数学物理方法复习

例一 求解析函数u ( x, y ) x y 的虚部v( x, y ) u u 解：因为： 2 x， 2 y x y v v 所以： 2 y， 2 x x y
2 2
即dv 2 ydx 2 xdy v 2 ydx 2 xdy c
例三：已知解析函数f（Z）的虚部 v(x,y)= -x+ x y ,
1. 孤立奇点概念
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
例2
孤立奇点的分类
留数定理
在D内将孤立奇点分别用互不包含且互不相交的围线 Ck围绕起来，而围线L包围了所有的奇点，应用复连通 区域的科西积分定理得：
→ →
无限远点的留数
留数定理
留数的计算方法
留数的计算方法
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )








ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
• 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1 •解：由柯西公 式
f ( z) dz 2 i f (a) za
L

cosh z dz 2 i cosh( 1) 2 i cosh1 | z| 2 z 1
柯西公式应用
3 2 7 1 d 已知 f Z | |3 Z
z 0
0
1 2 1 ( 2) ( ) dz dz z 1 z 3 z ( 1) z 4 z 4
z 4

2 dz 2i 1 2i 2 6i z 3
柯西公式应用

应用举例
例1 问题：计算回路积分


cosh z dz | z| 2 z 1
对于非周期函数：
由于
是连续变化的，
求函数f(x)的频谱函数就是求其傅里叶变换，求其频谱就是求其 傅里叶变换 。
傅立叶变换
例题1 矩形函数的定义为
1, | t | 1 2 rect (t ) 1 0, | t | 2
• 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。 • 解：
收敛半径
泰勒级数
设f(z)在区域D解析，则在该区域内任意一点z=b的领域 含于D内， f(z)可以展开为唯一的幂级数：
b
基本函数的泰勒展开
例1.
例2.
例3.
泰勒级数
罗朗级数
上一致收敛
罗朗级数
C
展开方法
例4
（1）以Z=0为中心进行罗朗展开 （2）在环域∣Z-1∣＞1中展开
例5
解析函数的孤立奇点
例：计算
2z 1 dz 的值，为包含圆周 z 1 2 z z
的任何正向简单闭曲线．
2z 1 解: 2 在复平面内除z 0和z 1外处处解析 z z 而包含了这两个奇点在内作两个互不包含 也互不相交的正向圆周c1 , c2 .c1只含奇点z 0,
2z 1 2z 1 2z 1 c2 只含奇点z 1, 则 2 dz 2 dz 2 dz c z z c z z c z z 1 1 1 1 1 1 ( )dz ( )dz dz dz z 1 z z 1 z c c c z 1 c z 1 1 dz dz 0 2i 2i 4i c z 1 c z
留数的计算实例
例2.
留数的计算实例
留数的计算实例
例3.
留数的计算实例
①利用留数计算围道积分
例4
傅里叶变换
傅里叶变换的性质
傅里叶变换
4. 频移性质
傅里叶变换
条件：︱x︱→∞,f(x) →0, f (x)的n-1阶导数→0
傅里叶变换
频率
用横坐标表示频率 , 纵坐标表示振幅 ，所得到的图形成为频谱图。 由于n取自然数，是不连续的，所以频谱图是离散的，成为离散频谱。
2.复积分的基本性质
1.
2.
3.
复积分的基本性质
4.
5.
复通区域的科西定理
复积分的计算方法
1. 定义式 2. 分解式： 3. 极坐标法：积分曲线为圆周时


4.科西定理：
科西积分公式
dz z 例：计算 c 其中 为以 为 C n 1 ( z z0 ) 中心，为半径的正方向，为整数 r n
m e
解 : 函数
z 1 1 函数为 [ln( z 1)]2 2
i
在所设区域内解析,它的一个原
ln( z 1) 1 2 所以 1 dz ln ( z 1) 1i z 1 2 1 2 [ln (i 1) ln 2 2] 2 2 3 2 ln 2 ln 2 i 32 8 8
3 3 2 2 3
三角式： z (cos 3 i sin 3 ),
3 3
x y , arctg ( y / x)
2 2
指数式：z e
3
3 i 3
(2)e
1 i
代数式：z e cos1 ie sin1 三角式： z e cos(1 2k ) i sin(1 2k ) 指数式：z ee k (0, 1, 2
复变函数
复数 ⑴定义：
1.
大小的不能比较大小
⑵三种几何表示方法： 点，向量，复球面 ⑶ 数学表示法 ① ② ③ ⑶ 复数的运算 Z的n次方的计算
复数的三角形式和指数形式：
2 2 x cos x y y sin arctg y / x 用极坐标r、 代替直角坐标x，y来表示复数z
例：求下列积分（沿圆周正向）的值
1 (1) 2i sin z dz z z 4 1 2 (2) ( )dz z 1 z 3 z 4
解 : (1) sin z在 z 4的内部及 z 4上解析,由定理 1 2i sin z 1 dz 2i sin z z 2i z 4
,求 f ' 1 i 的值

