第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （ C ）A. 1B. 3C. 5D. 6 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 B ． 21 C ．23D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34B ． 37C ． 323 D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13B ． 15C ． 19D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)31,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31 B ． 1 C ． 310 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1B. D （X ）=3C. P （X=1）=0D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X12、设随机变量)21,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． -0.8 B ． -0.16 C ． 0.16 D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1 ，则常数x =( B)A ． 2B ． 4C ． 6D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（ D ） A ．4)(,2)(==X D X E B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ． 91-B ． 0C ． 91D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）A ． 2-B ． 0C ．0.5D 2 18、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- B ． 0.5 C ． 2 D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ B ） A ．2161 B ． 361C ． 61D ． 120、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z=X-2Y ，则D (Z)=（D ） A ． 5 B ． 7 C ． 11 D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D (X)>0，D (Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}22εσεμn n X P ≥<- B ． {}221εσεμn X P -≥<- C ． {}221εσεμn X P -≤≥- D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 B ． 31 C ． 98D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ） A ．91 B ． 31 C ． 94 D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 B ．2 C ．3 D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =52、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=13、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为216131321iP X414121101iP Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E ( Y )=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1 ，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772） 17、设随机变量X ~ B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16≤X ≤24}=0.6826 附：Φ（1）=0.8413 18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y)=4, D (Y )=9, 又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
试求：（1）参数λ的值。
（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率 （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ） 解：（1）因为 X 服从泊松分布，则 !}{k e k X P k λλ-==，0;,2,1,0>=λ k ，又因为 }2{}1{===X P X P所以!2!121λλλλ--=e e ，2=λ所以 !2}{2k e k X P k -==，0;,2,1,0>=λ k（2）2201!021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为21--e 。
（3）因为 X 服从泊松分布，则2)(==λX E ，2)(==λX D ， 所以 622)]([)()(222=+=+=X E X D X E2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =52621=+⨯所以该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）=52、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=othery x y x y x f ,010,10,2),(求：)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，),(Y X ρ解：)(X E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x x dx ， )(Y E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x y dx)(XY E =⎰⎰=--101061)2(dy y x xy dx ， )(2X E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x x dx)(2Y E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x y dx ，)(X D =14411)125(123))(()(222=-=-X E X E )(Y D =14411)125(123))(()(222=-=-Y E Y E),cov(Y X =144112512561)()()(-=⨯-=-Y E X E XY E ),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =1111441114411441-=-。
概率论与数理统计第4章：数字特征总复习题
