常见曲线参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程
一椭圆的参数方程
1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>的椭圆的参数方
程为cos (sin x a y b ?
??=??=?
为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22
221(0)y x a b a b
+=>>的椭圆的参数
方程为cos (sin x b y a ?
??
=??
=?为参数）
2、椭圆参数方程的推导
如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有
cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ?
??
=??=?为
参数）
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义
圆的参数方程cos (sin x r y r θ
θθ
=??
=?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的
参数方程cos (sin x a y b ?
??=??=?
为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点
(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋
转角，通常规定[)0,2?π∈
4、椭圆参数方程与普通方程的互化
可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。 ①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ???
=??
=?为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x y
a b ??==，可
以利用平方关系将参数方程中的参数?化去得到普通方程22
221(0)x y a b a b +=>>
②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x y
a b
??==，从而将普通方程
化为参数方程cos (sin x a y b ?
??
=??
=?为参数，0)a b >>
注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2?π∈
②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。 二、双曲线的参数方程
1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的双曲线
的参数方程为sec (tan x a y b ?
??=??=?
为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的双曲线的
参数方程为tan (sec x b y a ?
??=??=?
为参数）
2、双曲线参数方程的推导
如图，
以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆
12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 与x 轴交于点'
A
，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 与直线OA 交于点'B 。过点','A B 分别作y 轴，x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。
设Ox 为始边，OA 为始边的角为?，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ??。
所以(cos ,sin )OA a a ??=，'(cos ,sin )AA x a a ??=--，因为'OA AA ⊥，所以
'0
OA AA ?=，从而
2cos (cos )(sin )0
a x a a ???--=，解得
cos a x ?
=
，记
1
sec cos ??
= 则sec x a ?=。
因为点'B 在角?的终边上，由三角函数的定义有tan y
b
?=
，即tan y b ?=? 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ?
??=??=?
为参数）
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数?的意义
参数?是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2?π∈，且2,2
3
π
π??≠
≠
4、双曲线的参数方程中参数?的意义
因为222
1sin 1cos cos ???
-=，即22
sec tan 1??-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化
① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ???
=??=?为参数），易得sec ,tan x y
a b ??==，可以利用
平方关系将参数方程中的参数?化去，得到普通方程22
221(0,0)x y a b a b -=>>
② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x y
a b
??==，从而将普
通方程化为参数方程sec (tan x a y a ?
??
=??
=?为参数）
三、抛物线的参数方程
1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2y px =(0)p >的参数方程为2
2(2x pt t y pt
?=?=?为
参数）
同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线2
2(0)x py p =>的参数方程是2
2(2x pt t y pt =??=?
为参数）
2、抛物线参数方程的推导：如图
设抛物线的普通方程为2
2y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。当α在(,)22
ππ
-
内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 与之对应，
故可取α为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得
tan y
x
α=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα?=???
?=??
为参数） 这就是抛物线
22y px
=(0)
p >（不包括顶点）的参数方程。如果令
1
,(,0)(0,)tan t t α=∈-∞+∞，则有22(2x pt t y pt
?=?
=?为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)
(0,)
t ∈-∞+∞时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。 四、例题：
例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ?
??=??=?
为参数），点M 在椭圆上，对应的参数
3
π
?=
，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.
解：当3π?=
时，2cos 13
4sin 3x y ππ?
==????==??
故点M
的坐标为(1,，所以直线OM 的斜率
为
例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θ
θθ
=??=?为参数，R θ∈），则该椭圆的焦距为______
__.
解：由参数方程得cos 4
sin 5
x
y θθ?=????=??将两式平方相加得椭圆的标准方程为
2211625x y +=
所以焦距为6=
例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ??
=??=?(?为参数）上离心角为6π
-所对应的点，那么
直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把?=6π
-
代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ??
=??=?(?为参数），可得P
点坐标为(,1)2-，所以直线OP
的倾斜角的正切值是tan 92
?=
=- 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+??
=+?为参数），28cos :(3sin x C y θ
θθ
=??=?为参数）
化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解：2
2
1:(4)(3)1C x y ++-=，2:
C 22
1649
x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设M 为抛物线2
2y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求点P 的轨迹方程。
解：设点(,)P x y ，令2y t =，则22
22y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t
?=?=?，则动
点2
(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组
2
1(12)2
1(02)2
x t y t ?=-+????=+?? 即212
x t y t ?=-+???=?(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。 消去参数化为普通方程是2
12y x =+
，它是以x 轴为对称轴，顶点为1
(,0)2
-的抛物线。 例6、在椭圆22
194
x y +=上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为
3cos (2sin x y ?
