第三章 线性系统的经典辨识方法

i 1
❖ 令上式等号两边 z1 同次项的系数相等，当 z1 的次 数从0到n时，可得向量－矩阵方程
b0 1 0 0
b1
a1
1
0
b2 a2
a1
0
bn an an-1 an-2
0 0g(0)
0
0
g(1)
0 0g(2)
a1 1g(n)
（15）
❖ 当 z1的次数从 n 1到 2n 时，可得
t/s
0
1.0
2.0
3.0
g(t)
0
0.1924 0.2122 0.17t62
解：根据已知条件得到
0.1924a1 0.2212a2 0 0.2122a1 0.1762a2 0.1924
❖ 解之得
a1 3.669 , a2 3.327
❖ 由式（7）得
1 3.669x 3.327x2 0
7.157 9.491 8.564
9.491 8.564 5.931
8.564a1 5.931
5.931a2
2.846
2.846a3 0.145
❖ 解上式得
a1 2.233, a2 1.764, a3 0.497
❖ 将 g(0), g(1), g(2), g(3) 以及 a1, a2 , a3 代入式（15）中， 解之得
❖ 解得
c1 1.6994 , c2 1.6994
❖ 因而所求的传递函数为
^
G(s)
1.6994
1.6994
0.34987
s 0.497 s 0.703 (s 0.497 )(s 0.703)
2、离散系统传递函数－脉冲传递函数
❖ 设系统脉冲传递函数形式为
G(z 1 )
b0 b1 z 1 bn z n 1 a1 z 1 an z n
g(0) c1 c2 cn g() c1x1 c2 x2 cn xn g(2) c1x12 c2 x22 cn xn2
g((n 1))
c1
x n1 1
c2
x n1 2
cn
x n1 n
❖ 解上述方程组可得 c1, c2 , , cn
❖ 把求得的 s1, s2 , , sn 和 c1, c2 , , cn 递函数中，即得所求的传递函数
对上式求拉普拉斯反变换，得系统的脉冲响应函
数
❖
g(t) c1e s1t c2e s2t cne snt
（3）
❖ 则 t ,t 2, ,t n 时刻的脉冲响应函数分别为
g(t
)
c e s1 (t) 1
c2es2 (t)
cnesn (t)
❖
g(t
2)
c e s1(t2) 1
c2es2 (t2)
❖ 根据脉冲传递函数的定义可得
G(z 1 ) g(0) g(1)z 1 g(2)z 2
❖ 式中 g(i) g(i),i 0,1,2, , 为采样间隔，因而有
b0 b1 z 1 bn z n 1 a1 z 1 an z n
g(0) g(1)z 1 g(2)z 2
❖
国防工业出版社
i
0
1
2
3
4
5
6
g(i)
0 7.157 9.491 8.564 5.93 2.846 0.145
❖ 解：设系统的脉冲传递函数形式为
G(z 1)
b0 b1z 1 b2 z 2 b3 z 3 1 a1z 1 a2 z 2 a3 z 3
❖ 将 g(1), g(2), , g(6) 代入式（16）得
代入所假定的传
❖ 例3.1 设原系统具有二阶传递函数
G(s)
0.35
(s 0.5)(s 0.7)
❖ 其脉冲响应为
g(t) 1.75 e0.5t e0.7t
❖ 设采样间隔 1s ，g(t) 的前4个值如表所列，用辨 识的方法求系统的传递函数。
表1 采样间隔 1s 时的 g(t)值
cnes1t 1 a1esn a2 (esn )2 an (esn )n 0
（5）
❖ 欲使上式 成立，应令各方括号内值为0，即
1 a1esi a2 (esi )2 an (esi )n 0, i 1,2, , n
（6）
❖ 令 esi x，则式（6）可以写成
1 a1x a2 x 2 an x n 0
b0 0, b1 7.157 , b2 6.487 , b3 0
❖ 则得脉冲传递函数
G(z 1 )
7.157 z 1 6.488 z 1
1 2.233 z 1 1.764 z 2 0.497 z 3
