江苏苏州市高三上学期期中考试 数学 含答案
2021届高三年级第一学期期中考试
数 学
(满分150分,考试时间120分钟)
2020.11
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ={x|x 2-x -6≤0},B ={x|x 2>4},则A ∩B =( ) A. (2,3) B. [2,3] C. (2,3] D. [2,3]∪{-2}
2. 若角α的终边经过点(3-sin α,cos α),则sin α的值为( )
A. 15
B. 14
C. 13
D. 34
3. 在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列的前20项和等于
( )
A. 160
B. 180
C. 200
D. 220
4. 函数“f(x)=x 2+2x +1+a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数f(x)=(e x -e -
x )cos x
x 2
的部分图象大致是( )
6. 已知函数f(x)=xln x ,若直线l 过点(0,-e),且与曲线C :y =f(x)相切,则直线l 的斜率为( )
A. -2
B. 2
C. -e
D. e 7. 衣柜里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V =a·e -kt
.已知新丸经过50天后,体积变为4
9
a.若一个
新丸体积变为8
27
a ,则需经过的天数为( )
A. 125
B. 100
C. 75
D. 50
8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a n >0,a 1=1
2,S n <2,则等比数列{a n }的公比的取
值范围是( )
A. (0,34]
B. (0,23]
C. (0,34)
D. (0,2
3
)
二、 多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,
有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.
9. 已知函数f(x)=cos x -3sin x ,g(x)=f′(x),则( )
A. g(x)的图象关于点(π6,0)对称
B. g(x)的图象的一条对称轴是x =π
6
C. g(x)在(-5π6,π6)上递减
D. g(x)在(-π3,π
3)内的值域为(0,1)
10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1>0,公差d ≠0,则( )
A. 若S 5>S 9,则S 15>0
B. 若S 5=S 9,则S 7是S n 中最大的项
C. 若S 6>S 7,则S 7>S 8
D. 若S 6>S 7,则S 5>S 6
11. 已知函数f(x)=|lg(x -1)|,b>a>1且f(a)=f(b),则( ) A. 1<a <2 B. a +b =ab C. ab 的最小值为1+ 2 D. 1a -1+1b -1
>2 12. 若函数f(x)=e x -
ln x +k
x
-1在(0,+∞)上有唯一零点x 0,则( ) A. x 0ex 0=1 B. 1
2 C. k =1 D. k>1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 已知函数f(x)=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数,则不等式(x -2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________. 14. 若对任意正数x ,满足xy +y x =2-4y 2,则正实数y 的最大值为________. 15. 在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元,用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底需缴房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元.(取1.211=7.5,1.212=9) 16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称,其导函数为f′(x),当x ≥0时,xf ′(x)>1-f(x).若对任意x ∈R ,不等式e x f(e x )-e x +ax -axf(ax)>0恒成立,则正整数a 的最大值为________. 四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分) 已知函数f(x)=sin (ωx -φ)(ω>0,|φ|≤π 2 )的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)=f(π 6 )的值域; (2) 若φ=π 3,sin α-2cos α=0,求f(α)的值. 18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=-13x 3+a 2 x 2-2x(a ∈R ). (1) 当a =3时,求函数f(x)的单调递减区间; (2) 若对于任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a -1)成立,求实数a 的取值范围. 在① csin B +C 2=asin C ,② 2cos A(bcos C +ccos B)=a ,③(sin B -sin C)2=sin 2A -sin Bsin C 中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题. 在△ABC 中,已知内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若c =(3-1)b ,________. (1) 求C 的值; (2) 若△ABC 的面积为3-3,求b 的值. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 20.