【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(三)(含答案解析)
高中同步测试卷(三)单元检测 三角函数的图象与性质(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos x ＝－12，且x ∈[0，2π]，则角x 等于( )A.2π3或4π3 B ．－π3或2π3 C ．－2π3或2π3 D ．－2π3或π3 2．函数y ＝|cos x|－1的最小正周期是( ) A ．2k π(k ∈Z) B ．3π C ．π D ．2π3．如图所示，函数y ＝cos x |sin x||cos x|⎝⎛⎭⎫0≤x<3π2且x≠π2的图象是( )4．已知函数f(x)＝－cos x ，则下面结论错误的是( )A ．函数f(x)的最小正周期为2πB ．函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f(x)是奇函数 5．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝⎛⎭⎫0，π2内是增函数的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝cos 2x C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 6．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°7．函数y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2kπ－43π，2k π＋23π(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤4kπ－43π，4k π＋23π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2kπ＋23π，2k π＋83π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤4kπ＋23π，4k π＋83π(k ∈Z) 8．已知函数f(x)＝tan(cos x)，则下列结论中正确的是( ) A ．定义域是[－1，1] B ．f(x)是奇函数C ．值域是[－tan 1，tan 1]D ．在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增9．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( )A ．4π B.8π3 C ．2π D.4π310．对于函数f(x)＝12(sin x ＋cos x)－12|cos x －sin x|，下列说法正确的是( )A ．该函数的值域是[－1，1]B ．当且仅当2kπ<x<2k π＋π2(k ∈Z)时，f(x)>0C ．当且仅当x ＝2kπ＋π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数11．设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f(x)＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．设函数f(x)是定义在R 上的最小正周期为5π2的函数，且在(－π，π]上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π，cos x ，－π＜x ＜0，则f ⎝⎛⎭⎫－11π4的值为( ) A ．－22 B.22 C.32 D ．－3213．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3的值域是________． 14．用“五点法”作函数y ＝sin x －1，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点的坐标是____________________．15．sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10按从大到小的顺序排列为________．16．函数y ＝54－sin 2x －3cos x 的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．18．(本小题满分12分)若函数f(x)＝2tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω<0)的最小正周期为2π，求f(x)的单调区间．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2. (1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式－2<f(x)－m<2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－cos 2x ＋cos x ＋m ，若1≤f(x )≤5恒成立，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(x ＋φ)，其中0<φ<π，x ∈R ，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12.(1)求f(x)的解析式；(2)作出函数y ＝1－2f(x)在[0，2π]内的简图，并指出该函数在[0，2π]内的单调递减区间．参考答案与解析1．解析：选A.因为cos x ＝－12<0，所以x 在第二象限或第三象限． 因为cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12， 所以x ＝π－π3＝2π3.因为cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12， 所以x ＝π＋π3＝4π3，所以满足条件的角x ＝2π3或4π3.2．解析：选C.因为函数y ＝|cos x|－1的周期同函数y ＝|cos x|的周期一致，由函数y ＝|cos x|的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x|－1的最小正周期也为π，故选C.3．解析：选C.y ＝⎩⎨⎧sin x ，0≤x<π2或π≤x<32π，－sin x ，π2<x<π，结合选项知C 正确．4．解析：选D.由f(x)＝－cos x 的图象可知A 、B 、C 均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D.5．解析：选D.由函数周期为π可排除A.x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D.6．解析：选C.由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.7．[导学号19460013] 解析：选D.函数y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间即为函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间．由2kπ≤x 2－π3≤π＋2kπ，k ∈Z ，得23π＋4kπ≤x ≤8π3＋4kπ，k ∈Z.故选D.8．解析：选C.当x ∈R 时，－1≤cos x ≤1，而y ＝tan x 在区间[－1，1]上有意义，所以函数的定义域为R ，A 错；f(－x)＝tan(cos(－x))＝tan(cos x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B 错；因为－1≤cos x ≤1，所以函数的值域为[tan(－1)，tan 1]，即[－tan 1，tan 1]，C 正确；因为y＝cos x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上不是单调的，所以D 错，故选C. 9．解析：选C.由正弦函数的图象知(b －a)min ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π3，(b －a)max ＝13π6－5π6＝4π3，所以b －a 的最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π，故选C.10．解析：选B.f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x<cos x cos x ，sin x ≥cos x，由图象知，函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，A 错；当且仅当x ＝2kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数取得最大值22，C 错；最小正周期为2π，D 错，故选B.11．[导学号19460014] 解析：选A.设k ∈Z 且k≠0，因为 f(x)是以1为一个周期的函数，所以k 也是f(x)的周期．所以f(x －k)＝f(x)， 故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4， 从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12，又当x ∈(－1，0)时，f(x)＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. 12．解析：选B.f ⎝⎛⎭⎫－11π4＝f ⎝⎛⎭⎫－11π4＋5π2 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π4，因为－π＜－π4＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4＝22， 所以f ⎝⎛⎭⎫－11π4＝22. 13．解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，所以tan x ∈[－1，3]． 答案：[－1，3]14．