行列式的计算方法
行列式的计算技巧和方法总结
行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所固有的一个标量值。
行列式在矩阵求逆、解线性方程组等问题中具有广泛的应用。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
二阶行列式是最简单的行列式，它可以通过以下公式计算：$$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$$其中，a、b、c、d为二阶方阵的元素。
三阶行列式的计算方法较为复杂，但也可以通过公式来计算：$$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f\\g & h &i\end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i为三阶方阵的元素。
当我们遇到高阶行列式时，直接使用公式计算是非常繁琐的，因此，我们需要借助于行列式的性质来简化计算。
-行列式的性质1：行互换改变行列式的符号。
利用这个性质，我们可以将行列式将换两行，然后通过变号来达到简化计算的目的。
-行列式的性质2：行列式中行的公因子可以提到行列式外面去。
利用这个性质，我们可以将行列式的其中一行的公因子提取出来，从而简化计算。
-行列式的性质3：行列式中一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。
利用这个性质，我们可以将行列式中的其中一行的倍数加到另一行上，从而将一些元素化为零，进一步简化计算。
-行列式的性质4：行列式中如果有两行成比例，行列式的值为零。
利用这个性质，我们可以判断行列式是否为零，并且减少计算的步骤。
通过这些性质，我们可以将n阶行列式转化为n-1阶行列式，然后继续使用这些性质来简化计算，直到得到二阶行列式进行计算。
4.行列式的展开法行列式的展开法是计算行列式的一种常用方法。
它基于行列式的性质，通过展开其中一行（或其中一列）的元素，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式。
行列式计算方法小结
行列式计算方法小结行列式是线性代数中的一个重要概念，它为矩阵提供了一种重要的性质。
在计算行列式时，有几种常见的方法可以使用，包括拉普拉斯展开、三角形展开和直接计算等。
本文将对这几种方法进行详细介绍和比较。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
它利用行列式的定义，将行列式按照其中一行或一列展开，转化为更小的行列式的求解问题。
具体步骤如下：1.选择一个行或列，记为第i行（列）；2.将第i行（列）展开为n个代数余子式的乘积，并计算每个代数余子式的数值；3.将每个代数余子式乘以对应的元素，并根据正负法则进行求和。
例如，对于一个3阶的行列式A=abdegh通过拉普拉斯展开法，我们可以选择第一行展开：det(A) = aM11 - bM12 + cM13其中，M11，M12和M13分别表示代数余子式，具体计算方法为：M11=eM22-fM23M12=dM21-fM23M13=dM21-eM22代数余子式计算完成后，再将它们代入到展开式中计算即可。
拉普拉斯展开法的优点是思路清晰，易于理解和操作，适用于2阶及以上的行列式。
但当阶数较高时，计算量较大，效率较低。
二、三角形展开法三角形展开法是另一种常用的行列式计算方法。
它通过将行列式中的元素进行重新排列，使得计算过程更加规整，从而简化计算。
具体步骤如下：1.首先确定一个元素，例如第一行第一列的元素a；2.从第一行第一列开始，按照三角形的形状依次向右下方展开，依次得到包围a的三个三角形；3.将三个三角形的元素进行乘积运算，并根据正负法则求和；4.将得到的结果乘以a。
例如，对于3阶行列式A=abdegh我们可以选择第一行第一列的元素a进行三角形展开：det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)通过三角形展开法，我们将行列式按照三角形的形状展开并进行计算，最后得到结果。
三角形展开法的优点是计算规整，清晰明了，可以简化计算过程。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。
它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。
这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。
另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。
此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。
多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。
行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。
最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。
它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。