(本小题满分12分) 已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }是等比数列,且满足a 1=b 1=2,a 3+a 5+a 7=30,b 2b 3 =a 16. (1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2) 设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n . ①是否存在正整数k ,使得T k +1=T k +b k +32成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由; ②解关于n 的不等式:S n ≥b n . 若函数f(x)在x ∈[a ,b]时,函数值y 的取值区间恰为[k b ,k a ](k >0),则称[a ,b]为f(x)的 一个“k 倍倒域区间”.定义在[-4,4]上的奇函数g(x),当x ∈[0,4]时,g(x)=-x 2+4x. (1) 求g(x)的解析式; (2) 求g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”; (3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”,求k 的取值范围. 已知函数f(x)=e x+ax·sin x. (1) 求曲线C:y=f(x)在x=0处的切线方程; (2) 当a=-2时,设函数g(x)=f(x) x,若x0是g(x)在(-π,0)上的一个极值点,求证: x0是函数g(x)在(-π,0)上的唯一极大值点,且0<g(x0)<2. 2021届高三年级第一学期期中考试(苏州) 数学参考答案及评分标准 1. C 2. C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. C 8. A 9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (-2,2)∪(2,+∞) 14. 1 2 15. 40 000 16. 2 17. 解:(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2π ω=π,ω=2,(1分) 此时g(φ)=f(π6)=sin(π3-φ)=-sin (φ-π 3 ). 因为|φ|≤π2,所以φ-π3∈[-5π6,π6],所以-1≤sin(φ-π3)≤1 2,(3分) 所以g(φ)=f(π6)的值域为[-1 2,1].(4分) (2) 因为φ=π3,所以f(α)=sin (2α-π 3). 由sin α-2cos α=0,得tan α=2,(6分) f (α)=sin (2α-π3)=12sin 2α-3 2 cos 2α(8分) =12×2 tan α1+tan 2α-32×1-tan 2α1+tan 2α=4-3×(1-4)2×(1+4)=4+33 10.(10分) 18. 解:(1) 当a =3时,f(x)=-13x 3+3 2x 2-2x ,得f′(x)=-x 2+3x -2.(1分) 因为f′(x)<0,得x <1或x >2,(3分) 所以函数f(x)单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(4分) (2) 由f(x)=-13x 3+a 2 x 2-2x ,得f′(x)=-x 2+ax -2.(5分) 因为对于任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a -1)成立, 所以问题转化为:对于任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)max <2(a -1).(6分) 因为f′(x)=-(x -a 2)2+a 24-2,其图象开口向下,对称轴为x =a 2. ①当a 2<1时,即a <2时,f ′(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f′(x)max =f′(1)=a -3. 由a -3<2(a -1),得a >-1,此时-1<a <2.(8分) ②当a 2≥1,即a ≥2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调递增,在(a 2,+∞)上单调递减, 所以f′(x)max =f′(a 2)=a 2 4 -2.(10分) 由a 2 4-2<2(a -1),得0<a <8,此时2≤a <8.(11分) 综合①②,可得实数a 的取值范围是(-1,8).(12分) 19. 解:若选①.(1) 由题设条件及正弦定理,得sin Csin B +C 2 =sin Asin C .(1分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以sin B +C 2 =sin A .(2分) 由A +B +C =π,可得sin B +C 2=sin π-A 2=cos A 2,(3分) 所以cos A 2=2sin A 2cos A 2 .(4分) 因为△ABC 中,cos A 2≠0,所以sin A 2=1 2. 因为0<A <π,所以A =π 3 .(5分) 因为c =(3-1)b ,所以由正弦定理得sin C =(3-1)sin B. 因为A =π3,所以sin B =sin(π-A -C)=sin(A +C)=sin(C +π 3),(6分) 所以sin C =(3-1)sin(C +π 3),整理得sin C =cos C .(7分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以cos C ≠0,所以tan C =sin C cos C =1. 因为0<C <π,所以C =π 4 .(9分) (2) 因为△ABC 的面积为3-3,c =(3-1)b ,A =π 3, 所以由S =12bcsin A 得3 4 (3-1)b 2=3-3,(11分) 解得b =2.(12分) 若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C +sin Ccos B)=sin A ,(1分) 即2cos Asin(B +C)=sin A .(2分) 因为B +C =π-A ,所以2cos Asin A =sin A .(3分) 因为△ABC 中,sin A ≠0,所以cos A =1 2.(4分) 因为0<A <π,所以A =π 3 .(5分) 下同选①. 若选③.由题设得(sin B -sin C)2=sin 2A -sin Bsin C ,(1分) 所以sin 2B +sin 2C -sin 2A =sin Bsin C .