数学史概论

下页 法国的泊松也是概率论发展史上的代表人物，他推广了 返回 大数定律和中心极限定理，并得到一种新的分布——泊松分 布。
CH8概率论的产生与发展
继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进 伯努力大数定律及中心极限定理。在这方面，俄国数学家契 比雪夫作出了突出贡献。他是彼得堡学派的创始人（19世纪 下半叶－20世纪初）。代表人物：契比雪夫、其学生马尔可 夫和李亚普诺夫。契比雪夫引入了契比雪夫不等式，并由此 证明了大数定律和中心极限定理。后来，他的学生马尔可夫 又提出了马尔可夫链，又由柯尔莫戈罗夫对这一概念进行了 发展，从而奠定了马尔可夫过程的理论基础。
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梅累的这个赌金公正分配问题却真把帕斯卡给难住了。 虽然他经过长时间的思考，但还是无法解决这个问题。
1654年，帕斯卡不得已就写信给他的好朋友费马，请费 马解决这个问题。在7月－10月中，他们通了7封信，全部有 关赌博问题。在与费马的讨论中，帕斯卡运用组合知识解决了 这一问题。帕斯卡和费马认为，梅累的分法是对的。后来，帕 斯卡又研究了更复杂的在多个赌徒间分配赌注的问题。
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（3）系统整理阶段
19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展， 其中拉普拉斯、泊松、高斯、契比雪夫和马尔科夫（俄）等 人作出了较大的贡献。 拉普拉斯在总结前人工作的基础上，写了《分析概率论》 一书，被誉为古典概率论系统理论的经典之作。在这本书中， 拉普拉斯首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引 入了有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了 概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。由他和高斯建 立的关于正态分布及最小二乘法的理论，对于概率论研究天 文观测和物理观测的结果起了重大作用。 上页
先对各种年龄死亡人数进行统计，得到表：
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死亡年龄统计表
年龄 30 40 50 60 活到该年龄的人数 85441 78106 69804 57917 在该年龄死亡的人数 720 765 962 15426
由此表可以看出，如果一个人40岁，则他当年的死亡概 率是765÷78106＝0.0098。如果一万个40岁的人参加保险， 估计1万人中死亡人数为10000×0.0098＝98人。每人若付a元 的保险金，死亡时可得b元人寿保险金，则保险公司需付出 上页 98b元的人寿保险金，收支差额为10000a－98b，这就是公司下页 的利润。故保险公司能否获得利润的关键就在于能否提前比返回 较准确地确定出所保险项目中危险发生的概率。
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从历史发展的角度看，概率论的发生发展过程大致可分 为4个阶段： （1）方法的积累阶段 在帕斯卡和费马的通信中，虽然没有提出明确的概率 定义，但他们在估计赌徒获胜的等可能性时，总是利用有 利情形数与所有可能数之比。这实际上就是早期古典概率 的概念。惠更斯后来又提出了期望等基本概念，并得到加 法定理、条件概率和全概率公式等计算方法，这表明了当 时的概率已成为具有特定研究对象的一门独立学科。
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3.概率论的进一步发展
概率论的创立标志着或然数学的诞生。或然数学的分支 众多，如随机过程、随机分析、序贯分析、鞅、多元统计分 析、保险精算等。但最基本的是概率论与数理统计。概率论 是数理统计的基础，侧重理论上的分析；数理统计则侧重应 用上的研究。
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1.赌徒的难题
1653年夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡前往 一个小镇度假。在旅途中，他遇到了一个喜欢赌博的人，名 叫梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个有 关赌博的问题，即
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一次，梅累与赌友赌扔骰子，每人押了32个金币，并 事先约定：如果梅累先掷出3个6点或其赌友先掷出3个4点， 便算赢家。很遗憾，这场赌博没有顺利赌完。当梅累扔了2 次6点，其赌友扔了一次4点时，梅累接到通知，要他马上 陪国王接见外宾。当然，君命难违，但如果各自拿回自己 的32枚金币，又不甘心，毕竟再扔一次6点，就能见分晓。 他们只好按照已有的成绩分配这64个金币。可是这却把他 们给难住了。赌友说，虽然梅累只需再扔一次6点就赢了， 但他要能再碰上2次4点也能赢。所以他认为，他应分得的 金币是梅累的一半，即64/3。但梅累却不同意，梅累认为， 即使下次赌友仍出一个4点，他还可以分得赌金的一半，加 上他下次也有一半的希望得6点，这样又可分得16个，故他上页 应至少得48个金币，即3/4×64。就这样，梅累与赌友争 下页 执不下，所以当梅累碰到大数学家帕斯卡，就迫不及待地 返回 请教他。
x e dx
2

2
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0
这使他成为最早使用概率积分的人。
