苏州市2019~2020高一数学期末调研考试含答案
E
为线段
AC
上的一点，若
D# E»
=
λ
#» AB
−
3
A# D»，则实数
λ
的
D
5
() ()
()
()
C
值等于 ( )
A. 1
B. − 1
C. 2
D. − 2
5
5
5
5
E
8. 如果函数 y = f (x) 在其定义域内存在实数 x0，使得 f (x) = f (k) f (x)(k 为常数) 成立，则称
函数 y =
对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. { √}
9. 己知集合 A = {x | ax ⩽ 2} , B = 2, 2 , 若 B ⊆ A，则实数 a 的值可能是
()
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
10. 下列函数中既是定义域上的偶函数，又是 (0, +∞) 上的增函数为
A. y = 1 |x|
(2) 已知 f1(x) = 2x, f2(x) = 4x, F(x) 为函数 y = f1(x), y = f2(x) 的的“HC 函数”且 a = 2, b = 1. 若关于 x 的方程 F(x) = m f2(x) + 1 有解，求实数 m 的取值范围；
(3)
在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数 a, b，都有
三. 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.
已知
A(2,
−3),
B(8,
3)，若
#» AC
=
2C# B»，则点
C
的坐标为
.
14. 函数 f (x) = x + 2x − 10 的零点所在区间为 (n, n + 1), n ∈ Z，则 n =
.
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√
15. 已知 α ∈ (0, π), sin α + cos α = 5 ，则 tan α =
A. {1, 3}
B. {2, 4}
C. {1, 2}
D. {3, 4}
()
2. 函数 f (x) = √ 1 的定义域为
4−x
A. (−∞, 4)
B. (−∞, 4]
C. (4, +∞)
D. [4, +∞)
()
3. 已知 a = 30.8, b = log3 0.8, c = (0.8)3, 则 a, b, c 的大小关系为
B. 1
√ C. 3
3
3
√
√
6. 在 △ABC 中， 3 tan A + 3 tan B + 1 = tan A tan B，则角 C 的度数为
D. b < c < a D. − 4
5 √ D. − 3
A. 30◦
B. 60◦
C. 120◦
D. 150◦
7.
如图，四边形
ABCD
中，A# B»
=
#» 2DC,
A. c < a < b
B. b < a < c
C. c < b < c
4.
已知点 P(3, 4) 在角 α
的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边上，则
cos
(
π
+
) α
的值为
2
A. 3
B. − 3
C. 4
5
5
5
{ 5. 已知函数 f (x) = 3x,
x
⩽
0,
则
f
( f
( )) 1
的值等于
log2 x, x > 0
2
A. − 1
图 2）。开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱
离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同
的位置离开座舱。摩天轮转一周需要 30 分钟，当游客甲
坐上摩天轮的座舱开始计时.
图 1
图 2
(1) 经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米，已知 H 关于 t 的函数关系式满足 H(t) = A sin(ωt +φ)+B其中A > 0, ω > 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；
(2) 求 E# B» · E# C» 的值.
B
D
C
20. (本小题满分 12 分)
摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩
天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色
（如图 1）。某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最
低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如
F(x1) + F(x2) ⩾ m 恒成立，求实数 m 的最大值.
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1－5：BADCB
6－8：AAD
9、AB
10、BD
11、AC
12、BC
13、（6，1）
14、2
15、－2
16、5
－9
4
苏州 2019-2020 高一上期末数学答案
江苏省苏州市 2019 ∼ 2020 学年度秋学期期末考试
高一数学
2020.01
一. 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4} , 集合 A = {1, 3} , 则 ∁U A =
f (x) 为“对 k 的可拆分函数”. 若
f (x) =
a 2x + 1
A
第7题图
为“对 2 的可拆分函数”则非零实数 a 的最大值是
(
B
)
A.
3
√ (2
−
1)
B.
3√ ( 2 + 1)
C.
5
√ (2
−
1)
D.
5√ ( 2 + 1)
2
2
2
2
ニ. 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选
14
7
(1) 求 cos(α + β ) 的值；
(2) 求 α − β .
第 2 页 (共 4 页)
A
19. (本小题满分 12 分)
如图，在 △ABC 中，已知 AB = 2, AC = 4, A = 60◦, D 为线段 BC 中点，E 为线
段 AD 中点.
E
(1)
求
#» AD
·
#» BC
的值；
.
3
16. 已知函数 f (x) = (x2 − x)(x2 + ax + b) 的图象关于直线 x = 2 对称，则 a + b =
值为
.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）
四. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？
(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高 度差为 h 米，求 h 的最大值.
第 3 页 (共 4 页)
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = log2 x. (1) 若关于 x 的方程 | f (x) − a| = b(b > 0) 的两个实数根为 x1, x2，且 x1x2 = 4, 求实数 a 的值； (2) 若 h(x) = f (mx − 1) + f (x − m + 2), 且 h(x) ⩽ 2 在 x ∈ [1, 2] 上恒成立，求实数 m 的取值范围.
