2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）
复数
（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限
（2020西城一模）2.若复数z =(3?i)(1+i),则|z|= (A)2√2
(B)2√5
(C)√10
(D)20
（2020东城一模）(3) 已知
2
1i ()1i
a +a =-∈R ，则a =
(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-
（2020朝阳一模）（11）若复数2
1i
z =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C
对应的复数是 A. 8+4i
B. 2+8i
C. 4+2i
D. 1+4i
（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1i
z
=+，则z 对应的点位于
（A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ?=-+，则在复平面内z 对应的点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
集合
（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是
（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(?∞,0)
(B)(2,3) (C)(?∞,0)∪(2,3)
(D)(?∞,3)
（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1
012B =-，，，，那么A B =I (A){}1
0-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2
（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈-- （A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }， ， （D ）{ 1 2 3 }， ， （A ） {}3 （B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{} 1,2,3,4,5 （2020石景山一模） 1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ?等于 A. {}1 B. {}1,23， C. {}34， D. {}3,2,1,0,1,2,3--- （2020西城5月诊断）01．设集合{} 3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I = （A ）{}0,2 （B ）{}2,2- （C ）{}2,0,2- （D ）{}2,1,0,1,2-- （2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-< （A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，， （2020石景山一模） 15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师 组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______． 计数原理 （2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停 课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ） 23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 9 10 （2020石景山一模） 5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36 B. 64 C. 72 D. 81 二项式定理 （2020海淀一模）（5）在61 (2)x x -的展开式中，常数项为 （A ）120- （B ）120 （C ）160- （D ）160 （2020西城一模）11.在(x +1 x )6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) （2020东城一模）(12) 在62 ()x x +的展开式中常数项为 . (用数字作答) 三角函数与解三角形 （2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时， 圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2 ，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ） 32 （C ） 2 2 （D ）12 （2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx 1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)②④ （2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(,)13 2，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)( ,)312 (B) (,)-132 (C) (,)- 31 22 (D) (,)- -3122 （2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6 ?π = ”是“()f x 的图象关于直线3 x π = 对称”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （2020石景山一模） （2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移 π2 个单位长度后得到函数()g x 的图象，且 (0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数 （B ）π ()02 g -= （C ）当5ω=时，()g x 在π [0]2 ,上有3个零点 （D ）若()g x 在π []5 0,上单调递减，则ω的最大值为9 （2020西城5月诊断）05．在ABC ?中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为 （A ）18 （B ） 14 （C ） 310 （D ）35 （2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ， 都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____． （2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π 4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的 最大值为 . （2020海淀一模）（14）在△ABC 中，AB =4B π∠= ，点D 在边BC 上，23 ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14) ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD = ，BD =则CD = ， sin ABD ∠= . （2020海淀一模）（17）（本小题共14分） 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值； （Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2 π - ,7. 函数()cos 6f x x πω? ?=+ ?? ?（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足 A. 在0,3π?? ??? 上单调递增 B. 图象关于直线6 x π = 对称 C. 32 f π?? = ??? D. 当512 x π =时有最小值1- ]6 π 上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。 （2020西城一模）17.(本小题满分14分) 已知△ABC 满足 ,且b =√6,A = 2π3 ,求sinC 的值及△ABC 的面积. 从①B =π 4,②a =√3,③a =3√2sinB 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. （2020东城一模）(17)（本小题14分） 已知函数ππ()sin()cos ()(f x a x x a =--+>2220)66 ，且满足 . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）若关于x 的方程()f x =1在区间[,0m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围. 从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点 π (,0)6 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （2020朝阳一模）（16）（本小题14分） 在△ABC 中，sin cos()6 b A a B π=-． （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若5c =， ．求a . 从①7b =， ②4 C π = 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （2020石景山一模）18.（本小题14分） 已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p = ② 13a = ③ 15c = ④1 sin 3 C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积. （2020丰台一模）16.（本小题共14分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3 A =. （Ⅰ）当2b =时，求a ； （Ⅱ）求sin B C 的取值范围. 数列 （2020海淀一模）（9）若数列{}n a 满足1= 2 a ，则“p ?，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （2020海淀一模）（12）在等差数列{}n a 中， 13a =，2516a a +=，则数列{}n a 的前4项的和为 . （2020西城一模）4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 （2020朝阳一模）（3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为 （A ）21- （B ） 11 （C ） 31 （D ）63 （2020石景山一模） （2020石景山一模） 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且 123 112 a a a -=，则4S =_________． （2020朝阳一模）（14）已知函数()cos 2 x f x x π=．数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n ∈N ），则数列{}n a 的前100项和是________． （2020丰台一模）11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． （2020西城5月诊断）17．（本小题满分14分） 从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． 8. 设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S . 则“132+2S S S >”是“{}n a 为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （2020海淀一模）（21）（本小题共14分） 已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ. （Ⅰ）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ；(直接写出结论) ①1n a =； ②2n n a =. （Ⅱ）若数列{}n a 满足1n a +≥(1,2,3,)n a n =L ，求证：“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分 必要条件； （Ⅲ）已知数列{}n a 中11a =，且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ，求数列{}n a 的通项公式. （2020西城一模）21.(本小题满分14分) 对于正整数n ,如果k(k ∈N ?)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤?≤a k ≤n , 且a 1+a 2+?+a k =n ,则称数组(a 1,a 2,…,a k )为n 的一个“正整数分拆”.记a 1,a 2,…,a k 均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n(n ≥4),设(a 1,a 2,…,a k )是n 的一个“正整数分拆”, 且a 1=2,求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值. (注:对于n 的两个“正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与(b 1,b 2,…,b m ),当且仅当k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.) （2020东城一模）(21)（本小题14分） 数列123n A x x x x L L ：，，， ，，，对于给定的+(1N )t t t ，>∈，记满足不等式：+()(N )n t x x t n t n n t ，*-≥-?∈≠的*t 构成的集合为()T t . （Ⅰ）若数列2 =n A x n ：，写出集合(2)T ； （Ⅱ）如果()T t +(N 1)t t ，∈>均为相同的单元素集合，求证：数列12n x x x ，， ，，L L 为等差数列； （III) 如果()T t +(N 1)t t ，∈>为单元素集合，那么数列12n x x x ，， ，，L L 还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例. （2020朝阳一模）（21）（本小题14分） 设数列12:,,,n A a a a K （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤L ．若对任意{3,4,,}k n ∈L ，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ． （Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ，且i j S S =?I （任意,{1,2,,6}i j ∈L ， i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列． （2020石景山一模）21.（本小题14分） 有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1) (+)=2 n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；