[导学号19460015] 解析：当x ＝0，π2，π，3π2，2π时，函数值y ＝－1，0，－1，－2，－1，所以五个关键点的坐标是(0，－1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－2，(2π，－1)． 答案：(0，－1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－2，(2π，－1) 15．解析：因为π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减， 所以sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10.答案：sin 3π5>sin 4π5>sin 9π1016．[导学号19460016] 解析：y ＝54－sin 2x －3cos x＝54－(1－cos 2x)－3cos x ＝cos 2x －3cos x ＋14＝⎝⎛⎭⎫cos x －322－2. 因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，y 有最小值⎝⎛⎭⎫1－322－2＝－74. 答案：－7417．解：要使函数有意义， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0sin x>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<sin x ≤12sin x>0，即0<sin x ≤12.作出正弦函数y ＝sin x 的图象，如图所示，由图可得函数的定义域为⎝⎛⎦⎤2kπ，2k π＋π6∪⎣⎡⎭⎫2kπ＋5π6，2k π＋π，k ∈Z. 18．解：因为f(x)＝2tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω<0)的最小正周期为2π， 所以π|ω|＝2π，所以|ω|＝12.又因为ω<0，所以ω＝－12.即f(x)＝2tan ⎝⎛⎭⎫－12x －π3 ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 由k π－π2<12x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－53π<x<2k π＋π3(k ∈Z)．所以函数f(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎫2kπ－53π，2k π＋π3(k ∈Z)． 19．解：(1)因为f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π，由－π＋2kπ≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ(k ∈Z)． (2)因为f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8，最小值为－1，此时x ＝π2.20．解：(1)因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，所以2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， 故f(x)＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最大值为3，最小值为2. (2)由(1)知2≤f(x)≤3，要使不等式－2<f(x)－m<2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，即使不等式m－2<f(x)<m ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，因此有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3， 从而解得1<m<4，即实数m 的取值范围是(1，4)． 21．[导学号19460017] 解：设t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则y ＝－t 2＋t ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋m ＋14， 当t ＝12时，y 取得最大值m ＋14；当t ＝－1时，y 取得最小值m －2. 由于1≤f(x)≤5恒成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧m ＋14≤5m －2≥1，解得3≤m≤194.因此实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤3，194. 22．[导学号19460018] 解：(1)因为f(x)的图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝12. 因为0<φ<π， 所以φ＝π2，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x. (2)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，并由图象可知该函数在[0，2π]内的单调递减区间为[π，2π]．。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误； 由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． 解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案
§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：学期综合测评 Word版含解析
学期综合测评对应学生用书P101本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于()A．－35B．45C．25D．－25答案D解析据三角函数的定义可知sinα＝－35，cosα＝45，∴2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25．2．若一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的()A．12B．2倍C．13D．3倍答案D解析设圆弧的半径为r，弧长为l，其弧度数为lr，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍，故选D ． 3．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( ) A ．79 B ．－89 C ．－79 D ．429 答案 A解析 因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×－132＝79．4．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，且a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．3 D ．23 答案 C解析 a·b ＝|a ||b |cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝3． 5．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C ．35 D ．－45 答案 B解析 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35．6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6 答案 A解析 ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3，1)．令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2， ∴A (2，0)，∴OA →＋OB →＝(5，1)，AB →＝(1，1)． ∴(OA →＋OB →)·AB→＝6． 7．已知函数f (x )＝43sin ωx ＋π3(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC ＝90°，则ω＝( )A ．π4B ．π8C ．π6D ．π12 答案 B解析 由三角函数图象的对称性知P 为AC 的中点，又∠ABC ＝90°，故|P A |＝|PB |＝|PC |＝T 2，则|AC |＝T ．由勾股定理，得T 2＝(83)2＋T22，解得T ＝16，所以ω＝2πT ＝π8．8．为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向左平移π4个单位长度 答案 A解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．9．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π4 答案 A解析 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ．故选A ．10．已知|a |＝22，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD→的长度为( )A ．152B ．152 C ．7 D ．8 答案 A解析 AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b ) ＝12(6a －b )，∴|AD→|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254， ∴|AD→|＝152．故选A ．11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则f (x )的最小正周期为( )A ．π3B ．π2C ．5π6 D ．π 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，可得函数f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12，则x ＝π2离最近一条对称轴的距离为7π12－π2＝π12．