积为2223021142(1)()041223x S x x dx x x =-+=-+=⎰．…………………………………………10分说明：抛物线在附加题中的要求提高了，定积分要求不高．附加题部分说明：本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容，没有考查概率分布和空间向量解立体几何问题．这两部分内容很重要，希望在后期的复习中不可忽视．。
江苏省南京市江宁高级中学2021届高三上学期数学周末训练
江苏省南京市江宁高级中学2021届高三上学期数学一､单项选择题:本题8个小题,每小题5分,共40分｡1.已知集合1{|2},2A x x =-≤<集合2{|(2)20}B x x a x a =-++<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为()1.(,)2A -∞- 1.(,]2B -∞- 1.[,2)2C - 1.(,2)2D - 2.若4cos().65πα+=则:sin()3πα-=() 4.5A 3.5B 4.5C - 3.5D - 3.设函数f(x)为奇函数,且当x ≥0时,()x f x e cosx =-,则不等式()()21 20f x f x -+->的解集为()A.(-∞,1) 1.(,)3B -∞ 1.(,)3C +∞ D.(1,+∞)4.函数y=xcosx+sinx 在区间[-π,π]的图象大致为()5.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的､重要的发明,在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为3部分,上､下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的｡下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位､十位､百位､…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小｡现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨1粒上珠,往上拨2粒下珠,算盘表示的数为素数(除了1和本身没有其它的约数)的概率是()1.6A 1.2B 23C ⋅ 1.3D 6.定义在R 上的奇函数f(x)满足()()22f x f x +=-,并且当x ∈[0,1]时,()21,x f x =-则2(log 10)f 的值为()2.5A - 2.5B3.5C - 3.5D 7.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中,41,a =则当262a a +取得最小值时,2log q 等于()1.4A 1.4B - 1.8C 1.8D - 8.已知a,b ∈R 且ab ≠0,若()()()20x a x b x a b ----≥在x ≥0上恒成立,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0二､多项选择题:本题4个小题,每小题5分,共20分｡9.已知等差数列{}n a 是递增数列,其前n 项和为,n S 且满足753,a a =则下列结论正确的是()A.d>0B.10a <C.当n=5时,n S 最小D.当0|n S >时,n 的最小值为810.已知函数()2sin()6f x x πω=-的图像的一个对称中心为(,0)4π其中()0,1ω∈则以下结论正确的是() A.函数f(x)的最小正周期为3π;B.将函数f(x)的图像向左平移6π所得图像关于原点对称 C.函数f(x)在区间[,]62ππ-上单调递增; D.函数f(x)在区间(0,10π)上有6个零点11.已知直三棱柱111ABC A B C -中, 1,,AB BC AB BC BB ⊥==O 为1A C 的中点，点P 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是()A.当点P 运动到1BC 中点时,直线1A P 与平面111A B CB.无论点P 在1BC 上怎么运动,都有11A P OB ⊥C.当点P 运动到1BC 中点时,才有1A P 与1OB 相交于一点记为Q,且113PQ QA = D.无论点P 在1BC 上怎么运动,直线AP 与AB 所成角都不可能是30°12.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意k n N ∈,均有,n k n a a +>则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知4,n a n n=+则{}n a 是问隔递增数列 C.已知2(1),n n a n =+-则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知22020,n a n tn =-+若{n a }是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4≤t <5.三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.在Rt △ABC 中,AB=4,AC=2.p 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点,O 为BC 边的中点,则AP AO ⋅的值为____.14.已知0,0a b >>,且ab=1,则11822a b a b+++的最小值为____. 15.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开发的农产品､土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底需缴房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的产品加工厂的年利润为____. (取12111.27.5, 1.29)==16.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若22,b a ac -=则B A=____.cos b A a a b +的取值范围为__.