B.
y
=
x
2 3
C. y = |ln x|
D. y = e|x|
()
11. 已知向量 #e»1 = (−1, 2), #e»2 = (2, 1)，若向量 #a» = λ1 #e»1 + λ2 #e»2, 则可使 λ1λ2 < 0 成立的 #a» 可能是
()
A. (1, 0)
B. (0, 1)
C. (−1, 0)
已知 A = {x | (x − a)(x + a − 2) < 0} , B = {x | 0 < x < 4} .
(1) 若 a = 3, 求 A ∩ B；
(2) 若 A ∪ B = A，求实数 a 的取值范围.
, 函数 y = f (x) 的最小
18. (本小题满分 12 分)
已知锐角 α, β 满足 cos α = 13 , cos β = 1 .
22. (本小题满分 16 分)
对于函数 y = f1(x), y = f2(x)，如果存在实数 a, b，使得函数 F(x) = a · f1(x) + b · f2(x), 那么我们称 y = F(x) 为函数 y = f1(x), y = f2(x) 的“HC 函数”.
(1) 已知 f1(x) = x − 3, f2(x) = −2x + 1, 试判断 F(x) = 5x − 5 是否为函数 y = f1(x), y = f2(x) 的“HC 函数”. 若是， 请求出实数 a, b 的值；若不是，请说明理由；
D. (0, −1)
12.
已知函数
f (x)
=
sin(ωx + φ)(ω
>
0)
的图象经过点
2019-2020学年江苏省常州市2019级高一下学期期末考试数学试卷及答案
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知
（1）求角A的大小；
(2)若b＋c－6,△ABC的面积为5,求a．
20． (12分)
新冠肺炎疫情期间,为确保“停课不停学",各校精心组织了线上教学活动开学后,某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人,抽取的样本中高二年级有50人,高三年级有45人．下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表
A． 2
B．4
C． 6
D． 8
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．直线 ：2x＋y＋1＝0与直线 ：4x＋ 2y－3＝0之间的距离为________
14．如图,把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的的小正方体,若从中任取一块,则这一块至多有一直涂有蓝漆的概率为________
四、解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． （10分）
在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(1,5）,B（－3,7）,C（－8,2）．
（1）求AC边上的高所在直线方程：
(2)求△ABC的面积．
18． (12分)
已知
(1)求cosα－sinα；
(2)求
（3）设M,N是圆C上任意两个不同的点,若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点,求k的取值范围．
2019-2020学年江苏省常州市2019级高一下学期期末考试
9．已知直线 ：3x－y－1－0, ：x＋2y－5－0, ：x－ay－3－0不能围成三角形,则实数a的取值可能为
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
江苏省启东市2019-2020学年高一数学下学期期末调研测试试题【含答案】
2019 ～2020学年第二学期期末调研测试高一数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1． 已知集合{|20},{1,2,3}A x x B =-≤=，则 I A B =A. B. {1} C. {1,2} D. {1,2,3}∅2． 已知向量(1,),(4,2)x ==a b ，且a b ，则x ＝211 A. 2 B. C ..22D --3．已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球， 2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是1125.B.C. 6336D.A 4．已知0.520.5log 2,2,0.5a b c ===，则a ， b ， c 的大小关系是A. B. C. D. a b c a c b b c a c b a <<<<<<<<5．为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表；若零件数x 与加工时间y 具有线性相关关系，且线性回归方程为ˆ0.360.01yx =+，则a ＝ A ． 1 B ． 0．8 C ． 1．09 D ． 1．56．已知直线l 经过两点(0,0),(1,3)O A ，直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍，则直线m 的斜率是33 A. 3 B. C.D. 333--7．下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是8．已知函数*()sin 3()f x x x N ωωω=+∈在（0，π）上恰有两个不同的零点，则ω的值是A ． 1B ． 2С． 3D ． 4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9． 已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是 A ．函数y x α=的图象过原点 B ．函数y x α=是偶函数 C ．函数y x α=是单调减函数D ．函数y x α=的值域为R10．某人射箭9次，射中的环数依次为： 7， 8， 9， 7， 6， 9， 8， 10， 8，关于这组数据，下列说法正确的是A ．这组数据的众数是8B ．这组数据的平均数是8C ．这组数据的中位数是6D ．这组数据的方差是4311． 已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是 A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C ．直线l 过定点(0，1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等12．已知在三棱锥P —ABC 中， AP ， AB ， AC 两两互相垂直， AP ＝5cm ， AB ＝4cm ，AC ＝3cm ，点O 为三棱锥P —ABC 的外接球的球心，点D 为△ABC 的外接圆的圆心，下列说法正确的是A ．三棱锥P —ABC 的体积为10 cm 3B ．直线BC 与平面PAC 所成角的正切值为34C ．球O 的表面积为50πcm 2D ． OD ⊥PA三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷及解析
江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.在△ABC 中，若1sin cos 2A B ==，则C ∠=（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°2.若直线a b ⊥，且直线//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系可能是（ ） A.//b αB.相交C.b α⊂D.以上都有可能3.下列各直线中，与直线230x y --=相交的是（ ） A.()2600ax ay a -+=≠ B.2y x = C.230x y +-=D.250x y -+=4.2020年5月20日，数学周练成绩出来之后，甲、乙两位同学的6次周练成绩如下表所示.计甲、乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，下列判断正确的是（ ）参考公式：方差2211()n i i s x x n ==-∑A.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定B.x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D.x x <甲乙，甲比乙成绩稳定5.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A.1B.2C.3D.46.