新考研数学二试题及答案

新考研数学二试题及答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

(1) 曲线221

x x

y x +=-渐近线的条数

( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C

【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞

=，b 为常数）、垂直渐近线

（0

lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞

-+=，,a b 为常数）。

（iii ）注意：如果

（1）()

lim x f x x

→∞不存在；

（2）()

lim x f x a x

→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，函数221

x x y x +=-的间断点只有1x =±.

由于1

lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.

（而1

1(1)1

lim lim

(1)(1)2

x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.

又2

1

1lim lim

11

1x x x y x

→∞→∞+

==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.

(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则(0)f '=

( )

(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)

(1)!n n -

【答案】A

【考点】导数的概念 【难易度】★★

【详解一】本题涉及到的主要知识点：

00000()()()lim lim

x x f x x f x y

f x x x

→→+-'==. 在本题中，按定义

1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-?

?--=--.故选A.

【详解二】本题涉及到的主要知识点：

()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.

在本题中，用乘积求导公式.含因子1x e -项在0x =为0，故只留下一项.于是 故选（A ）.

(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =+++

+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件

（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B

【考点】数列极限 【难易度】★★★

【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.

若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞

存在，于是

反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则

n S n =是无界的.

因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2

0sin (1,2,3)k x K e xdx k π

==?I 则有 ( )

(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D

【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设a c b <<，则()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+???.

在本题中，

2

10

sin x I e xdx π

=?，2

220

sin x I e xdx π

=?，2

330

sin x I e xdx π

=?

2

22121sin 0x I I e xdx I I π

π

-=

2

332322sin 0x I I e xdx I I π

π

-=>?>?，

因此213I I I <<.故选D.

（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有

(,)

0f x y x

?>?，

(,)0f x y y ?

（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D

【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因

(,)

0f x y x

?>?，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y <

又因

(,)

0f x y y

?时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.

（6）设区域D 由曲线sin y x =，2

x π

=±，1y =围成，则5(1)D

x y dxdy -=??( )

（A ）π

（B ）2

（C ）-2 （D ）π-

【答案】D

【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

在本题中，1

1

5

5

5222sin sin 221

(1)(1)()2x x D

x y dxdy dx x y dy x y y dx ππ

ππ--

-=-=-?????

其中521(1sin )2

x x -，sin x 均为奇函数，所以

52

221(1sin )02x x dx π

π--=?，22sin 0xdx π

π-=? 故选（D ）

(7)设1100c α??

?= ?

?

??

,2201c α?? ?= ? ??? ,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C

【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

n 个n 维向量相关12,,

,0n ααα?=

在本题中，显然

1341

2

3

11,,0

110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.

(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -??

?= ?

???

.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )

(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??

? ?

???

【答案】B

【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.

在本题中，由于P 经列变换为Q ，有

12100110(1)001Q P PE ??

??==??

????

， 那么111

1121212

12[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----== 故选B.

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9）设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则22

x d y

dx

== .

【答案】1

【考点】隐函数的微分 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：

1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。

2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。 对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。 在本题中，令0x =，得(0)0y =.等式两边同时对x 求导，得

2y x y e y ''-=

（*）

令0x =，0y =得 (0)(0)y y ''-=， 于是(0)0y '=.再将（*）是对x 求导得 令0x =，0y =，0y '=得 2(0)(0)y y ''''-= 于是(0)1y ''=

（10）22222111lim 12n n n n n n →∞

??

+++

= ?+++??

. 【答案】

4π

【考点】定积分的概念 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.

特别是对于n 项和数列的极限，应该注意到：101

1lim ()()n n i i

f f x dx n n →∞==∑?

在本题中，由积分定义，

（11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2

z z

x y x y

??+=?? 【答案】0

【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

二元函数[(,)]z f u x y =（是一元函数()f u 与二元函数(,)u u x y =的复合函数），在变量替换(,)u u x y =下，得到z 对x ，y 的偏导数为

()z u

f u x x ??'=??，()z u f u y

y ??'=??.

在本题中，根据题中条件可知，

()1z f u x x ?'=??，()21z f u y y ??

?'=- ????

，所以20z z

x

y x y

??+=?? （12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为y = 【答案】2x y =

（或y = 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 方程

()()dy

P x y Q x dx

+=叫做一阶线性微分方程，其通解为()()(())P x dx P x dx

y e Q x e dx C -??=+?.

