高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
椭圆的试题及答案高中
椭圆的试题及答案高中一、选择题1. 椭圆的焦点在x轴上，且离心率为\(\frac{1}{2}\)，若椭圆的长轴长为6，则椭圆的短轴长为（）。
A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：已知椭圆的离心率e=\(\frac{c}{a}\)=\(\frac{1}{2}\)，长轴长2a=6，所以a=3。
根据离心率公式，可以得出c=\(\frac{3}{2}\)。
再根据椭圆的性质，b²=a²-c²，代入a和c的值，可得b²=\(\frac{9}{4}\)，所以b=2，短轴长为2b=4。
2. 已知椭圆C的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a>b>0，若椭圆C上存在一点P，使得\(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，则a的取值范围是（）。
A. \(a>1\)B. \(a>2\)C. \(a>3\)D. \(a>4\)答案：B解析：已知\(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，说明OP垂直于F1F2，即点P在椭圆的短轴端点上。
根据椭圆的性质，短轴端点到焦点的距离为b，而焦点到原点的距离为c。
由于\(\overrightarrow{F_1F_2} = 2c\)，所以\(\overrightarrow{OP} = b\)。
根据勾股定理，有\(a^2 = b^2 + c^2\)。
由于\(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，所以\(b = 2c\)。
代入勾股定理，得到\(a^2 = 5c^2\)。
又因为椭圆的离心率e=\(\frac{c}{a}\)，所以\(a = \frac{5}{4}c\)。
椭圆专题(含答案)
椭圆专题（含答案）一、选择题（题型注释）1．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为H A F O ,,,，则OHFA 的最大值为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．12．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．-16<m<25B ．-16<m<29 C ．29<m<25 D ．m>29 4．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)y x x =-+≤≤；②0)y x =≤≤；③1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．过点()1,1M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点, 且点M 平分弦AB ,则直线AB 的方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=6．已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能 7．与双曲线2222xy -=有共同的渐近线，且过点M （2,-2）的双曲线方程为 .8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x 2+y 2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )(A)+=1 (B)+=1(C)+y 2=1 (D)+=19．已知直线l 交椭圆4x2＋5y2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( )．A ．6x －5y －28＝0B ．6x ＋5y －28＝0C ．5x ＋6y －28＝0D ．5x －6y －28＝010．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则12PF PF ⋅等于（ ）A ．24B ．48C ．50D ．5611．在平面坐标系xOy 中，抛物线22y px =的焦点F 与椭圆22162x y +=的左焦点重合，点A 在抛物线上，且||4AF =，若P 是抛物线准线上一动点，则||||PO PA +的最小值为（ ）A ．6B ．2+．．4+12．已知点A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的上顶点和左焦点，若AF 于圆O ：224x y +=相切于点T ，且点T 是线段AF 靠近点A 的三等分点，则椭圆C 的标准方程为 ． 13．已知双曲线422=-y x ，直线)1(:-=x k y l 与该双曲线只有一个公共点，则k = .(写出所有可能的取值) 14．.给出下列四个命题：（1）方程01222=--+x y x 表示的是圆；（2）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆； （3）点M 与点F(0,-2)的距离比它到直线03:=-y l 的距离小1的 轨迹方程是y x 82-= （4）若双曲线1422=+ky x 的离心率为e ，且21<<e ，则k 的取值范围是()120k ∈-，其中正确命题的序号是__________15．已知双曲线x 2－32y ＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为______ 16．过点(0,2)A 可作条直线与双曲线2214y x -=有且只有一个公共点17．点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是18．已知椭圆的焦点三角形具有“ 椭圆22221x y a b += （0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=”；利用由类比推理得出的双曲线的焦点三角形具有的结论，求已 知12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于,A B 两点．若2ABF 是等边三角形,且c =双曲线的焦点三角形的面积为12F BF S ∆ ．19．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的焦点重合，则p 的值为20．给出下列命题：①椭圆12322=+y x 的离心率35=e ，长轴长为32；②抛物线22y x =的准线方程为;81-=x ③双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程为x y 75±=；④方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中所有正确命题的序号是21．（理）已知方程x 4+y 2=1，给出下列结论：①它的图形关于x 轴对称；②它的图形关于y 轴对称；③它的图形是一条封闭的曲线，且面积小于π；④它的图形是一条封闭的曲线，且面积大于π.真命题的序号是 .22．已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅TF ，求||||1PQ TF 的最小值．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =+与椭圆C 交于A B 、，点A 关于x 轴的对称点'A （'A 与B 不重合），则直线'A B 与x 轴是否交于一定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 24．已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =223。
