(北师大版九下)九年级数学下册一二章综合测试题(含答案)
1
B
A
C
D
九年级数学下册第一、二单元综合测试题
（总分：120分、考试时间：120分钟）
班级 姓名 得分
一、选择题（30分）
1． 在△ABC中，∠C＝90O，∠B＝2∠A，则CosA等于（ ）
A.23 B. 21 C. 3 D. 33
2.在△ABC中，∠C＝90O，BC：CA＝3：4，那么SinA等于（ ）
A．43 B.34 C.53 D.54
3.二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值是（ ）
A．－2 B.2 C.1 D.－1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，根据图像可得a，b，c与0的大小关系是（ ）
A. a>0,b<0,c<0 B. a>0,b>0,c>0 C. a<0,b<0,c<0 D. a<0,b>0,c<0
5.已知∠A为锐角，且COSA≤21，那么（ ）
A．00
6.函数y＝ax2－a与y＝xa（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是图中的（ ）
7．已知二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2－1的最小值为O，则a的值是（ ）
A．43 B.43 C.45 D.45
8．如图,在等腰三角形ABC中，∠C＝900，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝51，则
AD的长为（ ）
A.2 B.2 C.1 D.22
9．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这
种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个，为了获得最大利润，则应该降
价（ ）
A.5元 B.10元 C.15元 D.20元
2
10．某二元方程的解是21xmymm，若把x看作平面直角坐标系中点的横坐标，y看
作是纵坐标，下面说法正确的是（ ）
A.点（x,y）一定不在第一象限 B.点（x,y）一定不是坐标原点
C.y随x的增大而增大 D.y随x的增大而减小
二、填空题：（24分）
11．∠A和∠B是一直角三角形的两锐角，则tan2BA＝_________。
12．如图，某中学生推铅球，铅球在点A处出手，在点B处落地，它的运行路线满足y＝
－121x2＋32x＋35，则这个学生推铅球的成绩是_______米.
13．把抛物线y＝ax2+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平
移2个单位，得到图像解析式为y=x2-4x+5，则有a=______
b=_______ c=_______
14.已知等腰三角形腰长为2cm，面积为1cm，则这个等 腰三角形
的顶角为_______度。
15．已知点A（x1,y1），B（x2,y2）是抛物线y＝x2－4x＋3上的两点，且x1>x2>2,则y1与
y2的大小关系是___________
16．若函数y＝（m＋2）x2＋2x－3的图像是抛物线，则m的值为_______，该抛物线的开
口方向_________。
17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（分）之间满足关系，
y＝－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)y值越大，表示接受能力越强，在第________分钟时，
学生接受能力最强。
18．一辆骑车沿着一山坡行使了1300米，其铅直高度上升了500米，则山坡的坡度是______
三、解答题（66分）
19．计算sin2250＋2sin600＋tan450－tan600＋cos2250
20．二次函数y＝x2－1与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，试求△ABC的面积（8分）
B
A
y
xO
C
B
Ayx
O
3
21．如图为住宅区的两栋楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离为AC＝24米，现需了
解甲楼对乙楼的采光影响情况。当太阳光与水平线的夹角为300时求甲楼的影子在乙楼
上有多高（10分）
30
B
A
C
D
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22．如图直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转
900得到。（10分）
（1）在图中画出△A1OB1；（2）求经过A，A1，B1三点的抛物线的解析式。
B
A
-1
2
1
y
x
2
O
24．某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东600方向上，航
行半小时后到B点，测得C岛在北偏东300方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（10
分）
（1）试说明B点是否在暗礁区域外；
（2）若船继续向东航行，有无触礁危险，请说明理由。
4
24、已知抛物线y=ax +bx +c 过（-1，-16）、（0， -6） ，（2， 2）。(8分)
（1）求抛物线的解析式
（2）写出它的对称轴和顶点坐标
（3）当x何值时，y随x增大而增大?
25．如图已知抛物线y＝mx2＋nx＋p与y＝x2＋6x＋5关于y轴对称，并与y轴交于点M，
与x轴交于点A和B（12分）
（1）求出y＝mx2＋nx＋p的解析式，试猜想出一般形式y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称的
二次函数解析式（不要求证明）
（2）若AB中点是C，求sin∠CMB
（3）如果一次函数y＝kx＋b过点M，且于y＝mx2＋nx＋p相交于另一点N（i，j）如
果i≠j，且i2－i＋z＝0和j2－j＋z＝0，求k的值。
B
AyxO
N
M
5
答案：
一.1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B
二.
11.1 12.10米 13 .a=1 b=2 c=4. 14.300 或 1500 15. y1>y2 16.2, 上 17. 13 18.125
三.
19. 2 20. 1 21. 30-83
22.(1)
(2)解:A(0,2) B(-1,0) C(2,0)设抛物线的解析式y=a(x+1)(x-2)
因为C(2,0)在抛物线上
所以2=a(0+1)(0-2) 解之得a=-1
所以,抛物线为 y=-(x+1)(x-2)
24.
解:如图所示:AB=3621=18(海里)
CBD=600
ACB=300 AB=AC=18(海里)>16B在暗礁区内
在RTCBD中 .CD=CBSin600=1823=93<16
继续向东有危险.
25.
6
(1) 抛物线的解析式是y=x2-6x+5 y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称的二次函数解析式为
：y＝ax2-bx+c
(2) 当Y=0时 x2-6x+5=0 x1 =1 x2=5所以A(1,0)B(5,0)
C是AB的中点 所以C(3,0)
又因为OB=OM=5是等腰OMB
过0作OE MBCDOE//
因为EOB=45度,所以DCB=45度CD=2
RTOMC中OM=5,OC=3所以MC=2235=34
sin
2173417CD
CMBMC
（3）ijjijizjjzii101(0022舍）
又因为N在y=kx+b上bkij M在 y=kx+b上5b
所以j=ki+5ikkii4151
25411565621212kkiiijiijxkxyN上在又因为 .
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合复习练习题
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）如图2，点P为x轴上一动点，连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线L1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L2，将直线DB向下平移经过坐标原点O，交抛物线L2于另一点F，点M（ ，0），点N是L2上且位于第一象限内一动点，MN交L2于Q点，QR∥x轴分别交OF，ON于S，R，试说明：QS与SR存在一个确定的数量关系．
5．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．
（1）求抛物线L和L′的表达式；
（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝ ＝ ＝tan∠ROC＝ ，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝ ＝ x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝ ×QR•BC＝ BR•QK，即 2x•2x＝ KQ• x，解得：KQ＝ ，
11．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习训练题含答案解析 (29)
一、选择题1.对于题目“一段抛物线L：y=−x(x−3)+c与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确2.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )A．y=(x−23)2+155B．y=(x+23)2+155C．y=−(x−23)2−155D．y=−(x+23)2+1553.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)顶点为P，则下列说法中错误的是( )A．不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6B．关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同C．△PAB为等腰直角三角形，则a=−15D．当t≤x≤t+2时，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥04.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如表所示：x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯则下列说法：①图象开口向下；②图象的顶点坐标为(1,3)；③当x=4时，y的值为−3；④ −1是方程ax2+bx+c+3=0的一个根．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=l，结合图象给出下列结论：① ac<0；② 4a−2b+c>0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−2；③对于任意实3数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个x的图象如图所示，则方程ax2+ 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23)x+c=0(a≠0)的两根之和( )(b−23A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x= 2．下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若点A(−3,y1)，点B(−2,y2)，点C(8,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<−1<x2<5．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤7210.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y 与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．二、填空题11.已知A(−1,y1)，B(−2,y2)是抛物线y=−2x2上的两点，则y1y2（填>，<，=）．12.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(−1,0)和点(0,−3)，且顶点在第四象限，则a的取值范围是．x+b与函数y=x2+∣2x2−1∣的图象有且只有三个交点，则b的值为．13.直线y=1214.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=x(x<m)的图象与函数y2=x2(x≥m)的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点．写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为．16.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．17.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180∘得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180∘得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C15，若P(28.5,m)在第15段抛物线C15上，则m的值为．三、解答题18.已知二次函数图象过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．(1) 求二次函数的解析式；(2) 如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90∘？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3) 点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=5，求点K的坐标．319.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,−6)，与x轴的一个交点坐标是A(−2,0)，求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；20.已知抛物线y=2x2−4x+c与x轴有两个不同的交点．(1) 求c的取值范围；(2) 若抛物线y=2x2−4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1) 当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2？(2) 求出S关于a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；(3) 当a是多少时，场地的面积S最大？22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2−4nx+4n−1(n≠0)，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．(1) 求抛物线顶点M的坐标；(2) 若点A的坐标为(0,3)，AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3) 在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．若直线y=1223.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．24.已知函数y=x2−2x−3．(1) 画出此函数的图象；（要求：列表、描点、连线）(2) 若方程x2−2x−3=k有实数解，则实数k的取值范围为．25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE．已知点A(1,0)，且S△AOD=2S△AOE．(1) 求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）．(2) 若tan∠OED=12，求该二次函数的函数表达式．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】把y=x+2代入y=−x(x−3)+c，得x+2=−x(x−3)+c，即x2−2x+2−c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(2−c)=−4+4c=0，解得c=1，∴甲的结果正确．2. 【答案】D【解析】A．顶点为(23,155)，在第一象限，且开口向上，所以与x轴无交点；B．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向上，所以与x轴无交点；C．顶点为(23,−155)，在第四象限，且开口向下，所以与x轴无交点；D．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向下，所以与x轴有两个交点．本题选择与x轴有两个交点的二次函数的图象．3. 【答案】D【解析】由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象位于A(−4,−4)，B(6,−4)两点之间部分在y=−4的上方，即不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6，故A正确；由题意知，当x=−4或6时，a(x+4)(x−6)−4=−4，又因二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)，有当x=−4或6时，y=ax2+bx+c=−4，所以a(x+4)(x−6)−4=ax2+bx+c，则关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同，故B正确；=1，由题意得，P点的横坐标为：−4+62则P点纵坐标为：a+b+c=a−2a+c=−a+c，若△PAB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，(6+4)，得c=1+a，有−a+c+4=12则抛物线的解析式为：y=ax2+bx+x=ax2−2ax+a+1，，故C正确；把A(−4,−4)代入，得−4=16a+8a+a+1，解得a=−15由图象可知，当0≤t<1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标>at2+bt+c，故D错误．4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，所以②不正确；x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．6. 