(本题第一空2分,第二空3分)四､解答题:本大题共5小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题12分)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2sin .b A =(I)求角B;(II)求cosA+cosB+cosC 的取值范围.18.(本小题满分12分)在①{}n b 为等比数列,1122,3,{}n b a b a b ==②为等差数列,11222,4,{}n b a b a b ==③为等比数列,11222,4b a b a =+=+｡这三个条件中任选-一个,补充在下面的问题中,并作答｡已知数列{}n a 满足2*3122()2222nn n a a a a n n N ++++=∈,数列{}n b 满足___,n S 为数列{}n na b 的前n 项和,是否存在正整数k,使得2020k S ≥成立?若存在,求出k 的最小值;若不存在,请说明理由｡19.(本小题满分14分)如图,三棱台DEF-ABC 中,面ADFC ⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(I)证明:EF ⊥DB;(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值.20.(本小题满分16分)已知椭圆2222.1(0).x yC a b a b+=>>离心率为1,2点G(0,2)与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y=kx+m 与椭圆C 交于M ､N 两点,O 为坐标原点直线OM ､ON 的斜率之积等3,4-试探求△OMN 的面积是否为定值,并说明理由.21.(本小题满分16分)己知函数()1f x lnx x =-+.(1)求f(x)的最大值:(2)设函数()()()21g x f x a x =+-,若对任意实数b ∈(2,3),当x ∈(0,b]时,函数g(x)的最大值为g(b),求a 的取值范围;(3)若数列{}n a 的各项均为正数,11a = ,()1()21n n n a f a a n N ++=++∈.求证:21n n a ≤-.。
江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期数学周练(三)含答案
9．若存在 x0∈[1，2]，使得 2x20－λx0＋1＜0 成立是假命题，则实数λ可能取得值是 2
A． 3 2
B． 2 2
C． 3
D． 9 2
(▲)
10．如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，F 是棱 A1D1 上动点，下列说法正确的是 A． 对任意动点 F，在平面 ADD1A1 内存在与平面 CBF 平行的直线 B． 对任意动点 F，在平面 ABCD 内存在与平面 CBF 垂直的直线 C． 当点 F 从 A1 运动到 D1 的过程中，FC 与平面 ABCD 所成的角变大 D． 当点 F 从 A1 运动到 D1 的过程中，点 D 到平面 CBF 的距离逐渐变小
＝a＝0，则 f(x)＝x2(2x－3)，显然不符合题意，故 f(0)≠0，所以 f(0)＝a＞0 或 f(2)＝a＋4≥0， f(1)＝a－1＞0
可得 1＜a≤28 或－4≤a＜0．
8．若直线 l：y＝kx＋1 被圆 C：x2＋y2－2x－3＝0 截得的弦最短，则直线 l 的方程是
(▲)
A． x＝0
(▲)
11．已知抛物线 x2＝4y 焦点为 F，经过 F 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 A，B 在抛物
线准线上的射影分别为 A1，B1，以下四个结论：①x1x2＝－4，②|AB|＝y1＋y2＋1，③∠A1FB1＝
π，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 2．其中正确的是 2
(▲)
4．如图，己知函数 f(x)的图像关于坐标原点 O 对称，则函数 f(x)的解析式可能是
A． f(x)＝x2ln|x|
B． f(x)＝xln|x|
|x|
C． f(x)＝e x
D． f(x)＝ln|x| x
精品解析：江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ． 4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ．7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ． 9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ． 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一 点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．。
江苏省南京市江宁高级中学2020届高三数学周周练(3)
高三数学周周练（3）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置．．．．上．． 1.在复平面内，复数对应的点位于第 四 象限.2. 命题“若，则”的否命题是 若，则 ;3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .4.在区间上随机取一个实数，使得成立的概率为 ；5. 向量的夹角为120°，= 7 ．6. 执行上面的框图，若输入的是6，则输出的值是 720 .7. 过双曲线的一个焦点引它到渐进线的垂线，垂足为，延长交轴于，若，则该双曲线离心率为 3 ;8.计算，可以采用以下方法：k s *5u构造恒等式，两边对x 求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算 ．9. 若函数（）在P 处的切线平行于函数在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为10. 已知，则的值为 ；11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC =，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为，则这个球的表面积为 ；12. 已知数列中，，对任意，都成立，则 102413. 已知，点的坐标满足，则的取值范围为 ．14.已知函数存在整数零点的恰有3个，则的取值范围是 。
