刘天然、郑小彬----一个三角形不等式的两种解答
几何不等式
几何不等式知识定位不等式是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常大比例，几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。
本文归纳总结了几何不等式的若干性质及定理，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、几何不等式定理：几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。
下面先给出几个基本定理：定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明：如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知：PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A 或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝例题精讲【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC 【答案】如下解析【解析】证：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知P是△ABC内任意一点（1）求证：1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2【答案】如下解析【解析】证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b 把这三个不等式相加，再两边除以2，便得PA+PB＋PC>1/2（a+b+c）又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB ＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE【答案】如下解析【解析】证：在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：1/2（AG+AK）>AC【答案】如下解析【解析】证如图，在GK上取一点M，使GM=MK，则1/2（AG+AK）=AM在Rt △GCK 中，CM 是GK 边上的中线， 所以∠GCM=∠MGC ．而∠ACG=45°，∠MGC ＞∠ACG ， 于是∠MGC ＞45°，所以∠ACM=∠ACG ＋∠GCM ＞90°．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设h a 、h b 、h c 是ΔABC 三边上的高，求证：12＜h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1【答案】如下解析【解析】 证明：在Rt ΔADC 中，∵AC ＞AD ，∴b ＞h a ．同理可证：c ＞h b ，a ＞h c ，∴h a ＋h b ＋h c ＜a ＋b ＋c ，h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1．（1）设ΔABC 的垂心为H 点，∵HA ＋HF ＞AF ，HF ＋HB ＞FB ，HB ＋HD ＞BD ， HD ＋HC ＞CD ，HC ＋HE ＞CE ，HE ＋HA ＞EA ，上述六个式子相加得，2(h a ＋h b ＋h c )＞a ＋b ＋c ， 则得，h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c ＞12 （2）由（1）、（2）∴12＜h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c＜1． 【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】ΔABC 中，∠A ＞90°，AD ⊥BC 于D ．求证：AB ＋AC ＜AD ＋BC【答案】如下解析【解析】 证明：（法一）在BC 上取点E ，使BE ＝AB ，在AC 上取点F ，使AF ＝AD ，连结AE 、EF 、DF ．则∠BEA ＝∠BAE ＝90°－12∠B ． ∠1＝90°－∠BEA ， ∴∠1＝12∠B ，又∠A ＞90°， ∴∠DAC ＞∠B ∴∠2＞∠1， ∵AD ＝AF ，AE ＝AE∴DE ＜EF ，且∠ADF ＝∠AFD ， ∴∠EDF ＞∠EFD ，∵∠ADE ＝∠ADF ＋∠EDF ＝90°， ∴∠AFE ＝∠AFD ＋∠EFD ＜90°， ∴∠EFC ＞90°．∴在ΔEFC 中，EF ＞FC ．即BC －AB ＞AC －AD ∴AB ＋AC ＜AD ＋BC（法二）以A 为顶点，AB 为一边，作∠GAB ＝90°．∵∠A ＞90°，∴AG 在∠BAC 内部，ABCD21FA B C DE∵AD ⊥BC ，AB ⊥AG ，∴BG 2＝AB 2＋AG 2 （1），BG ·AD ＝AB ·AG （2） (1)＋(2)×2得BG 2＋2BG ·AD ＝(AB ＋AG )2．∴(BG ＋AD )2＞(AB ＋AG )2，即BG ＋AD ＞AB ＋AG ， 在ΔAGC 中，GC ＞AC －AG ．∴BG ＋AD ＋GC ＞AB ＋AG ＋AC －AG ， 即AB ＋AC ＜AD ＋BC ．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC 中，AH 是其最大的高，BM 是AC 边上的中线，且AH ＝BM ，证明：∠B ≤60°【答案】如下解析【解析】 证明：延长BM 至D ，使DM ＝BM ，连结AD ，则ΔADM ≌ΔCBM ．∴AD ＝BC ， ∠D ＝∠CBM ．∵AH 是ΔABC 最大的高，又三角形的一边与这条边上的高的乘积是定值， ∴BC 是ΔABC 最小的边． ∴BC≤AB ，AD≤AB ．