高中数学-导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)
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高中数学-导数与恒成立、能成立问题专题
一、基础理论回顾
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩
在上恒成立
在上恒成立
另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]
b a x ,1∈，存在[]
d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]
b a x ,1∈，存在[]
d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[
]
b a x ,1∈，存在[
]
d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象
上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象
下方；
二、经典题型解析
题型一、简单型
例1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）
简解：（1）由12012232
++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足1
2)(2
3++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对
1
2)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2
224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是3
2
0<