在本题中，方程可整理为

1

3dx x y dy y

+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11

313dy dy y y x e ye dy C y C y -

????=+=+ ? ???

?.又(1)1y =，得0C =，故2

x y =

（或y =.

（13）曲线()20y x x x =+<

上曲率为2

的点的坐标为 . 【答案】（-1，0） 【考点】曲率 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 曲率公式()

3

2

2

1y K y ''

=

'+.

在本题中，21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()

3

2

2

1y K y ''

=

'+

，得

3

22221(21)x =??++??

，解得1x =-或1x =.又0x <，故10x y =-?=.故坐标为(1,0)-.

（14）设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】-27.

【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.

在本题中，设12010100001E ?? ?

= ? ???

则12B E A =，从而3

**1227BA E AA A ==-=-.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11

sin x f x x x

+=

- 记()0lim x a f x →=

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）当0x →时，()f x a -与k

x 是同阶无穷小，求常数k 的值.

【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

当0x →时，331

sin ()6

x x x o x =-+?sin x

x ，31sin 6

x x

x -. （Ⅰ）()322

2200001sin sin 6lim lim lim 1lim 1sin x x x x x x x x x x x

a f x x x x

x →→→→+-+-====+= （Ⅱ）1a =

方法一：利用泰勒公式 解得1k =.

方法二：利用等价无穷小量代换 当0x →时，()3

21161

6

x

f x x x -=，所以1k =.

（16）求函数22

2

(,)x y f x y xe +-=的极值.

【考点】函数的极值 【难易度】★★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，

00(,)yy f x y C ''=，则

（1）当20AC B ->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值；

（2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；

（3）当20AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论.

在本题中，先求函数的驻点. 令

解得驻点为(1,0)-，(1,0) 又

根据判断极值的第二充分条件，

代入（1，0），得12

2A e -

=-，0B =，12

C e -

=-，从而20AC B ->，0A <，所以

(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12

e -；

代入（-1，0），得12

2A e -

=，0B =，12

C e -

=，从而20AC B ->，0A >，所以

(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12

e --.

（17）过点（0，1）作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域

D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体

积.

【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率. 函数；

（ii ）函数()f y ，()g y 在[,]a b 连续，则由曲线()x f y =，()x g y =及直线y a =，

y b =()a b <所围区域的面积()()b

a S f y g y dy =-?；

（iii ）曲线()()y f x a x b =≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积2()b

a

V f x dx π=?.

在本题中，设切点A 坐标为00(,ln )x x ，则切线斜率为

1

x ，切线方程为000

1

ln ()y x x x x -=

-，代入（0，1）点，解得20x e =，从而切点A 坐标为2(,2)e ，切线方程为2

1

1y x e =

+，B 点坐标为(1,0)，所以区域D 的面积 2

22

2211

111ln (1)2ln (1)2e e e S xdx e x x x dx e x

=--?=-?--?

?2222(1)(1)2e e e =----=.

D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积

（18）计算二重积分D

xyd σ??，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.

【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法 【难易度】★★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

在本题中，作极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ=，则D 的极坐标表示是

0θπ≤≤，01cos r θ≤≤+， 于是

（19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+= （Ⅰ）求()f x 的表达式；

（Ⅱ）求曲线220()()x

y f x f t dt =-?的拐点.

【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r x r x y C e C e =+.

（ii ）拐点的充分判别定理：设()f x 在(,)a b 内二阶可导，0(,)x a b ∈，则()0f x ''=，若在0x 两侧附近0()f x ''异号，则点00(,())x f x 为曲线的拐点. （Ⅰ）因()f x 满足

()()2()0f x f x f x '''+-=

①

()()2x f x f x e ''+=

②

由②得()2()x f x e f x ''=-，代入①得 ()3()2x f x f x e '-=-， 两边乘3x e -得 32[()]2x x e f x e --'=-

积分得 32()x x e f x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+

代入②式得3392x x x x x e Ce e Ce e +++=0C ?=，于是()x f x e = 代入①式自然成立.因此求得()x f x e =

（Ⅱ）曲线方程为2

2

x

x t y e e dt -=?

为求拐点，先求出y ''.