椭圆经典例题(带答案-适用于基础性巩固)
椭圆标准方程典型例题(参考答案)例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈． 例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ． 例16 在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y cx 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a∴所求椭圆方程为1315422=+y x例17 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A B的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由于椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上，2c=2,利用定义可知椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题意.②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题。
2.椭圆=1上一点M到左焦点F的距离为2, N是MF的中点,则=( )A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】解：∵椭圆方程为,∴椭圆的a=5，长轴2a=10，可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．∴|MF1|+|MF2|=10，∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，∴|MF2|=10-2=8，∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点，∴|ON|= |MF2|=4．故选B．【考点】三角形中位线定理和椭圆的定义点评：本题考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点，考查学生的计算能力，属于基础题3.过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在直线方程。
【答案】x+2y-4=0，【解析】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16，两式相减得(x12-x 22)+4(y12-y22)=0，于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．【考点】直线与椭圆的位置关系点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．4.设分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由椭圆可知点的坐标代入得，将A,B代入椭圆得关于的方程组，解得【考点】椭圆方程及性质，向量运算点评：圆锥曲线题目中出现的向量关系式常化为坐标表示，本题将所求A点设出，利用向量求得B点，两点在椭圆上即可代入5.已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（3分）（Ⅱ）设直线l的方程为（ 4分）由得 5分设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；（7分）因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。
椭圆的试题及答案高中
椭圆的试题及答案高中1. 已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b > 0\)，求椭圆的焦点坐标。
答案：椭圆的焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中 \(c =\sqrt{a^2 - b^2}\)。
2. 若椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) 与直线 \(y =2x + 3\) 相交于两点，求这两点的坐标。
答案：将直线方程代入椭圆方程，得到 \(\frac{x^2}{4} +\frac{(2x + 3)^2}{3} = 1\)，解得 \(x_1 = -\frac{3}{2}, y_1 =0\) 和 \(x_2 = 1, y_2 = 5\)。
3. 椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\) 的长轴和短轴的长度分别是多少？答案：长轴长度为 \(2a = 6\)，短轴长度为 \(2b = 4\)。
4. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 与 \(x\)轴的交点坐标。
答案：交点坐标为 \((\pm 4, 0)\)。
5. 椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) 的离心率是多少？答案：离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{25 - 16}}{5}= \frac{3}{5}\)。
6. 椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) 的离心率和焦距分别是多少？答案：离心率 \(e = \frac{\sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{1}{2}\)，焦距 \(2c = 2\sqrt{4 - 3} = 2\)。
7. 椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) 与直线 \(y = -\frac{1}{2}x + 2\) 相交，求交点坐标。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
高中椭圆经典练习题1(含答案)
高中椭圆经典练习题【编著】黄勇权一、填空题：1、已知椭圆的焦点为（3,0），长轴是短轴的2倍，则椭圆的方程是 。
2、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴为4，且过点（ 132 ， 233 ），则椭圆的离心率是 。
3、直线y=21x+1于椭圆12y 3x 22=+相交于A 、B 两点。
则线段AB 的长度是 。
4、如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． 则椭圆的离心率 。
5、F1、F2分别为椭圆1by a 2222=+x 的左右两个焦点，过左焦点F1作x 轴垂线交椭圆于P ，若∠21PF F =45°，则椭圆的离心率为 。