??
=??
=?为参数），所以可设点
M
的坐标为
(3cos ,2sin )??
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
d =
=0)10??=-- 其中0?满足于0034
cos ,sin 55
??=
= 由三角函数的性质知，当00??-=时，d
093cos 3cos 5??==，082sin 2sin 5??==，因此，当点M 位于98
(,)55
时，点M
与直线2100x y +-=
。 例7、已知抛物线
22(0)
y px p =>，O 为坐标原点，
,M N
是抛物线上两点且
9MN =
，若直线,OM ON 的倾斜角分别为2,33
ππ
，求抛物线方程。 解：设(,)M x y ，由抛物线参数方程可知22cot 3
2cot 3x p y p ππ?=????=??
，即233x p y p
?=????=??
故223(
,)33p M p ，同理知223(,)33N p p -，因为239
MN = 所以16p =
，得抛物线方程为2
13
y x = 例8、已知两曲线的参数方程分别为5cos sin x y θ
θ?=??=??(0)θπ≤<和25()4x t t R y t
?=?∈??=?，它们
的交点坐标为___________.
解：5cos sin x y θ
θ
?=??=??，表示椭圆221(5501)5x y x y +=-≤≤≤≤且 25()4x t t R y t
?
=?
∈??=?表示抛物线
24
5
y x =
，联立得
2
221(5501)545x y x y y x ?+=-≤≤≤≤???
?=??
且解得2
45015()x x x x +-=?==-或舍 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25
(1,
) 例9、如图所示，
设M 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上任意
一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四
边形MAOB 的面积。 解：双曲线的渐进线方程为
b
y x a
=±
，不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为
(sec ,tan )a b ??，则直线MA 的方程为tan (sec )b
y b x a a
??-=--
将b y x a =代入，解得点A 的横坐标为(sec tan )2
A a
x ??=+
同理可得，点B 的横坐标为(sec tan )2
B a
x ??=-，设AOx α∠=
则，
tan b a
α=
，所以平行四边形
MAOB
的面积为
sin 2sin 2cos cos A B MAOB
x x
S
OA OB αααα
=??=
?? 222222
(sec tan )sin 2tan 4cos 222
a a a
b ab
a ??ααα-=?=?=?=
例10、如图所示，O 是直角坐标系，,A B 是抛物线2
2(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
解：根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为22
1122(,),(2,2),(2,2)x y pt pt pt pt
1212(,0)t t t t ≠?≠且，则 211(,),(2,2)OM x y OA pt pt ==，222(2,2)OB pt pt = 222121(2(),2())AB p t t p t t =--，
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=
即：22
121212(2)(2)01pt t p t t t t +=∴=-①，
因为
OM AB ⊥，所以
OM AB ?=，即
2221212()2()0
px t t py t t -+-=，所以
12()0x t t y ++=，即()120y
t t x x
+=-
≠② 因为221122(2,2),(2,2)AM x pt y pt MB pt x pt y =--=--，且,,A M B 三点共线，
所以 22
1212(2)(2)(2)(2)x pt pt y y pt pt x --=--
化简得 1212()20y t t pt t x +--=③
将①②代入③，得到()20y y p x x
-+-=，即轨迹方程22
20(0)x y px x +-=≠。 随堂练习
1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km ，短轴长为15443km ，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。
解：1556515443
7782.5,7721.522
a b =
=== 所以参数方程为7782.5cos 7721.5sin x y θ
θ
=??
=?
2、已知椭圆22
221x y a b
+=上任意一点M （除短轴端点外）与短轴两端点12,B B 的连线分别
与x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心，求证：OP OQ ?为定值 解：设(cos ,sin )M a b θθ，12(0,),(0,)B b B b - 直线1MB 方程：sin cos b b y b x a θθ++=?，令0y =，则cos sin 1
a x θ
θ=
+ 所以cos sin 1
a OP θθ=
+
直线2MB 方程：sin cos b b y b a θθ--=
x ?，令0y =，则cos 1sin a x θ
θ
=-
所以cos 1sin a OQ θθ=- 所以OP OQ ?2222
cos 1sin a a θ
θ
==- 即OP OQ ?为定值。
3、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
证明;设2
2
2
x y a -=是等轴双曲线，(sec ,tan )P a a ??是双曲线上任意一点，它到两渐近
线y x =±的距离分别是12d d =
=
所以22222
12sec tan 2
2
a a a d d ??