【答案】D【解析】利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1的交点个数可对④进行判断．∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，，故②正确；∴−1≤a≤−23∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴x=1时，二次函数有最大值为n，∴对于任意实数m，总有a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故④正确，故选D．7. 【答案】A8. 【答案】A=2，【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−4a，即4a+b=0，∴①正确；∵x=−3时，y<0，∴9a−3b+c<0，即9a+c<3b，∴②错误；∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，而b=−4a，∴a+4a+c=0，则c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，而a<0，∴8a+7b+2c>0，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下且对称轴为x=2，A，B，C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：(8,y3)，(3,y1)，(−2,y2)，∴y3<y1<y2，∴④错误；∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，∴方程a(x+1)(x−5)=−3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x−5)与直线y=−3的交点的横坐标，∴x1<−1<5<x2；∴⑤错误．综上所述，其中正确的结论有3个．9. 【答案】C【解析】令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得 a =−1，c =−94，故函数 y =ax 2+4x +c −34=−x 2+4x −3， 如图，该函数图象顶点为 (2,1)，与 y 轴交点为 (0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点 (4,−3)，∵ 函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x ≤m 时，函数 y =−x 2+4x −3 的最小值为 −3，最大值为 1，∴2≤m ≤4．10. 【答案】B【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，BC =10，∴AC =√BC 2−AB 2=8．当 0≤x ≤6 时，AP =6−x ，AQ =x ，∴y =PQ 2=AP 2+AQ 2=2x 2−12x +36；当 6≤x ≤8 时，AP =x −6，AQ =x ，∴y =PQ 2=(AQ −AP )2=36；当 8≤x ≤14 时，CP =14−x ，CQ =x −8，∴y =PQ 2=CP 2+CQ 2=2x 2−44x +260．二、填空题11. 【答案】 >【解析】 ∵A (−1,y 1)，B (−2,y 2) 是抛物线 y =−2x 2 上的两点，∴y 1=−2×(−1)2=−2，y 2=−2×(−2)2=−8，∴y 1>y 2．故答案为：>．12. 【答案】 0<a <3【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c (a >0) 过点 (−1,0) 和点 (0,−3)，∴{a −b +c =0,c =−3,∴a −b =3，b =a −3，∵ 顶点在第四象限，∴{−b 2a >0,4ac−b 24a<0, 即 −a−32a >0, ⋯⋯① 4a⋅(−3)−(a−3)24a<0, ⋯⋯② 解不等式①得，a <3，不等式②整理得，(a +3)2>0，∴a ≠−3，∴a 的取值范围是 0<a <3．故答案为：0<a <3．13. 【答案】12+√24 或 171614. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)15. 【答案】 x 1=4，x 2=−2【解析】根据图象可知，二次函数 y =−x 2+2x +m 的部分图象经过点 (4,0)，∴ 该点适合方程 y =−x 2+2x +m ，代入，得 −42+2×4+m =0解得 m =8. ⋯⋯①把 ① 代入一元二次方程 −x 2+2x +m =0，得 −x 2+2x +8=0. ⋯⋯②解 ② 得 x 1=4，x 2=−2．16. 【答案】 x 1=−1，x 2=3【解析】由题意可得：抛物线对称轴是直线 x =1，且图象与 x 轴的一个交点为 (−1,0)，则图象与 x 轴的另一个交点为 (3,0)，故一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为：x 1=−1，x 2=3．17. 【答案】 0.75【解析】令 y =0，则 −x (x −2)=0，解得 x 1=0，x 2=2，∴A 1(2,0)，由图可知，抛物线 C 14 在 x 轴下方，相当于抛物线 C 1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C 14，再将 C 14 绕点 A 14 旋转 180∘ 得 C 15，∴ 抛物线 C 15 解析式为 y =−(x −28)(x −30)，∵P (28.5,m ) 在第 15 段抛物线 C 15 上，∴m =−(28.5−28)(28.5−30)=0.75．三、解答题18. 【答案】(1) 二次函数的图象过点 A (−2,0)，B (4,0)，设二次函数解析式为 y =a (x +2)(x −4)，又二次函数的图象过点 C (0,4)，∴−8a =4 即 a =−12．故二次函数解析式为 y =−12x 2+x +4．(2) 线段上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘． 理由如下：设 BC 中点为 Q ，由题意，易知 Q 的坐标为 (2,2)，BC =4√2．若 ∠BMC =90∘，则 MQ =12BC =2√2．∵A (−2,0)，C (0,4)，∴AC 的中点 P 为 (−1,2)．设 PB 所在的直线为 y =kx +b ，则 {−k +b =2,4k +b =0. 得 k =−25，b =85， PB 所在的直线为 y =−25x +85．M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 (a,−25a +85)，其中 −1≤a ≤4．如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 l 1，l 2，设 l 1，l 2 相交于点 T ，∴QT =∣∣−25a +85−2∣∣=∣∣25a +25∣∣，MT =∣a −2∣， ∵MQ 2=QT 2+MT 2，∴(25a +25)2+(a −2)2=8， 整理得 29a 2−92a −96=0，解得 a =−2429 或 a =4，当 a =4 时，B ，M 重合，不合题意（舍去），∴a =−2429，则 M 的坐标为 (−2429,5629)．故线段 PB 上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘．(3) 如图 2，过点 D 作 DE ⊥BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ，∵D (1,0)，B (4,0)，∠EBD =45∘，∴DB =3，DE =3√22，E (52,32)． ∵C (0,4)，∴ 直线 BC:y =−x +4．在 Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√2253=9√210．① 若 DK 与射线 EC 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(52−m)=9√210，∴m =85， ∴N (85,125)， ∴ 直线 DK:y =4x −4，∴{y =4x −4,y =−12x 2+x +4.解得 {x =2,y =4 或 {x =−8,y =−36.② 若 DK 与射线 EB 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(m −52)=9√210， ∴m =175，∴N (175,35)，∴ 直线 DK:y =14x −14．{y =14x −14,y =−12x 2+x +4,解得 {x =3+√1454,y =−1+√14516 或 {x =3−√1454,y =−1−√14516.综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为：(2,4) 或 (−8,−36) 或 (3+√1454,−1+√14516) 或(3−√1454,−1−√14516)．19. 【答案】 ∵ 二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 y 轴交于点 C (0,−6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A (−2,0)，∴ {c =−6,(−2)2−2b +c =0,解得，{b =−1,c =−6.∴ 该函数的解析式为 y =x 2−x −6，∵ y =x 2−x −6=(x −12)2−254， ∴ 顶点 D 的坐标为 (12,−254)．20. 【答案】(1) b 2−4ac =(−4)2−8c =16−8c ．由题意，得 b −4ac >0，∴16−8c >0，解得 c <2．∴c 的取值范围是 c <2．(2) m <n ．理由如下：∵ 抛物线的对称轴为直线 x =1，又 ∵a =2>0，∴ 当 x ≥1 时，y 随 x 的增大而增大．∵2<3，∴m <n ．21. 【答案】(1) 由题意得 a (30−a )=200．解得 a 1=10，a 2=20．∴ 边长 a 为 10 米或 20 米．(2) S =a (30−a )=−a 2+30a ．0 <a <30．(3) S =−a 2+30a =−(a −15)2+225．∴ 当 a =15 米时，S 最大，最大值为 225 平方米．22. 【答案】(1) M (2,−1)．(2) B (4,3)．(3) ∵ 抛物线 y =nx 2−4nx +4n −1(m ≠0) 与 y 轴交于点 A (0,3)，∴4n −1=3．∴n =1．∴ 抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3，由 12x +m =x 2+4x +3，由 Δ=0，得：m =−116， ∵ 抛物线 y =x 2−4x +3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 (1,0)，∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标为 (−1,0)．把 (−1,0) 代入 y =12x +m ，得：m =12；把 (−4,3) 代入 y =12x +m ，得：m =5． ∴ 所求 m 的取值范围是 m =−116 或 12<m ≤5．23. 【答案】(1) 方法一：将 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3) 代入抛物线 y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =0,9a +3b +c =0,c =3,解得：{a =−1,b =2,c =3, ∴ 抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3．(2) 方法一：连接 BC ，直线 BC 与直线 l 的交点为 P ；∵ 点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA =PB ，∴BC =PC +PB =PC +PA ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，将 B (3,0)，C (0,3) 代入上式，得：{3k +b =0,b =3, 解得：{k =−1,b =3,∴ 直线 BC 的函数关系式 y =−x +3．当 x =1 时，y =2，即 P 的坐标 (1,2)．(3) 符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．(4) 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H ，作 HG ⊥AO ，垂足为 G ，∴∠AHG +∠GHO =90∘，∠AHG +∠GAH =90∘，∴∠GHO =∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2=GO ⋅GA ，∵A (−1,0)，C (0,3)，∴l AC ：y =3x +3，H (−910,310)， ∵H 为 OOʹ 的中点，∴Oʹ(−95,35)，∵D (1,4)，∴l OʹD ：y =1714x +3914，l AC ：y =3x +3， ∴x =−325，y =6625，∴Q (−325,6625)．【解析】(1) 方法二：∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴y =−(x +1)(x −3)，即 y =−x 2+2x +3．(2) 方法二：连接 BC ．∵l 为对称轴，∴PB =PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x =1 代入 l BC ：y =−x +3，得 P (1,2)．(3) 方法一：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设 M (1,m )，已知 A (−1,0)，C (0,3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3−m )2+1=m 2−6m +10，AC 2=10．①若 MA =MC ，则 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2−6m +10，得：m =1；②若 MA =AC ，则 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6；③若 MC =AC ，则 MC 2=AC 2，得：m 2−6m +10=10，得：m 1=0，m 2=6，当 m =6 时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M(1,√6)，(1,−√6)，(1,1)，(1,0)．方法二：设 M (1,t )，A (−1,0)，C (0,3)．∵△MAC 为等腰三角形，∴MA =MC ，MA =AC ，MC =AC ，(1+1)2+(t −0)2=(1−0)2+(t −3)2，∴t =1；(1+1)2+(t −0)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t =±√6；(1−0)2+(t −3)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t 1=6，t 2=0，经检验，t =6 时，M ，A ，C 三点共线，故舍去．综上可知，符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．24. 【答案】(1) 表格及图象如下：x ⋯−10123⋯y ⋯0−3−4−30⋯(2) k ≥−4【解析】(2) 方程 x 2−2x −3=k 有实数解，则 Δ≥0，即：(−2)2−4(−3−k )≥0，解得：k ≥−4．25. 【答案】(1) 如图 1，过 E 作 EH ⊥x 轴于 H ，当 x =0 时，y =c ，∴C (0,c )，∵ 点 D 为 OC 中点，∴D (0,c 2)，∵S △AOD =2S △AOE ，∴EH OD =12，∵OD ∥EH ，∴AE AO =EH OD =12，∴AH =12，EH =−c 4，∴E (32,−c 4)．(2) 如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为M，N，∵tan∠OED=12，∴AMAE =12，证明△AMN∽△EAH，∴MN=12AH=14，AN=12EH=−c8，∴ON=1+c8，∵tan∠EOH=MNON =EHOH，∴c2+8c+12=0，解得c=−2或−6．故解得函数表达式为y=−23x2+83x−2或y=−2x2+8x−6．。
北师大版九年级数学下册第一章学情评估 附答案 (3)