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，故x ＝π4离最近一条对称轴的距离也为π12，所以T 2＝2×π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝5π12，所以T ＝5π6．故选C ．12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤3 答案 C解析 f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x 2－62＋m＝322sin x 2＋62cos x2＋m ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x 2＋12cos x 2＋m＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋m ，故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，只需m ≤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．∵－5π6≤x ≤π6，－π4≤x 2＋π6≤π4， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6min ＝－3， ∴m ≤－3．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝sin 23x ＋π2＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 3π2解析 f (x )＝cos 23x ＋sin 23x ＝2sin 23x ＋π4，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T ＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2．14．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为________．答案 120°解析 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cosθ＝a·c|a||c|＝－525＝－12．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．15．已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈π4，π2，则f(x)的最小值为________．答案1解析f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1＝1－cos2π4＋x－3cos2x－1＝－cos π2＋2x－3cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，因为π4≤x≤π2，所以π6≤2x－π3≤2π3．所以12≤sin2x－π3≤1．所以1≤2sin2x－π3≤2．即1≤f(x)≤2，则f(x)的最小值为1．16．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；④将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y ＝2sin2x 的图象．其中正确的命题为________(填序号)． 答案 ①③解析 f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以最小正周期T ＝π，①正确；当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin2×π4－π4＝2sin π4，不是最值，所以②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，所以③正确；将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，所以④错误．综上，正确的命题为①③． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103． (1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π4的值．解 (1)由tan α＋1tan α＝－103，整理，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 即(3tan α＋1)(tan α＋3)＝0．∵3π4＜α＜π，∴－1＜tan α＜0，∴tan α＝－13．(2)5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π4＝5sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6cos 2α2－82sin α－π4＝5sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6×1＋cos α2－82sin α－π4＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝4×－13＋3－13－1＝－54．18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1．(1)求向量n ；(2)在△ABC 中，B ＝π3，若向量n ＝(0，－1)，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，求|n ＋p |的取值范围．解 (1)设n ＝(x ，y )，由m ·n ＝－1，得x ＋y ＝－1．① 又∵m 与n 的夹角为3π4，∴m ·n ＝|m ||n |·cos 3π4， ∴x 2＋y 2＝1．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，∴n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，0<A <2π3．若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2－1＝(cos A ，cos C )．∴|n ＋p |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3．∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π3， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<12，12≤1＋12cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<54， 即|n ＋p |2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，54，∴|n ＋p |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，52．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到？解 f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如下图．(3)解法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．解法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．20．(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝π4，半径为R ．现欲修建的花园为▱OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设∠MON ＝θ，▱OMNH 的面积为S ．(1)将S 表示为关于θ的函数； (2)求S 的最大值及相应的θ值．解 (1)如图，过N 作NP ⊥OA 于点P ，过H 作HE ⊥OA 于点E ， ∵∠AOB ＝π4，∴OE ＝EH ＝NP ＝R sin θ，OP ＝R cos θ，∴HN ＝EP ＝OP －OE ＝R (cos θ－sin θ)， ∴S ＝HN ·NP ＝R 2(cos θ－sin θ)sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4．(2)S ＝R 2(cos θsin θ－sin 2θ) ＝R 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ－1－cos2θ2 ＝12R 2(sin2θ＋cos2θ－1) ＝12R 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4－1，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，且最大值为2－12R 2．21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos2x )，求函数f (x )＝m ·n x ∈0，π2的值域．解 (1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α， 则tan α＝17，α∈0，π2．所以tan α＜tan π4，所以α∈0，π4．所以tan θ＝tan α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈π4，π2．所以由⎩⎨⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为35，45． (2)f (x )＝3sin θ·sin2x ＋2cos θ·2cos2x ＝125sin2x ＋125cos2x ＝1225sin2x ＋π4．