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角C 的大小；（2）求的最大值．15.解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π 3)＝sin B ． 因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π 3． （2）由正弦定理及（Ⅰ）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π 6)． 当A ＝ π 3时，a ＋b c取最大值2．16. （本小题满分14分） 在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）求证：PC ⊥；（2）求证：CE ∥平面PAB ；（3）求三棱锥P －ACE 的体积V ．解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC ＝，AC ＝2．取中点，连，则∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥． （1分）∵PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴PA ⊥，又∠ACD ＝90°，即，∴，∴，∴． (3分)∴． (4分)∴PC ⊥． （5分）（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ．∵EM 平面PAB ，PA 平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ． （7分）在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2，∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ．∵MC 平面PAB ，AB 平面PAB ，∴MC ∥平面PAB ． （9分）∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ．∵EC 平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． （10分） 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． （7分） ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ． （9分） ∵EC 平面PAB ，PN 平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． （10分）(3)由(1)知AC ＝2，．在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝2，得． （12分）则V ＝． (14分)17. 如图，2020年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为，已知S 的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分由SC=3，在中,可求得又故即立柱高为米. -------------------------- ------ ------ - 6分(2) （注：若直接写当时，最大，并且此时，得2分）连结SM,SN, 在△SON和△SOM中分别用余弦定理,故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. (14)分18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标； (Ⅲ)是否存在实数使得恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由..解：（I）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为. ………………………4分（II）设切点坐标为, ,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点.…………………………………10分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即，所以，不妨设，，同理，…………13分所以，即，故存在实数，使得. ……………………………16分19. (1) 设函数，且数列满足= 1， (n∈N，)；求数列的通项公式．(2)设等差数列、的前n项和分别为和，且，，；求常数A的值及的通项公式．(3)若，其中、即为(1)、(2)中的数列、的第项，试求．19．(1) 由题意：，变形得：，（1分）∴数列是以为公比，为首项的等比数列. （3分）∴，即．（5分）(2) ∵由等差数列、知：；∴由得：，（6分）∴，∵，∴，解得；（8分）∴，和分别是等差数列、的前n项和；∴可设；∵，∴，即. （10分）当时，，当n≥2时，.综上得：. （12分） (3)当(N*)时，（14分）当(N*)时，．（16分）20. (本小题满分15分)记函数．（1）若函数在处取得极值，试求的值；（2）若函数有两个极值点,且，试求的取值范围；（3）若函数对任意恒有成立，试求的取值范围．（参考：）20解：（1），由……3分（3）……10分记则，又……11分记当时，上单调递减，故可得上单调递减，故……12分可得上单调递减，故可得上单调递减，……13分即在上单调递减，由题意……16分数学Ⅱ（附加题）21(1) 选修4—2 矩阵与变换已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）求曲线在的作用下的新曲线的方程．解：（1）由已知，即，，所以; …………………………4分（2）设曲线上任一点P，P在M作用下对应点，则即，解之得，代入得，即曲线在的作用下的新曲线的方程是．………10分21. (2) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为，若直线与曲线C相切，求的值．解析：曲线化为直角坐标方程为，即，（3分）直线的参数方程化为普通方程为．（6分）由题设条件，有：，∴， (8分)∴（舍去）或，∴． (10分)22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱的侧面与底面垂直，，分别是，，的中点．