高考数学高三模拟试卷试题压轴押题 13

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合{}23|1,|1213n M x N n n Z x ?

?=<=≤≤∈????且，则N M =（ ） A ．{}2,3 B ．{}3 C ．)

0,3?? D ．[)2,+∞ 【答案】A

考点：集合的交集．

2.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（ ）

A ．43

- B ．1 C ．0 D ．4 【答案】C

【解析】

试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++?，所以0c =，故选C ．

考点：正态分布．

3.已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有

11x yi i =+-，则z =（ ） A ．5 B 5．3 D 3【答案】B

【解析】

试题分析：因为(1)112

x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，5z =，故选B ． 考点：复数的运算．

4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，

其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）

A ．100

B ．1000

C ．90

D ．900

【答案】A

考点：频率分布直方图．

5.已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线22

22

123x y m n -=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．15x y =±

B ．15y x =±

C ．3x y =±

D ．3y x = 【答案】D

【解析】

试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是22223332164

n n y x x x m n =±=±=±，故选D ． 考点：1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．

6.在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ）

A ．34

B ．14

C ．12

D ．23

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件

区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224

A u =

??=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ． 考点：几何概型． 7.右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）

A ．362π+

B ．365π+

C ．368π+

D ．3620π+

【答案】A

考点：三视图．

8.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120

个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最 少的那份有（ ）个面包．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 【答案】C

【解析】

试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：

1111208

a a d ++=?②，联立①②解得12a =，故选C ． 考点：1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．

9.若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤??-≤??≥?

，则2z x y =-的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．5

2-

D ．72

- 【答案】D 考点：线性规划．

10.执行右图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）

A ．120

B ．240

C ．360

D ．720

【答案】C

考点：程序框图．

【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

考点：程序框图．

11.已知函数()3)cos()sin()cos(

)2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A

最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC =（ ） A ．2

99π+ B ．2

99π- C ．2

44π+ D ．2

44π-

【答案】D

【解析】

考点：1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；

5、向量的数量积．

【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM 及1cos MAE AM

∠=，再利用2AB AM =，cos cos2BAC MAE ∠=∠进行处理． 12.已知函数42421()()1

x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、 ()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）

A ．24k -<<

B ．142k -

<< C ．21k -<≤ D ．112

k -<≤ 【答案】B

【解析】 试题分析：当0x ≠时，4224242221(k 1)1()()111111x kx x k f x k R x x x x x x

++--=∈=+=+++++++，令22

11t x x =+

+，则3t ≥，所以①10k -=时， 即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以

11()13k f x -≤≤+

，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13

k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t

--+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213

k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<， 故选B ． 考点：1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论． 【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.已知曲线2

()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________．

【答案】1

考点：导数的几何意义．

14.已知51

(1)(1)x x -+的展开式中(15)r

x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________． 【答案】2

【解析】

试题分析：由二项式展开式的通项知：51

(1)(1)x x -+的通项为1551

(1)()r r r r r C x C x x x --=-，所以

51(1)(1)x x

-+的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+- 5

545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．

考点：二项式定理．

15.设ABC ?内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ?的面积为2，AB 2，

且cos sin b a C c A =+，则ABC ?中最长边的长为________． 【答案】224或

考点：1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理．

【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出42bc =和222c b +=+，再解方程组，注意角43

A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边． 16.如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在

杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．

【答案】1

【解析】

试题分析：设小球截面球心

)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-

2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应

填：1．

考点：1、圆的性质；2、抛物线的的性质． 【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该 地区调查了500位老人，结果如下面表中所示： 是否需要帮助性别 男

女 合计 需要

50 25 75 不需要

200 225 425 合计 250 250 500

（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；

（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老

年人的比例？并说明理由．

附：独立性检验卡方统计量2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：

2()P K k ≥ 0.15

0.10 0.05 0．025 0.010 0.005 0.001 k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析．

试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老

年人的比例的估计值为15%．

（2）22500(5022525200)500 6.6352502507542551K ??-?==>???， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

考点：1、22?列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．

18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈．

（1）求出数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足13()

2n n a b n a -=，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）13

()2n n a -=；（2）43

t ≥．

（2）有已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=-，所以max 234()3n b b b ===，则43

t ≥． 考点：1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题．

19.（本题满分12分）我国政府对PM2.5采用如下标准：

PM2.5日均值m （微克/立方米） 空气质量等级

35m < 一级

3575

m

≤≤二级

75

m>超标

某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所

示（十位为茎，个位为叶）．

（1）求这10天数据的中位数；

（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；

（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．

【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天．

ξ01234

P 15

210

80

210

90

210

24

210

1

210

树茎树叶28 2 38 2 1 4 4 5 6 3 8 77

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以44 1.610E ξ?== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （III ）一年中每天空气质量达到一级的概率为

25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=?=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146

天． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．

20.（本小题满分12分）已知直线1y x =+被圆2232

x y +=截得的弦长恰与椭圆 22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率22e =． （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知过点1(0,)3

M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使

得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2

212

x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ．

此时以AB 为直径的圆恒过定点

(0,1)T ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为22

1x y +=也过点(0,1)T ．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，

若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为22116

()39

x y ++=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ?+=??++=??

，解得01x y =??=?，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． ．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：

当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为22

1x y +=，过点(0,1)T ； 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥，从而只需计算0TA TA ?=恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．

21.（本小题满分12分）已知存在实数,,a b c 和,,αβγ使得32

()f x x ax bx c =+++ ()()()x x x αβγ=---．

（1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；

（2）当11()32

αβγαβ-=

>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成

立，求()f m 的最值． 【答案】（1）3；（2）最大值

3486

，无最小值． 【解析】 试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而

2222()2()3

αβγαβγαββγγα++=++-++=；

（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][

]22()()()()()3333

1(2)(2)(2)2713()23()116()27

1(32)(31)(16)27

a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+- 其中11()26

t γβαβ=->-=，令()(32)(31)(16)g t t t t =-+-，则2()9(1861)g t t t '=---，所以()g t 在113(,)66+上递增，在13(,)6

++∞上递减． 由此可求出max 21133()()276486f m g +=

=，()f m 无最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．

【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222

αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3

a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）（原创）如右图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的 弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．

（1）求AC AB

的值；

（2）若

3BC =，求2O 到弦AB 的距离．

【答案】（1）23

；（2）１． 考点：1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．

23.（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21224x t y t ?=-????=-??（t 为参数），再 以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标 系中圆C 的方程为4sin ρθ=．

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．

【答案】（1）22

(2)4x y +-=；（2）32

考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．

24.（本小题满分10分）（原创）已知函数()21,f x x x R =-∈． （1）解不等式()1f x x <+； （2）若对于,x y R ∈，有111,2136

x y y --≤+≤．求证：()1f x <． 【答案】（1）02x <<；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a

试题解析：（1）

()1121102f x x x x x <+?-<-<+?<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++

115212121366

x y y ≤--++≤?+=<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

考点：1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．

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