北师大版九年级数学下册第一章学情评估一、选择题(每小题3分，共24分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，那么sin B 等于( )A.35B.45C.34D.432．如果α是锐角，sin α＝32，那么tan α的值是( )A.33B. 3C.12D.32 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，则cos A 的值为( )A.12B.55C.25D.334．如图，在边长为1的4×4的正方形网格中，D 为AB 与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是( ) A ．tan A ＝12B ．∠ACB ＝90°C ．CD ≠12ABD ．cos B ＝55(第4题) (第5题)5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝0.6，则BC 的长为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cmD ．10 cm6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为( ) A.74 B.94 C.154D.254(第6题)(第7题)7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 2 km到B港，然后沿北偏西40°方向航行到C港，C港在A港的北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为()A．(30＋303) km B．30 3 kmC．(10＋303) km D．(30＋103) km8．如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BD于点F，交CD于点E，∠EAC ＝15°，AB＝23，则EF的长为()(第8题)A．23－2 B.6－ 2C．22－2 D.3－1二、填空题(每小题3分，共15分)9．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C＝________．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝25，则BC的长是________．(第10题)(第11题)11．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20 m，则BC＝________m. 12．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12 5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(参考数据：tan 50°≈1.2)(第12题)(第13题)13．如图，Rt△AOB的顶点在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象上，点A在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，则k的值为________．三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)计算：2sin 60°tan 60°－2sin 45°cos 60°.15．(5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值及正切值．16．(5分)如图，在△ABC中，已知sin A＝34，AC＝12，AB＝8.(1)求△ABC的面积；(2)用没有刻度的直尺和圆规在边AC上确定点D，使得AD＋DB＝AC.(保留作图痕迹，不写作法)(第16题)17．(5分)如图，在正方形ABCD中，G是BC上一点，AB＝4，BG＝3，DE⊥AG 于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求：(第17题)(1)∠DAG的正弦值；(2)EF的长．18．(5分)某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC ＝45°，AD＝5 2 m，求这棵大树AB的高．(结果保留根号)(第18题)19．(5分)在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架．如图所示，卡槽的宽度EF与内三角形ABC的AB边长相等．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，一部手机的最长边为17 cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽内？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)(第19题)20．(5分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠CDA＝120°，BC＝5，CD＝4，DA＝6，求四边形ABCD的面积．(第20题)21．(6分)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15 m，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)(第21题)22．(7分)一个一次函数的图象与y轴的交点为(0，1)，且经过点A(2，3)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)点A，B在某个反比例函数的图象上，点B的横坐标为6，将点B向上平移2个单位长度得到点C，求cos∠ABC的值．23．(7分)宝鸡电视塔是陕西省第二座水泥电视塔，是宝鸡地标建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测量宝鸡电视塔的高度BD.小辉先在地面上A处放置了一块平面镜，从A点向后退了2.4 m至F处，他的眼睛E 恰好看到了平面镜中电视塔顶端B的像；然后从点F处沿水平方向前进52.4 m 到达C点，此时测得电视塔顶端B的仰角∠BCD是45°，已知D、C、A、F 在同一水平线上，BD⊥FD，EF⊥FD，EF＝1.8 m，求电视塔的高度BD.(平面镜的大小忽略不计)(第23题)24．(8分)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75 m到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼MN的高度．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，点N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6)(第24题)25．(8分)如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200 m．当小宇沿滨海大道向东步行200 m到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的路程．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48)(第25题)26．(10分)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图①所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a m的点D处，测角仪高为b m，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度；(用含a，b，α的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图②所示，现将一高度为2 m的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1 m，再将木杆沿着BC方向移动1.8 m至DE的位置，此时测得其影长DF为3 m，求灯杆AB的高度．(第26题)答案一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D7.D8.B二、9.60°10.22111.(203－20)12.1013.6三、14.解：原式＝2×32×3－2×22×12＝3－12＝52.15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝122＋52＝13，∴sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512.16．解：(1)如图，过点B作BH⊥AC于点H.(第16题)∵sin A＝BHAB＝34，AB＝8，∴BH＝6，∴S△ABC ＝12·AC·BH＝12×12×6＝36.(2)如图．17．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°.∴∠BAG＋∠AGB＝∠BAF＋∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠AGB.∵AB＝4，BG＝3，∴AG＝AB2＋BG2＝5，∴sin∠DAG＝sin∠AGB＝ABAG＝45.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD. 由(1)知∠ABC＝∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°.∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE.∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠DEF ＝∠DEA ＝90°.在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠AFB ＝∠AED ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝AD ，∴△ABF ≌△DAE (AAS)，∴AE ＝BF .∵∠AFB ＝90°，∴∠BFG ＝90°.∵sin ∠BGF ＝BF BG ＝45，BG ＝3，∴BF ＝125，∴AF ＝AB 2－BF 2＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝165， ∴EF ＝AF －AE ＝AF －BF ＝165－125＝45.18．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEC ＝∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，∠ADC ＝45°，∴AE ＝DE ＝AD ·cos 45°＝52×22＝5(m)，在Rt △AEC 中，∠ACD ＝60°，∴CE ＝AE tan 60°＝53＝533(m)， AC ＝AE sin 60°＝532＝1033(m)， ∴AB ＝AC ＋CE ＋ED ＝1033＋533＋5＝53＋5(m)．故这棵大树AB 的高为(53＋5)m.19．解：王浩同学能将此手机立放入卡槽内．理由如下：作AD ⊥BC 于点D ，∵∠C ＝50°，AC ＝20 cm ，∴AD ＝AC ·sin 50°≈20×0.8＝16(cm)，CD ＝AC ·cos 50°≈20×0.6＝12(cm)，∴DB ＝BC －CD ≈18－12＝6(cm)，∴AB ＝AD 2＋BD 2≈162＋62＝292(cm)，∴EF ＝AB ＝292 cm.∵17＝289<292，∴王浩同学能将此手机立放入卡槽内．20．解：如图，延长AD ，BC 相交于点E .(第20题)∵∠BCD ＝∠CDA ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴∠E ＝60°，∴△EDC 为等边三角形，∴ED ＝DC ＝CE ＝4，∴易得S △DEC ＝3×424＝4 3.在△ABE 中，AE ＝AD ＋DE ＝6＋4＝10，BE ＝BC ＋EC ＝5＋4＝9，∠E ＝60°，∴易得S △ABE ＝12AE ·BE ·sin 60°＝12×10×9×sin 60°＝4532，∴S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △EDC ＝4532－43＝3732.21．解：在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴tan 42.0°＝AD BD ≈0.9，∴AD ≈0.9BD .在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴tan 36.9°＝CD BD ≈0.75，∴CD ≈0.75BD .∵AC ＝AD －CD ，∴15≈0.15BD ，∴BD ≈100 m ，∴CD ≈0.75BD ≈75 m.答：山高CD 约为75 m.22．解：(1)设这个一次函数的表达式为y ＝kx ＋1，把点A (2，3)的坐标代入，得3＝2k ＋1，解得k ＝1，∴这个一次函数的表达式为y ＝x ＋1；(2)设反比例函数的表达式为y ＝m x ，把点A (2，3)的坐标代入，得3＝m 2，解得m ＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x ，当x ＝6时，y ＝66＝1，∴B (6，1)，∴AB ＝（6－2）2＋（1－3）2＝2 5.∵将点B 向上平移2个单位长度得到点C ，∴C (6，3)，BC ＝2，∵A (2，3)，C (6，3)，∴AC ∥x 轴，∵B (6，1)，C (6，3)，∴BC ⊥x 轴，∴AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝225＝55. 23．解：由题意可得，AF ＝2.4 m ，AC ＝FC －AF ＝52.4－2.4＝50(m)，设BD ＝x m ，∵∠BCD ＝45°，∴CD ＝x m ，AD ＝(50＋x )m ，根据入射角等于反射角可得∠EAF ＝∠BAD ，又∵∠EF A ＝∠BDA ＝90°，∴△EF A ∽△BDA ，∴EF F A ＝BD AD ，即1.82.4＝x 50＋x，解得x ＝150. 答：电视塔的高度BD 是150 m.24．解：过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E ，F ，∴∠BEA ＝∠BFN ＝∠BFM ＝∠MNA ＝90°，∴四边形BENF 为矩形，∴BE ＝FN ，BF ＝NE .设MN ＝x m ，在Rt △ABE 中，∵斜坡AB 的坡度i ＝3∶4，即BE AE ＝34，∴sin ∠BAE ＝BE AB ＝35. ∵AB ＝75 m ，∴BE ＝45 m ，AE ＝60 m ，∴FN ＝45 m ，∴MF ＝(x －45)m.在Rt △AMN 中，∵tan ∠MAN ＝MN AN ，∠MAN ＝58°，∴tan 58°＝x AN ≈1.6，∴AN ≈58x m ，∴NE ＝AN ＋AE ≈⎝ ⎛⎭⎪⎫58x ＋60m. 在Rt △BMF 中，∵tan ∠MBF ＝MF BF，∠MBF ＝22°， ∴tan 22°＝x －45BF ≈0.4，∴BF ≈52(x －45)m ，∴58x ＋60≈52(x －45)，解得x ≈92，∴大楼MN 的高度约为92 m.25．解：如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F .(第25题)由题意得，∠D ＝40°，∠ACB ＝68°，在Rt △ABC 中，∠CBA ＝90°，∵tan ∠ACB ＝AB CB ，∴AB ＝CB ×tan 68°≈200×2.48＝496(m)，∴BE ＝AB －AE ≈496－200＝296(m)．∵∠CFE ＝∠FEB ＝∠CBE ＝90°，∴四边形FEBC 为矩形，∴CF ＝BE ≈296 m.在Rt △CDF 中，∠DFC ＝90°，∵sin D ＝CF CD ，∴CD ＝CF sin 40°≈2960.64＝462.5(m)．答：观光船从C 处航行到D 处的路程约为462.5 m.26．解：(1)如图．(第26题)由题意得BD ＝a m ，CD ＝b m ，∠ACE ＝α，∠B ＝∠D ＝∠CEB ＝90°，∴四边形CDBE 为矩形，则BE ＝CD ＝b m ，BD ＝CE ＝a m ，在Rt △ACE 中，tan α＝AE CE ，即AE ＝CE ×tan α＝a tan α m ，而AB ＝AE ＋BE ，故AB ＝(a tan α＋b )m ，答：灯杆AB 的高度为(a tan α＋b )m.(2)由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC ＝ED ＝2 m ，CH ＝1 m ，DF ＝3 m ，CD ＝1.8 m.易知△ABF ∽△EDF ，此时ED DF ＝AB BF ，即23＝AB BC ＋1.8＋3.① 易知△ABH ∽△GCH ，此时AB BH ＝GC CH ，AB BC ＋1＝2，② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧AB BC ＋1.8＋3＝23，AB BC ＋1＝2，解得⎩⎨⎧AB ＝3.8 m ，BC ＝0.9 m. 答：灯杆AB 的高度为3.8 m.。
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2-3确定二次函数的表达式》同步达标测试题(附答案)
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（）A．y＝（x﹣2）2+4B．y＝（x+4）2+4C．y＝（x﹣4）2+8D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．3．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（）A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x4．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+4B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x+1D．y＝x2﹣2x+1 5．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3B．y＝x²+4x+3C．y＝x²+4x﹣1D．y＝x²﹣4x﹣1 6．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞08．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021二．填空题（共8小题，满分32分）9．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…该二次函数的解析式是．10．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），则其函数解析式为．12．已知某二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），则此二次函数的关系式是，若在此抛物线上存在一点P，使△ABP面积为8，则点P的坐标是．13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（﹣1，﹣2），则抛物线的表达式为．14．二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的解析式为．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是．16．已知：二次函数y＝ax2+bx+c中的x、y满足下表：x﹣2﹣11347y﹣5040m﹣36（1）m的值为；（2）此函数的解析式为；（3）若0＜x＜4时，则y的取值范围为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标．20．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在图中画出这条抛物线；（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．21．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若函数y＝ax2+2ax+c在m≤x≤m+2时有最大值为4，求m的值；（3）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标．22．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限．①当△OAB的面积为10时，求B的坐标；②点P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4，故选：A．2．解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．故选：C．3．解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，解得a＝2；所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4．