以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。
此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。
总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
行列式计算方法汇总
行列式计算方法汇总 行列式就像一个神秘的小魔法盒，里面藏着很多有趣的计算方法。 一、二阶行列式的计算。 就像搭小积木一样简单。比如说我们有一个二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}，它的计算方法就是a× d b× c。举个例子，像begin{vmatrix}23 45end{vmatrix}，那就是2×5 3×4 = 10 12 = 2。就像有两个小盒子，一个里面放着2和3，另一个放着4和5，按照这个规则就能算出答案。
二、三阶行列式的对角线法则。 三阶行列式begin{vmatrix}abc def ghiend{vmatrix}的计算。我们先画三条从左上角到右下角的线，这三条线上的数相乘然后相加，再减去从右上角到左下角三条线上的数相乘然后相加。就好像走两条不同的路线去计算。
比如说begin{vmatrix}123 456 789end{vmatrix}。 从左上角到右下角的计算是：1×5×9 + 2×6×7+3×4×8 = 45+84 + 96 = 225。 从右上角到左下角的计算是：3×5×7+2×4×9+1×6×8 = 105+72+48 = 225。 最后相减就是225 225 = 0。 三、按行（列）展开法。 把一个高阶的行列式转化成低阶的行列式来计算。比如说我们有一个三阶行列式，我们可以按照第一行展开。
对于begin{vmatrix}123 456 789end{vmatrix}。 按照第一行展开，它就等于1×begin{vmatrix}56 89end{vmatrix}-2×begin{vmatrix}46 79end{vmatrix}+3×begin{vmatrix}45 78end{vmatrix}。 然后我们再用前面二阶行列式的计算方法来计算这几个二阶行列式。 就像把一个大的难题，拆成几个小的简单的问题来解决。 行列式的计算方法还有很多很多，就像一个充满宝藏的小世界，只要我们慢慢探索，就能发现更多有趣的计算方法，在数学这个大乐园里玩得更开心。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
矩阵行列式的计算方法
矩阵行列式的计算方法行列式是矩阵的一种重要性质，它可以用来表示矩阵的大小、形状和特征，并且在矩阵的计算中起着重要的作用。
下面介绍一些常见的行列式的计算方法。
1. 递归法递归法是行列式计算方法中最常见的方法之一。
该方法通过矩阵的行和列依次相加，直到矩阵的行数或列数等于 1 时停止计算。
具体来说，设矩阵 A 的行数和列数为 n，则行列式的递归式为:|A| = |I| + |A - I| + |A - 2I| + ... + (-1)^n|A - nI| 其中，I 是单位矩阵，|A - I|表示 A 减去单位矩阵的行列式，|A - 2I|表示 A 减去两个单位矩阵的行列式，以此类推。
公式中的 (-1)^n 表示矩阵 A 的 n 行 n 列中每行元素都乘以 (-1)^n，从而产生一个负号。
递归法的优点是可以计算任意阶的行列式，但需要消耗大量的时间和内存。
因此，在实际应用中，通常采用其他更高效的计算方法。
2. 高斯 - 约旦消元法高斯 - 约旦消元法是另一种常用的行列式计算方法。
该方法首先将矩阵 A 分解成素矩阵的乘积，然后通过交换某些元素来将这些素矩阵的行列式相加。
具体来说，设矩阵 A 的行数和列数为 n，选取一个 k，使得 n-k 是奇数，并令 P 为 n-k 阶方阵，则 A 可以表示为:A = P^(-1)*B*P其中，B 为 k 阶方阵，P 为 P^(-1) 的矩阵，即:P^(-1) = (1 2 3 ... k)^(-1)高斯 - 约旦消元法的计算步骤如下:(1) 将 P^(-1) 中的每个元素都乘以一个非零常数，使得 P^(-1) 中的每个元素都小于等于 0。
(2) 将 B 的行向量与 P^(-1) 中的行向量线性变换，使得 B 的行向量中只有非零元素。
(3) 对 B 进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
(4) 计算 B 的行列式，并将其加到 A 的行列式上。
高斯 - 约旦消元法的计算效率较高，可以计算任意阶的行列式，但需要选取合适的 k，以确保计算过程中不会出现错误。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法有多种，其中最常见的是以下几种：
拉普拉斯展开法：
适用于任意大小的矩阵。
根据矩阵的某一行或某一列展开，将行列式转化为更小规模的子行列式，然后递归地计算子行列式，直到变为2阶行列式为止。
三角行列式法：
适用于上三角或下三角矩阵。
将上三角矩阵的对角线元素相乘，得到行列式的值。
下三角矩阵的行列式计算方式类似。
对角线法则：
适用于对角行列式，即非对角元素全为零的行列式。
直接将对角线上的元素相乘，得到行列式的值。
特殊行列式：
对于某些特殊矩阵，可以通过观察其性质来快速计算行列式。