∴∠CBM ＝∠D≥∠ABM ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，则MN ∥AH ． ∵AH ＝BM ， ∴MN ＝12BM ． ∴∠CBM ＝30°．∵∠B ＝∠ABM ＋∠CBM≤30°＋30°＝60°．即∠B≤60°（当三角形为等腰三角形时，等号成立）ABCDG【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在ΔABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，ΔPQR 是它的任一内接三角形．求证：PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．【答案】如下解析【解析】 证明：作点Q 关于AB 、AC 的对称点Q '、Q "，连PQ '，RQ "，AQ ，AQ '，AQ "．显然，PQ '＝PQ ，RQ "＝RQ ，AQ '＝AQ ＝AQ "．∠Q 'AB ＝∠QAB ，∠Q "AC ＝∠QAC ， 而∠BAC ＝∠BAQ ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠Q 'AQ "＝2∠BAC ＝180°．即Q '、A 、Q "三点在一条直线上．∴PQ ＋QR ＋RP ＝Q 'P ＋PR ＋RQ "≥Q 'Q "＝2AQ ． ∵AD ⊥BC ， ∴AQ ≥AD ．故PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．BA BCDPRQ【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】2×3的矩形内放入两个与此矩形相似的互不重叠的小矩形．且每个矩形的边与大矩形的边平行，求两个矩形周长之和的最大值． 【答案】403【解析】 解：这两个小矩形可以都竖放，或都横放，或一横一竖放．（1）都竖放：宽＝2×23＝43，两个矩形周长＝8＋163＝403．（图1） （2）都横放，一个在另一个上面：设一个矩形的宽为x ，另一个为2－x ，则周长＝2(x ＋2－x )＋2×32×2＝10．（图2） 都横放，并排放置：周长＝3×2＋2×2＝10，（图3） （3）一横放一竖放，左边一个宽x ，右边一个长y ，则x ＋y ≤3，32x ≤2，23y ≤2．周长＝2(52x ＋53y )＝2×53(x ＋y )＋2×56x ≤12＋29．（图4） 即最大值为403．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】5"图2图3图4图1【试题来源】【题目】试证：锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长最小 【答案】如下解析【解析】 证明：1︒ 先在BC 上任取一点D ，固定D ，求出以D 为一个顶点⊿ABC 的内接三角形中周长最小者．作D 关于AB 、AC 的对称点D ’、D”，连D’D”交AB 、AC 于点F 、E ，连DF 、D’F ，DE 、D”E ，对于任一以DD 一个顶点的⊿ABC 的内接三角形XPQ ，连QD’、QD ，PD ”、PD ， 于是可证DE +EF +FD ＝D’D”≤D’Q +QP +PD”＝DQ +QP +PD ． 即⊿DEF 为固定点D 后周长最小的内接三角形．2︒ 当点D 的BC 上运动时，对每一点D ，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．连AD 、AD’、AD ”，则AD ＝AD’＝AD ”，且∠D’AB ＝∠DAB ，∠D”AC ＝∠DAC ， 于是∠D’AD”＝2∠A ． 所以D’D”＝2AD sin A ．当点D 在BC 上运动时，以点D 为BC 边上高的垂足时AD 最小．3︒ 说明此时的最小三角形就是⊿ABC 的垂足三角形．由于D 为BC 边上的垂足． 对于垂足三角形DEF ，由∠DEC ＝∠AEF ，而∠DEC ＝∠CED"， 故点E 在D’D”上，同理，F 在D’D”上，即⊿DEF 为所求得的周长最小三角形．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5习题演练ABCDD'D"E FABCDD'D"EFA BCDD'D"E F P Q【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．【答案】如下解析【解析】证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图），∴BCDE是平行四边形，∴DC平行且等于BE，∴∴1=∴A，∴AB=AC，AE=FC，∴BE=AF=DC，∴∴AEF∴∴CFD，∴EF=DF，在∴EFD中，EF+DF＞DE，∴2EF＞BC，即EF＞BC，当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，∴EF≥BC．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】如图，在∴ABC中，a、b、c分别为∴A、∴B、∴C的对边，且2b＜a+c，求证：2∴B＜∴A+∴C．【答案】如下解析【解析】证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，∴∴BDE=∴BED，作DF∴AC，CF∴AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．∴CF=AD=BC，又∴FCE=∴CBA，∴∴FCE∴∴CBA∴EF=AC，于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．这样，在∴BDE中，便有∴B＜∴BDE=∴BED∴∴2B＜∴BDE+∴BED=180°一∴B=∴A+∴C，即2∴B＜∴A+∴C．