故选：A．5．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，∴a＝±1，∵抛物线开口向下，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，故选：A．7．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a＝，故A错误；若h＝4，则a＝﹣，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝8，则a＝﹣，故D错误；故选：C．8．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），将（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．10．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，11．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3．12．解：将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c中，可得，解得，∴y＝x2+2x﹣3，设P（m，m2+2m﹣3），∵AB＝4，∴S△ABP＝×AB×y P＝×4×|m2+2m﹣3|＝8，∴|m2+2m﹣3|＝4，∴m2+2m﹣3＝4或m2+2m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1±2或m＝﹣1，∴P（﹣1+2，4）或P（﹣1﹣2，4）或P（﹣1，﹣4），故答案为：y＝x2+2x﹣3；（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．13．解：根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将x＝﹣1，y＝﹣2代入得：﹣2＝a，则抛物线解析式为y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．14．解：∵二次函数的图象顶点坐标为（﹣1，2），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x+1）2+2（a≠0），∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是8，∴交点坐标为（0，8）或（0，﹣8），把（0，8）代入y＝a（x+1）2+2，得8＝a+2，解得a＝6，则这个二次函数的解析式y＝6（x+1）2+2；把（0，﹣8）代入y＝a（x+1）2+2，得﹣8＝a+2，解得a＝﹣10，则这个二次函数的解析式y＝﹣10（x+1）2+2；故答案为：y＝6（x+1）2+2或y＝﹣10（x+1）2+2．15．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1＝a﹣3，解得a＝4，∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，故答案为：y＝4x2﹣8x+1．16．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且（4，m）与（﹣2，﹣5）关于直线x＝1对称，∴m＝﹣5；故答案为：﹣5；（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，4）代入得：4＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y取最大值4，∵1﹣0＜4﹣1，∴x＝4时，y取最小值﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴0＜x＜4时，y的取值范围为是﹣5＜y≤4；故答案为：﹣5＜y≤4．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．18．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．19．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4，联立，解得或，故点P的坐标为（6，﹣8）．20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），画出函数图象如下：（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）∵y＝﹣x2﹣x+4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值4，∴当y＝4时，有﹣x2﹣x+4＝4，∴x＝0或x＝﹣2，①在x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣2时，y有最大值4，②在对称轴x＝﹣1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝0时，y有最大值4；综上所述：m＝﹣4或m＝0；（3）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），∴MG＝﹣m2+2，∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，∴当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）．22．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x，故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，∴设B（2，m）（m＜0），设直线OA的解析式为y＝kx，解得：k＝﹣1，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），∴BH＝﹣2﹣m，∵S△OAB＝10，∴×（﹣2﹣m）×5＝10，解得：m＝﹣6，∴点B的坐标为（2，﹣6）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得：，，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，如图2，当P A﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：或，∴P（﹣，﹣）．∵AB＝＝，∴P A﹣PB的最大值为．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1或32．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣3或x＞1D．x＜1或x＞6 3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（5，0），点B的坐标为B（m，m）．若m＞0，△OAB的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为M（a，3），则a的值为（）A．2B．3C．4D．55．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n 关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8B．6C．4D．28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a 的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．410．若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝ax2+4ax+3（a＜0）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m＜﹣D．m＞﹣二．填空题（共6小题，满分,30分）11．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．13．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为．14．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是m．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；其中结论正确结论是（填写序号）．三．解答题（共4小题，满分40分）17．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．18．已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．（1）求A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．19．近期多次出现进口冷冻牛肉外包装新冠病毒核酸呈阳性，国内的新鲜牛肉价格出现了大幅度涨价．某牛肉摊位购进一批国产新鲜牛肉，进价为每千克40元，物价部门规定其销售价不低于成本价且不高于成本价的2倍．经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合如图所示的一次函数关系：（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用300元，当销售单价为多少时，该批国产新鲜牛肉的日获利最大？最大获利是多少元？20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，∵函数图象经过坐标原点，∴（0﹣3+m）2＝0，解得m＝3．故选：C．2．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，故选：D．3．解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．4．解：∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵点B的坐标为B（m，m），且m＞0，△OAB的面积为，∴＝．∴m＝3，∴B（3，3），∵抛物线经过原点和点A（5，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵点M（a，3），∴＝，∴a＝2，故选：A．5．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，∴﹣y＝x2+（3m+n）x﹣n，∴x2+（3m+2n）x﹣n＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4，∴，解得，故选：B．6．解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；故选：B．7．解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4﹣x，∴AF＝2（4﹣x），∵S△APF＝AF•PM，∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，S△APF有最大值4，故选：C．8．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），故选：B．9．解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m＝＝2．故选：C．10．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵m﹣1＜m，y1＞y2，∴当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则m﹣1≥﹣2，解得m≥﹣1；当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣（m﹣1）＜m﹣（﹣2），解得m＞﹣；综上所述，m的范围为m＞﹣．故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，∴△ABC的面积为：＝3，故答案为：3．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．∴B（6，6），A（12，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∴y＝a（12﹣6）2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+6．14．解：由题意，得当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，化简，得：（x﹣2）2＝25，解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），故答案为：7．15．解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．16．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；④，解得＜a＜1，故④错误，不合题意．故答案是：①③．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．18．解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3±，∴新抛物线表达式：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．19．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，当x＝50时，y＝180；x＝70时，y＝140，∴，解得：，销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，40≤x≤80，∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+280（40≤x≤80）；（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝（x﹣40）（﹣2x+280）﹣300＝﹣2（x﹣90）2+4700，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴直线x＝90，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，∵40≤x≤80，∴x＝80时，W有最大值，W max＝﹣2×（80﹣90）2+4700＝4500，故当销售单价为每千克80元时，日获利最大，最大获利为4500元．20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练（附答案）1．如图1所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与y轴的交点为点A（0，2），且过点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）连接AB．若抛物线的对称轴上存在两点C，D（点D位于点C下方），使△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，求点C和点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2所示，点P是线段AB上一点，连接DP．一动点Q从D 点出发沿D→P→B运动，至点B时停止．如果点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，要使点Q在整个运动过程中用时最少，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+x与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，当△F′F″K为等腰三角形，直接写出OK的值．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）、C，交y轴于点B（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，若以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似（相似比不为1），求点E的坐标．4．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．5．已知抛物线L：y＝x2﹣4x+2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与直线y＝kx+b交于点A（3，0）和B（0，3），点D是抛物线上的动点，过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接BF．（1）求抛物线的解析式：（2）当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标；（3）连接AD，在抛物线上是否存在点D，使tan∠DAE＝，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．9．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c 经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．（1）求b，c的值．（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝t，△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．10．如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1）求证：点P在直线l上；（2）已知直线l与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．11．如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，说明理由．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣2）、B（8，﹣2）两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E在AB下方的抛物线上，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，是否存在点E，使得△AEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．