6、F1、F2分别为椭圆15y 922=+x 的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点， 若∠21PF F =60°，则△21PF F 的面积为 。
7、椭圆16y 822=+x ，点M 不与C 的焦点重合，A 、B 是M 关于焦点对称的点，若另外一点N ，使得N 与点M 连线的中点落在椭圆上，则=+BN AN 。
1by 22=（a ＞b ＞0），过点M(4,1)作斜率k= -2的直线，与椭圆相交9、F 为椭圆15y 922=+x 的右焦点，P 为椭圆上的一点，并在第一象限，且PF=2，点M 在FP 上，若2PM=MF,O 为椭圆的中心，那么线段OM 的长度= 。
120y 2=+有一动点P （x ，y ），点M 地坐标为（4，0），有另一动点N ，若MN =1，且0=•PN MN,则丨PN 丨的最大值= 。
二、选择题1、椭圆1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的3倍，且过（3，2），则椭圆其中一个焦点的坐标是（ ）A 、（0102，）B 、（010，）C 、（053，）D 、（05，） 2、已知椭圆C ：18y a x 222=+（a ＞b ＞0）的离心率为31，则椭圆的焦距为（ ） A 、6 B 、3 C 、2 D 、1 过点（ 3， 2），则椭圆的右准线方程是（ ） A 、 x=3 62 B 、 x= 2 63 C 、x= 3 32 D41b y 22=+（a ＞b ＞0）的左右两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于M 、N 两点，若MN F 1∠=60°，MN M F =1,则椭圆的离心率为（ ）1by 22=+（a ＞b ＞0）的左焦点到右顶点的距离是8，右焦点到左准线的距离是20，，则椭圆的方程：（ ）A 、116y 2022=+xB 、112y 1622=+xC 、136y 4022=+xD 、132y 3622=+x7、已知椭圆12m y 1m x 222=++的焦距为4，则椭圆的离心率为（ ）A 、51 B 、 510 C 、 131 D 、1326213y 2=，直线过P （1,-1）交椭圆于A 、B ，若P 为线段AB 的中点，那么直线AB 的方程为（ ）A 、 3x-4y-7=0B 、 3x-4y+7=0C 、 3x-4y+1=0D 、3x-4y-1=01by 22=+（a ＞b ＞0）与直线y+x=1相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长度是（ ）10、过P （-2,0）的直线斜率为k1（k1≠0），与椭圆1222=+y x 交于A 、B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）A 、 - 12B 、 12C - 13D 、 13三、解答题16y 2=+的左右焦点是F1，F2，P 是第一象限内该椭圆上的点， 且F 1P ⊥F 2P ，则P 的横坐标为 。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆C：的离心率为．双曲线的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆C：的离心率为，得，从而，所以椭圆Ｃ的方程可写为：，又因为双曲线的渐近线方程为：与椭圆Ｃ的四个交点坐标分别为：，从而以这四个交点为顶点的四边形的面积为，从而，所以椭圆C的方程为，故选Ｄ．【考点】椭圆的方程．2.已知椭圆的离心率为.（1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.当，求b的值；【答案】（1）；（2）1．【解析】解题思路：（1）利用点到直线的距离公式求出b值，利用离心率以及求得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，利用弦长公式求值.规律总结：圆锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法所以处理这类问题一定要有耐心.试题解析：（1）,., 解得.所以椭圆的方程为.（2），，椭圆的方程可化为：①易知右焦点，据题意有AB：②由①，②有：③设，.【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.3.从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由题意：，又.【考点】椭圆离心率计算.4.已知椭圆:，过点的直线与椭圆交于、两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为。
【答案】【解析】设，则有，以上两式相减得，整理可得，因为是的中点，所以，所以，因为直线过点，则直线方程为，即。
【考点】中点弦问题。
5.已知椭圆：经过点，其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，试判断随着的转动，直线与的斜率的乘积是否为定值？说明理由．【答案】（1）；（2）直线与的斜率的乘积是定值．【解析】（1）由椭圆的离心率可得，又点满足方程可得，可解得，，所以知椭圆的方程；（2）设直线方程是，，，可得，，可得直线方程是，与椭圆方程联立，由韦达定理代入最终可化为．解：（1）∵，∴，，∵点在椭圆上，∴，解得，，∴椭圆的方程是；（2）设直线方程是，，，则，，直线的斜率是，直线方程是，由，得，则，∴，直线与的斜率的乘积是定值．【考点】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．直线与椭圆；6.如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由方程表示双曲线，可得c=，判断出A，C不表示椭圆，再求出B，D中的c，即可得出结论．【考点】双曲线与椭圆的标准方程.7.椭圆的焦点分别为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么。
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高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。
2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。
一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。
5．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为__________。
双基查验答案1．C; 2．C; 3． C; 4． x 24＋y 23＝1; 5．33椭圆的概念及其性质考点一 椭圆的定义及应用【典例1】 (1)(2016·北京东城期末)过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752【变式训练】 (1)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________。
(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点。
求|P A |＋|PF |的最大值和最小值。