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．【答案】如下解析【解析】证明：设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2，∴三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，∴A1A=A1B l=B1B，BB2=B2C l=C1C，CC2=C2A2=A2A，∴A1A2∴BC，B1B2∴AC，C1C2∴AB，∴图中的9个三角形全等．即∴AA1A2∴∴A1B1G∴∴B2GB1∴∴C2C l C、所以上述9个小三角形的面积均等于∴ABC面积的．若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则∴ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于∴ABC面积的．若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∴GB l=GC2，∴EB1G=∴DC2C，∴B1GE=∴C2GD，∴∴B1GE∴∴C2GD、∴EF分∴ABC成两部分的面积之差等于，而这个差的绝对值不会超过S∴C1C2C的面积．从而EF分∴ABC成两部分的面积之差不大于∴ABC面积的．综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．【答案】如下解析【解析】证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，∴RH∴CL，∴，则==，不妨设∴ABC的周长为1，则PQ=，AB＜，∴．∴AP≤AP+BQ=AB﹣PQ＜，∴AR=﹣AP＞﹣，又AC＜，从而，∴，∴＞．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （ ）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。
五年高考三年模拟数学必修五答案
五年高考三年模拟数学必修五答案【篇一：05 高中数学必修5课后习题答案】=txt>第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（p4） 1、（1）a?14，b?19，b?105?；（2）a?18cm，b?15cm，c?75?. 2、（1）a?65?，c?85?，c?22；或a?115?，c?35?，c?13；（2）b?41?，a?24?，a?24. 练习（p8） 1、（1）a?39.6?,b?58.2?,c?4.2 cm；（2）b?55.8?,c?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）a?43.5?,b?100.3?,c?36.2?；（2）a?24.7?,b?44.9?,c?110.4?. 习题1.1 a组（p10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,b?80?；（2）a?38cm,b?56cm,c?90? 2、（1）a?114?,b?43?,a?35cm;a?20?,b?137?,a?13cm （2）b?35?,c?85?,c?17cm；（3）a?97?,b?58?,a?47cm;a?33?,b?122?,a?26cm； 3、（1）a?49?,b?24?,c?62cm；（2）a?59?,c?55?,b?62cm；（3）b?36?,c?38?,a?62cm； 4、（1）a?36?,b?40?,c?104?；（2）a?48?,b?93?,c?39?；习题1.1 a组（p10）1、证明：如图1，设?abc的外接圆的半径是r，①当?abc时直角三角形时，?c?90?时，?abc的外接圆的圆心o在rt?abc的斜边ab上.bcac在rt?abc中，?sina，?sinbababab即?sina，?sinb 2r2ra?2rsinab?2rsinb所以，又c?2r?2r?sin90??2rsinc （第1题图1）所以a?2rsina, b?2rsinb, c?2rsinc②当?abc时锐角三角形时，它的外接圆的圆心o在三角形内（图2），作过o、b的直径a1b，连接ac， 1?90?，?bac??bac则?a1bc直角三角形，?acb. 11在rt?a1bc中，即bc?sin?bac1， a1ba?sin?bac?sina， 12r所以a?2rsina，同理：b?2rsinb，c?2rsinc③当?abc时钝角三角形时，不妨假设?a为钝角，它的外接圆的圆心o在?abc外（图3）（第1题图2）作过o、b的直径a1b，连接ac. 1?90?，?bac?180???则?a1bc直角三角形，且?acb11在rt?a1bc中，bc?2rsin?bac1，即a?2rsin(180???bac)即a?2rsina同理：b?2rsinb，c?2rsinc综上，对任意三角形?abc，如果它的外接圆半径等于r，则a?2rsina, b?2rsinb, c?2rsinc2、因为acosa?bcosb，所以sinacosa?sinbcosb，即sin2a?sin2b 因为0?2a,2b?2?，所以2a?2b，或2a???2b，或2a???2??2b. 即a?b或a?b?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2a?sin2b后，也可以化为sin2a?sin2b?0 所以cos(a?b)sin(a?b)?0a?b??2.?2，或a?b?0即a?b??2，或a?b，得到问题的结论.1．2应用举例练习（p13）1、在?abs中，ab?32.2?0.5?16.1 n mile，?abs?115?，asab?根据正弦定理，sin?abssin(65??20?)得as?sin(65??20?)?ab?sin?abs16.1?sin115∴s到直线ab的距离是d?as?sin20??16.1?sin115sin20??7.