（3）如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝，且与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设点D是线段BC上的一动点，过D作x轴的垂线，交抛物线于E，当线段DE的长度最大时，判断此时四边形OCDE的形状并说明理由；（3）如图2，设P是抛物线上且位于直线BC上方的点，求△BCP面积的最大值．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点D（m，0）是x轴上一动点，且m＜3，过点D作直线l⊥x轴交直线BC于点E，交抛物线于点P，过点P作PH⊥BC于点H．当△BDE与△PHE全等时，求点P的坐标．17．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝2，且OA＝1，OC＝3，连接AC，BC．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）的图象经过点，，与y轴交于点C，点P（m，n）．（Ⅰ）求抛物线解析式和点C的坐标；（Ⅱ）过点作直线l⊥y轴，将抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，若P 为抛物线一点，平移后对应点为P'，当DP＝DP'时，求P点坐标；（Ⅲ）若点P（m，n）为抛物线对称轴上一动点，连接P A，PC，若∠APC不小于60°，求n的取值范围．19．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣a（a＜0）交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，直线l：y＝kx+b与抛物线交于点C．（1）若C（﹣，﹣），直线l过点B．①连接DC，BC，求△DCB的面积；②抛物线上两点M，N，点M在点N的左侧，且都在直线l上方，MG⊥直线l于点G，NH⊥直线l于点H，当四边形MGHN是正方形时，求点N的横坐标；（2）已知点Q（0，﹣2a），连接QA，QB，直线l交QA，QB分别于点E，F，且直线l 与抛物线只有一个公共点C，若此时QE+QF＝3，求a的值．20．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝﹣（其中m为常数，且m＜0）关于原点对称得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别为M，N．（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（用含有m的式子表示）（2）若抛物线C1与x轴的交点从左到右依次为A，B，抛物线C2与x轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD＝3BC，求m的值；②是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）在抛物线C1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GM＝pGP，GN＝qGQ，求p﹣q的值．参考答案1．解：（1）∵函数y轴的交点为点A（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+2，将点代入y＝ax2﹣2ax+2，∴＝a﹣5a+2，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+2；（2）∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设C（1，m），D（1，n），∵A（0，2），点，∴AB＝，AB的中点H（，），∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，∴CH＝DH＝AB，∴＝，解得m＝5或m＝，∵点D位于点C下方，∴D（1，），C（1，5）；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，∵A（0，2），，C（1，5），∴AC＝，AB＝，BC＝，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，∴＝，即＝，∴PQ＝2BQ，∴tan∠PBQ＝2，BP＝BQ，sin∠PBQ＝，∵点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，∴设Q点在DP上的运动时间为t，在PB上的运动时间为k，∴DP＝2t，PB＝k，∴PQ＝BP•sin∠PBQ＝k•＝2k，∴从P点到B所用的时间与从P点到Q点所用的时间相同，∴当D、P、Q三点共线时，PD+PQ的路程最短，用时间也最短，∴PD+PQ＝2t+2k＝2（t+k），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x+2，∵AC∥DQ，∴设DQ的解析式为y＝3x+b'，∴3+b'＝，解得b'＝﹣，∴y＝3x﹣，设直线AB的解析式为y＝k'x+b''，∴，解得，∴y＝x+2，联立方程组，解得，∴P（，）．2．解：（1）令x＝0，则y＝，∴C（0，），∴CO＝，∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴D（2，），∵DH⊥x轴，∴H（2，0），令y＝0，则﹣x2+x＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，∵AE⊥AC，∴∠CAO+∠OAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠OAE＝∠ACO，∴＝，即＝，∴HE＝，∴DE＝2；（2）如图1，作C点关于直线DE的对称点H，作C点关于直线AE的对称点G，连接GH交AE于点F，交DE于点P，连接CP，CF，∴CP＝PH，CF＝GF，∴CF+PF+CP＝GF+PF+PH＝GH，∴当G、F、P、H四点共线时，△CPF的周长最小，∵C（0，），D（2，），∴H（4，），∵A（﹣1，0），∴G（﹣2，﹣），设直线GH的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，设直线AE的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x﹣，联立方程组，解得，∴F（0，﹣），∴P（2，），过点M作y轴的平行线交GN于点Q，设M（m，﹣m2+m），则Q（m，m﹣），∴MQ＝﹣m2+m+，∴S△MPF＝×2×（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+，∵0＜t＜2，∴t＝时，△PMF的面积有最大值；（3）由（2）可得CF＝，CP＝，∵OC＝，OA＝1，∴∠OCA＝30°，∴∠CFP＝60°，∴△CFP是等边三角形，边长为，∴翻折后形成边长为的菱形C'F'P'F''，且F'F''＝4，①当KF'＝KF''时，如图2，点K在F'F''的垂直平分线上，∴K与B重合，∴K（3，0），∴OK＝3；②当F'F''＝F'K时，如图3，如图4，∴F'F''＝F'K＝4，∵PF的解析式为y＝x﹣，∴在平移的过程中，F'K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF＝30°，∴F'K＝F'A，∴AK＝4，∴OK＝4﹣1或OK＝4+1；③当F'F''＝F''K时，如图5，∵在平移的过程中，F'F''始终与x轴的夹角为60°，∵∠OAF＝30°，∴∠AF'F''＝90°，∵F'F''＝F''K＝4，∴AF''＝8，∴AK＝12，∴OK＝11；综上所述：OK的值为3或11或4﹣1或4+1．3．解：（1）将点A（1，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设E（2，t），∴DE＝|t|，AD＝1，∵A（1，0）、B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴tan∠OBA＝，当∠OBA＝∠AED时，＝＝，解得t＝3或t＝﹣3，当t＝±3时，DE＝OB＝3，AD＝OA＝1，∴△AOB≌△ADE，∴此时E不存在；当∠OBA＝∠EAD时，＝＝，解得t＝或t＝﹣，∴E（2，）或（2，﹣）；综上所述：E点的坐标为（2，）或（2，﹣）．4．解：（1）设y＝ax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）设P（t，t﹣1），①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此时﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．5．解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点C（2，﹣2）；（2）存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形，理由如下：∵M点在直线x＝m上，∴M（m，m2﹣4m+2），∵C（2，﹣2），∴C'（2m﹣2，﹣2），∵C点与C'点关于x＝m对称，∴CM＝C'M，过点M作EF∥x轴，过点C作CE⊥EF交于点E，过点C'作C'F⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMC'＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMC'＝∠ECM，∴△ECM≌△FMC'（AAS），∴EM＝C'F，EC＝MF，∵△CMC′为等腰直角三角形，∴EM＝MF＝CE＝C'F，∵EM＝|m﹣2|，CE＝m2﹣4m+2+2，∴|m﹣2|＝m2﹣4m+2+2，解得m＝2（舍）或m＝3或m＝1，∴M（3，﹣1）或（1，﹣1）．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．7．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝ax2+2x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）；（3）存在点D，使tan∠DAE＝，理由如下：设D（m，﹣m2+2m+3），∴DF的解析式为y＝x﹣m2+m+3，联立方程组，解得x＝，∴E（，），∴DE＝||，AE＝||，∵tan∠DAE＝，∴＝，解得m＝1或m＝3（舍）或m＝﹣，∴D（1，4）或D（﹣，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．9．解：（1）令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝，∴B（0，），将点A（3，0），B（0，），代入+bx+c，∴，解得；（2）由（1）可得+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∵A（3，0），B（0，），∴AC＝5，OB＝，∴S△ABC＝××5＝，S△PBC＝××t＝t，∵PD∥AB，∴△PDC∽△ABC，∴＝（）2，即＝（）2，∴S△PCD＝t2，∴S＝S△PBC﹣S△PCD＝t﹣t2，（0＜t＜5）；∵S＝t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S的最大值为；（3）∵+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设M（，m），N（n，0），B（0，），①如图1，当∠BMN＝90°，N点在x轴负半轴时，BM＝MN，过点M作KL∥y轴交x轴于点L，过点B作BK⊥KL交于K，∴∠BMK+∠NML＝90°，∵∠BMK+∠MBK＝90°，∴∠NML＝∠MBK，∴△BMK≌△MNL（AAS），∴BK＝ML，NL＝KM，∵BK＝，KM＝﹣m，ML＝m，NL＝﹣n，∴＝m，﹣m＝﹣n，∴n＝1﹣，∴N（1﹣，0）；②如图2，当∠BMN＝90°，N点在x轴正半轴时，BM＝MN，过点M作EF⊥y轴交于点E，过点N作NF⊥EF交于点F，∵∠BME+∠NMF＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，∴∠NMF＝∠EBM，∴△BEM≌△MFN（AAS），∴EM＝NF，BE＝NF，∵BE＝﹣m，EM＝，MF＝n﹣，NF＝﹣m，∴﹣m＝n﹣，＝﹣m，∴n＝+1，∴N（+1，0）；③如图3，当∠BNM＝90°，N点在x轴的负半轴上是，BN＝MN，过点N作ST⊥x轴，过点B作BS⊥ST交于S，过点M作MT⊥ST交ST于T，∴∠SNB+∠TNM＝90°，∵∠SNB+∠SBN＝90°，∴∠TNM＝∠SBN，∴△SBN≌△TNM（AAS），∴SB＝NT，SN＝TM，∵SB＝﹣n，SN＝，NT＝﹣m，MT＝﹣n+，∴﹣n＝﹣m，＝﹣n+，∴n＝﹣，∴N（﹣，0）；④如图4，当∠BNM＝90°，N点在x轴的正半轴上是，BN＝MN，过点N作UV⊥x轴，过点B作BU⊥UV交于点U，过点M作MV⊥UV交于点V，∴∠BNU+∠MNV＝90°，∵∠BNU+∠NBU＝90°，∴∠MNV＝∠NBU，∴△BNU≌△NMV（AAS），∴BU＝VN，UN＝MV，∵BU＝n，UN＝，NV＝﹣m，MV＝n﹣，∴n＝﹣m，＝n﹣，∴n＝+，∴N（+，0）；综上所述；N点坐标为（1﹣，0）或（+1，0）或（﹣，0）或（+，0）．10．证明：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2+2m﹣4，∴顶点P（2m，2m﹣4），当x＝2m时，y＝2m﹣4，∴点P在直线l上；解：（2）联立方程组，整理得x2﹣4mx﹣x+4m2+2m＝0，∵P点在直线y＝x﹣4上，∴x＝2m是方程的一个解，∴方程的另一个解为2m+1，∴Q（2m+1，2m﹣3），∴OQ＝，QP＝，OP＝，当OP＝OQ时，＝，解得m＝；当OP＝PQ时，＝，∴m无解；当OQ＝PQ时，＝，∴m无解；综上所述：m＝；（3）∵m＝0，∴y＝x2﹣4，令y＝0，则x＝±2，∴A（2，0），B（﹣2，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，﹣4），N（x2，﹣4），联立方程组，∴x2﹣kx﹣b﹣4＝0，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣b﹣4，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，∵MA⊥NA，∴∠MAN＝90°，∵∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，∴∠NAF＝∠AME，∴△AME∽△NAF，∴＝，∵ME＝﹣4，NF＝﹣4，AE＝2﹣x1，AF＝x2﹣2，∴＝，∴2k﹣b+1＝0，∴y＝（1+x）b﹣x，∴当x＝﹣2时，y＝1，∴直线MN经过定点（﹣2，1）．11．解：（1）∵B（﹣2，2），点B与点C关于原点对称，∴C（2，﹣2），将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），∵P、Q关于原点的对称，∴Q（﹣t，﹣t2+t+2），∵点B与点C关于原点对称，∴O是对角线PQ、BC的交点，∴PQ⊥BC，∵B（﹣2，2），∴OB2＝8，OP2＝t2+（t2﹣t﹣2）2，PB2＝（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2，∴（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，∴（t+2）2﹣8﹣t2＝（t2﹣t﹣2）2﹣（t2﹣t﹣4）2，∴2t﹣2＝t2﹣2t﹣6，解得t＝﹣2+2或t＝2+2，∴P（﹣2+2，2﹣2）或（2+2，2+2）；②∵点B与点C关于原点对称，P、Q关于原点的对称，∴BC与PQ互相平分，∴四边形PBQC是平行四边形，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x，∵P（t，t2﹣t﹣2），∴G（t，﹣t），∴PG＝﹣t﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2，∴S△BCP＝×4×（﹣t2+2）＝﹣t2+4，∴S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．12．解：（1）将A（0，﹣2）、B（8，﹣2）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣2；（2）存在点E，使得△AEF与△AOC相似，理由如下：∵AE⊥EF，OC⊥OA，∴∠COA＝∠AEF，∵y＝x2﹣3x﹣2＝（x﹣4）2﹣8，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，∴tan∠OCA＝，设E（t，t2﹣3t﹣2），则F（t，﹣2），∴EF＝﹣t2+3t，AF＝t，当∠OCA＝∠AEF时，△OAC∽△F AE，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；当∠F AE＝∠OCA时，△OAC∽△FEA，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；综上所述：E点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．13．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴BO＝3，OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），∵B（3，0），C（0，3），∴BP2＝4+t2，CP2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，∵CP⊥BP，∴18＝4+t2+1+（t﹣3）2，解得t＝，∴P（1，）或（1，）；（3）存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设E（1，m），F（n，﹣n2+2n+3），①当BC为平行四边形的对角线时，3＝1+n，∴n＝2，∴F（2，3）；②当BE为平行四边形的对角线时，3+1＝n，∴n＝4，∴F（4，﹣5）；③当BF为平行四边形的对角线时，3+n＝1，∴n＝﹣2，∴F（﹣2，﹣5）；综上所述：F点的坐标为（2，3）或（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）．14．