（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求的值．22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则, , , , , , , , , , ,因为,所以．………………4分, ,则令，得，所以．又，所以．……………………10分23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．（1）当变化时，求点的轨迹的方程；（2）若过点的直线交曲线于A,B两点，求证：直线TA,TF,TB的斜率依次成等差数列．解析：（1）设点的坐标为，由，得点是线段的中点，则，，， (2分)由，得，―――――――――――① (3分)由，得∴t=y ――――② (4分)由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程． (5分)（2）设直线的斜率依次为，并记，，则有．（6分）设直线方程为，由，得，∴，（8分）∴，∴，∴成等差数列．（10分）。
江苏省南京市江宁高级中学高三数学迎二模第二次阶段性测试
江苏省南京市江宁高级中学2009届高三迎二模第二次阶段性测试数学试卷注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．式子22log sinlog cos1212ππ+的值为2．统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图 如图示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格， 则及格率为 ▲ ．3． 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是 ▲ ． 4．如图所示的流程图输出的结果是 ▲ ．5．函数y ＝sin x ＋3cos x ，x ∈[π6，π]的值域是 ▲ ．6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤2，x －y ≥－1， x ＋y ≥1．则z ＝2x ＋3y 的最大值是 ▲ ．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为___________________．． 8．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，f (27)＝3，且对任意的实数x 1，x 2，必有f (x 1·x 2)（第2题）1 333主视图左视图俯视图（第3题）开始 k ←8，S ←1输出S S ←S ×k k ←k －2结束NYk ＞2（第4题）＝f (x 1)· f (x 2) 成立，写出满足条件的一个函数为 ▲ ．9．定义在R 上的奇函数f (x )，已知x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则方程f (x )＝1的解集是 ▲ ． 10．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．等比数列{a n }的公比为q （q ≠0），其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3＝ ▲ ． 12．已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ▲ ．13．双曲线x 2n－y 2＝1(n ＞1)的两焦点为F 1、F 2，P 在双曲线上且满足PF 1＋PF 2＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为 ▲ ．14．函数f (x )是定义在[0，1]上的函数，满足f (x )＝2f (x2)，且f (1)＝1，在每一个区间(12k ，12k －1](k ＝1，2，3，…)上，y ＝f (x )的图象都是斜率为同一常数m 的直线的一部分，记直线x ＝53×2n ，x ＝12n －1，x 轴及函数y ＝f (x )的图象围成的梯形面积为a n （n ＝1，2，3，…），则数列{a n }的通项公式为 ▲ ．（用最简形式表示）二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，A ，B 是圆O是圆与x 轴正半轴的交点，已知A （－3，4），且点B 逆弧CA 上，△AOB 为正三角形． （1）求cos ∠COA ；（2）求BC 2的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底 面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是 PD 的中点，F 为ED 的中点．（1）求证：平面P AC ⊥平面PCD ； （2）求证：CF ∥平面BAE ．17．（本小题满分14分）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方 有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系x ＝2000t ．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？A B C D EP F18．（本小题满分16分）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2和短轴的一个端点A 构成等边三角形，点(3，32)在椭圆C 上，直线l 为椭圆C 的左准线． （1）求椭圆C 的方程； （2）点P 是椭圆C 上的动点，PQ ⊥l ，垂足为Q ．是否存在点P ，使得△F 1PQ 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知k 为正常数，方程x 2－kx ＋u ＝0有两个正数解x 1，x 2．（1）求实数u 的取值范围；（2）求使不等式(1x 1－x 1) (1x 2－x 2)≥(k 2－2k )2恒成立的k 的取值范围．20．