公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
求最大公因数和最小公倍数的方法
求最大公因数和最小公倍数的方法一、求最大公因数的方法：1.1.基本原理求解最大公因数的方法有很多，其中最常用的方法是欧几里得算法（Euclidean Algorithm）。
基本思想是通过逐步计算两个数的余数，直到余数为0为止。
最后的非零余数即为最大公因数。
1.2.欧几里得算法步骤（1）设两个数为a和b，其中a>=b。
（2）通过除法运算得到a除以b的商q和余数r(a=bq+r)。
（3）如果r=0，则b即为最大公因数。
（4）如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后重复步骤21.3.欧几里得算法示例例如，我们要求解数30和18的最大公因数：Step 1: 30÷18，商为1，余数为12；Step 2: 18÷12，商为1，余数为6；Step 3: 12÷6，商为2，余数为0。
因此，最大公因数为6二、求最小公倍数的方法：2.1.基本原理最小公倍数是指不同整数共同的倍数中，最小的那个数。
求解最小公倍数的方法有多种，其中最常用的方法是通过最大公因数求解。
2.2.通过最大公因数求解最小公倍数最小公倍数等于两个数之积除以最大公因数。
因为最小公倍数是两个数的公共倍数中最小的，所以它必然是两个数的乘积的倍数，而除以最大公因数后，结果就是最小公倍数。
2.3.通过最大公因数求解最小公倍数示例例如，我们要求解数30和18的最小公倍数：首先，求解最大公因数为6、最小公倍数等于30乘以18除以6，结果为90。
三、其他求最大公因数和最小公倍数的方法：除了欧几里得算法外，求解最大公因数和最小公倍数还有其他方法。
3.1.质因数分解法质因数分解是将一个合数写成几个质数的乘积的表示法。
通过质因数分解，可以快速求得两个数的最大公因数和最小公倍数。
以求解30和18的最大公因数和最小公倍数为例：将30和18分别质因数分解，得到：30=2×3×518=2×3×3公共质因数有2和3，所以最大公因数为2×3=6最小公倍数为所有质因数的乘积，即2×3×3×5=90。
(完整版)求最大公因数、最小公倍数练习题
一、基本概念：公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数）公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
求最大公因数、最小公倍数习题一、用短除法求几个数的最大公因数12和30 24和3639和78 72和84 36和60 45和60 45和75 45和60 42、105和56 24、36和48二、用短除法求几个数的最小公倍数。
25和30 24和3039和78 60和84 18和20126和60 45和75 12和24 12和14 45和6076和80 36和60 27和72 42、105和56 24、36和48六、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。
45和60 36和60 27和72 76和806、12和247、21和498、12和36八、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数15和5的最大公因数是最小公倍数是；9和3的最大公因数是最小公倍数是9和18的最大公因数是最小公倍数是；11和44的最大公因数是最小公倍数是30和60 的最大公因数是最小公倍数是；13和91 的最大公因数是最小公倍数是7和12的最大公因数是最小公倍数是；8和11的最大公因数是最小公倍数是1和9的最大公因数是最小公倍数是；8和10的最大公因数是最小公倍数是6和9的最大公因数是最小公倍数是；8和6的最大公因数是最小公倍数是10和15的最大公因数是最小公倍数是；4和6的最大公因数是最小公倍数是26和13的最大公因数是最小公倍数是13和6的最大公因数是最小公倍数是4和6的最大公因数是最小公倍数是；5和9的最大公因数是最小公倍数是29和87的最大公因数是最小公倍数是；30和15的最大公因数是最小公倍数是13、26和52的最大公因数是最小公倍数是2、3和7的最大公因数是最小公倍数是16、32和64的最大公因数是最小公倍数是7、9和11的最大公因数是最小公倍数是九. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数总结
最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数最大公因数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法等。
其中最常用且简便的方法是辗转相除法，也叫欧几里德算法。
这种方法的基本思想是，假设两个整数a和b，其中a>b，如果b能够整除a，那么b就是最大公因数；如果b不能整除a，那么将b与a除以b的余数进行运算，直到余数为0为止，此时的b就是最大公因数。
二、最小公倍数最小公倍数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、倍数法、短除法等。
其中最常用且简便的方法是质因数分解法，即将每个数进行质因数分解，然后保留所有质因数的最高次幂，再将这些质因数相乘，即可得到最小公倍数。
最小公倍数在解决实际问题和进行数值计算时经常用到，例如求解两个物体周期性运动的最小公周期、求解延迟时间等。
