抛物线的简单几何性质学案
抛物线的简单几何性质
学习目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论。
学习重难点：抛物线的几何性质及其运用。
课前检测：
1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线一支
D.抛物线
2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )
A.2.5
B.5
C.7.5
D.10
3.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在2x-4y+11=0上，则抛物线方程是( )
A.y2=11x
B.y2=-11x
C.y2=22x
D.y2=-22x 4．曲线2x2-5xy+2y2=1( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称，但不关于y=x对称
D.关于y=x对称也关于y=-x对称
探究新知：
（2）抛物线的几何性质的特点：有个顶点，个焦点，条准线，条对称轴，
对称中心，没有渐近线。
典例分析：
例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程
变式1：求顶点在原点,对称轴是坐标轴，并且经过点M (2,-22)的抛物线的标准方程。
例2、斜率为1的直线经L 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
变式2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，
()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =
巩固练习：
1、已知M 为抛物线x y 42
=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
2．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF
的长分别是p 、q ，则
q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）
a 21 （C ）a 4 （D ）a
4
3．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2
上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标
5、抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
6．以椭圆15
22
=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
达标检测：
1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )
A.p
B.2p
C.4p
D.不确定
2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15
B.415
C.215
D.42 3.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )
A.-0
x p B.0y p C.px - D.-px 0 4.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则
2121x x y y 的值一定等于( )
A.4
B.-4
C.p 2
D.-p 2 5、抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离
为 .
6.以椭圆5
2
x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .
7、若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .
8、以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线的位置关系是 ．
9、已知抛物线y 2
=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，
(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；
(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.
课后反思：。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案答案
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。
学案1：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.情景导入(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ .3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ①k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；②k ≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．( ) (2)抛物线y 2＝2px 过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p ． ( ) (3)抛物线y ＝－18x 2的准线方程为x ＝132．( )2．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．规律方法用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．跟踪训练1．若直线x＝m与抛物线y2＝43x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．类型2 直线与抛物线的位置关系例2 (1)过定点P (0,1)作与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合． 规律方法直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． 跟踪训练2．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． 规律方法“中点弦”问题解题方法跟踪训练3．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？例4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值． 母题探究1.若本例题改为：如图所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△P AB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？2.若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值．应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．2.抛物线中常见的几个结论：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．点F 是抛物线的焦点(如图)．则有(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y 轴相切． 课堂检测1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4， 则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2) C ．(1,2)D ．(2,22)4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．参考答案新知初探 2.x 1＋x 2＋p . 3．①一个 ②相交 两相切 一 相离 没有思考： [提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 初试身手1．[提示] (1)√ (2)√ (3)× 2．【答案】D【解析】顶点到准线的距离为p 2，则p2＝4.解得p ＝8，又因对称轴为y 轴，则抛物线方程为x 2＝±16y . 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 4．【答案】4【解析】双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)，由条件可知，－p2＝－3＋p 216，解得p ＝4. 合作探究类型1 抛物线性质的应用例1 (1)【答案】y 2＝3x 或y 2＝－3x【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .(2)解：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ， 由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵BD ∥FG ，∴43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x . 跟踪训练1．解：根据题意△ABF 为等边三角形，则tan 60°＝|m －3|43m ，m ＞0，解得m ＝73±12.类型2 直线与抛物线的位置关系例2 解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点；当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.故满足条件的直线有三条． (2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.跟踪训练2．证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB . 类型3 中点弦及弦长公式例3 解：法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4. ∴AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 跟踪训练3．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 类型4 抛物线的综合应用 [探究问题]1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数．2．[提示] 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．例4 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.1．【答案】A【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 2．【答案】D【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．【答案】B【解析】由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B.4．【答案】158【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14. ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
抛物线的简单几何性质学案
§2.3.2抛物线的简单几何性质 [学习目标]:掌握抛物线的图形和简单几何性质 [重点]:抛物线的简单几何性质的应用[难点]:运用抛物线的几何性质解决问题类比研究双曲线的性质的过程，以y 2=2px(p>0)为例来研究抛物线的简单几何性质：1．范围：抛物线向 和 无限延伸．2．对称性：这条抛物线关于 ___对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的 ． 3．顶点：抛物线y 2=2px(p>0)的顶点就是 ．4．离心率：由抛物线的定义可知， e= 。
典型例题::例1：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解，焦点在x 轴上的抛物线可以设为______________，焦点在y 轴上的抛物线可以设为_____________ 例2:斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式训练：过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于_________,AB 中点到准线距离为_________点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长例3: 过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点F 的一条直线与这抛物线相交于A 、B 两点，且A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)(图2-34)．求证:pBF AF 211)1(=+,(2) 221221,4p y y p x x -==注意：关于焦点弦的一些常见的结论：pBF AF 211)1(=+(2)以AB 为直径的圆必与准线l 相切；（3）221221,4p y y p x x -==（4）)2221p x p x x AB +=++=中（ （5）若AB 的倾斜角为α，则α2sin 2p AB =，090=α时，弦长最短，为抛物线的通径 §2.3.2抛物线及其简单性质(第 2课时)1、直线与抛物线的位置关系： 将直线方程代入抛物线方程可得： （1）一元一次方程（直线与抛物线的对称轴平行）：相交且只有一个交点（2）一元二次方程：①△ 0，则直线与抛物线相交②△ 0，则直线与抛物线相切 ③△ 0，则直线与抛物线相离规律：一般的，点P 在抛物线内，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线只有一条；点P 在抛物线上，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线只两条； 点P 在抛物线外，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线只有三条。