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（p15）1、在?abp中，?abp?180?????，?bpa?180??(???)??abp?180??(???)?(180?????)????在?abp中，根据正弦定理，apab?sin?abpsin?apbapa?sin(180?????)sin(???)a?sin(???)ap?sin(???)asin?sin(???)所以，山高为h?apsin??sin(???)2、在?abc中，ac?65.3m，?bac?????25?25??17?38??7?47? ?abc?90????90??25?25??64?35?acbc?sin?abcsin?bacac?sin?bac65.3?sin7?47?bc???9.8m?sin?abcsin64?35井架的高约9.8m.根据正弦定理，3、山的高度为200?sin38?sin29??382msin9?练习（p16）1、约63.77?. 练习（p18）1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosc?ccosb?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2????a?左边【类似可以证明另外两个等式】 2a2a2a习题1.2 a组（p19）1、在?abc中，bc?35?0.5?17.5 n mile，?abc?148??126??22? ?acb?78??(180??148?)?110?，?bac?180??110??22??48?acbc?sin?abcsin?bacbc?sin?abc17.5?sin22?ac???8.82 n milesin?bacsin48?货轮到达c点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?bcd中，?bcd?30??10??40?，?bdc?180???adb?180??45??10??12 5?1cd?30??10 n mile3cdbd根据正弦定理， ?sin?cbdsin?bcd10bd?sin?(180??40??125?)sin40?根据正弦定理，10?sin40?sin15?在?abd中，?adb?45??10??55?，?bad?180??60??10??110? ?abd?180??110??55??15? adbdabadbdab根据正弦定理，，即 ????sin?abdsin?badsin?adbsin15?sin110?sin55?bd?10?sin40??sin15?bd?sin15?10?sin40?ad????6.84 n mile sin110?sin110?sin70?bd?sin55?10?sin40??sin55???21.65 n milesin110?sin15??sin70?如果一切正常，此船从c开始到b所需要的时间为：ad?ab6.84?21.6520??60?10?30??60?86.98 min3030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达b岛. 4、约5821.71 m5、在?abd中，ab?700 km，?acb?180??21??35??124?700acbc根据正弦定理， ??sin124?sin35?sin21?700?sin35?700?sin21?，bc? ac?sin124?sin124?ab?700?sin35?700?sin21???786.89 kmsin124?sin124?所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离a处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离b处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx?根据正弦定理，sin(81??18.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan81??14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81??sin(81??18.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?abt中，?atb?21.4??18.6??2.8?，?abt?90??18.6?，ab?15 mabat15?cos18.6?根据正弦定理，，即at? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为at?sin21.4???sin21.4??106.19 msin2.8?326?189、ae??97.8 km 60在?acd中，根据余弦定理：ac?bc?ac101.235（第9题）根据正弦定理，adac?sin?acdsin?adcad?sin?adc57?sin66?sin?acd???0.5144ac101.235?acd?30.96??acb?133??30.96??102.04?在?abc中，根据余弦定理：ab?245.93 ab2?ac2?bc2245.932?101.2352?2042cos?bac???0.58472?ab?ac2?245.93?101.235?bac?54.21?在?ace中，根据余弦定理：ce?90.75ae2?ec2?ac297.82?90.752?101.2352cos?aec???0.42542?ae?ec2?97.8?90.75?aec?64.82?180???aec?(180??75?)?75??64.82??10.18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km. 10、如图，在?abc中，根据余弦定理：ac??37515.44 km ab2?ac2?bc264002?37515.442?422002?bac????0.69242?ab?ac2?6400?37515.44?bac?133.82?