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他对复数也颇有研究。如我们熟知的棣莫弗公式：
z r (cos i sin ) r (cosn i sin n )
n n n n
他还利用复数证明了求解方程 x n 1 0 等同于把圆周n等 分。
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但是，保险所涉及的实际问题很复杂。如人寿保险中死 亡的概率常会受到自杀、谋杀、车祸等非正常死亡因素的干 扰，不便于人们研究一般的规律。所以一般在概率论的研究 中，人们就选择了赌博中的扔骰子来探求偶然现象中所蕴涵 的一般规律。又因为概率问题常与大量的数据统计联系在一 起，所以概率论和数理统计就构成了研究偶然现象的或然数 学的主要内容。
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帕斯卡认为，甲已得2点，乙只有1点。如果再扔一次硬 币，要么甲全胜，赢得全部赌金；要么乙胜，甲乙点数变为 相等，甲乙平分赌金。把这两种情况平均一下，甲应得赌金 的3/4，乙应得赌金的1/4。
费马认为，要结束这场赌博，最多还需扔2次，结果为4 种等可能的情况： 情况 1 2 甲 乙 3 乙 甲 4 乙 乙
A）。Biblioteka （B）《流数法和无穷级数》（C）《曲线求积术》 （D）《运用无穷多项方程的分析学》
6、数学史上第一篇正式发表的微积分文献和作者是（ D ）。 （A）《流数简论》牛顿 （B）《流数简论》莱布尼兹
（C）《一种求极大与极小和求切线的新方法》牛顿
（D）《一种求极大与极小和求切线的新方法》莱布尼兹 7、下列术语不是牛顿所用的是（ D ）。 （A）流数 （B）最后比 （C）瞬 （D） dx
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18世纪法国的蒲丰开创了几何概率的研究。他提出了 著名的蒲丰投针问题：在一个平面上，画有一组间距为d的 平行线，将一根长度为l（l<d）的针任意投掷在这个平面上， 求此针与任一平行线相交的概率
2l p d （
）。通过该实验，可以确定 的近似 值。这个问题是第一个用几何形式表达概率问题的例子，开 创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，对概率论的发 展起了一定的作用。
4、牛顿和莱布尼兹建立微积分时，采用了不同的符号，牛顿用 表示 的流数、导数，而莱布尼兹用 dx 表示微分。
x
x
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5、牛顿对微积分的研究建立了微积分基本定理：微分 和 积分 是 互逆的关系，并以此作为建立微积分普遍算法的基础。
CH8概率论的产生与发展 5、历史上第一篇系统的微积分文献是（ （A）《流数简论》
在数学上的贡献：
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帕斯卡引进赌博的“值”的概念，即赌注×获胜的概率。 惠更斯将值改为期望，即数学期望的由来。教科书中由概率 P的概念引出期望E的概念。历史上却是由E引出了P 。 他研究了平面曲线如拽物线、对数螺线、悬链线、摆线， 对牛顿和莱布尼兹创建微积分有很大影响。 在《论求圆周率》一书中，他用边数比前辈们少的多的 多边形，得出了圆周率的近似表达式。阿基米德用96边形计 算出圆周率值，而惠更斯仅用12边形就得到了。 在《钟表的摆动》一书中，他提出了等时曲线：设想在 上页 曲线上的每一点都放一粒珠子，如果珠子沿曲线滑落到曲线 的最低点所用时间都相等，则称该曲线为等时曲线。惠更斯 下页 返回 还证明了倒置的摆线是等时曲线。
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（2）理论概括阶段
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1713年，瑞士伯努力家族的数学家雅各布.伯努力出版 了《推想的艺术》一书。他的重要贡献是建立了概率论中的 第一个极限定理即伯努力大数定律。雅各布的工作使得建立 在经验分析基础上的频率稳定性的估计理论化，概率论也由 对特殊问题的求解发展为对一般理论的概括阶段。 法国数学家棣莫弗在概率论上的贡献很大，他的《机遇 原理》是早期概率论的重要著作。在这本书中，他给出二项 分布公式，定义了独立事件的乘法定理、正态分布等概念， 并得到了中心极限定理的一部分，即棣莫弗－拉普拉斯定理 当p=q=1/2的证明，对概率论的发展作出了重大推进。此外， 上页 他在《分析杂录》中使用了概率积分
胜： 甲 甲
上页 在前面3种情况下，甲赢得全部赌金。只有第四种情况， 能使乙获得全部赌金。所以甲有权分得赌金的3/4，乙分得下页 返回 1/4。
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1655年，荷兰数学家惠更斯正好在巴黎，他了解了帕 斯卡与费马的工作后，也参加了他们的讨论。研究结果总结 成了《关于赌博中的推断》一书，这本书是公认的关于或然 数学的奠基之作，也是概率论最早的论著。 惠更斯（1629－1695）：荷兰数学家、物理学家、天 文学家。生于海牙，与牛顿同时代。父亲是一位知识渊博的 外交官，多才多艺，尤其擅长数学。惠更斯从小就受到学术 气氛的家庭教育的熏陶，表现出多方面的天赋。16岁上大学， 学习法律和数学。22岁发表一篇论文，指出数学家圣文森特 在论述化圆为方问题中的错误。后来又写了论述圆锥曲线的 求积和计算圆周率的著作。26岁获法学博士学位。31岁惠更 上页 斯到巴黎和伦敦进行学术访问，结识了费马、笛卡儿及当时 下页 还年轻的牛顿、莱布尼兹，并与他们保持长期通信联系。惠 返回 更斯终身未娶，象牛顿、莱布尼兹一样，把毕生的精力都献 给了科学事业。