《抛物线的简单几何性质》 学历案
《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。
2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。
3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。
（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。
2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。
（2）与抛物线相关的综合问题。
三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。
五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。
同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
学案8：2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断．学习重点：会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．学习难点：直线与抛物线的位置关系的应用．学习过程 自学导引1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p⎛⎫p ⎛⎫p2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为度．名师点睛1．抛物线与双曲线的区别(1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．2．抛物线的焦点弦如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|＝2(x0＋p2)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p；(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝2p sin2α；如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2.3．直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的形式，(1)若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点. 例题解析例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.例2斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.例3 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于A ,B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y 2=4x ，直线l 过定点P （-2,1） ，斜率为k , k 为何值时，直线l 与抛物线 y 2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？拓展训练1、已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．2、抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．3、求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．4、已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.5、已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线AB经过一个定点．6、如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．参考答案学习过程自学导引1．抛物线的几何性质试一试： 通径的长度为2p .例题解析例1解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2【解析】由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB |.解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，-22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =12p=y2），A,B到准线的距离分别为d A, d B.由抛物线的定义可知|AF|= d A=x1+1，|BF|=|BB’|= d B=x2+1，于是AB=|AF|+|BF|=x1+x2+2，由已知得抛物线的焦点为F(1，0),所以直线AB的方程为y=x-1.①将①代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x化简得x2-6x+1=0由求根公式得x1, x2=3-,于是|AB|= x1+ x2=8.所以，线段AB的长是8.例3【解析】我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为过点A的坐标为（，y0）,则直线OA的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为22y px, (1)=22yp2py x(y), (2)y=≠2px. (3)=-因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 【解析】用解析法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.由方程组2p y . (4)y =-2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或拓展训练1、解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.规律方法 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p ，即先定型，再定量，必要时结合图形．2、解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l 212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l 1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.3、解 (1)若直线斜率不存在，则过P (0,1)的直线方程为x ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消元得：k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，①当k ＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．②当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0.∴k ＝12，∴直线方程为：y ＝12x ＋1.综上所述：所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.4、解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×－22＝22303. 5、解 (1)因为AB 斜率不为0，设直线AB 方程为my ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋by 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy ＋2pb ＝0. 由Δ＝(－2pm )2－8pb >0， 又∵y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pb ， 又∵OA ⊥OB ， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0， ∴b 2＋2pb ＝0，∴b ＋2p ＝0，∴b ＝－2p . ∴y 1y 2＝－4p 2，x 1·x 2＝b 2＝4p 2所以A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p 2和－4p 2； (2)AB 方程为my ＝x －2p ，所以AB 过定点(2p,0). 6、证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∵AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ， 得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y Cx B －x C＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C ＝k 8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.所以直线BC 的斜率为定值．。
学案9：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？(4)抛物线的离心率是多少？2．归纳总结，核心必记抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 类题通法(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． 练一练1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P (x 0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？讲一讲2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.类题通法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．练一练2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？思考2如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？讲一讲3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．类题通法研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．练一练3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．————————[课堂归纳·感悟提升]——————————1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：x≥0，y∈R．(2)提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．(3)提示：只有一个顶点坐标(0，0)．(4)提示：e ＝1． 问题思考提示：影响抛物线开口大小的量是参数p ，p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 练一练1．解：因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 名师指津：x 0＋p 2 p 2－x 0 y 0＋p 2__p2－y 0 x 1＋x 2＋p p －x 1－x 2 y 1＋y 2＋p p －y 1－y 2． 讲一讲2．解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303. 练一练2．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1 名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 思考2 名师指津：(1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部⇔y 20<2px 0； (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上 ⇔y 20＝2px 0； (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部⇔y 20>2px 0． 讲一讲3．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.若k ≠0，方程k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切， (2)当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交， (3)当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．若k ＝0，直线l 方程为y ＝1，显然与抛物线C 交于⎝⎛⎭⎫14，1.综上所述，当k ＝1时，l 与C 相切；当k <1时，l 与C 相交；当k >1时，l 与C 相离． 练一练3．证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2，0)．。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。