(2分) 由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =1 2.(4分) 因为0<A <π,所以A =π 3 .(5分) 下同选①. 20. 解:(1) 因为等差数列{a n }中,a 3+a 5+a 7=3a 5=30,所以a 5=10. 设等差数列{a n }的公差是d ,所以d =a 5-a 1 5-1=2,(1分) 所以a n =a 1+(n -1)d =2n.(2分) 设等比数列{b n }的公比是q ,因为b 2b 3=a 16, 所以b 21q 3=4q 3=32,所以q =2,所以b n =b 1q n -1 =2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ,使得T k +1=T k +b k +32成立,则b k +1=b k +32,(4分) 所以2k + 1=2k +32,即2k =32,解得k =5.(5分) 存在正整数k =5满足条件.(6分) ② S n = n (a 1+a n ) 2 =n(n +1), 所以n(n +1)≥2n ,即2n -n(n +1)≤0.(8分) 令f(n)=2n -n(n +1), 因为f(n +1)-f(n)=2n +1-(n +1)(n +2)-2n +n(n +1)=2[2n - 1-(n +1)], 所以当n ≥4时,{f(n)}单调递增.(9分) 又f(2)-f(1)<0,f(3)-f(2)<0,f(4)-f(3)<0, 所以f(1)>f(2)>f(3)=f(4)<…<f(n)<…(10分) 因为f(1)=0,f(4)=-4,f(5)=2, 所以n =1,2,3,4时,f(n)≤0,n ≥5时,f(n)>0,(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1,2,3,4}.(12分) 21. 解:(1) 因为g(x)为定义在[-4,4]上的奇函数, 所以当x ∈[-4,0)时,g(-x)=-(-x)2+4(-x)=-x 2-4x. 因为g(-x)=-g(x),所以g(-x)=-g(x)=-x 2-4x ,(2分) 所以g(x)=x 2+4x , 所以g(x)=? ????x 2+4x ,x ∈[-4,0), -x 2+4x ,x ∈[0,4].(3分) (2) 因为g(x)在[2,4]内有“8倍倒域区间”, 设2≤a <b ≤4,因为g(x)在[2,4]上单调递减, 所以???-a 2 +4a =8 a ,- b 2 +4b =8b , 整理得? ????(a -2)(a 2 -2a -4)=0,(b -2)(b 2 -2b -4)=0,(5分) 解得a =2,b =1+5,所以g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”为[2,1+5].(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ,b]时,函数值的取值区间恰为[k b ,k a ](k ≥8), 所以0<a <b ≤4或-4≤a <b <0. 当0<a <b ≤4时,因为g(x)的最大值为4,所以k a ≤4.(7分) 因为k ≥8,所以a ≥2. 因为g(x)在[2,4]上单调递减, 所以???-a 2+4a =k a , -b 2 +4b =k b , 即? ????a 3 -4a 2 +k =0,b 3 -4b 2 +k =0,(8分) 所以方程x 3-4x 2+k =0在[2,4]上有两个不同的实数解. 令h(x)=x 3-4x 2+k ,x ∈[2,4],则h′(x)=3x 2-8x. 令h′(x)=3x 2-8x =0,得x =0(舍去)或x =8 3 , 当x ∈(2,83)时,h ′(x)<0,所以h(x)在(2,8 3)上单调递减. 当x ∈(83,4)时,h ′(x)>0,所以h(x)在(8 3,4)上单调递增.(10分) 因为h(2)=k -8≥0,h(4)=k ≥8, 所以要使得x 3-4x 2+k =0在[2,4]上有两个不同的实数解,只需h(8 3)<0, 解得k <25627,所以8≤k <256 27.(11分) 同理可得:当-4≤a <b <0时,8≤k <256 27. 综上所述,k 的取值范围是[8,256 27 ).(12分) 22. (1) 解:因为f(x)=e x +ax·sin x ,所以f′(x)=e x +a(sin x +xcos x),(1分) 所以f′(0)=1. 因为f(0)=1,所以曲线f(x)在x =0处的切线方程为y -1=x ,即y =x +1.(3分) (2) 证明:当a =-2时,g(x)=e x x -2sin x ,其中x ∈(-π,0), 则g′(x)=e x (x -1)x 2-2cos x =e x (x -1)-2x 2cos x x 2 .(4分) 令h(x)=e x (x -1)-2x 2cos x ,x ∈(-π,0),则h′(x)=x(e x +2xsin x -4cos x). 当x ∈(-π,-π 2)时,因为e x >0,2xsin x >0,cos x <0,所以h′(x)<0, 所以h(x)在(-π,-π 2)上单调递减.(5分) 因为h(-π)=2π2-e -π (1+π)>0,h(-π2)=e -π2(-π 2 -1)<0, 所以由零点存在性定理知,存在唯一的x 0∈(-π,-π 2),使得h(x 0)=0,(7分) 所以当x ∈(-π,x 0)时,h(x)>0,即g′(x)>0;当x ∈(x 0,-π 2)时,h(x)<0,即g ′(x) <0. 当x ∈(-π2,0)时,g ′(x)=e x (x -1) x 2 -2cos x <0. 因为g′(x)在(-π,0)上连续,所以x ∈(x 0,0)时,g ′(x)<0, 所以g(x)在(-π,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,所以x 0是函数g(x)在(-π,0)上的唯一极大值点.(9分) 因为g(x)在(x 0,-π2)上单调递减,所以g(x 0)>g(-π 2). 因为g(-π2)=-1 π2 e π2 +2>0,所以g(x 0)>0.(10分) 当x 0∈(-π,-π2)时,因为-1<ex 0 x 0<0,0<-2sin x 0<2, 所以g(x 0)=ex 0 x 0-2sin x 0<2,(11分) 所以0<g(x 0)<2.(12分)