练习题
❖ 教材中第2，3题
❖ 教材：
❖ 《系统辨识理论及应用》
❖
李言俊，张科 编著
❖ 用上式的分母分别乘其等式两边，有
b0 b1z 1 b2 z 2 bn z n g(0) [g(1) a1g(0)]z 1
g (n)
n1
ai g(n
i 1
i) z n
g(n
1)
n i 1
ai g(n
1 i) z (n1)
g(2n) n ai g(2n i) z 2n
❖ 用M序列作为输入信号，再用相关法处理测试结果，可很方 便地得到系统的脉冲响应。
用脉冲响应求传递函数
❖ 1、连续系统的传递函数
❖ 设系统采用n阶差分方程表示，则有
g(t0 ) a1g(t0 ) a2 g(t0 2) an g(t0 n) 0
（1）
❖ 式中 a1 , a2 , , an为待定的n个常数。
（7）
❖ 解上式可得 x 的n个解 x1, x2 , , xn ❖ 设： e s1 x1 , e s2 x2 , , e sn xn
（8）
则有： ❖
s1
ln x1
,
s2
ln x2
,
, sn
ln xn
❖ 这样，可将 求出 s1, s2 , , sn
（9）
❖ 根据式（3），（4）和（8），有：
❖ 根据上式，将时间依次延迟 ，可写出n个方程：
a1g(t0 ) a2 g(t0 2) an g(t0 n) g(t0 ) a1g(t0 2) a2 g(t0 3) an g(t0 (n 1)) g(t0 )
a1g(t0 n) a2 g(t0 (n 1)) an g(t0 2n) g(t0 (n 1))
❖ 联立求解以上n个方程，可得系数 a1 , a2 , , an
❖ 任何一个线性定常系统，其传递函数 G(s)的特征方
程的根为 s1, s2 , , sn ，则其传递函数可表示为：
❖
G(s) c1 c1 c1
s s1 s s2
s sn
（2）
❖ 式中，s1, s2 , , sn 和 c1,c2 , ,cn 为待求的2n个未知数。
❖ 将求得的 a1, a2 , , an 代入式（15），可求得脉冲传 递函数中分子各未知系数 b1,b2 , ,bn
❖ 例3.2 设采样间隔 0.05s，系统的脉冲响应 g(i) 如 下表所列，求系统的脉冲传递函数
表2 系统脉冲响应
t/s
0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.3
❖ 解得：
x1 0.608, a2 0.495
❖ 相应的系统极点为： s1 ln(0.608) 0.497
s2 ln(0.495) 0.703
❖ 因此脉冲响应可写成
g (k)
c e 0.497k 1
c2 e 0.703k
❖ 令 k 0,1 ，可得方程组
c1 c2 0 0.608c1 0.495c2 0.1924
cnesn (t2)
（4）
g(t
n)
c e s1(tn) 1
c2e s2 (tn)
cn e sn (tn)
❖ 将n阶差分方程中的 t0 换成 t ，并将（3）,（4）
式代入,可得
c1es1t 1 a1es1 a2 (es1 )2 an (es1 )n c2es2t 1 a1es2 a2 (es2 )2 an (es2 )n
第三章 线性系统的经典辨识方法
经典辨识常用信号
❖ 阶跃信号
阶跃响应
❖ 正弦信号
频率响应
❖ 脉冲信号
脉冲响应
❖ 正弦信号缺点：试验手续比较复杂，必须有专用设备，不便 于在数控系统上做试验。
❖ 阶跃信号缺点：
❖ 1）信号大则破坏系统运定，小则不能获得有用数据
❖ 2）对试验环境要求严格。
❖ 用的较多是脉冲信号，积累足够大的能量，在瞬间激发系统， 实际中难以实现。
g(1) g(2) g(n)
g(2) g(3) g(n 1)
g(n) a n - g(n 1)
g(n
1)a
n-1
பைடு நூலகம்
-
g(n
2)
g
( 2n
1)
a
1
- g(2n)
（16）
❖ 上式等号左边的矩阵称为汉克（Hankel）矩阵。解 方程组（16），可求得脉冲传递函数中分母各未知 系数 a1, a2 , , an 。