由x ∈0，π2，得2x ＋π4∈π4，5π4， 所以sin2x ＋π4∈－22，1，所以函数f (x )的值域为－125，1225．22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )． (1)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若关于x 的方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解 (1)∵a ＝(3sin2x ，cos2x )， b ＝(cos2x ，－cos2x )，∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 22x ＋12 ＝32sin4x －1＋cos4x 2＋12＝－12＋32sin4x －12cos4x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6．由a ·b ＋12＝－35，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－35．∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12，∴4x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－45．∴cos4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6sin π6＝3－4310．(2)∵cos x ≥12，又因为余弦函数在(0，π)上是减函数，∴0<x≤π3．令f(x)＝a·b＋12＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π6，g(x)＝m，在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知：m＝1或m＝－1 2．。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(十四)(含答案解析)
高中同步测试卷(十四)高考微专题 高考中的三角恒等变换(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 165°的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.－6－242．设向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，b ＝(cos 53°，cos 37°)，则a·b 等于( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－123．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－434．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 5．tan αtan 2α－tan 2αtan α＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π27．4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 8．已知顶点在坐标原点，终边在第三象限的角α满足1＋cos 2α1＋sin 2α＝12，则tan α＝( )A ．1或－3B ．1C ．－1或3D ．3 9．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.34π B.54π C.74π D.54π或74π 10．已知β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足tan (α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) A.23 B.4211 C.3211 D.32411．已知3＋tan θ1－tan θ＝1＋23，那么sin 2θ＋sin 2θ的值为( )A ．1 B.45 C.35 D.2512．已知25sin 2α＋sin α－24＝0，α是第二象限角，则cos α2的值等于( )A ．±35 B.35 C ．－35 D ．以上均不正确13．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．15．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.16．已知sin ()α－2β＝－23，cos ()2α－β＝14，其中0<α<π4，π2<β<3π4，则cos (α＋β)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·高考广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.18．(本小题满分12分)(2014·高考江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.20．(本小题满分12分)(2014·高考江西卷)已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋acos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．21.(本小题满分12分)已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x)，b ＝(1，sin x ＋cos x)，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x 的值； (2)若f(θ)＝85，求cos 2⎝⎛⎭⎫π4－2θ的值．22．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos 2x ＋23⎝⎛⎭⎫sin xcos x ＋3a 6，其中x ∈R ，a 为常数． (1)求y ＝f(x)的最小正周期；(2)若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y＝f(C)的最小值为0，求a的值；(3)在(2)的条件下，试画出y＝f(x)(x∈[0，π])的简图．参考答案与解析1．解析：选D.cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－22×32－22×12＝－6－24，故选D. 2．解析：选A.a·b ＝(cos 23°，cos 67°)·(cos 53°，cos 37°) ＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37° ＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53° ＝cos(23°－53°)＝cos(－30°)＝32.故选A. 3．[导学号19460084] 解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．解析：选A.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3tan αtan β＝2，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.5．[导学号19460085] 解析：选A.tan αtan 2α－tan 2αtan α＝tan 2α²tan 2α－1tan α＝2tan α1－tan 2α²tan 2α－1tan α＝－2，故选A.6．解析：选B.由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin (α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以由sin (α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.7．[导学号19460086] 解析：选C.4cos 50°－tan 40° ＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.8．解析：选B.由1＋cos 2α1＋sin 2α＝2cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＋sin 2α＝21＋2tan α＋tan 2α＝12，可得tan 2α＋2tan α－3＝0，解得tan α＝1或tan α＝－3，因为角α的终边在第三象限，所以tan α＝1，故选B.9．[导学号19460087] 解析：选C.因为α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， 所以cos α＝－255，sin β＝1010，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0， 又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， 所以α＋β＝7π4.10．解析：选B.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝24，又因为tan (α＋β)＝324，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan （α＋β）－tan β1＋tan （α＋β）tan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.11．解析：选A.由条件等式可解得tan θ＝12.所以sin 2θ＋sin 2θ＝sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝14＋2×1214＋1＝1.12．解析：选A.因为α为第二象限角，所以由25sin 2α＋sin α－24＝0求得sin α＝2425(sin α＝－1舍去)，则有cos α＝－725.又由α为第二象限角可判断α2为第一、三象限角，所以由cos α＝2cos 2α2－1，求得cos α2＝±35.13．