，?bac?90??43.82? 所以，仰角为43.82?1111、（1）s?acsinb??28?33?sin45??326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c???sinc??sin66.5?sinasincsinasin32.8?11sin66.5?s?acsinb??362??sin(32.8??66.5?)?1082.58 cm2 22sin32.8?（3）约为1597.94 cm2122?12、nrsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosb? 2acaa2所以ma?()2?c2?2??c?cosb 22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? b22ac11（第13题） ?()2[a2?4c2?2(a2?c2?b2)]?()2[2(b2?c2)?a2]22所以ma，同理mb?，mcb2?c2?a2c2?a2?b214、根据余弦定理的推论，cosa?，cosb?2bc2ca所以，左边?c(acosb?bcosa)c2?a2?b2b2?c2?a2?c(a??b?)2ca2bcc2?a2?b2b2?c2?a21?c(?)?(2a2?2b2)?右边2c2c2习题1.2 b组（p20）abasinb，所以b? ?sinasinbsina11asinb1sinbsinc代入三角形面积公式得s?absinc?a? ?sinc?a222sina2sinaa2?b2?c22、（1）根据余弦定理的推论：cosc?2ab1、根据正弦定理：由同角三角函数之间的关系，sinc?【篇二：五年高考三年模拟(数学)-系列4】class=txt>2009年高考题一、填空题1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线??x?1?2t（t为参数）与直线?y?2?3t4x?ky?1垂直，则常数k?x?1?2t337【解析】将?化为普通方程为y??x?,斜率k1??,222?y?2?3t当k?0时,直线4x?ky?1的斜率k2??当k?0时,直线y??综上可知,k??6. 答案?62、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点a、b、c是圆o上的点，且ab=4，4?3??4?,由k1k2??????????1得k??6; k?2??k?37x?与直线4x?1不垂直. 22?acb?30o，则圆o的面积等于.图3【解析】连结ao,ob,因为 ?acb?30,所以?aob?60,?aob为等边三角形,故圆2o的半径r?oa?ab?4,圆o的面积s??r?16?.oo答案 16? 3、(天津理?13) 设直线l1的参数方程为?x?1?t（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4y?1?3t?则l1与l2的距离为_______【解析】由题直线l1的普通方程为3x?y?2?0，故它与与l2的距离为答案3 5|4?2|3。
一个三角不等式的证明——兼擂题(123)的解答
s 2R •
评注（评注人：郭要红，评注时间2019年7月 25日）擂题（123）收到正确解答9份，按时间顺 序，前5位作者分别是刘才华（山东宁阳第一中 学,271400,2019年6月20日10：39）,张云华（四 川成都华西中学，610051,2019年6月20日17： 30）,令标（安徽当涂县护河中学，243151,2019年 6 月 20 日 18：26）,个屋院（1293590042 @ qq. com,2019年6月21日01：07）,宿晓阳（四川成 都金牛西林巷18号晨曦数学工作室,610031, 2019年6月21日08：47）.现选择刘才华老师的 来稿作为擂题（115）的解答，刘老师也是本擂题 的获奖者.
一个三角不等式的证明
——兼擂题（123）的解答
山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 （邮编：271400）
问题设R、$分别是AABCHale Waihona Puke 外接圆半径，半周长，证明：
. sln
A■ Tsm
B■ Tsln
TC
-丄 p ― (sinAs+mCs— inB)2
/ W
京，其中S表示循环和.
证明
/o - A + B A — CJ 由(srnA + smB)，_ Qsm’cos」)
sinC
sinC
4A cos2"可C 9Zcos —C
c —/ 二一；，得
smC
•C
smT
C
B
p (sinA + sinB)^ O/C°ST , C°ST ,
乙
sinC
~八.C十.占十
sm y sin ㊁
cos可A —X「则
slnT
. A •占 • C sm Tsm TSmT
三角形欧拉不等式的一个隔离——兼擂台题100解答
%
P, R 3
必
通过诸线段 Aj E 的第二个三等分点Mj ( j = 1, 2,
3, 4) .
证明
显而易见, 只需证明 | PMj | =
R 3
( j = 1, 2, 3, 4) 就行了.
依题设, 点 E 满足( 1) , Mj 是 Aj E 的第二个 三等分点, 即 AjM j &Mj E = 2, 于是由定比分点
称为四边形 A1 A2 A3 A4 的子三角形, 记作 ! j ( j
= 1, 2, 3, 4) .
定义 设四边形 A1 A2 A3 A4 内接于 %( O,
R) , 若点 E 满足
4
OE = 1
OA i
( 1)
2 i= 1
则点 E 称 为 四 边形 A1 A2 A3 A4 的 欧 拉 圆
心[ 4] ; 以线段 OE 的第二个三等分点P 为圆心、R3
题 设 x 、y、z 都是正实数, 且 x + y + z = 1. 求证:
1 2
ln( x3 + ln( x5 +
y3 + y5 +
z3 ) z5 )
<
3 5
.