它的计算方法简单且直观，能够有效地帮助我们解决实际问题和进行数值计算。
三、最大公因数和最小公倍数的关系最大公因数和最小公倍数之间存在着一定的关系，即最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即对于两个整数a和b，它们的最大公因数记为gcd(a,b)，最小公倍数记为lcm(a,b)，那么有lcm(a,b) = a*b / gcd(a,b)。
这个关系可以通过质因数分解法进行证明。
假设a和b分别的质因数分解为：a = p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xnb = q1^y1 * q2^y2 * ... * qm^ym其中p1,p2,...,pn和q1,q2,...,qm分别为质数，x1,x2,...,xn和y1,y2,...,ym为正整数。
根据最小公倍数的定义，它包含了a和b的所有质因数，而且每个质因数的次数等于这两个数对应质因数的最大次数。
因此，lcm(a,b) =p1^max(x1,y1) * p2^max(x2,y2) * ... * pn^max(xn,yn) *q1^max(x1,y1) * q2^max(x2,y2) * ... * qm^max(xm,ym)。
最大公因数和最小公倍数的计算
最大公因数和最小公倍数的计算最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数论中常见的概念。
它们在各种数学问题和实际应用中都起着重要的作用。
本文将介绍如何计算最大公因数和最小公倍数的方法，并探讨它们的一些性质和应用。
一、最大公因数的计算方法最大公因数是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
常用的计算最大公因数的方法有以下几种：1.1 辗转相除法辗转相除法（欧几里得算法）是求最大公因数的一种经典方法。
它的基本原理是通过连续的除法操作，将两个数的大小逐渐缩小，直到得到一个能够整除两个数的数为止。
具体步骤如下：步骤一：设两个数为a和b，其中a > b；步骤二：用b去除a，得到余数r；步骤三：将b赋值为a，将r赋值给b；步骤四：重复步骤二和步骤三，直到得到的余数r为0为止；步骤五：此时，b即为最大公因数。
1.2 更相减损术更相减损术是另一种求最大公因数的方法。
它的基本思想是通过不断相减，将两个数的差值逐渐缩小，直到得到一个公共因子为止。
具体步骤如下：步骤一：设两个数为a和b，其中a > b；步骤二：计算两个数的差值d = a - b；步骤三：用d替换a中的较大数，并将d赋值给b；步骤四：重复步骤二和步骤三，直到a和b相等为止；步骤五：此时，a（或b）即为最大公因数。
1.3 素因数分解法素因数分解法是另一种求最大公因数的有效方法。
它的基本思想是将两个数分别进行素因数分解，然后将它们的公共素因子相乘即可得到最大公因数。
具体步骤如下：步骤一：将两个数a和b分别进行素因数分解，得到各自的素因数表达式；步骤二：将两个表达式中相同的素因子相乘；步骤三：所得乘积即为最大公因数。
二、最小公倍数的计算方法最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小正整数。
常用的计算最小公倍数的方法有以下几种：2.1 直接相乘法直接相乘法是求最小公倍数的一种简单直观的方法。
基本原理是将两个数相乘，然后除以它们的最大公因数，即可得到最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数基础教案
12.把一些糖果平均分给6个小朋友，正好剩1个；如果平均分给7个小朋友，也正好剩1个．这些糖果至少有多少个？13.五年级一班人数不到60人，而且正好是20的倍数．120本图书，能正好平均分给所有的同学，五年级一班可能有多少人？14.把40块饼干和30颗糖果平均分给一组同学，结果饼干还剩5块，糖果还余2颗．这个小组最多有多少名同学？15. 如果把110块糖平均分给五（2）班同学，则多5块；如果把210块糖平均分给这个班正好分完；如果把240块糖平均分给这个班同学，还少5块。
五（2）班最多有多少个同学？16. 一次会餐共有三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2人饮用1瓶A 饮料，每3人饮用1瓶B 饮料，每4人饮用一瓶C 饮料。
参加会餐的人数是多少？【课后作业】一、基础复习巩固1．A 、B 是两个正整数，如果A 是B 的倍数，那么A 与B 的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．2．A =2×2×5，B ＝2×3×5，A 和B 的最小公倍数是 ．3．一个数能被3，4，5整除，这个数最小是 ．4．一对互素数的最小公倍数是36，这两个数是 和 ．5．判断题（对的打“√”，错的打“×”）：(1)几个数的最小公倍数是它们的最大公因数的倍数．（ ）(2)几个数的最大公因数一定比它们的最小公倍数小．（ ）(3)若a =2×2×5，b =2×3×5．则a 和b 的最小公倍数是120．（ ）6. 34和68的最小公倍数是( )(A)l (B) 34 (C)68 (D)1267．如果正整数x 、y ，满足5x y ÷=，那么x 和y 的最小公倍数是( )(A) x (B) y (C) 5 (D) 不确定8．一个正整数加上3能被12和15整除，这个数最小是( )(A)57 (B) 60 (C)63 ( D) 1779．直接写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）3和8； （2）11和5； （3）22和88； （4）l 和310．用短除法求下列各组数的最小公倍数：（1）18和81； （2）45和54； （3）36和6311．求出下列各数对的最大公因数：(1)16和32． (2) 17和32. (3) 18和32． (4) 18和132．12．a ，b ，c ，d 是互不相同的素数，如果甲数a a b c =⨯⨯⨯，乙数a b d =⨯⨯，那么甲、乙两数的最小公倍数是几13．求12，14，16的最小公倍数．1、最小的奇数加上最小的素数的和是 ；2、18的因数中，奇数有 个，偶数有 个；3、与任何一个正整数互素的数是 ；4、用一个数去除30、45、60都能整除，这个数最大是 ；5、从3、0、8、5中任选取几个数字，组成能被2整除的最大三位数是 ，能被5整除的最小的四位数是 。
第五讲 最大公因数与最小公倍数
第五讲最大公因数与最小公倍数学法探讨大家知道我们在研究因数和倍数时，0是一个特殊的数；O不是任何自然数的因数(除数不能为O)，但0是任何非0自然数的倍数(任何非0自然数的O倍等于0)在本讲中我们只讨论正整数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
为了书写简便，a、b两数的最大公因数记为(a，b)。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，为了书写简便，a、b两数的最小公倍数记为[a，b]。
最大公因数与最小公倍数有以下重要性质：1．两个数的公因数都是它们的最大公因数的因数；2．两个数的公倍数都是它们的最小公倍数的倍数；3．两个数的积，等于它们的最大公因数与最小公倍数的积；即a×b=(a，b)×[a，b]4．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商为互质数。
关于“最大公因数和最小公倍数”你还有什么需要补充？请你写在下面：例题选讲【例题1】育才小学拿出一块长方体木料，长180厘米，宽144厘米，高108厘米，请王师傅把它锯成棱长是整厘米数，大小相同的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩余，算一算，可以锯成多少块？【分析】要把长方体木料锯成棱长是整厘米数，大小相同的正方体木块，则正方体的棱长应是长方体的长、宽、高的公因数，又要求每小块正方体的体积最大，因此锯成的正方体的棱长必须是长方体的长、宽、高的最大公因数，由此便可得出问题的解答。
【解答】【练习5-1】把一张长60厘米、宽48厘米的长方形纸，裁成若干面积相等边长为整厘米数的小正方形而没有剩余，小正方形的面积最大是多少？【例题2】有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？(第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题) 【分析】根据题意，这个班的人数应是6的倍数，又是9的倍数，从而是6和9的公倍数，故只要在6和9的公倍数中寻找符合条件的解，便能得到问题的解答。
最大公因数与最小公倍数考点总结+题型训练 完整版带答案
15、91和13的最小公倍数是它们最大公约数的( 7 )倍。
16、已知两个大于1的互质数的最小公倍数是153，这两个 互质数是（ 9 ）和（ 17 ）。
17、3个连续自然数的最小公倍数是60,这三个数是（ 3 ） 、（ 4 ）和（ 5 ）。
9．如果a÷b=7（a和b都是不为0的自然数），a和b的最 大公因数是（ B ） A．a B．b C．7
10．甲、乙两个数的最大公约数是4，最小公倍数是24， 甲数是12，乙数是（ C ） A．4 B．6 C．8 D．24
11．已知甲数=2×2×2×3×5，乙数=2×3×3×3×5，那 么甲数和乙数的最小公倍数是（ D ） A．120 B．180 C．270 D．1080
4、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数 15和12的最大公因数是（ 3 ），最小公倍数是（ 60 ） 18和27的最大公因数是（ 9 ），最小公倍数是（ 54 ） 17和34的最大公因数是（ 17 ），最小公倍数是（ 34 ）
5、一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数 最小是（ 58 ）。
2.若两个数是倍数关系,则较小的数为它们的最大公因数, 较大的数为它们的最小公倍数。当两个数相差较大时,要 判断大数是否为小数的倍数。
3.两个数不是倍数关系的,也不是互质的才适合用分解质 因数去求最大公因数和最小公倍数。
（3）、应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法 1.分析题意,判断结果应该比所给数量大,则是求公倍数; 2.分析题意,判断结果应该比所给数量小,则是求公因数 3.题目中含“最多”或“最长”等字眼,则是求最大公因数 4.题目中含“至少”,“下一次”字眼,则是求最小公倍数
最大公因数最小公倍数
短除法
求几个数的最大公因数： ① 必须每次用这几个数的公因数去除； ② 一直除到这几个数的商互质为止（不一定是两两互质）， ③短除式中所有除数的乘积就是最大公因数。
求几个数的最小公倍数： ① 每次用这几个数的公因数去除，只要有两个数有共同的因数就一直除 ② 一直除到两两互质为止 ③所有除数与最后的商的乘积就是最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数
一辆自行车的前轮齿有50齿，而后轮齿有24齿，请问前齿轮最 少要转多少圈后才能使前后轮都同时转到最开始的位置？
① 先求出最小公倍数
【50,24】=600
② 看清题意是前齿轮转多少圈 ② 600÷50=12（圈）
请问后齿轮最少要转多少圈后才能使 前后轮都同时转到最开始的位置？
综合练习 最大公因数和最小公倍数
因数分解法
求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
题型二 求36、48、30的最大公因数和最小公倍数
短除法
2 36 48 30 3 18 24 15 2 6 85 345
（36、48、30）=2×3=6 【36、48、30】=2×3×2×3×4×5=720
最大公因数和最小公倍数
6×72=432 432÷18=24
最大公因数和最小公倍数
练习
题型一 已知A数为24,A与B的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B
数为多少?
最大公因数和最小公倍数
拓展
题型一 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然
数的和是77，求这两个自然数。
① 求出这两个自然数的积 210×7=1470
次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都
公因数与最小公倍数
公因数与最小公倍数公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们在数论、代数等领域广泛应用。
本文将介绍公因数和最小公倍数的概念、求解方法以及相关应用。
一、公因数的概念和求解方法公因数是指能够同时整除两个或多个数的数。
对于给定的两个数a 和b，公因数可以是a和b的一个非零公约数，也可以是它们的一个负公约数。
1. 求解方法求解两个数的公因数的方法有多种，其中最基本的方法是列举法。
通过列举两个数的所有正整数约数，找出它们的公约数。
例如，对于数28和35，它们的公因数有1、7。
因为28能够整除35，所以7也是28和35的公因数。
此外，28和35还有其它公因数，如2、4等。
另一种求解公因数的方法是使用辗转相除法。
通过连续减去较小的数直到两个数相等，这时的数即为它们的公因数。
例如，对于数60和48，通过辗转相除法可以得到它们的公因数为12。
具体计算过程如下：60 - 48 = 1248 - 12 = 3636 - 12 = 2424 - 12 = 122. 最大公因数最大公因数是指两个或多个数中的最大公约数。
通常用符号gcd(a, b)表示。
除了列举法和辗转相除法，还有更高效的算法可以求解最大公因数。
其中一种常用的方法是欧几里得算法，它利用两个数的辗转相除的性质来求解最大公因数。
例如，对于数78和66，可以使用欧几里得算法来求解它们的最大公因数。
具体计算过程如下：78 ÷ 66 = 1 (12)66 ÷ 12 = 5 (6)12 ÷ 6 = 2 0因此，最大公因数gcd(78, 66) = 6。
二、最小公倍数的概念和求解方法最小公倍数是指能够被两个或多个数同时整除的最小的整数。
对于给定的两个数a和b，最小公倍数可以是a和b的一个非零公倍数，也可以是它们的一个负公倍数。
1. 求解方法求解两个数的最小公倍数的方法有多种，其中最常见的方法是通过公式计算。
根据最大公因数和最小公倍数的性质，可以得到最小公倍数等于两个数的乘积除以它们的最大公因数。
最大公因数和最小公倍数的计算方法
最大公因数和最小公倍数的计算方法大家好，今天咱们来聊聊数学中一个特别有用的概念——最大公因数和最小公倍数。
虽然这两个听起来有点复杂，但其实理解起来并不难，就像学骑自行车一样，掌握了诀窍就轻松了。
咱们分步骤来，一步步搞清楚它们到底是啥，怎么计算。
1. 最大公因数（GCD）的理解与计算1.1 什么是最大公因数？最大公因数，顾名思义，就是两个或多个数的“最大”公共因数。
比如说，你有两个数字，12和18。
它们的因数分别是：12 的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12。
18 的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18。
从中我们可以看到，1, 2, 3, 6都是它们的公共因数。
而最大公因数就是这几个公共因数中最大的一一个。
在这个例子中，最大公因数就是6。
1.2 如何计算最大公因数？有几种常见的方法可以计算最大公因数，最简单的就是“列举法”，就是把两个数的所有因数列出来，然后找出最大那个。
如果想要更快速的方法，可以用“辗转相除法”：1. 把较大的数除以较小的数。
2. 用得到的余数去除以较小的数。
3. 反复进行，直到余数为0。
此时，除数就是最大公因数。
比如：计算12和18的最大公因数。
18 ÷ 12 = 1 余612 ÷ 6 = 2 余0所以，最大公因数是6。
2. 最小公倍数（LCM）的理解与计算2.1 什么是最小公倍数？最小公倍数就是两个或多个数的“最小”公共倍数。
打个比方，咱们还是用12和18：12 的倍数：12, 24, 36, 48, 60, 72, …。
18 的倍数：18, 36, 54, 72, …。
你会发现36和72都是它们的公共倍数，其中最小的那个就是最小公倍数，也就是36。
2.2 如何计算最小公倍数？计算最小公倍数最简单的方法是“列举法”，找到两个数的所有倍数，然后选出最小的一个。
但如果想要更高效的方法，可以用“最大公因数法”：1. 先算出两个数的最大公因数。
2. 然后用两个数的乘积除以最大公因数，得到的结果就是最小公倍数。
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公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；
2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；
【知识点1】
最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】
最大公因数求法
1、列举法
先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）
找8和6的最大公因数
8的因数有1、2、4、8
6的因数有1、2、3、6
8和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)
1） 两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2） 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3） 两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
案件分解：
两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数 （ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）
9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）
两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
相邻两个自然数(0除外)
2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ） 99和98的最大公因数是（ 1 ）
两个不同的质数
5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）
两个互质的合数
4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）
两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数
的因数为止。
18和48的最大公因数
先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数
16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
3、短除法 （一般情况）
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数1
为止。然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
求16和24的最大公因数 16和24的最大公因数2×2×2=8， 可以表示为（16，24）=8。 求12和20的最大公因数
12和24的最大公因数2×2=4，
可以表示为（12，20）=4。
【知识点3】
互质数
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两数互质的情况：
1) 1和任何自然数互质；
2) 相邻两个自然数互质：2和3、 8和9 ……
3) 两个质数一定互质：5和7、19和29……
4) 两个合数可能是互质数：8和9、25和49……
5) 2和所有奇数互质：2和31、2和99……
6) 质数与比它小的合数互质：8和29、9和59……
质数与互质数的区别：
质数是对一个数来说，互质数是对两个数的关系来说的。
练习一：
说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最大公因数。
5和11 8和9 4和8 8和10
9和6 28和7 5和8 20和25
【知识点4】
最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
【知识点5】
最小公倍数的求法
1、列举法
先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它们的（最小公倍数）
找6和8的最小公倍数。
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……
8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……