[导学号19460088] 解析：因为f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φ²cos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， 所以f(x)的最大值为1. 答案：114．解析：因为sin 2α＝－sin α， 所以2sin αcos α＝－sin α.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－12. 所以sin α＝1－cos 2α＝32. 所以sin 2α＝－32，cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝ 3. 答案： 315．解析：y ＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x)， 设15＝cos α，25＝sin α， 则y ＝5(sin xcos α－cos xsin α) ＝5sin(x －α)．因为x ∈R ，所以x －α∈R ，所以y max ＝ 5. 又因为x ＝θ时，f(x)取得最大值， 所以f(θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25516．[导学号19460089] 解析：因为0<α<π4，π2<β<3π4，所以－3π2<α－2β<－34π，－34π<2α－β<0，所以由sin (α－2β)＝－23，得cos (α－2β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53，由cos (2α－β)＝14，得sin (2α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫142＝－154， 则cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β) ＝14×⎝⎛⎭⎫－53＋⎝⎛⎭⎫－154×⎝⎛⎭⎫23 ＝215－512.答案：215－51217．解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝Asin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4 ＝Asin2π3＝Asin π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3.(2)由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 故f(θ)＋f(－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4 ＝32，所以 3⎣⎡⎦⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32， 所以6cos θ＝32，所以cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin (π－θ)＝3sin θ＝304. 18．解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.19．[导学号19460090] 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－45.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725.20．解：(1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x)－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.21．[导学号19460091] 解：(1)因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x)，b ＝(1，sin x ＋cos x)， 所以f(x)＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即x ＝kπ＋38π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值2＋1.(2)由f(θ)＝1＋sin 2θ－cos 2θ及f(θ)＝85，得sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方，得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625. 因此cos 2⎝⎛⎭⎫π4－2θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－4θ ＝sin 4θ＝1625.22．解：(1)y ＝f(x) ＝2cos 2x ＋23⎝⎛⎭⎫sin xcos x ＋36a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.所以T ＝π. (2)由C 为△ABC 的三个内角中的最大角可得： π3≤C<π⇒2C ＋π6∈⎣⎡⎭⎫5π6，13π6， 所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋a ＋1的最小值为：2×(－1)＋a ＋1＝0⇒a ＝1.(3)由(2)知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，列表如下：。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：章末综合检测(一) Word版含答案
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C .相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A .25 B ．－25C .15D ．－15解析：选A .由于点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.由于a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. 所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为其次象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D .sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 由于α为其次象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D .由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；由于y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；由于f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D .12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A .355B ．377C .31010D .13解析：选C .由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．1 B ．－12C ．0D ．－1解析：选D .由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D . 9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A .23 B ．43C .32D ．3解析：选C .法一：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．由于两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32.法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32.10．假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A .π6 B ．π4C .π3D .π2解析：选A .由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0， 所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．假如函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A .由于T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，所以f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1， 又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A .12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A .π12 B ．π6C .π3D .π4解析：选A .令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，由于函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________． 解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________． 解析：由于0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， 所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象． 其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，由于k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对． 