注: 本刊为第一位正确解答者提供奖金 50 元。
三角形欧拉不等式的一个 隔离 兼擂台题( 100) 解答
甘肃省武威市第十八中学 严复卓 ( 邮编: 733000)
( 1)
证明 设此 锐角 三 角形 为 ! ABC , A,
B, C 所对三边分别为 a , b, c, 则有
r R
=
4 sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
一道三角不等式的多种证法
￣ ｓｎ ａ十 Ｃ Ｓ 十 ２ ｌｔ ｏｓ ／ ｉ Ｏ 口 Ｓｒ ａｃ ａ
．
‘ ．
。
口 （， ， ｏ ｓａ ｌ ＜ｏ＜１ ∈ ｏ ． ＜ ｉ＜ ， ｃ口 ． 号） ｎ ｏ ｓ
‘ ． ．
＝
、
． 干
＞１ ．
【 法 ２ 三 角 定 义 法 证 】
【 法 ５ 利 用 符 号 法 则 证 】
・ ．
设 Ｐ ｘ， （ ＞ Ｏ ＞ ｏ 为 角 ａ终 边 上 任 一 （ ） ｚ ， ）
点， 则
‘ （ 号）．＜ｉ＜ ， ｃ １ ｏ ．０ ｓ １＜咖＜． ∈ ， ． ｎ ｏ ． ａ
．
’
．
ｓｒ （ ｉａ １一 ｓｎ ＞ ０， ｉａ） Ｃ 口（ ＯＳ １一 ｃ ａ ｏｓ ）＞ ０．
则 根 据 指 数 函数 的单 调性 ， 有
ｓｒ ｉａ＞ ｓｎ 口， ０５ ＞ Ｃ Ｓ ａ． ｉ Ｃ 口 Ｏ
ｓｎ ｉａ＋ Ｃ Ｓ ＞ １ Ｏａ ．
【 注】 该证法是利用 了ｎ 评 ＝
平 方 关 系 ｓｎ 口 Ｏ 一 １ ｉ ＋Ｃ Ｓａ ．
一 ≥ ｏ 和 （ ｎ ）
两式 相 加 ， ｓ ａ Ｏ￣ ＞． 得 ｉ ＋ＣＳ １ ｎ
且ｎ ０２ ． Ｅ（， ） ・
．
故 ａ詈 （，） 有＋ ∈号孚．
．
ｓｎ 一ＭＰ＝ ｌ ｉ口 ＭＰＩ ， ｃ ｓ ＝ＯＭ ＝ ｌ ０口 ＯＭ Ｉ ．
ｉ ＋ ｃ ＞ × 。
一 １ ．
【 者 单 位 ： 江省 泰 顺 县 第 一 中 学】 作 浙
在 △Ｏ ＭＰ 中 ，Ｏ Ｉ ｆ ｛ Ｍ ＋ ＭＰＩ ｆ ＞ ＯＰＩ 一１
高三数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题含解析24
2
,
3
, ,
, 记 ABC 周长为 l , 则
,
Q ABC 为锐角三角形 ,
. 【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸
, 所以在解决周长相关问题时 , 着眼于边长之间的关系 , 结合边
长求最值 ( 范围 ) 的解决方式 , 通常都能找到正确的解题途径 .
【小试牛刀】
C 中 , 角 、 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c , 且
sin Acos B cosAsin B，整理得： sin Acos B＝3cos Asin B， ∴ cos AcosB＞ 0，∴ tan A＝ 3tan B；
∴则
2
2
2
．
∴可得
的最小值为
．故选 D．
【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围
, 利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值
,
, 最后再根据其单调性求凼数的值域；
BE
本题就是先将
CF
【小试牛刀】 【湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟】
的内角
所对的边分别为
，已知
，
，则 的最小值为 __________ ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，因为
，所以
，由余弦定理，得
，即
.
( 三 ) 周长的范围或最值
【例 3】【2018 届江西省 K12 联盟高三教育质量检测】在锐角
(3)
△ABC 中 , 若 A
π
,则
,
3
、 ,
=
.
(4) 若 a, b, c 成等差数列 , 则 B
π
.
3
四、题型分析
【课堂新坐标】2014年高考数学二轮热点专题突破讲练 第十一讲 推理与证明 理(含解析)
第十一讲 推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论直接证明与间接证明直接证明综合法分析法间接证明反证法数学归纳法数学归纳法的原理数学归纳法的应用1．(反证法)用反证法证明命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”时，假设的内容应为________．【解析】 “x ＝y ＝0”的否定是“x ，y 中至少有一个不为0”． 【答案】 x ，y 中至少有一个不为02．(三段论推理)“三角函数是周期函数(大前提)，y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是三角函数(小前提)，所以y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是周期函数(结论)”，上面推理的错误是________．【解析】 y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2不是三角函数，故小前提错误． 【答案】 小前提错误 3．(归纳推理)观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， … …照此规律，第五个不等式为________．【解析】 观察所给每个不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的底数与右端值的分母相同，且每行右端分数的分子构成以a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，故第5个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162＜1164．(类比推理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________.【解析】 设四面体S －ABC 的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O－SBC，即：V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得：r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】3VS 1＋S 2＋S 3＋S 45．(直接证明)在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是________(形状)． 【解析】 ∵sin A sin C ＜cos A cos C ， ∴cos(A ＋C )＞0，即cos B ＜0， ∴∠B 为钝角，△ABC 为钝角三角形．【答案】 钝角三角形归纳推理【命题要点】 ①归纳等式；②归纳不等式.(2013·某某高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.