第4章总复习题()()1.15 选择题：小题，每小题4分，共20分.下列每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的.()()()()()2211,,.x x X f x E X D X -+-=已知连续型随机变量的概率密度为则分别为()10,.2A ()1,.B ()11,.2C ()11,.4D ()1.C 答案为()()()()()()22,1,32.X Y E X E Y D X E X X Y ===+-=⎡⎤⎣⎦设随机变量和不相关，，则()3.A ()4.B ()5.C ()2.D ()2.C 答案为()()()()()3,.X Y D X Y D X Y +=-设随机变量,满足则必有().A X Y 与相互独立().B X Y 与不相关().C X Y 与不相互独立()()().D D X D Y =0,=0()3.B 答案为()()4.m 将长度为1的木棍随机地截成两段，两段长度的相关系数为()1.A ()1.2B ()1.2C -() 1.D -()4.D 答案为()()()()()1212125,cov ,1,cov ,3,cov 2,.X X Y X Y X Y X X Y =-=+=设,均为随机变量，已知则()2.A ()1.B ()4.C ()5.D ()5.D 答案为()()2.610.填空题小题，每题4分，共20分()()60,121.X N Y X =- 已知随机变量,则随机变量的方差为()()6 4.D Y =答案:()()()()271,3,23.X E X D X E X =-=-=设为随机变量，且则()()2723 5.E X -=答案：()()()()()()22280,2,.X Y E X E Y E X E Y E X Y ====⎡⎤+=⎣⎦设随机变量和的相关系数为0.5，则()()28 6.E X Y ⎡⎤+=⎣⎦()()()912.X E XX λλ--=⎡⎤⎣⎦=设随机变量服从参数为的泊松分布，且1，则()9 1.λ=()100.9,0.4,.X Y Z X Y Z =-设随机变量和的相关系数为若则与的相关系数为()100.9.YZρ=()()3.11141560.解答题：小题，每小题分，共分()()()()211,01,0,.3,.5X a bx x f x E X D X ⎧+<<=⎨⎩=设二维随机变量的概率密度为其它已知求()()()()()()()()()()12012022221333,311524123655532.525I f x dx a bx dx a a b E X xf x dx a bx dx a ba b a b f x D X E XE X x f x dx +∞-∞+∞-∞+∞-∞==+=++====+=++===⎛⎫-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解:由得由得2,解得,,代入的表达式中并通过计算可得=-=()12一批零件中有9个合格品、3个次品，从这批零件中任取一个，如果每次取出的次品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的次品数的期望、方差和标准差..X 解设次品数为，则其分布律如下X 0123P3494492201220()()()()33222200.3,0.30.319,0.565.k k kk k k E X x p D X E X E X xp =====-=-=⎡⎤⎣⎦=∑∑()()13,.X Y 设随机变量的联合概率分布如下()1.,.2XY E Y a b ρ=已知求：①常数；②()()()()()()()()()()33111,.4828913911,,,,8264421cov ,,16XY a b E Y b a b E X E Y D X D Y E XY X Y E XY E X E Y ρ++==+=========-=-=-解①利用分布律的性质得又得②()()()()()()14,1,02,02,,80,,,.XY X Y x y x y f x y E X E Y ρ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩设随机变量的联合概率密度函数为其他，求()()()()()()()()()()()()()()22002200222222001714.861771cov ,,86636171186361136.111136XY E X dx x x y dy E Y X Y E XY E X E Y dx xy x y dy D X E X E X dx x x y dy D Y ρ=⋅+===-=⋅+-⨯=-⎛⎫=-=⋅+-==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:，()()()()()2215130,4,1,.232..XY XZ X Y N N X Y X YZ Z E Z D Z X Z ρρ=-=+已知随机变量和分别服从正态分布，和且与的相关系数设①求的数学期望和方差②求与的相关系数()()()()()()()()()()()22211115,3231112cov ,142332611cov ,cov ,cov ,cov ,32321113220XZ E Z E X E Y D Z D X D Y X Y X Y X Z X X X X Y ρ=+==++⨯=+-=⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭==解：①②3+340所以()164, 1.5,.;425.X g g X g T g 假设某种化学产品在任一批次中所含特定杂质的量为随机变量，其数学期望为标准差为各批次之间相互独立①随机检查50批次，求杂质的平均值在3.5 3.8之间的概率②随机检查100批次，求杂质的总量不超过的概率(){}()()()21221002111,,1.54,4,0.02121503.84 3.543.5 3.80.21210.21210.942.360.1645.,,4ni i ni ii i X X N n n X N N P X X N n n T X N σμμσ===⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫≤≤≈Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=Φ--Φ-==∑∑∑解:①由列维-林德伯格定理，=近似服从即近似服从,则②由列维-林德伯格定理，近似服从即近似服从正态分布(){}()200,15425400425 1.670.952515P T -⎛⎫≤≈Φ=Φ= ⎪⎝⎭，则。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
第四章 随机变量的数字特征课外习题
{
。
15. 设两个随机变量 X , Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，
2
则随机变量 | X − Y | 的方差 =（
）
(a ) 1 + 2
π
( b) 1 − 2
π
(c) 2 + 2
π
(d )
2−2
):
π
16. 如果 ξ 与 η 满足 D (ξ + η ) = D (ξ − η ) , 则必有 ( ( A) ξ 与 η 独立
( B ) ξ 与 η 不相关
(C ) Dη = 0
( D)
Dξ ⋅ Dη = 0
17 .设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U = X − Y , V = X + Y 则随机变量 U 与 V 必然 是（ ） (A)． 不独立
(B)． 独立
(C) 相关系数不为零
(D). 相关系数为零 ）
18． X ~ B ( n , p ) ， E ( X ) = 2.4 , D ( X ) = 1.44 ，则 n , p （ (A)． n = 4 , p = 0.6 (C) n = 6 , p = 0.4 (B). n = 8 , p = 0.3 (D). n = 24 , p = 0.1
11. 0 18 . C
12. 1 19.
13. 0.975 D 20. C
14. 1
2
15.