-?=
=是常数。 4、经过抛物线2
2(0)y px p =>的顶点O 任作两条互相垂直的线段OA OB 和，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程。 解：设OA 方程：y kx =，则OB 方程：1y x k
=-
由22y kx y px
=??=?，求得222(,)p p
A k k ，同理可得2(2,2)
B pk pk - 所以AB 中点M 的参数方程为
2
2
22221()2(221()
2p pk
k x p k k
k p
pk
k y p k k
?+?==+????-?==-??为参数）
5
、设曲线2cos (x y θ
θθ
=???=??为参数）与x 轴交点为M N ，。点P 在曲线上，则,PM PN
所在直线的斜率之积为（） A 、34-
B 、43-
C 、34
D 、43
解：曲线的普通方程为22
143
x y +=，与x 轴的交点坐标为(2,0),(2,0)-，又设曲线上任意
一点(2cos )P θθ，
则,PM PN
的斜率的积为22
3sin 3
4(cos 1)4
MP NP
k k θθ?===-- 选A 6、过点(3,2)-且与曲线3cos (2sin x y ?
??
=??
=?为参数）有相同焦点的椭圆的方程是（）
A 、
2211510x y += B 、222211510x y += C 、2211015x y += D 、22
2211015
x y += 解：曲线3cos (2sin x y ???
=??=?为参数）的普通方程为22
194x y +=，把点(3,2)-代入选项可知应选A
。再验证一下焦点是否为( 7、中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为
1
2
的椭圆方程是（） A 、2cos sin x y θθ=??
=? B
、2sin x y θθ?=??=?? C
、2cos x y θθ
=???=?? D 、cos 2sin x y θθ=??=?
解：由2
412
a c
c a ?=????=
?? 解得21a c =??=?，选C
8、椭圆3cos (5sin x y ?
??
=??
=?为参数）的两个焦点坐标是（）
A 、(0,3),(0,3)-
B 、(0,4),(0,4)-
C 、(4,0),(4,0)-
D 、(3,0),(3,0)-
解：由椭圆3cos (5sin x y ?
??
=??
=?
为参数），可知5,3,4a b c ====，且焦点在y 轴
上，焦点坐标为(0,4),(0,4)-，选B 。
9、点(1,0)P 到曲线2
2x t y t
?=?=?（其中，参数t R ∈）上的点的最短距离是（）
A 、0
B 、1 C
D 、2
解：方程22x t y t
?=?=?表示抛物线2
4y x =的参数方程，其中2p =，设点(,)M x y 是抛物线上
任意一点，则点(,)M x y 到点(1,0)P
的距离11d x ===+≥
所以最短距离为1 ，选B 。
10、双曲线3tan (1cos x y ???=??
?=??
为参数）的两条准线方程分别是__________.
解：双曲线的普通方程为2
2
19
x y -=，所以双曲线的焦点在y 轴上，且中心在原点，对称轴为x 轴，y 轴，所以两条准线方程为2
a y c
=±
，且1,3,a b c ====，所
以准线方程为10
y =±
。 11、椭圆2cos sin x y θ
θ=??
=?
中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程是__________
解：设斜率为1的平行弦的方程为
y x b
=+，代入椭圆方程
2
214
x y +=可得。
2
2
58440x bx b ++-=，所以方程的两根12,x x 满足1285
b
x x +=-，212445b x x -=，则
中点(,)M x y 满足12425
5x x b x b y x b +?
==-????=+=??
消去b 得到40x y +=（椭圆内部分），即为斜率
为1的平行弦的中点轨迹方程。
第二节 直线的参数方程
一、知识点; 1、 经过点
000(,)
M x y ，倾斜角为
α()
2
π
α≠
的直线
l
的普通方程是
00tan ()y y x x α-=-
如图所示
在直线l 上任取一点(,)M x y ，则00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--