【思路点拨】 重点分析k 与n 2及n 的导数的关系，从而归纳出N (n ，k )，则N (10,24)可求．【自主解答】 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.【答案】 1 0001．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．变式训练1 (2013·某某模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.【解析】 观察所给等式知，第n 个等式的右边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.【答案】 (－1)n ＋1n 2＋n2类比推理【命题要点】 ①类比过程；②类比结论.(2013·某某模拟)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA2＋1CB 2；类比此性质，如图3－3－1，在四面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为________．图3－3－1【思路点拨】 由直角三角形的高联想到空间四面体的高，连结CO 并延长构造直角三角形，充分利用直角三角形中的已知结论求解．【自主解答】 连结CO 且延长交AB 于点D ，连结PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，由已知可得1h 2＝1PC 2＋1PD2.易知AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD .在Rt△APB中，由已知可得1PD2＝1PA2＋1PB2，故1h2＝1PA2＋1PB2＋1PC2.【答案】1h2＝1PA2＋1PB2＋1PC21．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．常见的类比的知识点：(1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题．通过类比得到的结论不一定正确．因此需要对结论加以证明．(2)等差数列与等比数列之间的类比等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m ＋a n＝a p＋a q)；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n ＝a p·a q)．(3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比．(4)实数运算律与向量的运算律．变式训练2 (2013·某某模拟)先阅读第①题的解法，再解决第②题：①已知“a＝(3,4)，b＝(x，y)，a·b＝1，求x2＋y2的最小值．”解：由|a·b|≤|a|·|b|⇒1≤5x2＋y2⇒x2＋y2≥125，故x2＋y2的最小值为125.②已知实数x，y，z满足：2x＋3y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________；【解析】设a＝(x，y，z)，b＝(2,3,1)，则a·b＝1，由|a·b|≤|a|·|b|⇒1≤14x2＋y2＋z2⇒x2＋y2＋z2≥114，故x2＋y2＋z2的最小值为1 14 .【答案】114直接证明与间接证明【命题要点】 ①证明与数列有关的命题；②利用导数证明不等式；③证明立体几何问题.(2013·某某高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数． (1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.【思路点拨】 (1)利用a ，d 表示b n ，然后根据b 1，b 2，b 4成等比数列，得到a 与d 的关系，最后求S nk 与S k 的关系．(2)设出b n ，将b n 与S n 代入b n ＝nS nn 2＋c，利用等式恒成立证明． 【自主解答】 (1)由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c＝0.1．解答本例第(2)小题时，把b n ＝nS nn 2＋c转化为关于n 的等式是解题的关键，再利用多项式恒等列方程组证明．2．对充分必要条件的证明应分两步完成：一是证充分性；二是证必要性． 3．在证明与数列有关的命题时，要充分利用等差、等比数列的性质，及求和方法． 变式训练3 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【证明】 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n·(a n －3n ＋21)＝－23b n .又b 1＝－(λ＋18)，所以 当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)， 此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.数学归纳法(2013·某某模拟)已知数列{a n }满足关系式a n ＋1＝n a n＋2，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：n ＋1≤a n ＜n ＋1＋1；(3)求证：n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(n ＋3－3)．【思路点拨】 (1)根据递推式和初始值求解即可；(2)根据已知的递推式a n ＋1＝na n＋2，使用数学归纳法进行证明；(3)根据(2)的结果进行证明．【自主解答】 由题意，知a 2＝52，a 3＝145，a 4＝4314.(2)证明 由a n ＋1＝n a n＋2及a 1＝2，知a n ＞0. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2满足1＋1≤a 1＜1＋1＋1，成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，k ＋1≤a k ＜k ＋1＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k a k＋2＞kk ＋1＋1＋2＝k ＋1＋1.a k ＋1＝k a k ＋2≤k k ＋1＋2.下面用分析法证明：kk ＋1＋2＜k ＋2＋1. 欲证kk ＋1＋2＜k ＋2＋1， 只需证k ＋k ＋1＜(k ＋1)k ＋2， 只需证(k ＋k ＋1)2＜[(k ＋1)k ＋2]2， 只需证2k ＋1＞0，此式显然成立． 所以kk ＋1＋2＜k ＋2＋1成立． 从而a k ＋1＝k a k＋2≤kk ＋1＋2＜k ＋2＋1.