（本小题满分16分）设数列}{n x 的所有项都是不等于1的正数，前n 项和为n S ，已知点),(n n n S x P 在直线y kx b =+上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又0.5log n n y x =. （Ⅰ）求证：数列}{n x 是等比数列；（Ⅱ）如果183n y n =-，求实数k ，b 的值；（Ⅲ）如果存在,,t s N s t *∈≠，使得点),(s y t 和),(t y s 都在直线21y x =+上，试判断，是否存在自然数M ，当n M >时，1n x >恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由.江苏省南京市江宁高级中学2009届高三第二次阶段性测试答卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．16．ABCDEPF17．18．Array19．20．附加题部分一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题8分，共16分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．选修4－1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM＝CN，求MH＋NHOH的值．2．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．3．选修4－4：坐标系与参数方程把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝1－t2t2＋1，y＝4tt2＋1（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．4．选修4－5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1．求证：1＜a＋b＜4 3．二、必做题：本大题共2小题，每小题12分，共24分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．(1)求该观众得分ξ为非负的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望．6．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点． (1)求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦；(2)在线段AA 1上取一点F ，问AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？AC 1B 1A F江苏省南京市江宁高级中学2009届高三第二次阶段性测试答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．-2 2．0.8 3．30 4．192 5．[－3，2] 6．18 7．（0,1）8．y ＝3x 9．{2，－12} 10．(－∞，0)∪[3，＋∞） 11．－12 12．23 13．1 14．12－m9×22n ＋1二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）因为A （－3，4），所以cos∠COA＝－3(－3)2＋42＝－35；………………………………………………………4分（2）sin∠COA＝4(－3)2＋42＝45； …………………………………………………………6分所以cos ∠BOC ＝cos(∠COA －π3)＝cos ∠COA cos π3＋sin ∠COA sin π3＝－35×12＋45×32＝43－310．…………………………………………10分在△OBC 中，由余弦定理得：BC 2＝OB 2＋OC 2－2 OB ·OC ·cos ∠BOC ＝52＋52－2×5×5×43－310＝65－203． ……………………………………………………………………………14分16．（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，…………………………………………………2分又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，……………………………………………………………………4分 又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD ．………………………………………6分 （2）解法一：取AE 中点G ，连接FG ，B G ． 因为F 为ED 的中点，所以FG ∥12AD ．…………………………8分在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD ． 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC ．………………………………………………………………………………11分综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形， 所以CF ∥BG ．又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE ． ……………………………14分解法二：延长DC 与AB 交于G 点，连接EG ． 因为在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠CAB ＝60°,所以∠CAB ＝∠ACD ，即AC 为∠DAG 的平分线．…………………………………9分 又AC ⊥CD ，所以AG ＝AD ，C 为DG 中点，又F 为ED 的中点．所以CF ∥EG ．……………………………………………… 12分根据EG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE ．……………………………14分16．(1)解法一：因为赔付价格为s 元／吨，所以乙方的实际年利润为：w ＝2000t －st （t ≥0）．……………………………………………………2分B PA C DEFGAC D E FG P因为w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s ，…………………………………………4分所以当t ＝ (1000s )2时，w 取得最大值．所以乙方取得最大年利润的年产量t ＝ (1000s )2 (吨)．…………………………………6分解法二：因为赔付价格为s 元／吨，所以乙方的实际年利润为： w ＝2000t －st （t ≥0）．