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知85b c =， 2C B =，则cos C =（ ）A.725 B. 725- C. 725± D. 24257.直线3y x m =-+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A.2)B.C.⎝⎭D.1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.15B.25C.35D.45第II 卷（非选择题）二、填空题9.点关于直线−y −1=0的对称点是______.10.直线420mx y +-=与直线25120x y --=垂直，且点()1,P n 在直线420mx y +-=上，则n 的值是________.11.在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为______．三、解答题在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .13.某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况，通过随机抽样，电力公司获（1）求a ， b 的值；（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户. ①求第5、6两组各取多少户？②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[]1000,1200范围内的概率.14.某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+ ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆ=-ay bx ） 15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD CD ⊥.（1）求证：CD PD ⊥；（2）若2AD =，3BC =，F 为PD 中点，13BE BC =，求证：//EF 平面PAB . 16.如图，在三棱锥P ABC -中，除棱PC 外，其余棱均等长，M 为棱AB 的中点，O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点.（1）若PO MC ⊥，求证：PO ⊥平面ABC ；（2）试在平面PAB 上确定一点Q ，使得//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，并给出证明.17.已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.四、新添加的题型，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A.若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形B.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形C.若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形D.若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形19.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ C.若m α⊥，n α⊥，则//m nD.若//m α，m n ⊥，则n α⊥20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）A.直线AM 与1CC 是相交直线B.直线BN 与1MB 是异面直线C.直线AM 与1A D 所成的角为90°D.直线MN 与AC 所成的角为60°21.已知点P ，Q 是圆O ：221x y +=上的两个动点，点A 是直线l ：0x y +=上的一定点，若PAQ ∠的最大值为90°，则点A 的坐标可以是（ ）A.B.1)C.0)D.1,1)22.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4b =，6c =，且sin a B =，则角A =________；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.参考答案1.A【解析】1.首先根据题中所给的条件，结合所给的三角函数值，根据三角形内角的取值范围，确定出60B =︒，30A =︒，再利用三角形内角和求得结果.△ABC 中，若1sin cos 2A B ==，,(0,)A B π∈， 则60B =︒，所以30A =︒，所以180306090C =︒-︒-︒=︒， 故选：A. 2.D【解析】2.作出正方体模型，从图形观察线面的位置关系，即可得答案；如图，在正方体中，令平面α为平面ABCD ，则直线b 与平面α的位置关系可能是平行、相交、在面内，故选：D. 3.C【解析】3.分别确定直线的斜率，利用两直线相交时，斜率不相等，就可以得出结论． 解：直线230x y --=的斜率为：2∴与直线230x y --=相交的直线的方程的斜率不等于2A ，B ，D 的斜率均为2，C 的斜率为2-故选：C ． 4.D【解析】4.分别计算出平均成绩x 甲，x 乙，根据数据估计出乙比甲成绩稳定，从而求出答案．()1125110868313292104.676x =+++++≈甲， ()110811689123126113112.56x =+++++=乙， x x <甲乙，结合数据得：乙比甲成绩稳定， 故选：D ． 5.C【解析】5.根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a ，半径1r =，圆22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 6.A【解析】6.试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos 8422C C C = sin2C=，故，由二倍角公式得.7.D【解析】7.求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =1=，解得：m =或m = 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为1m <<． 故选：D ．8.D【解析】8.由题意结合棱柱的几何特征可得1AD C ∠或其补角为异面直线1A B 与1AD 所成角，再结合余弦定理即可得解. 如图，连接1D C ，AC ，11//A D BC ，11A D BC =，四边形11A BCD 为平行四边形，11//D C A B ，1AD C ∴∠或其补角为异面直线1A B 与1AD 所成角，在1AD C 中，由已知可得11AD DC ==AC =，∴22214cos 5AD C +-∠==． ∴异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45. 故选：D. 9.(2,−2)【解析】9.利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（x−12，y+12）， 利用对称的性质得：K MN =y−1x+1=﹣1，且 x−12﹣y+12﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2， ∴点N 的坐标（2，﹣2）， 故答案为（2，﹣2）． 10.2-【解析】10.利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出． 解：直线420mx y +-=与直线25120x y --=垂直，垂足为(1,)n ，∴2145m -⨯=-，25120n --=，420m n +-=， 解得10m =，2n =-，故答案为：2-．11.3【解析】11.点A 到原点的距离为2，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上，圆心O(0,0)＋y －2＝0的距离为：1=.所以圆上到直线＋y －2＝0的距离为1的点共3个.故答案为：3.12.解：（Ⅰ） sin 4C =.（Ⅱ）a =.【解析】12.试题（Ⅰ）又二倍角公式2cos 212sin C C =-，又因为在ABC ∆中，sin 0C >，即可求得sin C 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，2c a =由正弦定理得sin 2sin C A =，由（Ⅰ）知，sin A =又因ABC ∆是锐角三角形， 所以可求得cos A ，cos C ，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，代入数值即可求出sin B 的值，然后由正弦定理sin sin a b A B=，即可求得a 的值． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-．所以27sin 8C =． 因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin 4C =．（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==．因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =． 所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+8484=⨯+=．由正弦定理可得：sin sin a B A=，所以a =． 13.（1）6,0.12a b ==；（2）①第5、6两组的频数分别为3和2；②710.【解析】13.试题分析：（1）由频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12b =⨯=，由样本容量是50，可得500.126a =⨯=；（2）根据第56、两组的频数比为3:2,由分层抽样原理可知第56、两组分别抽取3户与2户，用列举法求出这5户中随机选出2户的可能结果，共10种，其中2户中至少有一户月平均用电量在[]1000,1200范围内的结果，有7种，由古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12⨯=，即0.12b =，又样本容量是50，所以500.126a =⨯=．（2）①因为第5、6两组的频数比为3:2，所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，第5、6两组的频数分别为3和2．②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件A ，第5组的3户记为123,,a a a ，第6组的2户记为12,b b ，从这5户中随机选出2户的可能结果为：12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ， 共计10个，其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：11122122313212,,,,,,a b a b a b a b a b a b b b ，共计7个．所以()710P A =， 答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为710． 14.（1）532y x =-；（2）线性回归方程可靠；【解析】14. （1）计算横、纵坐标的平均值，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，写出线性回归方程；（2）利用线性回归方程，计算两个变量对应的y 值，与检验数据的误差比较即可． 解:（1）由表中数据，求得1(111312)123x =⨯++=， 1(253026)273y =⨯++=，3972x y =， 31112513301226977ii i x y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x==++=∑，23432x =； 由公式求得12219779725ˆ4344322n ii i i ni i x y nxy b x nx ==--===--∑∑， 5271232a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为532y x =-； （2）当10x =时，5ˆ103222y =⨯-=，|2223|2-<； 同样，当8x =时，5ˆ83172y =⨯-=，|1716|2-<； 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．15.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】15.（1）根据已知中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD C ⊥，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易得到结论； （2）根据已知中2AD =，3BC =，F 为PD 中点，13BE BC =，取PA 的中点G ，连接EG ，FG ，AE ，BG ，我们易得到//EF BG ，结合线面平行的判定定理，即可得到答案．解：（1）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AD CD ⊥，AD PA A ⋂=，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD 平面PAD又由PD ⊂平面PADCD PD ∴⊥；（2）取PA 的中点G ，连接EG ，FG ，AE ，BG则112GF AD ==，且//GF AD 113BE BC ==，且//BE AD 故BE GF =且//BE GF故四边形BEGF 为平行四边形则//EF BG又EF ⊂/平面PAB ，BG ⊂平面PAB故//EF 平面PAB16.（1）证明见解析；（2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC【解析】16.（1）由已知条件推导出CM AB ⊥，PM AB ⊥，从而AB ⊥平面PMC ，进而AB PO ⊥．又PO MC ⊥，由此能证明PO ⊥平面ABC ．（2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，利用平行线等分线段成比例性质进行证明．（1）证明：由题意得：O 为ABC 的中心，则CM AB ⊥， M 为棱AB 的中点，PA PB =，PM AB ∴⊥，又PM CM M ⋂=，PM ⊂平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，AB ∴⊥平面PMC ，又PO ⊂平面PMC ，AB PO ∴⊥．又PO MC ⊥，MC AB M =，MC ⊂平面ABC ，AB 平面ABCPO ∴⊥平面ABC（2）解：O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点，Q ∴为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC 证明如下：MQ MO QP OC=，//OQ PC ∴，又OQ ⊂/平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， //OQ ∴平面PAC//OQ PC ，又OQ ⊂/平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，//OQ ∴平面PBC ．17.（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N【解析】17.（1）设出圆心C 坐标，根据直线l 与圆C 相切，得到圆心到直线l 的距离d r =，确定出圆心C 坐标，即可得出圆C 方程；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，联立圆与直线方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，求出t 的值，确定出此时N 坐标即可.（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， ∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=， 解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴必平分ANB ∠，此时N 可以为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，经检验>0∆， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，设N 为(),0t ，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x t x t --+=--，整理得：()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++， 解得：4t =，综上，当点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.18.ACD【解析】18.