由①②可知，对一切k ∈N *，n ＋1≤a n ＜n ＋1＋1成立． (3)证明 由(2)， 知1n ＋1＋1＜1a n ≤1n ＋1，而1n ＋1＋1≥1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， 1n ＋1＝2n ＋1＋n ＋1＜2n ＋3＋n ＋2＝2(n ＋3－n ＋2)，所以n ＋1－n ＜1a n＜2(n ＋3－n ＋2)，所以(2－1)＋…＋(n ＋1－n )＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(4－3)＋…＋2(n ＋3－n ＋2)， 所以n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(n ＋3－3)．1．本例中已知a n ＋1与a n 的关系，但无法求出a n ，故第(2)小题适合用数学归纳法证明，第(3)小题是有关和式的不等式，适合用不等式放缩证明．2．在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用上归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．变式训练4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)． 证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【解】 (1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ， 即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)知当b ＝2时，a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2， 由均值不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.证明题是考查学生条理的逻辑思维能力、规X 的书写运算能力的有效载体，它涉及到函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等知识，特别是不等式与数列知识的综合证明，命题形式灵活多样，需在复习备考过程中引起高度重视．利用放缩法证明不等式(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上． (1)求证：数列{S n n}是等差数列；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设＝T n 22n ＋3，求证：C 1＋C 2＋…＋>2027.【规X 解答】 (1)证明 ∵点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上， ∴S n ＋1＝n ＋1n·S n ＋n ＋1，2分 两边同除以n ＋1，得S n ＋1n ＋1－S nn＝1. ∴{S n n}是以3为首项，1为公差的等差数列.4分 (2)由(1)可知，S n n＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 经检验，当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 于是b n ＝a n ·2a n ＝(2n ＋1)·22n ＋1，5分∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1＋(2n ＋1)·22n ＋1，①∴4T n ＝3·25＋…＋(2n －3)·22n －1＋(2n －1)·22n ＋1＋(2n ＋1)·22n ＋3.②两式相减，解得：T n ＝(23n ＋19)·22n ＋3－89.8分(3)证明 ∵＝T n22n ＋3＝2n 3＋19－19·(14)n，9分 ∴C 1＋C 2＋…＋＝23·nn ＋12＋19·n －19·14[1－14n]1－14＝3n 2＋4n 9－127＋127·(14)n >3n 2＋4n 9－127≥79－127＝2027.12分 【阅卷心语】易错提示 (1)不能利用(S n ，S n ＋1)在直线上来推导{S nn}相邻项的关系； (2)错位相减求和操作不当致误；(3)因{}的通项公式比较复杂不会恰当的进行变形．防X 措施 (1)注意{S n n}是一个数列，整体代换寻找递推关系式；(2)运用错位相减法应注意以下三点：①错位，即幂指数相同的项要对齐；②差的符号；③新等比数列的项数；(3)与和式有关的不等式，有两种处理方式，一是先求和，再证明结论成立；二是若不易求和，可用放缩法转化和式，再求和证明．1．观察下列等式 1＝1 3＋5＝8 5＋7＋9＝21 7＋9＋11＋13＝40 9＋11＋13＋15＋17＝65 ……按此规律，第12个等式的右边等于________．【解析】 观察等式右边的数1＝1×1,8＝2×4,21＝3×7,40＝4×10,65＝5×13，每一个数为等式的序号与以1为首项，公差为3的等差数列相应项的乘积，故第12个等式的右边为12×(1＋11×3)＝408.【答案】 4082．△ABC 内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A 、B 、C 三个顶点，共2 017个点，把这 2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为________．【解析】三角形内部每增加一个点，可比原来多出2个三角形，设三角形内部n个点，形成小三角形的个数为a n，则a n＋1＝a n＋2，且a1＝3，数列{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而a2 014＝3＋(2 014－1)×2＝4 029.【答案】 4 029。
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刘天然、郑小彬----一个三角形不等式的两种解答
公众号“杨志明数学角”创建于2019年3月1日.
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杨志明，广东广雅中学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练员．华南师范大学硕士研究生校外兼职导师．曾任全国初等数学研究理事会常务理事兼第一届副秘书长．中国不等式研究理事会常务理事．广东省数学会中小学数学教育专业委员会常务理事会常务委员．“丘成桐中学数学科学奖”双铜奖指导老师，湖北省第三届教育科学研究优秀成果三等奖获得者，荣获“全国基础教育研究优秀论文”．唯一一位囊括本校莲花奖金、银、铜质奖章者．将思维教学与愉快教学融为一体，既注重发展学生的智力水平，也注重开发学生的非智力因素．将中华诗词、成语、谚语和歇后语贯穿于教学中，用哲学的观点看问题，用美学的思想启迪学生思维，用三十六计解题．所教学生曾荣获1998年湖北黄石高考理科状元．出版书籍28部，发表论文140多篇．。