2

2

21x

x

t y xe e dt -'=+?

，

2

2

2

2

20

242x

x

x

t x

t y e e dt x e e dt x --''=++?

?

，

由于0,0,()0,0,0,0x y x >>??

''==??<

因此(0,(0))(0,0)y =是曲线的唯一拐点.

（20）证明：2

1ln cos 1,12

x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【考点】函数单调性的判别

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.

证明：令()2

1ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，

则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）

因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.

()111111ln

sin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++??'=++--=+--- ?-+---+??

， 22

1111()cos 111(1)(1)f x x x x x x ''=

+++--+--+， 2233

1122

()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)

f x x x x x x x '''=-

++-+>∈+--+，

其中

22110(1)(1)x x ->-+，

33

11

2[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''?在[0,1)

，

()(0)20f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1)，

()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ?在[0,1)

，

()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ?>∈-≠，(0)0f =.即

原不等式成立. （21）

（Ⅰ）证明：方程11n n x x x -+++=（n 为大于1的整数）在区间1,12??

???

内有且仅有

一个实根；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限.

【考点】闭区间上连续函数的性质 【难易度】★★★★

【证明】本题涉及到的主要知识点：

零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即

()()0f a f b ?<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ=.

（Ⅰ）转化为证明()11n n f x x x x -=++

+-在1

(,1)2

有唯一零点.

由于()f x 在1

(,1)2

连续，又

(1)10f n =->，

21

1111

2()1101222

212

n f =+++-<-=-，

由连续函数的零点存在性定理可知()f x 在1

(,1)2

至少存在一个零点.又

121

()(1)210(1)2

n n f x nx n x x x --'=+-+++><<，

所以()f x 在1

[,1]

2，()f x 在1

(,1)2

的零点唯一，即11n n x x x -++

+=在1

(,1)2

内只有

一个根.

（Ⅱ）记1()1n n n f x x x x -=+++-，它的唯一零点记为1

((,1))2

n n x x ∈.现证n

x .由

于

111()1()n n n n n f x x x x x f x +++=++

+-=+，

显然11()02n f +<，1

11()0()n n n n

n f x x f x +++=>?在1(,)2

n x 有唯一零点，此零点必然是1n x +，且

因此n x 单调下降且有界，故必存在极限1

lim ([,1))2n n x a a →∞∈记

因11n

n n

n

n x x

x -++

+=，即1

11n n n

n

x x x +-=-，

令n →∞011a a -?=-1

2

a ?= 即1lim 2

n n x →∞

=

. （22）设10010

101

,00100010a a A a a β????

? ?

-

? ?== ? ? ? ?

????

（I ）计算行列式A ；

（II ）当实数a 取何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.

【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,

,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=，

或1122(1,2,

,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =++

+=.

（ii ）设A 是m n ?矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ?=< （I ）按第一列展开，即得

（Ⅱ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =-

当1a =时，

110011

1001011010

1101()001100

01101001000002A β????

???

?

--????

=→

????

???

?

????????

，

由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时，

110011

00100110101011()00110001101001000000A β?-??-?

????

----?

???

=→????--????

-????????

， 由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为：

(0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）.

（23）已知1

10111001A a a ?? ? ?

= ?

- ?-??

，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2

（I ）求实数a 的值；

（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.

【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1

()n

ij i

j

ij

ji i j f a x x a

a ==

=∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形

22

2

1122n n f y y y λλλ=++

+，其中12,,

,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.

（I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2T r A A = 因为()()T r A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有

10

11

1011011100

01010

00A a a a ?????????

??

?=→????

-+????

-????

， 所以1a =-.

（II ）当1a =-时，202022224T A A ??

??=??

????

.由 2

02

02

2(2)(6)2

2

4

T E A A λλλλλλλ---=

--=-----，

可知矩阵T A A 的特征值为0，2，6.

对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系(1,1,1)T --， 对2λ=，由(2)0T E A A x -=得基础解系(1,1,0)T -， 对6λ=，由(6)0T E A A x -=得基础解系(1,1,2)T .

实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化

.

11,1,1)T γ=

--

，21,1,0)T γ=-

，32)T γ=.

那么令1122330

x y

x y x y ????????????????=??????

?????????????

，就有22

23()26T T T x A A x y y y y =Λ=+.