…………………………………………………………2分由w ′＝1000t －s =1000－s t t，令w ′＝0得t ＝t 0=(1000s )2．……………………………4分当t ＜t 0时，w ′＞0；当t ＞t 0时，w ′＜0，所以t ＝t 0时，w 取得最大值． 因此乙方取得最大年利润的年产量t 0＝(1000s )2 (吨)．…………………………………6分(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2．………………………………………………8分将t ＝(1000s )2代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：v ＝10002s －2×10003s 4． ………………………………………………10分又v′＝－10002s2＋8×10003s5＝10002×(8000－s3)s5令v′＝0，得s＝20．当s＜20时，v′＞0；当s＞20时，v′＜0，所以s＝20时，v取得最大值．…………13分因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20 (元／吨)时，获最大净收入．………………14分17．（1）椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知△AF1F2为正三角形，所以sin∠AF1O＝OAAF1＝ba，所以ba＝32，b2a2＝34．设b2＝3λ，a2＝4λ，椭圆方程为x24＋y23＝λ．椭圆经过点(3，32)，解得λ＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1．……………6分（2）由PF1PQ＝e＝12，得PF1＝12PQ．所以PF1≠PQ．……………………………………………8分①若PF1＝F1Q，则PF1＋F1Q＝PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以PF1不可能与PQ相等．…………………………………………………………………………………10分②若F1Q＝PQ，设P(x，y)(x≠±2)，则Q(－4，y)．∴32＋y2＝4＋x，∴9＋y2＝16＋8x＋x2，又由x24＋y23＝1，得y2＝3－34x2．∴9＋3－34x2＝16＋8x＋x2，∴74x2＋8x＋4＝0．∴7x2＋32x＋16＝0．∴x＝－47或x＝－4．因为x∈(－2，2)，所以x＝－47．所以P(－47，±3157)．……………14分综上，存在点P(－47，±3157)，使得△PF1Q为等腰三角形．……………………………16分19．（1）由于方程x2－kx＋u＝0有两个正数解x1，x2．所以⎩⎪⎨⎪⎧△＝k 2－4u ≥0，x 1＋x 2＝k ＞0， x 1x 2＝u ＞0．…………………………………………………………………………3分解得0＜u ≤k 24，即实数u 的取值范围是(0，k 24]；……………………………………………6分（2）(1x 1－x 1) (1x 2－x 2)＝x 1x 2＋1x 1 x 2－x 12＋x 22 x 1x 2＝u －k 2－1u ＋2．令f (u )＝u －k 2－1u ＋2（u ＞0），所以f ′(u )＝1＋k 2－1u 2，………………………………………8分（i ）若k ≥1，因为0＜u ≤k 24，所以f ′(u )＞0，从而f (u )在(0，k 24]为增函数，所以u －k 2－1u ＋2≤f (k 24)＝k 24－k 2－1k 24＋2＝(k 2－2k )2，即(1x 1－x 1) (1x 2－x 2)≥(k 2－2k )2不恒成立．…10分（ii ）若0＜k ＜1，由f ′(u )＝1＋k 2－1u 2＝0，得u ＝1－k 2，当u ∈(0，1－k 2)，f ′(u )＜0；当u ∈(1－k 2，＋∞)，f ′(u )＞0， 所以函数f (u )在(0，1－k 2]上递减，在[1－k 2，＋∞)上递增，………………………12分要使函数f (u )在(0，k 24]上恒有f (u )≥f (k 24)，必有1－k 2≥k 24，即k 4＋16 k 2－16≤0，…………………………………………………………………………14分 解得0＜k ≤25－2． 综上，k的取值范围是(0，25－2]．……………………………………………………16分20．解：（Ⅰ）点n P ，1n P +都在直线y kx b =+上，11n nn nS S k x x ++-∴=-，得()11n n k x kx +-=．常数0k ≠，且1k ≠，11n n x kx k +∴=-（非零常数）， ∴数列{}n x 是等比数列． ………4分（Ⅱ）由0.5log n n y x =，得65118882ny n n n x ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，81k k ∴=-，得87k =． 由n P 在直线上，得n n S kx b =+，令1n =得5111818777b S x x -=-=-=-（22937618715-=⨯-=）．………10分 （Ⅲ）1n x >恒成立等价于0n y <，存在,t s N ∈，使得(),s t y 和(),t s y 都在21y x =+上，∴21s y t =+，① 21t y s =+，②①-②得：()2s t y y t s -=-，易证{}n y 是等差数列，设其公差为d ，则有()s t y y s t d -=-，s t ≠，20d ∴=-<，①+②得：()22s t y y t s +=++，又()()()()()1111212224s t y y y s y t y s t +=+--++--=-++， 由()()122422y s t t s -++=++， 得()1210y t s =+->， 即：数列{}n y 是首项为正，公差为负的等差数列，………13分∴一定存在一个最小自然数M ，使100M M y y +≥⎧⎨<⎩， 即()()()()()211202120t s M t s M +-+--≥⎧⎪⎨+-+-<⎪⎩，解得1122t s M t s +-<≤++． M N ∈*，M t s ∴=+．即存在自然数M ，其最小值为t s +，使得当n M >时，1n x >恒成立． ………16分B ．附加题部分一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题8分，共16分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1． 