答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：由于cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ， 所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2， 故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)由于点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，由于0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下， x ＋π6 －56π －π2 0 π2 π 76π x －π －23π －π6 π3 56π π y－1131则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由于点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ的图象上， 所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )． 当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]， 与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？ (2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的全部实数根之和．解：(1)由于T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π4＝2π3， 所以ω＝2πT＝3.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1， 所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上全部点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． (2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为2π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期， 所以sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2×2＝19π6， 故全部实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把 (0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. 由于0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由于T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由于点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. 由于点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. 所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
2024-2024学年优化方案苏教语文必修：高中同步测试卷含答
2024-2024学年优化方案苏教语文必修：高中同步测试卷(4)（含答案）清晨的阳光透过窗帘，洒在我的书桌上，眼前的电脑屏幕上跳出这个熟悉的。
思绪一下回到了十年前，那时候的我，还是一个刚刚入门的方案写作者，对于测试卷的编写，更多的是一份敬畏和好奇。
如今，我已经在这个领域摸爬滚打了十年，对于这份工作，有了更深的理解和感悟。
要确保测试卷的题目质量。
这些题目不能仅仅是为了测试而测试，它们需要具有代表性、创新性和针对性。
因此，在编写试卷之前，我要做的是对教材进行深入的研究，了解教材的重点、难点和考点。
这样，我才能确保试卷的题目能够覆盖到这些关键内容。
1.阅读理解部分在阅读理解部分，我选择了教材中的一篇现代文《背影》和一篇古文《岳阳楼记》。
这两篇文章都具有很强的代表性，前者是现代文的经典之作，后者则是古文的代表。
在题目设计上，我注重考查学生对文章内容的理解、分析和概括能力，同时也考察他们的审美鉴赏能力。
2.古诗文默写部分在这一部分，我选取了教材中的十首古诗和五篇古文。
这些诗文都是教材中的重点篇目，对于学生掌握古诗文知识具有重要的意义。
在题目设计上，我要求学生不仅要准确默写诗文，还要理解诗文的意思，甚至要能够背诵出来。
3.文言文翻译部分在这一部分，我选择了教材中的五篇文言文，要求学生进行翻译。
翻译不仅要求准确，还要注意语句的通顺和优美。
这一部分旨在考查学生的文言文阅读能力和翻译能力。
4.写作部分在这一部分，我设计了一篇作文题目，要求学生结合教材中的内容，进行创新性的写作。
这一部分旨在考查学生的写作能力，同时也鼓励他们发挥自己的想象力和创造力。
我要谈谈答案的编写。
答案不仅仅是提供一个正确答案，更重要的是要给出解题过程和思路。
这样，学生在核对答案时，不仅能够知道自己的答案是否正确，还能从中学习到解题的方法和技巧。
1.阅读理解部分的答案在编写答案时，我详细列出了解题步骤，包括如何理解文章内容、如何分析文章结构、如何概括文章主旨等。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修3：高中同步测试卷一 含答案
高中同步测试卷(一)第一章算法初步(A卷)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结论C．解决某一个具体问题，算法不同所得的结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施2.符号表示的意义是()A．流程图的开始或结束B．数据的输入或输出C．根据给定条件判断D．赋值执行语句结果的传递3.若一个算法的结构框图中有，则表示该算法中一定有下列逻辑结构中的()A．循环结构和条件分支结构B．条件分支结构C．循环结构D．顺序结构和循环结构4.下列给出的赋值语句中正确的是()A．3＝A B．m＝3*mC．B＝A＝2 D．x＋y＝05.条件语句的一般格式是if abelsecend其中b表示的是()A．满足条件a时执行的内容B．条件语句C．条件D．不满足条件a时执行的内容6.阅读下列程序，该程序执行循环体的次数为()S＝0；for i＝－5：5：150S＝S＋i；endSA．30次B．31次C．29次D．32次7.我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为()A．运算速率快B．能计算出π的精确值C．“内外夹逼”D．无限次地分割8.下列关于程序框图的说法正确的有()①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；③程序框图中的循环可以是无尽循环；④连接点是用来连接两个程序框图的．A．①②③B．②③C．①D．①②9.下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，x＝input (“x＝”)；if ________y＝－x；elsey＝x*x；endy则填入的条件应该是()A．x＞0 B．x＜0C．x＞＝0 D．x＜＝010．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.以下是解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6＝0 ①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整．S1 ①②两式相加得3x ＋9＝0.③S2 由③式可得________．④ S3 将④式代入①式得y ＝0. S4 输出方程组的解________．12.计算图中空白部分面积的一个算法框图如下，则①中应填________．13.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是________．(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)14.运行如下图所示的程序，输出的结果是________． a ＝1；b ＝2；a ＝a ＋b ；print （%io （2），a ）；15.下面程序是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥4x 2－2x ＋3， x ＜4的函数值，则①为________．x ＝input(“x ＝”)； if __①__y ＝2*x －1；三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)设一个球的半径为r(r＞0)，请写出求以r为半径的球的表面积的算法．17.(本小题满分12分)已知一个直角三角形的两条直角边的边长分别为a，b，设计一个算法，求三角形的斜边，并画出相应的程序框图．18.(本小题满分12分)画出求1×2×3×4×5×6×7的程序框图．19.(本小题满分12分)设计程序，用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0.20.(本小题满分13分)已知a，b，c三个实数中，有且只有一个是负数，试用条件语句的嵌套设计一个程序，筛选出这个负数．21.(本小题满分14分)执行如图所示的程序框图，输出的S值为多少？并由程序框图写出程序．参考答案与解析1．[导学号32040000]解析：选B.B项，如判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；而A项，算法不能等同于解法；C项，解决某一个具体问题，算法不同所得的结果应该相同，否则算法不正确；D项，算法可以为很多次，但不可以无限次．2．[导学号32040001]解析：选C.掌握每一种框图的功能，能准确地画出框图符号．3．