导数法求切线方程的三种题型

题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率就是函数y=f(x)在切点处的导数。

下面举出长建的题型及解法：

题型一：已知切点，求曲线的切线方程。

例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。

解：先求y’=f’(x)=6x2

f’(1)=6×1=6=k

当x=1时y=2

∴切点为(1,2)

y-2=6(x-1)

y=6x-4

题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。

例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。

解：带入可知点A不在曲线上。

设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，满足

y0=x03-3x0①

f’(x)=3x2-3

f’(x0)=3x02-3=k ②

又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③

①带入③，且②=③，得到

3x02-3=(x03-3x0)/x0

解得x0=-2 ∴y0=-2

∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9

∴y+2=9(x+2)

Y=9x+16

题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”

例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。

(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。

解：(1)做法仿照例1

可得切线方程为x-y-2=0

(2)设切点为(x0,y0),则有y0=x03-3x0

f’(x0)=3x02-2

3x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)

3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)

解得x0=1或x0=-1/2

当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)

此时切线方程为x-y-2=0

当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点就是切点，

而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情况。

以上就是主要的三种题型，我们发现求切线方程最关键的就是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但若函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。