解：当|x|<3时，由Cauchy公式有：
3 2 7 1 2 2 i ( 3 z 7 z 1) |x|3 z
f ( z) 2i(3z 7 z 1)
2
f ( z ) 2i(6 z 7)
幂级数
例1. 求解
)
3/ 5计算下列数值。 (1)i (2)sin 5
i
因为：i=e 所以：
i( +2n ) 2

，
n 0, 1, 2
i( +2n ) 1( +2n ) i 2 2 i e e

i

已知方程： sin z 2，计算Z
e 解： sin z 即e e
结论非常重要，必须记住：其特点是与积分
路线的圆周中心及半径无关． 2i n 0 dz n 1 n0 z z r ( z z ) 0 0
0
c zdz
C
例２：试沿区域 I ( z ) 0 R ( z ) 0 内的圆弧 ) i ln( z 1 z 1 计算 dz 的值 1 z 1 ln( z 1)
x x x
所以：v e cos y c
x
最后：f ( z ) e sin y i ( e cos y c)
x x
ie (cos y i sin y ) ic
x
ie e ic ie ic
x iy z
2. 复变函数的积分
1.定义式
2.分解式
① C分段光滑 ② 在线段C上连续
2 2
求其实部及整个解析函数。
已知解析函数f（Z）的虚部
2 2
v(x,y)= -x+ x y , 求其实部及整个解析函数 解：在极坐标系下表示：v 2 cos( / 2) v 1 v sin( / 2), 2 根据C R条件，可得： u 1 u cos( / 2), sin( / 2) 2 2

2
cos( / 2)
即：du 1 cos( / 2)d sin( / 2)d 2 2 d

2 cos( / 2)

所以：u 2 cos( / 2) c f ( z ) 2 cos( / 2) c i 2 cos( / 2) 2z c
0
解：C 的方程为 z z0 re i 所以： dz re i 2
i
0 2
c
( z z0 )
n 1
i 2 d 0 n1 i ( n1) d n 0 in r e r e
dz 当n 0时, c 2i z z0 dz i 2 当n 0时, c n 0 [cos(n ) i sin( n )]d 0 n 1 ( z z0 ) r
已知某解析函数f ( z )实部u e sin y，
x
求其虚部并完整表示整个函数f ( z )。 u u x x 解： e sin y, e cos y, x y 根据C R条件可得： v v x x e sin y, e cos y, y x v v 即：dv dx dy x y e sin ydx e cos ydy d (e cos y )
（1）复数的三角形式
Z cos i sin Z e
i
（2）复数的指数形式 其中叫做复数的模，叫做复数的副角。
把下列复数用代数式、 三角式和指数式表示出来。 (1) Z (2)e
3 1 i
1 i (3) 1 i
（1）z
3
3
代数式：令z ( x iy ) (cos i sin ) z ( x iy ) ( x 3xy ) i (3 x y y )
i (1 2 k )
)
1 i (3) 1 i 代数式：z i 三角式： 3 3 z cos 2k i sin 2k 2 2 指数式：z e k (0, 1, 2
3 i 2 k 2
1 X ( ) 2 1 2


T1
exp(i t ) x(t )dt
exp(i t )dt
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
k 0, 1, 2
解析函数的概念
定义：
解析的充要条件： 该区域内可导的充要条件处处成立
函数解析与可导、连续、极限的关系
解析函数的性质
1. C-R： 2. 判断一个函数是否解析
1 2 1 2 1 1 2 2
柯西定理的应用
由

| z | 1
dz z2
的 积分之值，证明:
2

0
1 2 cos d 0 5 4 cos
证明 :因为被积函数的奇点 z 2 在积分围道 | z | 1 外，
1 故在| z | 1 内 z2
Hale Waihona Puke Baidu
解析，因而有:
dz | z|1 z 2 0




复变函数
3. 复变函数
一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合
复变函数可导的必要与充要条件
必要条件： 四个偏导数存在： 满足C-R条件： 充分必要条件： 1.四个偏导数连续 2. 满足C-R条件
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )