高二数学(人教版选修)教案：《四种命题间的相互关系》

§1．1.2 四种命题间的相互关系
【学情分析】：
四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：
让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：
通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：
四种命题之间的关系；
【教学难点】：
利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

四、知识
建构结论：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆或互否命题,它们的真假性没有
关系.
在命题真假性的判断中,要借
助原命题与逆否命题同真同假,
逆命题与否命题同真同假,学
会利用互为逆否命题的等价
性,通过“正难则反”培养自己
的逆向思维能力．
五．体验与
运用例1:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写
出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们
的真假
解：逆命题“当时，若，则”．
否命题“当时，若，则”．否
命题为真．
逆否命题“当时，若，则”．逆
否命题为真．
课堂练习
写出命题：“若xy = 6则x = 3且y = 2”的逆命题否
命题逆否命题，并判断它们的真假
例2：证明：若0
2
2=
+y
x，则0
=
=y
x。

练习：已知a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与
D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC
与BD必异面
通过“正难则反”培养自己的
逆向思维能力．这也是反证明
法证明问题的理论依据
六、小结与
反思课堂小结
1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的
关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不
变．
2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否
命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,学会利用
互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己
的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依
据．
通过学生自己的小结，将新知
识系统化、重点化。

通过学生
的反思，使学生意识重点和难
点，提高学习效率。

课后练习
1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，
C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）
A ．真命题的个数一定是奇数
B ．真命题的个数一定是偶数
C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D ．上述判断都不正确 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正
确的是( )
A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：
①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题
③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题
④“A B B =U ，则A B ⊇”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ．3
5．用反证法证明命题“a 、b ∈N *
，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）
①“若
022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A I A =则B A ⊆”的逆否命题
④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④ 7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

9．用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成： ．反设若用式子表示，则为： ． 10． 判断下列命题“若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与
轴有公共点”．的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．
11．反证法证明：若 ，则 、 、中至少有一个不等于0．
12．若a ，b ，c 均为实数，且a=x 2
-2y+2π，b=y 2
-2z+3π，c=z-2x+6
π，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．
参考答案：
1． C 2．B 3．D 4．C 5．B 6． C 7，B 8．在整数范围内，若b a +不是偶数则b a ,不都是偶数。

9.“假设5个连续自然数的平方和是一个完全平方数”．用式子表示，则为“假设
是一个完全平方数（
）
10.该命题为假． 逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则
．为假．
否命题：若二次函数 中，
，则该二次函数图象与 轴没有
公共点．为假．
逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则
．为
假．
11．证明：假设 、 、 都等于0，则
与
矛盾，所以 、 、
中至少有一个不等于0．
常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、
中最多有一个不等于零，或错认为是
、
、
中最多有一个等于零
12、假设a 、b 、c 都不大于0，
即：a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a+b+c ≤0
但a+b+c=（x 2
-2y+
2π）+（y 2-2z+3π）+（z 2
-2x+6
π） =（x-1）2
+（y-1）2
+（z-1）2
+（π-3） ∵π＞3，且 （x-1）2+（y-1）2+（z-1）2
≥0． 对一切x ，y ，z ∈R 恒成立．
∴必有a+b+c ＞0，这与假设a+b+c ≤0矛盾． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0．。