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴D（2，﹣3）；（2）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x﹣1＝（x﹣）2﹣，∴顶点B（，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴C（a+2，﹣1），∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB⊥BC，∴||＝|﹣1+|，解得a＝±2或a＝﹣，当a＝2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合，∴a＝2（舍）；∴a＝﹣2或a＝﹣；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，①当＜0时，a＜﹣2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；②当＞2时，a＞2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，此时当x＝，函数有最大值﹣，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣+3＝2，∴＝1，解得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝时，函数有最小值﹣，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣1+＝2，∴＝3，解得a＝2；综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；（4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴，∴DE所在直线为y＝﹣3，∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），当a＞0且≥a﹣3时，∴0＜a≤8，∵a﹣3＞0，∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＞0且＜a﹣3时，解得a＞8，∵a﹣3＞0，∴a＞3，∵（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5，解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4的对称轴是直线x＝，∴＝﹣，∴b＝﹣5a，∴y＝ax2﹣5ax﹣4，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax﹣4，∴16a﹣20a﹣4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+5x﹣4；（2）四边形OCDE是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），令y＝0，则﹣x2+5x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣4，设D（t，t﹣4），则E（t，﹣t2+5t﹣4），∴DE＝﹣t2+5t﹣4﹣t+4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，DE的长度最大为4，∴D（2，﹣2），E（2，2），∵OC＝DE＝4，DE∥OC，∴四边形OCDE是平行四边形；（3）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（m，﹣m2+5m﹣4），则G（m，m﹣4），∴PG＝﹣m2+5m﹣4﹣m+4＝﹣m2+4m，∴S△BCP＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，∴当m＝2时，S△BCP的值最大为8．16．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣）．（2）由（1）可知，OC＝，OB＝3，∴BC＝2，即BC＝2OC，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，∵DE⊥x轴，∴DE∥OC，∴∠E＝60°，∵PH⊥BC于点H，∴∠PHC＝∠BOC＝90°，∴若△BDE与△PHE全等，只需要BE＝PE即可．∵D（m，0）（m＜3），∴BD＝3﹣m，∴BE＝（3﹣m），∵PE⊥x轴，∴P（m，m2﹣m﹣），∵B（3，0），C（0，﹣），∴y＝x﹣．∴E（m，m﹣），∴PE＝|m2﹣m﹣﹣（m﹣）|＝|m2﹣m|，∴|m2﹣m|＝（3﹣m），∴m＝3（舍去）或m＝﹣2或m＝2．∴P（﹣2，）或P（2，﹣）．17．解：（1）∵抛物线的对称轴x＝2，∴设此抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+h，∵OA＝1，OC＝3，∴A（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x＝2，∴B（3，0），∴OC＝OB＝3，AB＝2，∴BC＝，∠ABC＝45°，∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，∴90°＜∠CAB＜135°，由y＝（x﹣2）2﹣1可知点P的坐标是（2，﹣1），∴∠PBO＝45°，PB＝，∴∠PBO≠∠BAC，∴点D不可能在B点右侧的x轴上，∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，则∠PBD＝∠ABC＝45°，且或，故分以下两种情况考虑：①当时，∠PBD＝∠ABC＝45°时，△PBD∽△ABC，∴，解得BD＝3，又OB＝3，∴点D与点O重合，即D1（0，0）；②当时，∠DBP＝∠ABC＝45°时，△DBP∽△ABC，∴，解得DB＝，又OB＝3，∴OD＝OB﹣DB＝3﹣＝，∴D2的坐标是（，0），综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．18．解：（Ⅰ）将点，代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（Ⅱ）∵过点作直线l⊥y轴，∴直线l的解析式为y＝，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∵抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2+＝x2﹣x+1，∴抛物线向上平移+＝4个单位，∵点P（m，n）平移后的点为P'（m，n+4），∵DP＝DP'，∴m2+（﹣n）2＝m2+（﹣n﹣4）2，解得n＝﹣，∴m＝2+或m＝﹣2+，∴P（2+，﹣）或（﹣2+，﹣）；（Ⅲ）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴P（，n），∵点，C（0，﹣3），∴AC＝2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，作∠CAO的角平分线交y轴于点M，以M为圆心，AM为半径做圆交抛物线的对称轴于点P，连接MP，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMC＝120°，∴∠APC＝60°，在Rt△AOM中，∠OAM＝30°，∴OM＝1，∴M（0，﹣1），∵MP＝CM＝2，∴+（n+1）2＝4，∴n＝﹣1或n＝﹣﹣1，∴P点坐标为（，﹣1）或（，﹣﹣1），∵∠APC不小于60°，∴﹣﹣1≤n≤﹣1．19．解：（1）①令y＝0，则ax2﹣a＝0，∴x＝﹣1或x＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），令x＝0，则y＝﹣a，∴D（0，﹣a），∵C（﹣，﹣），B（1，0）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝x﹣1，∵C（﹣，﹣）在y＝ax2﹣a上，∴a﹣a＝﹣，∴a＝﹣2，∴D（0，2），∵直线y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴S△BCD＝×3×（1+）＝；②∵MN∥直线l，设直线MN的解析式为y＝x+m，∵M、N在直线l的上方，∴m＞﹣1，设M（x1，﹣2x12+2），N（x2，﹣2x22+2），联立方程组，整理得2x2+x+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝，∴MN＝＝|x1﹣x2|＝•，设直线MN与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作TK⊥直线l交于K 点，∵L（0，﹣1），B（1，0），∴∠TLK＝45°，∵TL＝m+1，∴TK＝，∵四边形MGHN是正方形，∴TK＝MN，∴•＝，解得m＝﹣5+或m＝﹣5﹣，∵m＞﹣1，∴m＝﹣5+，∴直线MN的解析式为y＝x﹣5+，∴2x2+x+﹣7＝0，解得x＝或x＝，∴N（，）；（2）联立方程组，整理得ax2﹣kx﹣a﹣b＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴Δ＝k2+4a（a+b）＝0，∴k2＝﹣4a（a+b），∵A（﹣1，0），Q（0，﹣2a），设直线AQ的解析式为y＝k2x+b2，∴，解得，∴y＝﹣2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴E点的横坐标为，∵B（1，0），Q（0，﹣2a），设直线BQ的解析式为y＝k3x+b3，∴，解得，∴y＝2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴F点的横坐标为，过点E作EP⊥y轴交于P点，过点F作FJ⊥y轴交于J点，∵A、B关于y轴对称，∴∠AQO＝∠BQO，∵OA＝1，OQ＝﹣2a，∴AQ＝，∴sin∠AQO＝，∴EQ＝＝＝•，FQ＝＝•，∵QE+QF＝3，∴•+•＝•（2a+b）•（+）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝＝3，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣．20．解：（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），将点（﹣x，﹣y）代入抛物线，∴抛物线c2的解析式为y＝（x+m）2﹣；（2）①对函数，令y＝0，解得x＝﹣1+m或x＝1+m，∵m＜0，∴A（﹣1+m，0），B（1+m，0），对函数c2y＝（x+m）2﹣，令y＝0，解得x＝1﹣m或x＝﹣1﹣m，∵m＜0，∴C（﹣1﹣m，0），D（1﹣m，0），∴AD＝2﹣2m，BC＝﹣2﹣2m，∵AD＝3BC，∴2﹣2m＝3（﹣2﹣2m），∴m＝﹣2；②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：∵抛物线c1的对称轴为x＝m，∴M（m，），∵抛物线c2的对称轴为x＝﹣m，∴N（﹣m，﹣），∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，∴AM2+AN2＝MN2，∴1+3+（2m﹣1）2+3＝12+4m2，解得m＝﹣1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，∴GI∥MH，∴＝，∵GM＝pGP，∴＝＝，∴|t|＝，∵NK∥y轴，∴＝，∵GN＝qGQ，∴＝＝，∴|t|＝，∴＝，∴p﹣q＝2．。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。
2022-2023学年北师大版九年级数学《第1章特殊的平行四边形》单元综合测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学《第1章特殊的平行四边形》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本题共计10小题，共计40分，）1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．322．能判定一个四边形是菱形的是（）A．有一组邻边相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．四条边都相等3．下面真命题的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形是中心对称图形，不是轴对称图形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．依次连接等腰梯形各边的中点，所得四边形是菱形4．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°5．如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6cm，则对角线AC的长度是（）A．8cm B．4cm C．3cm D．6cm6．如图，矩形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，点E、F都在AD上，下列结论不正确的是（A．△ABE≌△DCF B．△ABE和△DCF都是等腰直角三角形C．四边形BCFE是等腰梯形D．E、F是AD的三等分点7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点M，N 分别OB，OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（）A．14B．20C．22D．288．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（）A．1B．2C．D．9．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点A（3，1），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（﹣2，3）D．（1，﹣3）10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共计8小题，共计32分，）11．在平行四边形ABCD中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是．12．矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，则该矩形的面积是．13．如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是．14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC 于E、F，则阴影部分的面积是．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．16．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．17．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边＝18，则BD的最小值为．形ABCD三、解答题（本题共计6小题，共计48分，）19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AE＝CF，DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．20．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．21．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝1，求AG的长．22．如图所示，矩形ABCD中，AB＝30，AD＝40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值．23．如图，正方形ABCD，点E、F分别为BC、CD边上的点，连接EF，点M为EF上一点，且使AE平分∠BAM，AF平分∠DAM，证明：∠EAF＝45°．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．参考答案一、选择题（本题共计10小题，共计40分，）1．解：∵菱形ABCD的面积＝AC×BD∴菱形ABCD的面积＝×4×8＝16故选：B．2．解：四条边都相等四边形是菱形，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选：D．3．解：A、矩形的对角线相等但不垂直，故本选项错误；B、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误；D、因为等腰梯形的对角线相等，所以依次连接等腰梯形各边的中点，所得四边形是菱形，故本选项正确．故选：D．4．解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝6cm，∴BO＝3cm，∵AB＝5cm，∴AO＝＝4（cm），∴AC＝8cm．故选：A．6．解：如图，∵四边形ABCD是矩形ABCD，∴∠A＝∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°．又BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠ABE＝∠DCF＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∠DFC＝∠DCF＝45°，∴AB＝AE，DF＝DC，∴△ABE和△DCF都是等腰直角三角形．故B正确；在△ABE与△DCF中，．则△ABE≌△DCF（AAS），故A正确；∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF．又BE与FC不平行，且EF∥BC，EF≠BC，∴四边形BCFE是等腰梯形．故C正确；∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF．但是不能确定AE＝EF＝FD成立．即点E、F不一定是AD的三等分点．故D错误．故选：D．7．解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵M和N分别是OB和OC的中点，OB＝8，OC＝6，∴MN＝BC，MN∥BC，OM＝OB＝4，ON＝OC＝3，∴四边形MNDE为平行四边形，∵BD⊥CE，∴平行四边形MNDE为菱形，∴BC＝＝10，∴DE＝MN＝EM＝DN＝5，∴四边形MNDE的周长为20，故选：B．8．解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2+BE2，∴AB＝，同理：BC＝，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝，∴S菱形ABCD＝AD•BE＝．故选：D．9．解：过C作CD⊥x轴于D，过A作AE⊥x轴于E，如图：∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠AOE＝90°﹣∠COD＝∠DCO，又∠CDO＝90°＝∠AEO，∴△COD≌△OAE（AAS），∴CD＝OE，OD＝AE，∵A（3，1），∴CD＝3，OD＝1，∴C（﹣1，3），故选：B．10．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．二、填空题（本题共计8小题，共计32分，）11．解：答案不唯一，∵四边形ABCD是平行四边形，∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．故答案为：∠A＝90°．12．