如图在BE 上取BK ＝CH ，连结OB 、OC 、OK ，由三角形的外心的性质可知：∠BOC ＝2∠A ＝120°， 由三角形的垂心性质可知：∠BHC ＝180°－∠A ＝120°，所以∠BOC ＝∠BHC ，所以B 、C 、H 、O 四点共圆，∠OBH ＝∠OCH ，……………3分又因为OB ＝OC ，BK ＝CH ，所以△BOK ≌△COH ， 因为∠BOK ＝∠COH ，OK ＝OH ，所以∠KOH ＝∠BOC ＝120°，∠OKH ＝∠OHK ＝30°，………………………………6分观察△OKH ，有：KH sin120°＝OHsin30°，则KH ＝3OH ，又因为BM ＝CN ，BK ＝CH ，所以KM ＝NH ，所以MH ＋NH ＝MH ＋KM ＝KH ＝3OH ，故MH ＋NH OH＝3．…………………………………………………………………………8分 2．由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；…………………………………………………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 即3c－2d＝－2，……………………………………………………………………………4分解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 2 4，……………………………………………………………6分 A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12．…………………………………………………………………8分 3．解法一：由x ＝1－t 2t 2＋1，得x ＝－1＋2t 2＋1，即2t 2＋1＝x ＋1 ①，又4tt 2＋1＝y ②，②÷①得：t＝y2(x ＋1)③， ……………………………………………………3分将③代入①得 x ＋1＝2(y 2(x ＋1))2＋1，整理得：x2＋y 24＝1． ……………………………………………………………………6分因为t 2＋1≥1，所以x ＝－1＋2t 2＋1∈(－1，1]，所求普通方程为x 2＋y 24＝ 1 (x ≠－1) ．……………………………………………………8分解法二：由x＝1－t2t2＋1，①，y＝4tt2＋1②，①2＋(②2)2得x2＋y24＝1．……………………………………………………………………6分因为t2＋1≥1，所以x＝－1＋2t2＋1∈(－1，1]，所求普通方程为x2＋y24＝ 1 (x≠－1) ．………………………………………………………8分4．因为a＋b＝1－c，ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)2＝c2－c，所以a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，则△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，得－13＜c＜1，………………………………………………4分而(c－a)(c－b)＝c2－(a＋b)c＋ab＞0，即c2－(1－c)c＋c2－c＞0，得c＜0，或c＞23，……………………………………………7分所以－13＜c＜0，即1＜a＋b＜43．………………………………………………8分二、必做题：本大题共2小题，每小题12分，共24分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（1） 的可能取值为－4，0，4，12．……………………………………………………1分P(ξ＝12)＝1A44＝1 24；………………………………………………………………………………3分P(ξ＝4)＝C24A44＝624＝1 4；……………………………………………………………………………5分P (ξ＝0)＝C 14×2A 44＝824＝13；…………………………………………………………………………7分该同学得分非负的概率为P (ξ＝12)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝0)＝1524．………………………………8分(2) P (ξ＝－4)＝9A 44＝924．ξ的分布列为:ξ －4412P924 13 14 124……………………………………………………………………………………………………………10分数学期望E ξ＝－4×924＋4×14＋12×124＝0．…………………………………………………………12分6．(1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，…………………2分因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，从而B (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)， B 1(0，0，3)，A 1(2，0，3)，C 1(0，2，3)， D (22，22，3)，E (0，22，32)．所以CA1→＝(2，－2，3)，BE →＝(0，22，32)． 而|CA 1→|＝13，|BE →|＝112，且CA 1→·BE →＝72，所以cos θCA 1→·BE →|CA 1→||BE →|＝7213×112＝7143143；………………………………………………………………5分所以直线BE 与A 1C 所成的角的余弦为7143143．……………………………………………………6分(2)设AF ＝x ，则F (2，0，x )，CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)，……………………………8分CF →·B 1D →＝2×22＋(－2)×22＋x ×0＝0，所以CF →⊥B 1D→ ，………………………………………9分 要使得CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F ，由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，有x ＝1或x ＝2，……………………………………………………………………………………11分故当AF ＝1，或AF ＝21时，CF ⊥平面B 1DF ．…………………………………………………12分。