B;
16 . B ;
二. 计算证明
N −1 kn 3 6 2 2 1. a = , b = , Dξ = ； 2. Eξ = a, Dξ = a + a ；3. EX = N − ∑ n ； 5 5 25 k =1 N
第四章随机变量的数字特征作业册习题解答
~43~
+32 0.1+ 22 0.0 +12 0.1+ 42 0.0 + 32 0.3+ 22 0.1 = 5
+ +
六、解 EX =
xf (x, y)dxdy =
x 12 y2dxdy = 12
1
xdx
x y2dy = 4
− −
0 yx1
0
0
5
+ +
EY =
yf (x, y)dxdy =
2
2
= E{1 [(X + Y )2 − ( X −Y )2 ]} = E(XY ) = EX EY 4
故选（A）。
（5）解应选（D）。 由于
E(X − C)2 = E[(X − ) + ( − C)]2
= E(X − )2 + ( − C)2 + 2E[(X − )( − C)]
= E(X − )2 + ( −C)2
0, FU (u) = [F (u)]n = un ,
1,
u0 0u 1 u 1
从而U
的概率密度为
fU
(u)
=
FU (u)
=
nu n−1 , 0,
0 u 1 ，故 其他
EU =
+
− ufU (u)du =
1
u
nu n−1du
=
n
1undu =
n
0
0
n +1
（2）由于 X1, X2 , , X n 相互独立，因此V = min{X1, X2 , , Xn}的分布函数为
D( X
+Y)
第四章、随机变量的数字特征解答
第四章、随机变量的数字特征1．解：由题设可得222222()01()()()(0)(1)()i i ii i iEX x P x q p pDX E X EX x EX P x p q p p p q pq pq p q pq==⨯+⨯==-=-⋅=-⨯+-⨯=+=+=∑∑2．解：由题设可得0111[(1)(1)]111[(1)(1)]11(1)()!!()!!(1)!()!(1)!(1)![(1)(1)]!()nk k n ki i n ik nk n kk nk n kk nk n k k n k k n k n k n EX x P x k C p qn k p q k n k n p q k n k n np p q k n k np C pq np p q np-=-=-=----=------=-==⋅=⋅-=---=----==+=∑∑∑∑∑∑2201111111111111111[(1)1][(1)][(1)1]()nk k n k n k n k k n kn k nk k n k n k n nk k n kk k n kn n k k EX k C p q np C k pq np k C pq np k Cp qC p q np n p np np q -=----=----=--------===⋅==-+=-+=-+=+∑∑∑∑∑故222()()()DX EX EX np np q np npq=-=+-= 3．解：由题设可得11!(1)!kk k k EX k e k ek e e λλλλλλλλλ∞-=-∞-=-=⋅=-=⋅=∑∑220111121212!(1)!(1)![]kk k k k k k k k k EX k e k ek k ek k e k k e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∞-=-∞-=-∞-=--∞∞-==-=⋅=⋅-=-+⋅-=+--=+=+∑∑∑∑∑2222()DX EX EX λλλλ=-=+-= 4．解：由题设可得111122111(1)k k k k EX k pqp kq p p q p p∞∞--===⋅==⋅=⋅=-∑∑2211112121322[(1)](1)21(1)(1)2k k k k k k k k EX k pq k k k pq pq k k qp kq pqpq q q p p ∞-=∞-=∞∞--===⋅=-+=-+=+--+=∑∑∑∑2222221()()q p qDX EX EX p p p+=-=-= 5．解：由题设可得 1()2baa bEX x f x dx x dx b a +∞-∞+=⋅=⋅=-⎰⎰222221()3baa ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++=⋅=⋅=-⎰⎰222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=6．解：由题设可得0222222222()1()()()2()211()()x x x x xEX x f x dx x e dxx de x e e d x EX x f x dx x e dx DX EX EX λλλλλλλλλλλλ+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-+∞+∞--∞=⋅=⋅=-=---==⋅=⋅==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．解：由题设可得2()2()x EX x f x dx x dx μδ--+∞+∞-∞-∞=⋅=⎰⎰令x t μδ-= 则有222222()0t t t EX t dtte dtEX e dt δμδδμ+∞--∞+∞+∞---∞-∞=+==⎰2222()22()()()()x DX E X EX x f x dxx dxμδμμ+∞-∞--+∞-∞=-=-⋅=-⎰⎰令x t μδ-= 则有222222222222222222())]tt tt tDX t dtt e dt t det e e dtδδδ+∞--∞+∞+∞---∞-∞+∞---∞===-+∞=-+-∞=+=⎰⎰8．解：由题设可得11()EX x f x dxx+∞-∞-=⋅==⎰⎰1222112()122EX x f x dx xx dx+∞-∞-=⋅===⎰⎰⎰2211()022DX EX EX=-=-=9．