应用多元统计分析课后答案
应用多元统计分析课后答案第五章 聚类分析判别分析和聚类分析有何区别？答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。
具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。
通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为（一）闵可夫斯基距离：1/1()()pqqij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =）1(1)pij ik jk k d X X ==-∑（2）欧氏距离（2q =）21/21(2)()pij ik jk k d X X ==-∑（3）切比雪夫距离（q =∞）1()max ij ik jkk pd X X ≤≤∞=-（二）马氏距离（三）兰氏距离21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jkij k ik jk X X d L p X X =-=+∑对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。
将变量看作p 维空间的向量，一般用（一）夹角余弦（二）相关系数在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？ 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
（1）. 最短距离法,mini k j rkr ij X G X G D d ∈∈=min{,}kp kq D D =（2）最长距离法,maxi p j qpq ij X G X G D d ∈∈=,maxi k j rkr ij X G X G D d ∈∈=max{,}kp kq D D =（3）中间距离法其中（4）重心法2()()pq p q p q D X X X X '=-- )(1q q p p rrX n X n n X +=12211cos ()()pik jkk ij p pik jk k k X X X X θ====∑∑∑12211()()()()pik i jk j k ij p pik i jk j k k X X X X r X X X X ===--=--∑∑∑ij G X G X ij d D jj i i ∈∈=,min22222121pq kq kp kr D D D D β++=22222p q p q krkpkqpq rrr n n n n D D D D n n n =+-（5）类平均法221i p j jpq ij X G X G p qD d n n ∈∈=∑∑221i k j rkr ijX G X G k rD d n n ∈∈=∑∑22p q kp kqrrn n D D n n =+（6）可变类平均法其中?是可变的且? <1（7）可变法22221()2kr kp kq pq D D D D ββ-=++ 其中?是可变的且? <1 （8）离差平方和法1()()tn t it t it t t S X X X X ='=--∑2222k p k q k krkpkq pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。
如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。
马氏距离有消除量纲影响的作用。
（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。
如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。
（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。
样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。
实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合适的距离测度方法。
试述K 均值法与系统聚类法的异同。
2222(1)()pq kr kpkq pqrrn n D D D D n n ββ=-++答：相同：K —均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标准进行聚类的。
不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。
具体类数的确定，离不开实践经验的积累；有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K —均值法确定类数的参考。
试述K 均值法与系统聚类有何区别？试述有序聚类法的基本思想。
答：K 均值法的基本思想是将每一个样品分配给最近中心（均值）的类中。
系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。
具体类数的确定，有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K 均值法确定类数的参考。
有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。
如果用)()2()1(,,,n X X X Λ表示n 个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即)()1()(,,,j i i X X X Λ+，其中,1n i ≤≤且n j ≤，简记为},,1,{j i i G i Λ+=。
在同一类中的样品是次序相邻的。
一般的步骤是（1）计算直径{D （i,j ）}。
（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。
(3)确定分类个数k 。
（4）最优分类。
检测某类产品的重量， 抽了六个样品， 每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。
（1）用最短距离法进行聚类分析。
采用绝对值距离，计算样品间距离阵0 1 0 2 1 0 5 4 3 0 8 7 6 3 0 10 9 8 5 2 0由上表易知 中最小元素是 于是将，，聚为一类，记为计算距离阵3 06 3 08 5 2 0中最小元素是=2 于是将，聚为一类，记为计算样本距离阵3 06 3 0中最小元素是于是将，聚为一类，记为因此，（2）用重心法进行聚类分析计算样品间平方距离阵1 04 1 025 16 9 064 49 36 9 0100 81 64 25 4 0易知中最小元素是于是将，，聚为一类，记为计算距离阵16 049 9 081 25 4 0注：计算方法,其他以此类推。
中最小元素是=4 于是将，聚为一类，记为计算样本距离阵16 064 16 0中最小元素是于是将，聚为一类，记为因此，下表是15个上市公司2001年的一些主要财务指标，使用系统聚类法和K－均值法分别对这些公司进行聚类，并对结果进行比较分析。
公司编号净资产收益率每股净利润总资产周转率资产负债率流动负债比率每股净资产净利润增长率总资产增长率12301004561086781009101001112100131415解:令净资产收益率为X1，每股净利润X2，总资产周转率为X3，资产负债率为X4，流动负债比率为X5，每股净资产为X6，净利润增长率为X7，总资产增长率为X8，用spss对公司聚类分析的步骤如下：a)系统聚类法:1.在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster，调出系统聚类分析主界面，并将变量X8-X1移入Variables框中。