根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ．19.BC【解析】19.根据空间线面位置关系的定义、性质和判定定理进行判断对于A ，当//m α，//n α时，m ，n 可能平行，可能相交，也有可能异面，所以A 错误； 对于B ，当m α⊥，n ⊂α时，由线面垂直的定义可知m n ⊥，所以B 正确；对于C ，当m α⊥，n α⊥时，由线面垂直的性质定理可知//m n ，所以C 正确；对于D ，当//m α，m n ⊥时，直线n 与平面α，有可能平行，可能相交不一定垂直，所以D 错误，故选：BC20.BCD【解析】20.对于A,B ，由异面直线的定义直接判断即可；对于C ，连接1AD ，可证得1A D ⊥平面1AD M ，从而可得结论；对于D ，连接1CD ，由于1ACD △为正三角形，由此可作判断 解：由异面直线的定义可知，直线AM 与1CC 是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，所以A 错误，B 正确；对于C ，连接1AD ，因为11C D ⊥平面11AA D D ，所以111C D A D ⊥， 因为11A D AD ⊥，1111AD C D D =，所以1A D ⊥平面1AD M ，所以1A D AM ⊥，所以直线AM 与1A D 所成的角为90°，所以C 正确； 对于D ，连接1CD ，则MN ∥1CD ，所以1ACD ∠（或补角）为MN 与AC 所成的角，因为1ACD △为正三角形，所以160ACD ∠=︒，所以直线MN 与AC 所成的角为60°，所以D 正确， 故答案为：BCD21.AC【解析】21.设点A 坐标为()t t ，当AP 、AQ 均为圆切线时90PAQ ∠=︒，从而得到||OA =，即可求得A 的坐标；解：设点A 坐标为()t t -，当AP 、AQ 均为圆切线时90PAQ ∠=︒，此时四边形PAQO 为正方形，则||OA =22)2t t +=，解得0t =，t =，故A ，)B， 故选：AC ．22.3π【解析】22.首先根据正弦定理，求得sin sin a B b A ==，将4b =代入，得到sin A =，结合三角形的形状，求得3A π=；利用内角平分线定理得到32BD DC =，利用向量知识得到2355=+AD AB AC ，利用向量的平方和向量模的平方相等，结合向量数量积公式求得结果. 根据正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin sin a B b A ==，因为4b =，所以sin 2A =，且三角形为锐角三角形， 所以3A π=； 由三角形内角平分线定理可得6342BD AB DC AC ===， 所以2355=+AD AB AC ， 所以22222234129()55252525AD AD AB AC AB AB AC AC ==+=+⋅+ 41294323664cos 16252532525π=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以5AD =.故答案为：①3π；②5.。
高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
江苏省南通市如皋市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
即 ，所以 ， 。
所以函数 在 上为减函数。
（2） ，
若 为奇函数，则 ，即 。
所以
，
所以 ，所以 , 或 .
【点睛】本题考查了单调性的证明,根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角 和以 为直径的半圆拼接而成，点 为半圈上一点（异于 ， ），点 在线段 上，且满足 。已知 , ，设 .
设 ， ，
故 ，整理得 ，
又 ，即 ，
所以 。②
联立①②，据平面向量其本定理，得 解得 ， ,
所以实数 值为 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
所以
。
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,向量的数量积,意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.
22.已知函数 ，其中 。
（1）若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围；
【详解】A. ， 正确；
B。 ， 正确；
C。 ， 错误；
D。 ， 正确；
故选: 。
【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.
12。设函数 ，则下列结论正确的是( ）
A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 在 上是单调增函数
C。 函数 的图象关于直线 对称D。 函数 的值域是
【答案】ACD
【详解】如图所示：当 时，函数 有 个不同的零点，不满足；
当 时，不妨设 ，根据对称性知 ，故 。
，故 ,故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数 零点问题，画出函数图像是解题的关键。
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题110y +-=的倾斜角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°答案：C由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.解：10y +-=的斜率=ktan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=. 故选：C 点评：本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45A =︒，120B =︒，6a =，则b =（）A ．B ．C ．D ．答案：D由已知利用正弦定理即可计算得解． 解：45A =，120B =，6a =，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得：sin 6sin120sin sin45a Bb A ⋅⨯=== 故选D ． 点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（） A ．22420x y x y +-+= B ．22420x y x y ++-=C ．22840x y x y +-+= D ．22840x y x y ++-=答案：B根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案. 解：矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=.故选：B 点评：本题考查了根据圆心坐标和半径求圆的标准方程，属于基础题.4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（） A ．222石 B ．224石C ．230石D ．232石答案：B根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为302016270⨯石，即可得到答案． 解：由题意可知，2016石的夹谷约为302016224270⨯=石． 故选：B ． 点评：本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．5．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则实数a 的值为（） A ．4﹣ B ．4C ．4±D ．0答案：A解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 解： 因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去； 当4a =-时，满足题意. 故选：A 点评：本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．已知()()2,3,6,2M N -，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为（） A ．(2,0)- B ．12,05⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,05⎛⎫⎪⎝⎭D ．