解：由题设可得()12xEX x f x dxx e dx+∞-∞+∞--∞=⋅=⋅=⎰⎰22222002200001()2()()()022()22xx xx xx xxEX x f x dx x e dxx e dx x dex e e d xxe dx x dee dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞--+∞-+∞-+∞+∞--+∞-=⋅=⋅=⋅=-=---=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()202DX EX EX=-=-= 10．解：由题设可得222030()()()()14133X x x x xxE X e x e f x dxx e e dxxe dx e dx+∞---∞+∞--+∞+∞--+=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰11．解：由题设可得101!(1)!kk k k EX k e ee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---===⋅==⋅=-∑∑2220!kk EX k e k λλλλ∞-==⋅=+∑22[(1)(2)]32()322E X X EX EX λλλ--=-+=+++=220λλ-=故 2λ= （0λ=舍去） 12．解：（1）记以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域为D ，则区域D 的面积为12D S =， 从而（X ，Y ）的联合概率密度为 12,(,)(,)0,(,)Dx y DS f x y x y D ⎧=∈⎪=⎨⎪∉⎩（2）111120()()(,)2()2()142()23xDE X Y x y f x y dxdyx y dxdy dx x y dy x x +∞+∞-∞-∞-+=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．解：（1）根据数学期望的性质，有()000E X Y EX EY +=+=+=（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有(,)0.5(,)20.51()2(,)22216R X Y cov X Y D X Y DX DY cov X Y ====⨯=+=++=++⨯=14．解：（1）根据 ()(,)X i i j jp x p x y =∑与 ()()Y j i j ip y p x y =∑ 得X 与Y 的边缘分布分别为故 55315,88864E X E Y D X D Y ====⨯=(,)111110001101148822i j i j ijEXY x y P x y ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑∑故 1557(,)28864c o vX Y E X Y E X E Y =-=-⨯=77(,)15R X Y === 15．解：由于 221(1,3),(0,4),(,)2X N Y N R X Y =- 故有 221,3,0,4EX DX EY DY ====(,)(,)1,(,)6122R X Y cov X Y cov X Y ====-=-从而11111()103232323X Y EZ E EX EY =+=+=⨯+⨯=22()()()2cov(,)32323211112cov(,)94321111342(6)39432X Y X Y X Y DZ D D D DX DY X Y =+=++=++⋅⋅⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= 16．解：由题设，有2221(1)12,62211(1)(),22242X E EX EX X X D D DX DX -=-==-====从而2222()6()2()4,2DX EX EX EX EX EX =-=-===17．解：由()1f x dx +∞-∞=⎰得11()12ax b dx a b +=+=⎰ 又由题设条件 118DX = 得1011()32EX x ax b dx a b=+=+⎰122011()43EX x ax b dx a b =+=+⎰222221111()()()43321111114393418DX EX EX a b a b a b a ab b =-=+-+=+---=由上解得：2,0a b == 从而 11220323EX =⨯+⨯= 18．解：由于2~(,)X N μσ且EX = 3，DX = 1，故 23,1,1~(3,1)EX DX X N μσσ=====故{11}(1)(1)1313()()11(2)(4)[1(2)][1(4)](4)(2)0.9999680.97720.022768P X F F -≤<=-----=Φ-Φ=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ=-=19．解：由于~(,)X B n p ，故2.4(1) 1.44EX np DX np p ==⎧⎨=-=⎩从而 6,0.4,~(6,0n p XB ==00611566{1}{0}{1}0.40.60.40.60.023328P X P X P X C C ≤==+==⨯⨯+⨯⨯=20．解：（1）根据数学期望的性质，有()231E X Y EX EY -=-=-=-（2） 根据方差与协方差及相关系数的性质，有222()20216D XE X E X =-=-= 222()34325DY EY EY =-=-=(,)0.5R X Y ===(,)10()2(,)162521021cov X Y D X Y DX DY cov X Y =-=+-=+-⨯=五、证明题：1．证：由题设 ，有222222()[()()][()()][()()2()()]()()2[()()]2(,)D X YE X Y E X Y E X EX Y EY E X EX Y EY X EX Y EY E X EX E Y EY E X EX Y EY DX DY Cov X Y +=+-+=-+-=-+-+--=-+-+--=++2．证：由题设 ，有*[]0EX E E X EX ==-=22***2*222()()[]11()1DX EX EX EX X EX E E DX E X EX DX DX DX=-=-===-=⋅=。