[导学号32040002]解析：选B.当有判断框时，一定有条件分支结构．4．[导学号32040003]解析：选B.对于A项，只能将赋值号右边的值赋给左边的变量；对于C、D项，只能给一个变量赋值；故只有B正确．5．[导学号32040004]解析：选A.b表示满足条件a时执行的内容，而c表示不满足条件a时执行的内容．6．[导学号32040005]解析：选D.for循环中，变量初值为－5，步长为5，终值为150，所以共执行循环体32次．7．[导学号32040006] 解析：选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．8．[导学号32040007] 解析：选D.由框图符号及作用的说明可知③④错误，程序框图中的循环必须是有限循环；连接点是用来连接同一个程序框图的不同部分的．9．[导学号32040008] 解析：选D.因为条件真则执行y ＝－x ，条件假则执行y ＝x *x ，由程序功能知条件应为x ＜＝0.10．[导学号32040009] 解析：选C.法一：(通性通法)第一步，a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；第二步，a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；第三步，a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3＞2，跳出循环．故输出的s ＝17.法二：(光速解法)由秦九韶算法的意义可知s ＝f (x )＝[(0×x ＋2)x ＋2]x ＋5＝2x 2＋2x ＋5，故输出的s ＝f (2)＝17.11．[导学号32040010] x ＝－3 x ＝－3，y ＝012．[导学号32040011] 解析：该算法功能是求图形中空白部分的面积．S 白＝S 正－S 扇＝a 2－14π(a 2)2＝a 2－πa 216. 答案：S ＝a 2－πa 21613．[导学号32040012] 解析：当x ＞1时，令y ＝log 2x ＝12，解之得x ＝2，符合题意；当x ≤1时，令y ＝x －1＝12，解之得x ＝32，不符合题意，故x ＝ 2.答案： 214．[导学号32040013] 解析：a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3，所以输出的结果是3. 答案：315．[导学号32040014] 解析：由条件语句的特点知①处应为x ＞＝4. 答案：x ＞＝416．[导学号32040015] 解：算法如下： S1 输入半径r ；S2 计算表面积S ＝4πr 2； S3 输出S .17．[导学号32040016] 解：算法如下： S1 输入a ，b ；S2 计算d ＝a 2＋b 2； S3 计算c ＝d ； S4 输出c . 程序框图如图：18．[导学号32040017] 解：本题可用顺序结构和循环结构来完成，循环结构流程图如图所示．19．[导学号32040018] 解：根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac2a ，结合赋值语句便可以设计出这个运算程序．程序如下： a ＝2； b ＝3； c ＝－1；x1＝(－b ＋sqrt(b*b －4*a*c))/(2*a)； x2＝(－b －sqrt(b*b －4*a*c))/(2*a)； print(%io(2)，x2，x1)；20．[导学号32040019] 解：程序框图如图所示．a ＝input(“a ＝”)；b ＝input(“b ＝”)；c ＝input(“c ＝”)； if a ＜0print(%io(2)，a)； elseif b ＜0print(%io(2)，b)； elseprint(%io(2)，c)； end end21．[导学号32040020] 解：由程序框图，依次可得， i ＝0＜4，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13；i ＝1＜4，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12；i ＝2＜4，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3；i ＝3＜4，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2；i ＝4＜4，否，输出S ＝2. 即最后输出S 的值为2. i ＝0； S ＝2； while i ＜4 i ＝i ＋1；。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)
（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。
【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(十三)(含答案解析)
高中同步测试卷(十三)高考微专题 高考中的三角函数图象和性质(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·高考陕西卷)函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2014·高考浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位3．(2014·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度4．(2014·高考辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤kπ－π2，k π＋5π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤kπ＋π3，k π＋2π3(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤kπ＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) 6．当－π2≤x ≤π2时，函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－17.函数y ＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π8 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋7π16 8．已知函数f(x)＝Acos (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则设f(x)为奇函数的φ值的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫φ|φ＝2kπ＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫φ|φ＝kπ＋π2，k ∈ZD.{}φ|φ＝kπ，k ∈Z9．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π410．点P ⎝⎛⎭⎫－π6，2是函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋m ⎝⎛⎭⎫ω<0，|φ|<π2的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则( )A ．f(x)的最小正周期是πB ．f(x)的值域为[0，4]C ．f(x)的初相φ＝π3D ．f(x)在⎣⎡⎦⎤4π3，2π上单调递增11．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，h(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的部分图象(如图)，则a ，b ，c 对应的函数依次是( )A ．h(x)，f(x)，g(x)B ．h(x)，g(x)，f(x)C ．f(x)，g(x)，h(x)D ．g(x)，f(x)，h(x)12．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝sin x 2至少向左平移( )个单位长度( ) A.π2 B.π3 C.2π3 D ．π13．(2014·高考大纲全国卷)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14．(2014·高考重庆卷)将函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．15．(2014·高考北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________． 16．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值.18．(本小题满分12分)已知曲线y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝23sin xcos x ＋1－2sin 2x ，x ∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2asin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b. (1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a<0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2，3]，求a ，b 的值．21．(本小题满分12分)(2014·高考四川卷)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f(x)－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．解析：选B.因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2πω＝π，故选B.2．[导学号19460077] 解析：选C.因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，故选C. 3．