考点二 椭圆的标准方程及其应用【典例2】 (1)若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A.x 25＋y 2＝1B.x 24＋y 25＝1C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点。
若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________________________。
【变式训练】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____________。
考点三 椭圆的简单几何性质……多维探究一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例3】 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．22二：求离心率的值或范围【典例4】 (1) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴。
过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E 。
若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)(2015·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点。
若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1椭圆的概念及其性质答案吧考点一 椭圆的定义及应用【典例1】 (1)B ； (2)C ；【变式训练】 (1)x 2＋43y 2＝1； (2)最大值6＋2，最小值6－2考点二 椭圆的标准方程及其应用 【典例2】 (1)C ； (2)x 2＋3y 22＝1【变式训练】 (1)A (2)y 220＋x 24＝1考点三 椭圆的简单几何性质……多维探究 角度一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例3】 C角度二：求离心率的值或范围 【典例4】 (1)A ； (2)A ；模拟测试1．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的面积为( )A.212B.214C.218 D ．213． 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.344． 已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP→＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是__________。
5．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为________。
模拟测试答案1．D ； 2． A ； 3． B ； 4． x 29＋y 24＝1； 5．3－1椭圆的综合问题考点一 直线与椭圆的相交弦长问题【典例1】 椭圆两顶点A (－1,0)，B (1,0)，过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点。
当|CD |＝322时，求l 的方程。
【变式训练】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点。
(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式。
考点二 中点弦问题【典例2】 已知椭圆x 22＋y 2＝1。
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N (1,2)的直线l 与椭圆相交，求被l 截得的弦的中点的轨迹方程； (3)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程。
【变式训练】 (2016·南昌二模)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝0考点三 最值与范围问题【典例3】 (2017·大庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE→·PF →的取值范围是( )A ．[0,15]B ．[5,15]C ．[5,21]D ．(5,21)【变式训练】 椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任一点，则|PF 1→|·|PF 2→|的取值范围是( )A ．(0,4]B ．(0,3]C ．[3,4)D ．[3,4]考点四 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质【典例4】 (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA 。
(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围。
【变式训练】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点。
(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)①若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；②在①的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，若直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围。
椭圆的综合问题答案考点一 直线与椭圆的相交弦长问题 【典例1】 2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0【变式训练】 (1)4029； (2)6x －5y －28＝0；考点二 中点弦问题【典例2】(1)x ＋4y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－43<x <43(2)x 2＋2y 2－x －4y ＝02－479<x <2＋479，4－79<y <4＋79 (3)2x ＋4y －3＝0【变式训练】 B考点三 最值与范围问题 【典例3】 C【变式训练】 D考点四 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 【典例4】 (1)14449； (2)(32，2)；【变式训练】 (1)x 225＋y 216＝1 (2)①32 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14模拟测试1．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x ＋3y －12＝0 D ．x ＋2y －8＝02．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)在( )A ．圆x 2＋y 2＝2内B ．圆x 2＋y 2＝2上C ．圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能3．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________。