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章 随机变量的数字特征1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。
得，00101191010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。
因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =⨯=。
2． 解：1500300022201500()()(3000)5001000150015001500x xE X xf x dx dx x dx +∞-∞-==+-=+=⎰⎰⎰。
3． 解：1()(2)0.400.320.30.2kk i E X xp ∞===-⨯+⨯+⨯=-∑；221(35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞=+=+=⨯+⨯+⨯=∑22(35)3()513.4E X E X +=+=。
4．解：（1）0()(2)2()2()22(|)2xx x E Y E X E X xf x dx x edx xe e dx +∞+∞+∞--+∞--∞==== =-+=⎰⎰⎰.（2）2233001133()()()|Xxx x E Y E eef x dx e dx e +∞+∞----+∞-∞=== =-=⎰⎰.5．解：（1）333111()10.420.230.42i i i ij i i j E X x px p •======⨯+⨯+⨯=∑∑∑.333111()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p •======-⨯+⨯+⨯=∑∑∑.（２）7111()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-⨯+-⨯++⨯+⨯=-∑。
221()40.400.340.3 2.8k k i E X x p ∞===⨯+⨯+⨯=∑（3）51()40.390.4160.010.200.15i i i E Z z p ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
第4章随机变量数字特征习题解答
4 16 4 − = 5 15 25
1 2(1− x ) 0 0
∫
+∞
−∞
xyp ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫
6 x 2 y 2 dy =
4 15
且 E ( X ) = E (Y ) = 0 ，D ( X ) = D (Y ) = 1 ， 令U = X ， 32． 已知随机变量 X 与 Y 不相关，
Y=
X 1 + X 2 + L + X 10 ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X 10 与 X 同分布)，则 E (Y ) = 10
a
．
25．对目标进行独立射击每次命中率均为 p = 0.25 ，重复进行射击直至命中目标为止， 设 X 表示射击次数，则 E ( X ) = _____4______．
D (2 X − 3Y ) = ___11_____．
21．若 D ( X ) = 4 ， D (Y ) = 1 ， ρ XY =
1 ，则 D ( X − Y ) = ___3____． 2
22．若 ( X , Y ) 的相关系数 ρ XY 存在，则 | ρ XY | 的可能的最大值等于_____1______． 23 ． 若 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 相 关 系 数
1 b p ( x)dx = ∫ (12 x 2 − bx + 3)dx = 6 − 得， b = 12 0 2 1 1 E ( X ) = ∫ x(12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 2 1 2 E ( X 2 ) = ∫ x 2 (12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 5
ρ XY 存 在 ， 则 | ρ XY |= 1 的 充 要 条 件 是
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
第4章随机变量的数字特征习题解答
+∞ −∞
x
λ π (λ+x
2
)
dx =
λ
2π
+∞ ln( λ + x 2 ) | 0 = +∞
| x | f ( x ) dx 不收敛，因此 E ( X ) 不存在。
5、解
（1） E ( X ) = ∫
+∞ −∞
+∞ −∞
xf ( x )dx = ∫ x ⋅xdx + ∫ x ⋅ ( 2 − x ) dx = 1
P { X = ( −1 ) k +1 3k 2 ,k =1, 2 , }= k 3k
说明 X 的数学期望不存在。 4、设随机变量 X 的概率密度为
f (x)=
λ π (λ+x2 )
, −∞ < x < ∞
说明 X 的数学期望不存在。 5、设随机变量 X 的概率密度为
⎧ x , 0 ≤ x ≤1 ⎪ （1） f ( x ) = ⎨ 2 − x , 1 < x ≤ 2 ⎪ ⎩ 0 , 其它
1 ⎧ ,| x | <1 ⎪ （2） f ( x ) = ⎨ π 1 − x 2 ⎪ 0, 其它 ⎩ 1 ⎧ x, 0 ≤ x ≤ 1500 ⎪ 2 ( 1500 ) ⎪ ⎪ −1 ⎪ ( x − 3000 ), 1500 < x ≤ 3000 （3） f ( x ) = ⎨ ⎪ ( 1500 ) 2 ⎪ 0, 其它 ⎪ ⎪ ⎩
XY
=−
1 X Y ，设 Z = + 2 3 2
（1）求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X） ； （2）求 X 与 X 的相关系数 P XZ ； （3）问 X 与 X 是否相互独立？ （二）解答 1、解 因 E ( X ) = 0 × 0 .4 + 1 × 0 .3 + 2 × 0 .2 + 3 × 0 .1 = 1