解析：选A.y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin (2x ＋1)的图象．4．解析：选B.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π. 令2kπ－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，得kπ＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的增区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π12，k π＋712π，k ∈Z.令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎡⎦⎤π12，712π，故B 正确． 画出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．5．[导学号19460078] 解析：选C.2k π≤2x －π3≤2kπ＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z. 6．解析：选D.f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为－π2≤x≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2.7．解析：选B.由题图可知T 2＝5π8－π8＝π2，所以函数的周期T ＝π，又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)，又当x ＝π8时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，所以φ＝π4＋2kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选B. 8．[导学号19460079] 解析：选C.因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即Acos(－ωx ＋φ)＋Acos (ωx ＋φ)＝0， 所以2Acos ωxcos φ＝0.要使上式对A>0，ω>0，x ∈R 恒成立， 只需cos φ＝0，又φ∈R ，所以φ＝kπ＋π2(k ∈Z)．9．解析：选A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． 10．解析：选D.由题意，⎩⎪⎨⎪⎧－π6ω＋φ＝kπ（k ∈Z ）①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT＝1.代入①式得φ＝kπ＋π6(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2. 故函数f(x)的值域为[1，3]，初相为π6，排除A ，B ，C 项，选D 项．11．解析：选A.由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f(x)的图象；又g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h(x)、g(x)的图象．12．[导学号19460080] 解析：选C.将y ＝sin x2的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋φ2的图象．令φ2＝2kπ＋π3， k ∈Z ，所以φ＝4kπ＋2π3，k ∈Z.所以当k ＝0时，φ＝23π是φ的最小正值．13．解析：y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x(－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，所以当t ＝12时，函数取得最大值32. 答案：3214．解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象， 故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6. 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6 ＝sin π4＝22.答案：2215．[导学号19460081] 解析：因为f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， 所以T 2≥π2－π6，所以T≥2π3.因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，所以f(x)的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， 所以f(x)的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π.答案：π16．解析：若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 即f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1. 若－π6≤x ≤a ，则－π3≤2x ≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a ≤π，所以π6≤a ≤π2，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 17．[导学号19460082] 解：(1)由已知， 有f(x)＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x)＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数． f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以，函数f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 18．解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π. 因为T ＝2πω＝π，ω>0，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)． 又曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π8，2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝1. 因为－π2<φ<π2，所以φ＝π4.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：19．解：(1)因为f(x)＝23sin xcos x ＋1－2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝π.由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z. (2)根据条件得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋5π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时， 4x ＋5π6∈⎣⎡⎦⎤56π，43π， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋5π6≤12， 所以当4x ＋5π6＝4π3，即x ＝π8时，g(x)min ＝－ 3.20．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＋b. 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)，所以当2kπ＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2kπ＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2kπ＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z)．(2)f(x)＝2asin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋a ＋b ， 因为x ∈[0，π]，所以－π4≤x －π4≤3π4， 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1. 又因为a<0，所以2a≤2asin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤－a. 所以2a ＋a ＋b≤f(x)≤b.因为f(x)的值域是[2，3]，所以2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3，解得a ＝1－2，b ＝3.21．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z ， 由－π2＋2kπ≤3x ＋π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 得－π4＋2kπ3≤x ≤π12＋2kπ3，k ∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4·(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.22．[导学号19460083] 解：(1)f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 最小正周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f(x)的值域为[2，3]．而f(x)＝m ＋2，所以m ＋2∈[2，3]，即m ∈[0，1]．。