()6,0答案：C作图，找到M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，连结M ’N ，求出M ’N 的方程，则M ’N 与x 轴交于P 点，此时，PM PN +取最小值，且'PM PN M N +=，此时根据直线方程求出P 点即可 解：如图，M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，M ’和N 在x 轴两侧，则当M ’N 成一直线，此时，M ’N与x 轴交于P 点，有PM PN +取最小值，此时，'PM PN M N +=，而直线M ’N 的方程为263226y x --=----，化简得，58140x y --=，则直线M ’N 交x 轴于P 点，所以，P 点坐标为14,05⎛⎫⎪⎝⎭答案选：C本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题7．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标A ，测得俯角30BAP ∠=︒．经2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角60ABP ∠=︒．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P ，测得俯角BCP θ∠=且41919cos θ=，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为（）A ．1.25分钟B ．1.5分钟C ．1.75分钟D ．2分钟答案：B结合图形，直接利用解三角形知识的应用和三角函数的关系式的恒等变换，列出方程，即可求解. 解：设飞机的飞行速度为V ，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角30BAP ∠=， 经过2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角为60ABP ∠=︒， 所以ABP ∆为直角三角形，过点P 作PD AC ⊥于点D ，则2,3,AB V AP V BP V ===，解得3V DP =， 设CB xV =， 因为419cos θ=，可得257sin 1cos θθ=-=，所以3tan θ=，在直角PCD ∆中，3321a 4n 2t V V xV θ==+，解得 1.5x =， 即该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为1.5分钟. 故选：B.本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中结合图形，合理利用解三角形的知识和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查数形结合数学，以及运算、求解能力.8．已知圆C 的方程为：222(1)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =，则圆C 的半径r 的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．⎛ ⎝⎦C．⎫+∞⎪⎣⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：D设P 的坐标，可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆有公共点，由此求得C 的半径r 的取值范围． 解：直线的方程为210x y +-=， 设(),P m n ，(,)N x y ．(,)M x y ''∴(),MN x x y y '--'=，(),NP m x n y =--又2MN NP =∴()(),2,x x y y m x n y --=-'-'可得2222x x m x y y n y -=-⎧⎨-=-''⎩，即3232x x my y n =-⎧⎨=-''⎩∴()32,32M x m y n --又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，222222(1)(2)(321)(322)x y r x m y n r ⎧-+-=∴⎨--+--=⎩即：222222(1)(2)2122339x y r m n r x y ⎧-+-=⎪⎨++⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩该关于x ，y 的方程组有解，即以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆相交或相切， 可得：22222122123333r m n r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：22224212216129339m n r r ++⎛⎫⎛⎫≤-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭——①由点(),P m n 在210x y +-=∴21n m =-——②将②代入①整理可得：222244846916r m m m m r ≤-++++≤∴2224521316r m m r ≤-+≤∴2221145131655r m r ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭故：222164451655r m r ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭ 要保证直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =需264165r ≤，解得：r ≥故圆C 的半径r 的取值范围为5⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 故选：D. 点评：本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、多选题9．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（） A ．1234P P P P === B ．312P P = C ．12341P P P P +++=D ．423P P =答案：CD利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解. 解：由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的； 由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的； 由423P P =，故D 是正确的. 故选：CD 点评：本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.10．在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆222()x a y a ++=的位置可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：AD利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果 解：解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确， 故选：AD 点评：此是考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题. 11．对于ABC ，有如下判断，其中正确的是（） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 必为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若5,3,60a b B ︒===，则符合条件的ABC 有两个D ．若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 必为钝角三角形 答案：BD根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断． 解：∵,A B 是三角形内角，∴由sin 2sin 2A B =得22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A 错； A B a b >⇔>，又由sin sin a bA B=得sin sin A B >，B 正确；若5,3,60a b B ︒===，则sin 5sin 60sin 13a B A b ︒===>，无解，C 错； 若222cos cos cos 1A B C +->，则2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0A B C +-<，由正弦定理得2220a b c +-<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，C 为钝角，D 正确． 