在Cluster 栏中选择Cases单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables，则对变量进行聚类）。
在Display栏中选择Statistics和Plots复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。
图系统分析法主界面2.点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计量。
我们选择Agglomeration schedule与Cluster Membership中的Range of solution 2-4，如图所示，点击Continue按钮，返回主界面。
（其中，Agglomeration schedule表示在结果中给出聚类过程表，显示系统聚类的详细步骤；Proximity matrix 表示输出各个体之间的距离矩阵；Cluster Membership 表示在结果中输出一个表，表中显示每个个体被分配到的类别，Range of solution 2-4即将所有个体分为2至4类。
）3.点击Plots按钮，设置结果输出窗口中给出的聚类分析统计图。
选中Dendrogram复选框和Icicle栏中的None单选按钮，如图，即只给出聚类树形图，而不给出冰柱图。
单击Continue按钮，返回主界面。
图Statistics子对话框图Plots子对话框4.点击Method按钮，设置系统聚类的方法选项。
Cluster Method下拉列表用于指定聚类的方法，这里选择Between-group inkage（组间平均数连接距离）；Measure栏用于选择对距离和相似性的测度方法，选择Squared Euclidean distance（欧氏距离）；单击Continue按钮，返回主界面。
图Method子对话框图Save子对话框5.点击Save按钮，指定保存在数据文件中的用于表明聚类结果的新变量。
None表示不保存任何新变量；Single solution表示生成一个分类变量，在其后的矩形框中输入要分成的类数；Range of solutions表示生成多个分类变量。
这里我们选择Range of solutions，并在后面的两个矩形框中分别输入2和4，即生成三个新的分类变量，分别表明将样品分为2类、3类和4类时的聚类结果,如图。
点击Continue，返回主界面。
6.点击OK按钮，运行系统聚类过程。
聚类结果分析:下面的群集成员表给出了把公司分为2类，3类，4类时各个样本所属类别的情况，另外，从右边的树形图也可以直观地看到，若将15个公司分为2类，则13独自为一类，其余的为一类；若分为3类，则公司8分离出来，自成一类。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x y y 1 2 2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22x1 14x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 ));
2
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 )).
2
5
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2 , 2 1
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
12
第二章
1 2
多元正态分布及参数的估计
2 1
解二:比较系数法 1 1 f ( x , x ) exp 设 ( 2 x 2 2
1 21 2
2 x2 2 x1 x2 22x1 14x2 65)
《应用多元统计分析》试题答案
《应用多元统计分析》试题答案一、填空题1. 多元统计分析中，研究多个变量的协方差结构的方法是__________。
答案：主成分分析2. 在多元正态分布中，若两个变量线性相关，则它们的协方差__________。
答案：不为零3. 在因子分析中，因子载荷矩阵表示的是__________与__________之间的相关关系。
答案：变量公共因子4. 聚类分析中，类内平方和与类间平方和的比值越大，说明聚类效果__________。
答案：越好5. 在判别分析中，贝叶斯判别准则的基本思想是__________。
答案：最小化误判概率二、选择题1. 以下哪个方法不属于多元统计分析的范畴？A. 主成分分析B. 聚类分析C. 线性规划D. 因子分析答案：C2. 在多元正态分布中，以下哪个统计量可以用来检验变量间的线性关系？A. 相关系数B. 协方差C. 卡方统计量D. F统计量答案：D3. 在因子分析中，以下哪个指标用来衡量公共因子对变量的解释程度？A. 因子载荷B. 特征值C. 贡献率D. 累计贡献率答案：C4. 聚类分析中，以下哪种聚类方法属于层次聚类法？A. K-means聚类B. 动态聚类C. 系统聚类D. 密度聚类答案：C5. 在判别分析中，以下哪个指标可以用来衡量判别效果？A. 判别系数B. 判别函数C. 误判概率D. 准确率答案：C三、简答题1. 简述主成分分析的基本思想及其在多元统计分析中的应用。
答案：主成分分析的基本思想是将多个变量通过线性变换，转化为少数几个互相独立的主成分，以简化数据结构。
主成分分析在多元统计分析中的应用非常广泛，如数据降维、特征提取、因子分析等。
2. 简述因子分析的基本步骤。
答案：因子分析的基本步骤如下：（1）计算变量间的相关系数矩阵；（2）求解特征值和特征向量，确定公共因子个数；（3）求解因子载荷矩阵，进行因子旋转；（4）计算因子得分，进行进一步分析。
3. 简述聚类分析的基本思想及其在多元统计分析中的应用。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇部分习题解答(00004)市公开课金奖市赛课一等奖课件
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
应用多元统计分析_课后答案
图 2.1
Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计 算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2） 。
2.5 解： 依据题意，X= 57000 40200 21450 21900 45000 28350
′
15 16 12 8 15 8
27000 18750 12000 13200 21000 12000
144 36 381 190 138 26
′ E(X)= ∑6 α=1 x(α) = (35650,12.33,17325,152.5) n σ1 σ2 ρ2 (x1 −μ1 )2 σ2 1
+
σ2 1
(x2 −μ2 )2 σ2 2 )2
= = [
(x1 −μ1 )2 σ2 1 ρ(x1 −μ1 ) σ1
− −
2ρ(x1 −μ1 )(x2 −μ2 ) σ1 σ2 (x2 −μ2 ) 2 ] σ2
+
E( X ) μ
n→∞
lim E(
1 1 ������） = lim E( ������） = Σ n→∞ ������ n−1