6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。
2、观察法(特殊情况)
1） 两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。
2） 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。
3） 两个数不是倍数和互质关系，大数翻倍法。
案件分解：
两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。
8和16的最小公倍数 （ 16 ） 4和8的最小公倍数（ 8 ）
9和3的最小公倍数（ 9 ） 28和7的最小公倍数（ 28 ）
两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。
16 24
2
8 12
2
4 6
2
2 3
12 20
2
6 10
2
3 5
相邻两个自然数(0除外)
2和3的最小公倍数是（ 6 ） 8和9的最小公倍数是（ 72 ） 99和98的最小公倍数是（ 9702 ）
两个不同的质数
5和7的最小公倍数是（ 35 ） 17和29的最小公倍数是（ 493 ） 11和19的最小公倍数是（ 209 ）
两个互质的合数
4和9的最小公倍数是（ 36 ） 20和49的最小公倍数（ 980 ） 25和69的最小公倍数是（ 1725 ）
两个数不是倍数和互质关系，用大数翻倍法
把较大的数翻倍（乘以2、3、4……）每次翻倍后看得到的积是不是另一个数的倍数，直到所得的积是另一个数
的倍数为止。
18和48的最小公倍数
先用小数 48×2=96，96不是18的倍数，48×3=144，144是18的倍数，那么18和48的最小公倍数是144。
16和36的最小公倍数
36×2=72，72不是16的倍数，36×3=108，108不是16的倍数，36×4=144，144是16的倍数，那么16和
36的最小公倍数144。
3、短除法 （一般情况）
用短除法求二个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数1
为止。然后把最后所有的除数和商连乘，就得到了二个数最小公倍数。
求16和24的最小公倍数 16和24的最小公倍数2×2×2×2×3=48， 可以表示为[16，24]=48。 求12和20的最小公倍数
12和24的最小公倍数2×2×3×5=60，
可以表示为[12，20]=60
练习二：
（1）说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最小公倍数。
5和11 8和9 4和8 8和10
9和6 28和7 5和8 20和25
（2）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
2和8 3和8 6和15 6和9 4和10 8和10
16 24
2
8 12
2
4 6
2
2 3
12 20
2
6 10
2
3 5
【知识点6】最大的公倍数
两个数有没有最大的公倍数？为什么？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。因此，两个数没
有最大的公倍数。
如果给定一个范围，两个数的最大公倍数存在吗？
在给定的范围内，两个数的最大公倍数是存在的。
【知识点7】
最大公因数与最小公倍数的应用
1、兴趣小组有24个女生，32个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个
小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
想：小组的个数在24之内，并且小组的个数是24和32的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是
24和32的最大公因数。
（24，32）=8 24÷8=3（人） 32÷8=4（人）
答：最多可以分成8组；每组最多有3个女生，4个男生。
2、 有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？
只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑
想：这包糖8个人正好分，10个人也正好分，说明这包糖的块数是8和10的公倍数，又问这包糖至少有多少块，
所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。若是问这包糖有多少块？那只要是8和10的公倍数都符合要求，而
8和10的公倍数有无数个，没有范围。
[8，10]=40
答：这包糖至少有40块。
3、 同学们参加文艺表演，人数在60—80之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好
分完。参加文艺表演的学生有多少人？
想：分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完，说明表演的人数是3，4，6和8的公倍数，
[3，4，6，8]=24，而人数又在给定范围．．．．60—80间，所以求的是在60—80间的3，4，6和8的最大公倍数，
即48。
答：参加文艺表演的学生有48人。
由此可见，在一定范围内的需求最大公因数，没有范围的需求最小公倍数。给定范围的可求最大公倍数。