故选：BD ． 点评：本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键．应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也可能2解，还可能无解． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是||||1(0)x a y b a b a b--+=>>，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于(,)a b 对称B ．22x y +的最小值为2222a b a b+ C ．曲线C 的周长为2()a b + D ．曲线C 围成的图形面积为2ab答案：ABD确定方程表示的曲线，根据对称性判断A ，利用22x y +的几何意义判断B ，计算曲线的周长与所围图形面积判断C ，D ． 解：设00(,)x y 是曲线上的任一点，则00||||1x a y b a b --+=，所以00(2)(2)1a x a b y b a b----+=，所以点00(2,2)a x b y --也在曲线上，而点00(,)x y 与00(2,2)a x b y --是关于(,)a b 对称的，由00(,)x y 的任意性知A 正确，如,x a y b ≤≤时方程||||1x a y b a b --+=化为1a x b y a b --+=，即1x y a b+=，其中0,0x a y b ≤≤≤≤，表示一条线段，同理当2,0a x a y b ≤≤≤≤时，方程为1x y a b-=，当0,2x a b y b ≤≤≤≤时，方程为1x ya b -+=，当2,2a x a b y b ≤≤≤≤时，方程为3x ya b+=．所以方程||||1(0)x a y b a b a b--+=>>表示的曲线是以(,0),(0,),(,2),(2,)A a B b C a b D a b 为顶点的菱形M ，如图，22x y +表示菱形M 上点到原点距离的平方，原点到AB 的距离为为OAB 斜边AB 上的高h =，所以22x y +的最小值为2222a b a b+，B 正确；菱形M 的周长为C 错误； 菱形M 的面积为12222a b ab ⨯⨯=，D 正确． 故选：ABD ． 点评：本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可． 三、填空题13．随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为______． 答案：0.032先计算出平均值，然后根据方差公式计算． 解：由已知均值为 5.1 4.9 5.2 4.7 5.155x ++++==，所以方差为2222220.1(0.1)0.2(0.3)0.10.0325s +-++-+==．故答案为：0.032 点评：本题考查方差的计算，属于基础题．14．在ABC 中，已知a =3c =，60A ︒∠=，则b =_____．答案：1或2直接根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可解得结果. 解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即217962b b =+-⨯， 所以2320b b -+=，解得1b =或2b =. 故答案为：1或2 点评：本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题.15．在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______． 答案：()3,1设点P 的坐标为(),x y ，根据条件PA PB PC ==建立有关x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P 的坐标. 解：设点P 的坐标为(),x y ，由PA PB PA PC =⎧⎨=⎩可得()()()()()()()222222224352431x y x y x y x y⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， 因此，点P 的坐标为()3,1. 故答案为：()3,1. 点评：本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 四、双空题16．在平面直角坐标系xOy 内，已知(1,0),(1,0)A B -，若点P满足PA =，则PAB △面积的最大值为______；若点P还同时满足PB =，则点P 的横坐标等于______．16-设(,)P x y ，根据PA =求出P 点的轨迹方程，可得PAB △面积的最大值，根据PB =求出P 点的轨迹方程，联立两个方程可解得16x =-，即可得答案. 解：设(,)P x y=22(1)2x y -+=,所以P 点的轨迹是以(1,0)B为半径的圆， 所以PAB △面积的最大值为122⨯=由PB ==22102x y x ++-=，联立2222210102x y x x y x ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩，解得16x =-，即点P 的横坐标等于16-.；16-. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了三角形的面积，考查了求曲线的交点坐标，属于基础题. 五、解答题17．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的面积． 答案：（1）(1,2)--；（2）2．（1）设点()00,C x y ,根据AC 边的中点M 在y 轴上求出01x =-，根据BC 边的中点N 在x 轴上求出02y =-，即得解；（2）先求出直线AC 的方程为230x y --=，再求出点B 到直线AC 的距离，即得ABC 的面积． 解：解：（1）设点()00,C x y ,AC 边的中点M 在y 轴上，0102x +∴=，解得01x =-． 又BC 边的中点N 在x 轴上，0202y +∴=，解得02y =-． ∴点C 的坐标是(1,2)--.(2)(1,1),(1,2),||A C AC ---∴=由题得121112AC k -+==+, 所以直线AC 的方程为11(1)2y x +=-， 所以直线AC 的方程为230x y --=．又(3,2)B ，∴点B 到直线AC的距离为5d ==．1||22ABCSAC d ∴=⋅==． 点评：本题主要考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：（1）求频率分布表中a b c d ,,,的值； （2）从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60,70)中的概率．答案：（1）2,3,0.04,0.08a b c d ====；（2）所有选法：()()()()()()()()1211121321222312,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B ，()()1323,,,B B B B ；概率为310． （1）根据频率分布表中的数据，结合频数、频率的计算方法，即可求解；（2）设成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，利用列举法得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 解：（1）由题意，该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为356450a b ++++=，则根据频率与频数的关系，可得40.0850d ==，500.063b =⨯=， 所以50335642a =----=，0.0450ac ==． （2）由（1）可得成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件有：()()()()12111213,,,,,,,A A A B A B A B ，()()()()()()212223121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共有10个，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有()()()121323,,,,,B B B R B B ，共有3个， 所以选出2人的成绩都在[60,70)中的概率为3()10P A =． 答：从成绩在[50,70)的学生中选出2人，2人的成锁都在[60,70)中的概率为310． 