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 ̅) = E ( ΣX 证明： E(������ （α） ) = E (ΣX （α） ) =
n n 1 1 nμ n 1 n2
exp[−
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max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
应用多元统计分析课后答案朱建平版
nj i1
Σ1 ( Xij
μj)
0(
j
1, 2,..., k)
解之，得
μˆ j
xj
1 nj
nj
xij ， Σˆ
i 1
k nj
xij x j
j1 i1
xij x j
n1 n2 ... nk
第三章
3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。 其基本思想和步骤均可归纳为： 答：
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
12 21
12
2 2
，则其联
合分布密度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
n1
S jj ~ Wp (n 1, ) j 1
2.10.设 X i (ni p) 是来自 N p (μi , Σi ) 的简单随机样本， i 1, 2,3, , k ，
（1）已知 μ1 μ2 ... μk μ 且 Σ1 Σ2 ... Σk Σ ，求 μ 和 Σ 的估计。
（2）已知 Σ1 Σ2 ... Σk Σ 求 μ1, μ2 ,...,, μk 和 Σ 的估计。
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)(x2
应用多元统计分析课后答案
-4454.39
-62.75
9
3.41
0.04
0.2
67.86
98.51
1.25
-11.25
-11.43
10
1.16
0.01
0.54
43.7
100
1.03
-87.18
-7.41
11
30.22
0.16
0.4
87.36
94.88
0.53
729.41
-9.97
12
8.19
0.22
0.38
30.31
应用多元统计分析课后答案
第五章聚类分析
5.1判别分析和聚类分析有何区别？
答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。如果用 表示 个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即 ，其中 且 ，简记为 。在同一类中的样品是次序相邻的。一般的步骤是（1）计算直径{D（i,j）}。（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。(3)确定分类个数k。（4）最优分类。
5.7检测某类产品的重量，抽了六个样品，每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。
应用多元统计分析课后答案 (2).doc
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇二部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)2
2
1 e
1 2
(
x1
4)2
2
X1 ~ N (4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)
2
2 2
X 2 ~ N (3,2).
第10页 10
第二章 多元正态分布及参数预计
22 22
22 14
12
4 3
第13页
13
第二章 多元正态分布及参数预计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配办法
(1)第一次配方 : 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
1 0
BB,
令y
y1 y2
11
10
x1 x2
x1
x1
x2
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
x1 x2
y2 y1
y2
第14页 14
应用多元统计分析课后答案-暴强整理
第二章2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
设X =(X 1,X 2，⋯X p )′是p 维随机向量，称由它的q （<p ）个分量组成的子向量X (i)=(X i1,X i2，⋯X iq )′的分布为X 的边缘分布，相对地把X 的分布称为联合分布。
当X 的分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )时，X (1)的分布函数即边缘分布函数为F (x 1,x 2，⋯x p )=P(X 1≤x 1,⋯X q ≤x q ,X q+1≤∞,⋯X p ≤∞) = F (x 1,x 2，⋯x q ,∞,⋯∞)当X 有分布密度f （x 1,x 2，⋯x p ）则X (1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f （x 1,x 2，⋯x q ）=∫⋯+∞−∞∫f （x 1,x 2，⋯x p ）dx q+1⋯d +∞−∞x p 2.2 设随机向量X =(X 1,X 2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X 1,X 2各自的边缘密度函数。
联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ)exp{−12(1−ρ)[(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+f (x 1,x 2)= (x 2−μ2)2σ22]} ， x 1>0,x 2>00 , 其他(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+ (x 2−μ2)2σ22=(x 1−μ1)2σ12−2ρ(x 1−μ1)(x 2−μ2)σ1σ2+ (x 2−μ2)2σ22+ρ2(x 1−μ1)2σ12−ρ2(x 1−μ1)2σ12=[ρ(x 1−μ1)σ1−(x 2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x 1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[1121−2222]2+(x 1−μ1)2σ12}令t=2222−1121 ∴dt =222∴f (x 1)=∫f (x 1,x 2)+∞−∞dx 2=12πσ1σ2(1−ρ)exp{−(x 1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t 222dt =√2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12]√2πσexp[−(x 1−μ1)22σ12] ， x 1>0f (x 1)= 0 ，其他同理，√2πσ2exp[−(x 2−μ2)22σ22] ， x 2>0 f (x 2)=0 ，其他2.3 已知随机向量X =(X 1,X 2)′的联合分布密度函数为f (x 1,x 2)=2[(d−c )(x 1−a )+(b−a )(x 2−c )−2(x 1−a)(x 2−c)(b−a)(d−c),其中,a ≤x 1≤b,c ≤x 2≤d 。