例如，单位矩阵的行列式为1，零矩阵的行列式为0，对角矩阵的行列式等于对角线上的元素相乘。
初等变换：
利用行变换或列变换，将矩阵转化为三角矩阵或对角矩阵，然后通过三角行列式法或对角线法则计算行列式的值。
特征值法：
对于n阶矩阵A，其行列式等于其特征值的乘积，即det(A)=λ1×λ2×…×λn。
这种方法通常用于计算较大规模的矩阵的行列式，可以通过计算特征值来简化问题。
克莱姆法则：
适用于线性方程组的解法。
对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解，并且解可以通过Cramer法则得到。
需要注意的是，行列式的计算可能会涉及较大的计算量，特别是对于高阶矩阵。
在实际计算中，可以根据矩阵的性质选择合适的计算方法，或者利用计算机软件进行计算。
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行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式00010000000000001n a a a D a a=解 将D n 按第1行展开1000000000000(1)00000001n n a a a a D a a a a+=+-12(1)(1)nn nn a a+-=+--2n n a a-=-.5．逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5 证明1221100001000001n nn n x x D x a a a a a x----=-+12121,(2)nn n n n x a x a xa x a n ---=+++++≥证明：将D n 按第1列展开得12321100001000001n n n n x x D x x a a a a a x-----=-+11000100(1)1n nx a x+--+--1n n a xD -=+由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++111n nn n a a x a xx--==++++6. 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例6． 计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+解： 1100nn na a D D =1211002,,11001n i a a a x i n x x-=+--第行减第1行（箭形行列式） 12110000000nj n j a a a a xx x x=+=∑11nj nj a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑7. 导数法这种方法是利用已知行列式巧妙地构造以函数作为其元素的行列式,再利用n 阶行列式求导的结果是n 个行列式之和，且每个行列式是由一行（或一列）求导而其它各行（或各列）不变所构成[6]. 公式(范德蒙行列式)1222212111112111()n n n i j j i nn n n na a a V a a a a a a a a ≤≤≤---==-∏例7 计算n 阶行列式n D =22212333121111212111nn n n n nnnnna a a a a a a a a a a a ---解:方法一(加边法)[23]- 给行列式补入一行一列之后就转化成了一个1n +阶范德蒙行列式12121111n nnnnna a a a a a a a由行列式的构造知()f a 是一个次数≤n ,且n x 的系数恰为n v ,不妨设1,2,,n a a a 互不相同,因而()f a 恰以1,2,,n a a a 为根,这就得到分解式 12()()()()n n f x v a a a a a a =---11,21,21[(1),,(1),,()]n n n n n iiv a a a a a a a a -=-+-+∑ 比较一次项系数,得1,21,,()n n niiD V a a a a =∑即 1,2112111(,,)()()n n i j j i nnD a a a a a a a a ≤≤≤=+++-∏方法二 这里我们主要讨论用导数来解决这一问题.设()x f x e =.令 1212121111212()()()()()()()()()()nn nn n n n nnx x x f f f a a a x x x a f a f a f a a a T x x x x a f a f a f a a a ---=(1 )由范得蒙行列式,得112()()()()()n i j j i nnx x x T x f f f a a a a a ≤≤≤=-∏（2）由(1)式知()n T x 的导数是n 个行列式之和,但只有对第一行求导所得的行列式不为零,其余n-1个行列式都因有两行相同而等于零,这样按行列式求导的规则可得 '1121()()()()n n nnx x xT x f f f D a a a a a =. ( 3 )又1212111()()()[()]nnx x x f f f f x a a a a a a =+++.由（2）式得 '11212111()()()()()()n i j j i nnn x x x T x f f f a a a aa a a a ≤≤≤=+++-∏ （4） 因为(3)右边=（4）右边，所以 12112111()()()n n i j j i nnD a a a a a a a a ≤≤≤=+++-∏.8. 