点评：本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，熟记频率分布表中的频数与频率的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c 2sin c A =． （1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为+a b 的值．答案：（1）3π；（2）7．（1）由正弦定理和题设条件，2sin sin A C A =．进而得到sin 2C =，即可求解角C 的大小；（2）由ABC 的面积为12ab =，再余弦定理和c =，得到2213a b ab +-=，联立方程组，即可求解． 解：（1）在锐角ABC 2sin c A =，由正弦定理可知：2sin ,2sin a R A c R C ==（其中R 为ABC 外接圆半径），2sin sin A C A =，又因为锐角三角形，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0A >，所以sin C =， 又因为锐角三角形，则0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3C π=．（2）因为ABC 的面积为11sin sin 223ABCSab C ab π=== 可得12ab =①．在ABC 中，由余弦定理可知：222cos 122a b c C ab +-==，因为c =，所以2213a b ab +-=②，联立①②解得：7a b +=． 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20．某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若 5.5y =．（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？答案：（1） 2.5c =；（2） 1.49.7y x =-+；（3）2.75吨． （1）由 5.5y =，计算可得；（2）依题意求出b 和a ，即可求出回归直线方程；（3）依题意可得年利润21.47.7z x x =-+，根据二次函数的性质求解即可； 解：解：（1）1(8764) 5.55y c=++++=，解得： 2.5c=．（2）51814181612.568.5i iix y==++++=∑，522222211234555iix==++++=∑．又1234535x++++==，又已知 5.5y=．152251568.553 5.51.455595i iiiix y x ybx x==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，5.5( 1.4)39.7a y bx=-=--⨯=y∴关于x的线性回归方程是 1.49.7y x=-+（3）年利润2( 1.49.72) 1.47.7z x x x x=-+-=-+所以当7.72.752.8x=-=-吨时，年利润z可取得最大．答：当年产量为2.75吨时，年利润z取得最大值．点评：本题考查最小二乘法求回归直线方程以及二次函数的性质的应用，属于基础题.21．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，2,1AB AD BC===，且sin3sinCAD BAC∠=∠．（1）求CD的长度；（2）求圆O的半径．答案：（1）3；（2）213．（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD与BC的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC，再由正弦定理即可求解．解：解：（1）四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ∴与ACD 有相同的外接圆圆O ，设圆O 的半径为R ．在ABC 中，由正弦定理可得：2sin BCR BAC =∠．在ACD 中，由正弦定理可得：2sin CDR CAD=∠． sin sin BC CD BAC CAD∴=∠∠． 又设sin 3sin CAD BAC ∠=∠，33CD BC ∴==．（2）设(13)AC x x =<<，又已知2,1AB AD BC ===．在ABC 中，由余弦定理可得：22225cos 24BC BA AC x ABC BC BA +--∠==⋅． 在ACD 中，由余弦定理可得：222213cos 212AD CD AC x ADC AD CD +--∠==⋅． 四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ADC π∴∠+∠=，cos cos()cos ABC ADC ADC π∴∠=-∠=-∠，即cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．由①②可得：225130412x x --+=，解得：7x =1cos 2ABC ∴∠=-，又(0,)ABC π∠∈，23ABC π∴∠=．∴在ABC 中，由正弦定理可得：722122sin 3sin 3AC R ABC π===∠．∴圆O 21．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是圆内接四边形性质的灵活应用．22．已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-，求直线l 的斜率；②若2AP PB =，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．答案：（1）①1-或11515；（271-；（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由3OA OB ⋅=-，则12123x x y y +=-，即()()21212113x x k x x +--=-，即可求出k 的值；由2AP PB =，则()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，解方程组即可；（2）连结,,OM ON PQ ，依题意可得PM PN ⊥，可得224OQ PQ +=，设点Q 的坐标为(,)x y ，即可得动点Q 点的轨迹； 解：解：（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程得：224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 整理可得：()22221240k x k x k +-+-=．()()2242441401216k k k k ∆=-+=+->恒成立， ∴由韦达定理可得：212221k x x k +=+①，212241k x x k-=+②．又3OA OB ⋅=-，12123x x y y ∴+=-，即()()21212113x x k x x +--=-．整理可得：()()2221212130kx xk x x k +-+++=． 将①②代入可得：422224301k k k k--++=+． ()()22421120k k k ∴-+-=，化简得：21k =．∴直线l 的斜率k 的值为1-或1．（2）点(1,0)P ，()111,AP x y ∴=--，()221,PB x y =-．2AP PB =，()12121212x x y y ⎧-=-∴⎨-=⎩，整理可得1212232x x y y =-+⎧⎨=-⎩． ,A B 都在圆O 上，2211222244x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，即()()2222222223244x y x y ⎧-++-=⎪⎨+=⎪⎩③④． ③-④可得：274x =． 将274x =代入22224x y +=解得：2y = ∴此时，直线l 的斜率k．（3）如图，连结,,OM ON PQ ．0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，又Q 为MN 中点，PQ QM ∴=．,M N 为圆上两点，2OM ON ∴==，又Q 为MN 中点，OQ MN ∴⊥．2224OQ QM OM ∴+==，又PQ QM =，224OQ PQ ∴+=．设点Q 的坐标为(,)x y2222(1)4x y x y ∴++-+=，整理可得：221724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．Q ∴点的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆．min 71OQ -∴=．点评：本题考查直线与圆的综合应用，求动点的轨迹问题，属于中档题.。