解：∵矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，∴矩形的长为8，宽为5或3．∴面积为40或24．故答案为：40或24．13．解：∵AB＝CD，CB＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．14．解：由题意可知△DEO≌△BFO，∴S△DEO＝S△BFO，阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．故答案为：1．15．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．16．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，∴∠AOD＝90°，∴AD＝＝5＝CD∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形OCED为矩形∴CD＝OE＝5故答案为：517．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：4．18．解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，∴2AB2＝BD2，∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，∴18＝+S△BCD，∴当S△BCD值最大时，BD最小，∵（CD﹣BC）2≥0∴CD2+BC2≥2BC×CD，∴BC×CD≤，∴S△BCD≤，∴当CD＝BC时，S△BCD有最大值，∴当S△BCD＝时，BD的长度最小，∴18＝∴BD＝6故答案为：6三、解答题（本题共计6小题，共计48分，）19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝DC﹣CF，即DF＝BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形DEBF为菱形．20．（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴DE＝．21．（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝1，∴AB＝AD＝2，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝，BH＝1．∴GH＝2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG＝．22．解：当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，理由是：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝AD＝40，∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AO＝OC＝BO＝OD，由勾股定理得：AC＝50，∴AO＝OC＝OB＝OD＝25，∴S△ABC＝AB×BC＝×30×40＝600，∴S△BOC＝S△ABC＝300，∴×BO×PN+CO×PM＝300，∴PM+PN＝24，即当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，永远是24．23．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAM，AF平分∠DAF，∴∠EAM＝∠BAM，∠MAF＝∠DAM，∴∠EAM+∠MAF＝∠BAM+∠DAM＝（∠BAM+∠DAM）＝∠BAD＝×90°＝45°，即∠EAF＝∠EAM+∠MAF＝45°．24．（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．。
第二章二次函数 单元测试 2022-2023学年九年级下册数学北师大版
第二章二次函数（单元测试）2022-2023学年九年级下册数学北师大版一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米2．下列关于二次函数()()312y x x =+-的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）A ．点()0,2在函数图像上B ．开口方向向上C ．对称轴是直线1x =D ．与直线3y x =有两个交点3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >4．在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．()221y x =-+ B ．()221y x =++ C ．()221y x =+- D ．()221y x =-- 5．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：⊥234x <<，⊥320a b +>，⊥24b a c ac >++，⊥a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数图象的开口向下 B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-9．已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 11．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>12．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．已知抛物线(1)(5)y x x =--与x 轴的公共点坐标是12(,0),(,0)A x B x ，则12x x +=_______．14．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A (﹣3，6)，B (1，3)，则方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解是_________．15．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．16．如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(08)，，以点C 为顶点的抛物线经过x 轴上的点A ，B ，则此抛物线的解析式为__________________．17．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：⊥4a +b =0；⊥9a +c <3b ；⊥8a +7b +2c >0；⊥若点A (－3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⊥若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则1215.x x <-<<其中正确的结论有__________． (只填序号)18．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,39P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为___________．19．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当1020x ≤≤时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．20．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y 16-＝（x ﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA 的值是____m ；（2）落水点C ，D 之间的距离是____m ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？22．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？(1)求抛物线的解析式；△面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请(2)抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD说明理由．24．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？25．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x 周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：(1)求T与x的函数关系式；(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：⊥在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．⊥该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．参考答案：1．C2．D3．C4．B5．D6．B7．B8．D9．A10．D11．D12．A13．614．x 1＝﹣3，x 2＝115．1016．221624y x x =-+-17．⊥⊥⊥⊥18310 19．12120． 116##156 22 21．(1)第二批每个挂件的进价为40元(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元22．(1)0.55y x =-+（28x ≤≤，且x 为整数）(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克23．(1)2=23y x x --(2)存在，()11P，()21P24．(1)y ＝﹣2x +160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元25．(1)120(08)42(824)x T x x x ⎧<≤⎪=+⎨⎪+<≤⎩；(2)44K x =-+；(3)⊥存在，不变的值为240；⊥当周利润总额的范围是286≤y ≤504时，对应的周销售量T 的最小值是11千套，最大值是18千套．答案第3页，共1页。
(北师大版)佛山市九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试(答案解析)
一、选择题1．下列不等式成立的是（ ） A ．sin60°<sin45°<sin30° B ．cos30°<cos45°<cos60° C ．tan60°<tan45°<tan30°D ．sin30°<cos45°<tan60°2．如图，在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ︒∠=，点D 是CB 延长线上的一点，且AB BD =，则tan DAC ∠的值为（ ）A ．33B ．23C ．23+D ．23-3．在RtΔABC 中，若∠C=90°，cosA=35，则sinA 的值为（ ） A ．35B ．45 C ．34D ．544．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45 5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．236．如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离20BC =米，在距山脚点C 右侧水平距离为60米的点D 处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，建筑物AB 和山坡CE 的剖面的同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 240.41︒≈，cos240.91︒≈，tan 240.45︒≈）A ．32.4米B ．20.4米C ．16.4米D ．15.4米7．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上，若直线1234//////l l l l 且间距相等，3AB =，2BC =，则tan α的值为（ ）A ．38B ．13C ．5 D ．15158．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且22440c ac a -+=，则sinA+cosA 的值为（ ） A ．13+ B ．122C ．23+ D ．29．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ） A ．34B ．43C ．35D ．4510．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的央角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF //BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A ．2.6mB ．2.8mC ．3.4mD ．4.5m11．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:34BC m =，则坡面AB 的长度是（ ）A ．433m B ．43m C ．23m D ．8m12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC ，BC=2，则sin ∠A 的值为（ ）A ．52B ．53C ．23D ．255二、填空题13．正方形ABCD 、正方形FECG 如图放置，点E 在BC 上，点G 在CD 上，且BC ＝3EC ，则tan ∠FAG ＝_____．14．如图，矩形ABCD 中，AE ＝13AD ，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF ＝FD ＝3，则BC 的长为_____．15．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．16．如图，直角坐标系原点O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，()90,5,0ACB A ∠=︒-，且1tan 2A =，反比例函数(0)k y k x=≠经过点C ，则k 的值是_______．17．如图，C ，D 是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A 和B 的正东方向上，且点D 位于点C 的北偏东60°方向上，CD=12km ，则AB=_______km18．在ABC 中，若213sin tan 02A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则C ∠的度数为__________． 19．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．20．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=︒，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．三、解答题21．计算：()2202012330tan -++︒22．计算：12+（12）-1﹣2cos30°﹣313． 23．如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB 上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M 距大道AB 的距离MN 为30米，现有一辆汽车从A 向B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用时间为6秒，已知60AMN ∠=︒，45BMN ∠=︒．（参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈）（1）计算AB 的长度（结果保留整数）； （2）试判断此车是否超速，并说明理由．24．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地—一安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB 的高度，小明在纪念碑前D 处用测角仪测得顶端A 的仰角为60︒，底端B 的俯角为45︒；小明又在同一水平线上的E 处用测角仪测得顶端A 的仰角为30，已知8m DE =，求该纪念碑AB 的高度．（3 1.7≈，结果精确到0.1m ）25．（1）解方程：x 2﹣4x ＝12； （2）计算：sin30°3tan45°．26．（1）计算：()1012sin 45tan 5012-⎛⎫-︒--︒-+ ⎪⎝⎭（2）已知4cos60x =︒，先化简，再求2221111x x x x ++---的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：A 、sin60°sin45°=2，sin30°=12 ，故A 不成立；B 、cos30°cos45°=2，cos60°=12，故B 不成立；C 、tan60°，tan45°=1，tan30°，故C 不成立；D 、sin30°=12，cos45°，tan60°D 成立； 故选：D ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．2．C解析：C 【分析】设AC=x ，根据三角函数可得，，AB=2x ，求出DC 即可． 【详解】 解：设AC=x ，∵AC BC ⊥，30ABC ︒∠=， tan ∠ABC=ACBC,3AC BC =,， sin ∠ABC=ACAB, 12AC AB =, AB=2x ， BD=2x ，=(2x +，tan ∠DAC=2DC AC ==， 故选：C ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数和求三角函数值，解题关键是根据三角函数的定义，利用特殊角，表示出相关线段长．3．B解析：B 【分析】根据正弦和余弦的平方和等于1求解． 【详解】解：∵()()22sin cos 1A A +=，∴4sin 5A ===，故选B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键．4．C解析：C 【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值． 【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =， ∴5AC =， 则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．5．D解析：D 【分析】设BC=a ，则AB=3a ，根据勾股定理求出AC ，再根据正弦的定义求sin B ． 