积分法这种方法用于当所求行列式中有一列看作一个与n 个有关的函数的定积分时，把积分号提到行列式的外面后，所求的行列式即变成了易求解的形式[6].例8. 求n+1阶（设n 为偶数）行列式的值.222211111122123122n n n n n n n nn D nnn +++++=+.解 1n D +可看作一个n+1阶行列式的积分222211111112112112n n n n n n n n n xdx n nx dxD nnxdxn+++++==⎰⎰⎰222211111212112n n n n n n x nxdx nnx++++⎰上式中作为被积函数的行列式，当第1，2， ，n,n+1列分别提出公因子1，2， ，n,x 后，余下的是一个n+1阶范得蒙行列式.于是10(1)(2)()nn D C x x x x n dx +=---⎰ (其中,C 是一个和x 无关的常数).作变换:2n x t=+,由于n 是偶数,所以有21_2()(1)()222n n n n n nD C t t t d x +=++--=⎰ 22222222(1)(2)[()]2nn n C t t t t d x----⎰ . 很容易看出上面的积分区间为对称区间，被积函数是奇函数，故积分值为0，即得10n D +=（不必计算常数C ）.9. 矩阵法在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和（1122i j i j in nj a b a b a b +++ ）的形式，那么该行列式的矩阵就可转化为两个矩阵乘积，只要这两个矩阵的行列式比较容易计算，那么可由公式||||||AB A B =计算出行列式的值.例9. 设111212122212(3)n nn n n n na b a b a b a b a b a b D n a b a b a b ------=≥---解 第i 行第j 列元素ij d 可分解为,1,0,,01()00j ij i j i b d a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴12123100111110010000001n n na ab b b b D a ----==00⨯=0例4[8]设01()(0,1,,1)i i i ii f x a a x a i n =+++=- 是实系数多项式，12,,,n x x x 为n 个实数，计算行列式010201112111121()()()()()()()()()n n n n n n f x f x f x f x f x f x D f x f x fx ---=解 D 的第i 行第j 列元素可分解为：01()i i j i i j ii j f x a a x a x =+++= 01(,,,,0,,0)i i ii a a a 11j i j i j n j x x x x +-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∴D=00101112202122(1)(1)(1)12(1)0(1)1(1)2(1)(1)000111000n n n n nn n n n n a a a x x x a a a x x x a a a a --------001122(1)(1)1()n n j i i j na a a a x x --≤≤≤=-∏10. 分离线性因子法这种方法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式,经过变换后,发现它可被一些线性因子所整除,这意味着(如果这些因子互素)它也可被这些因子的积所整除.利用这一特性,可求得行列式的值.例10. 计算行列式00.00x y z x z y D y z x zyx=解 把第2，3，4列都加到第1列上得000x y zx y z x y z z y x y z z x x y zyx++++++++，由多项式整除的概念，有 |x y z D ++；如果对第1列加上第2列减去第3列和第4列后得()()000y z x x y z y z x z y y z x z x y z xyx-+--+-+-+-，同样有 y z x +-|D ；如果对第1列加上第3列减去第2列和第4列后得()()00 x y z x y zx y z z yx y z z xx y z y x--+-+--+-+,同样有|x y z D-+；如果对第1列加上第4列减去第2列和第3列后得()()0x y z x y zx y z z yx y z z xx y z y x-+-+-+--+-,同样有|x y z D+-；这意味着有()()()()|x y z y z x x y z x y z D+++--++-.因为,这四个因子的乘积包含4z,带有系数1-,而行列式本身包含同一项4z,系数却为1+,所以有()()()()D x y z y z x x y z x y z=-+++--++-=444222222222.x y z x y x z y z++---小结：从以上几种行列式的计算方法中我们可以看出行列式不仅仅是一个高等代数问题，它还可以用数学分析的手段来解决，可以用这种思想来解决与此相似的问题.10。