【详解】解：设BC=a ，则AB=3a ，2222922AC AB BC a a a -=-=，sin B =222233AC a AB a ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．6．C解析：C 【分析】延长AB 交CD 反向延长线于F ．根据题意可知43BF FC =，则设BF=4x ，FC=3x ．由正切可求出AF 的长．再在Rt BFC △中，由勾股定理可求出x 的值．最后即可利用=AB AF BF -求出AB 长． 【详解】如图延长AB 交CD 反向延长线于F ，由题意可知BF DF ⊥． ∵建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡CE 上， ∴10.75BF FC =，即43BF FC =． 设BF=4x 米，则FC=3x 米，DF=（60+3x ）米， ∵24D ∠=︒， ∴tan tan 240.45AFD DF∠=︒==，∴0.45(603)(27 1.35)AF x x =+=+米．在Rt BFC △中，222BF FC BC +=，即222(4)(3)20x x +=， ∴1244x x ==-，（舍）．∴4416BF =⨯=米，27 1.354=32.4AF =+⨯米． ∴=32.4-16=16.4AB AF BF -=米．故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用和勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．7．B解析：B 【分析】根据题意，可以得到BG 的长，再根据∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值． 【详解】解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE ∥BF ，CE=EF ， ∴△CEG ∽△CFB ， ∴CE CGCF CB =， ∵12CE CF =， ∴12CG CB =， ∵BC=2， ∴GB=1，∵l 3∥l 4， ∴∠α=∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3， ∴∠ABG=90°， ∴1tan 3BG BAG AB ∠==， ∴tanα的值为13， 故选：B ． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．A解析：A 【分析】由22440c ac a -+=得2c a =，则1sin 2a A c ==，即可得到30A ∠=︒，利用特殊角的三角函数值就可以求出结果． 【详解】解：∵22440c ac a -+=， ∴()220c a -=，即2c a =，∵90C ∠=︒，∴1sin 2a A c ==， ∴30A ∠=︒，∴cos 2A =，∴1sin cos 2A A +=． 故选：A ． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．9．D解析：D 【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案． 【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴=4，∴cosA=ACAB =45．故选：D．【点睛】考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.10．B解析：B【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝DFDE≈0.4，∴D E≈1.120.4＝2.8（m），故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．11．D解析：D【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是∴BC AC = ∴4AC =解得：AC ＝故AB 8（m ），故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．12．C解析：C【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AC =BC=2∴3=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ．【点睛】 本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】根据题意可以设EC=a 然后即可得到ADDG 和AG 的长然后作FH ⊥AG 利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH 和FH 的长从而可以得到tan ∠FAG 的值【详解】解：作FH ⊥AG 于点H ∵正方形FEC 解析：15【分析】根据题意，可以设EC=a ，然后即可得到AD 、DG 和AG 的长，然后作FH ⊥AG ，利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH 和FH 的长，从而可以得到tan ∠FAG 的值．【详解】解：作FH ⊥AG 于点H ，∵正方形FECG ，设EC＝FG=a，则BC＝AD＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，DG＝BE＝2a，∴AG＝22AD DG＝13a，∴sin∠DAG＝13a ＝21313，∵AD∥GF，∴∠HGF＝∠DAG，∴sin∠HGF＝213，∵sin∠HGF＝HFGF，∴HFa ＝21313，解得HF＝213a，∴HG＝313a，∴AH＝AG﹣HG＝13a﹣313a＝1013a，∴tan∠FAH＝FHAH ＝213131013aa＝15，即tan∠FAG＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查正方形的性质、锐角三角形函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．6【分析】延长BF 交AD 的延长线于点H 证明△BCF ≌△HDF （AAS ）由全等三角形的性质得出BC ＝DH 由折叠的性质得出∠A ＝∠BGE ＝90°AE ＝EG 设AE ＝EG ＝x 则AD ＝BC ＝DH ＝3x 得出EH解析：66【分析】延长BF 交AD 的延长线于点H ，证明△BCF ≌△HDF （AAS ），由全等三角形的性质得出BC ＝DH ，由折叠的性质得出∠A ＝∠BGE ＝90°，AE ＝EG ，设AE ＝EG ＝x ，则AD ＝BC ＝DH ＝3x ，得出EH ＝5x ，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．【详解】解：延长BF 交AD 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠A ＝∠BCF ＝90°，∴∠H ＝∠CBF ，在△BCF 和△HDF 中，CBF H BCF FDH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△HDF （AAS ），∴BC ＝DH ，∵将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴∠A ＝∠BGE ＝90°，AE ＝EG ，∴∠EGH ＝90°，∵AE ＝13AD ， ∴设AE ＝EG ＝x ，则AD ＝BC ＝DH ＝3x ，∴ED ＝2x ，∴EH ＝ED +DH ＝5x ，在Rt △EGH 中，sin ∠H ＝155EG x EH x ==， ∴sin ∠CBF ＝15CF BF =， ∴315BF =，∴BF ＝15，∴BC ＝222215366BF CF -=-=，故答案为：66．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，要注意折叠的图形中的相等的角和相等的线段，解题关键是利用倍长中线法正确作出辅助线证△BCF ≌△HDF ． 15．【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直与l2交于点E 与l3交于点F 得AB=2进而求得矩形的面积；【详解】解：如图过B 作于E 点交于F 点∵∴∠又∵相邻直线的间距均为1∴BF=EF=1则∴又∵矩形ABCD 中解析：83 【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直，与l 2交于点E ，与l 3交于点F ．得AB=2，43BC =．进而求得矩形的面积； 【详解】解：如图，过B 作2BE l ⊥于E 点，交2l 于F 点∵34//l l∴∠=30BAF α∠=︒又∵相邻直线的间距均为1，∴BF=EF=1则1sin 2BF AB α== ∴2212AB BF ==⨯=又∵矩形ABCD 中，∠90ABC =° 而∠+90ABF α∠=︒∴30EBC α∠=∠=︒，且BE=2 ∴3cos 2BE EBC BC ∠== ∴3432233BC BE =÷==则S 矩形ABCD=AB×BC=4832333⨯= 故答案为：83 【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算等知识，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．16．【分析】作CD ⊥AB 于点D 由可设BC=xAC=2x 根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值利用面积法求出CD 的值再利用勾股定理求出BD 的值得到点C 的坐标然后可求出k 的值【详解】如图作CD ⊥AB 于点D ∵为斜解析：12【分析】作CD ⊥AB 于点D ．由1tan 2A =可设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值，利用面积法求出CD 的值，再利用勾股定理求出BD 的值，得到点C 的坐标，然后可求出k 的值． 【详解】如图，作CD ⊥AB 于点D ．∵()5,0A -，O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，∴()5,0B ，∴OB=5，AB=10．∵1tan 2A ==BC AC ， ∴可设BC=x ，AC=2x ，由勾股定理得x 2+(2x)2=102，∴x=25∴BC=25AC=45∵1122AC BC AB CD ⋅=⋅， ∴254510CD =，∴CD=4，∴2==， ∴OD=5-2=3，∴C(3，4)．反比例函数(0)k y k x=≠经过点C ， ∴k=3×4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键． 17．【分析】过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形由方位角确定∠ECD=60°在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可【详解】过点C 作CE ⊥BD 于E 由湖的南北两端A 和B ∴∠EBA=∠BA解析：【分析】过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形，由方位角确定∠ECD=60°，在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可．【详解】过点C 作CE ⊥BD 于E ，由湖的南，北两端A 和B∴∠EBA=∠BAC=90º，又∠BEC=90º则四边形ABCE 为矩形，∴AB=CE∵点D 位于点C 的北偏东60°方向上，∴∠ECD=60°，∵CD=12km ，在Rt △CED 中，∴CE=CD•cos ∠ECD=12×12=6km ， ∴AB=CE=6km ．故答案为：6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过辅助线，将问题转化矩形和三角形中，利用三角函数与矩形性质便可解决是关键．18．120º【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=tanB=根据特殊角的三角函数值可得出∠A∠B的度数根据三角形内角和定理即可得答案【详解】∵∴sinA-=0-tanB=0∴sinA=tan解析：120º【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=12，3出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理即可得答案．【详解】∵213sin tan023A B⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，∴sinA-12=03，∴sinA=12，tanB=33，∴∠A=30°，∠B=30°，∠C=180°-30°-30°=120°，故答案为：120°【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形内角和定理，根据非负数性质得出sinA=12，tanB=33，并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．19．【分析】由题意过点B作BH⊥AC于H先解直角三角形求出BH再根据垂线段最短进行分析即可求解【详解】解：如图过点B作BH⊥AC于H在Rt△ABC中∵∠ABC=90°AB=2∠C=30°∴AC=2AB=解析：3【分析】由题意过点B作BH⊥AC于H，先解直角三角形求出BH，再根据垂线段最短进行分析即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，∠C=30°，∴AC=2AB=4，BC=AB•cos30°=23，∵∠BHC=90°，∴BH=1BC=3，2∵BF//AC，∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值=BH=3．故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形的应用和平行线的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】过A作AE⊥BC于点E则由题意可得AE的值进一步可求得△ABO 的面积【详解】解：如图过A作AE⊥BC于点E∵AB=4∠ABC=45°∴AE=AB=∴故答案为【点睛】本题考查菱形性质和解直角三解析：22【分析】过A作AE⊥BC于点E，则由题意可得AE的值，进一步可求得△ABO的面积．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于点E，∵AB=4，∠ABC=45°，∴AE=AB sin 45︒=42⨯=∴1111·42224ABO ABC S S BC AE ==⨯=⨯⨯=故答案为 ．【点睛】本题考查菱形性质和解直角三角形的综合应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键．三、解答题21．1+【分析】根据算术平方根，任何非零数的零次幂等于1以及特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：)02020330tan +︒=133+⨯=1+=1+【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22．2【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及算术平方根的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则．【详解】+（12）-1﹣2cos30°﹣=23--==2．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟记负整数指数幂、算术的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．23．（1）82米；（2）不超速，见解析【分析】（1）已知MN=30m ，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB 的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A 到B 的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【详解】解：（1）由题意可得在Rt AMN △中，30MN =米，60AMN ∠=︒， ∴tan AN MN AMN =⋅∠=在Rt BMN 中，∵45BMN ∠=︒，∴30BN MN ==（米）． ∴3082AB AN BN =+=≈（米）．（2）此车不超速，理由如下：由题意可得，汽车从A 到B 为匀速行驶，用时为6秒，且82AB =米，则汽车的速度为()306513.66÷=≈（米/秒）．∵60千米/时≈16.67米/秒，13.6616.67<，∴此车不会超速．【点睛】本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．24．8m【分析】设CD=x m ，解Rt △ACD 与Rt △DCB ，用含x 的代数式表示出AC 、CB ，然后根据△ACE 是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x 的值，进而可得AB ．【详解】解：设CD=x m ，∵∠ADC=60°，∠CDB=45°，∴，CB=x•tan45°=x （m ），∵∠AED=30°，DE=8m ，∴， ∴，解得x=4（m ），∴（m ）．答：该纪念碑AB 的高度约为10.8m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．25．（1）x 1＝6，x 2＝﹣2；（2）1【分析】（1）采用分解因式法解方程；（2）将特殊角度的三角函数值代入计算即可.【详解】解：（1）x 2﹣4x ﹣12＝0，（x ﹣6）（x +2）＝0，x ﹣6＝0或x +2＝0，所以x 1＝6，x 2＝﹣2；（2）原式＝112， 13=22+， ＝1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，掌握一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．26．（1）0；（2）1x x -，2． 【分析】（1）原式先根据绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根进行化简，再求出答案即可；（2）先求出x 的值，再根据异分母分式的减法进行通分并化简，最后把x 的代入化简结果中求值即可．【详解】解：（1）()1012sin 45tan 5012-⎛⎫︒--︒- ⎪⎝⎭=2213--+=213-+=0；（2）2221111x x x x ++--- =2211(1)(1)x x x x x ++--+- =(1)(1)(1)x x x x ++- =1x x - ∵14cos60=4=22x =︒⨯，∴原式=2221=-． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．。