《解三角形》题型归纳

《解三角形》题型归纳【题型归纳】

题型一正弦定理、余弦定理的直接应用

例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ．

2

(1)求cos B

(2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ．

【答案】（1）cos B =15

（2）b = 2 ．17

【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B

，故sin B = 4(1- cos B) ．2

上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B =

15

17 .

（2）由cos B =15

得sin B =

8

，故S =

1

ac sin B =

4

ac ．

又S

∆ABC

17 17

= 2 ，则ac =

17

．

2

∆ABC 2 17

由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B)

= 36 - 2⨯17

⨯ (1+

15

) = 4 ．2 17

所以b = 2 ．

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用

【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =.

π

【答案】

3

【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1

⇒B =

π

.

2 3

3 【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例 3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，若 b ＝1，c ＝ 3，C ＝2

π，则 S △ABC ＝

.

3

【答案】 3

4

【解析】因为 c ＞b ，所以 B ＜C ，所以由正弦定理得 b ＝ c ，即 1 ＝ 3

＝2，即 sin B ＝1

，所以 B π π 2π π sin B 1 1 3 1 sin C

3

sin B sin 2π

2 3 ＝ ，所以 A ＝π－ － 6 6 ＝ .所以 S △ABC ＝ 3 6 2 bc sin A ＝ × 2 × ＝ .

2 4 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围

【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例 1 在∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列

(1) 若b = 2 3, c = 2 ，求∆ABC 的面积

(2) 若sin A , sin B , sin C 成等比数列，试判断∆ABC 的形状

【答案】(1) 2 (2)等边三角形

【解析】(1)由 A ，B ，C 成等差数列，有 2B ＝A ＋C (1)

因为 A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以 A ＋B ＋C ＝π．(2)

π

得 B ＝

所以(2 b 2＝a 2＋c 2－2accosB (3)

3 ，

3)2 = a 2

+ 4 - 4a cos π

3

解得 a = 4 或 a = -2 (舍去)

所以 s

= 1 ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 2sin π = 2

∆ABC 2 2 3

(2)由 a ，b ，c 成等比数列，有 b 2＝ac (4)

由余弦定理及(3)，可得 b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac

再由(4)，得 a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此 a ＝c 从而 A ＝C (5)

π

由(2)(3)(5)，得 A ＝B ＝C ＝

3

3

所以△ABC 为等边三角形．

【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例 2 在△ABC 中，已知 2a = b + c ， sin 2

A = sin

B sin

C ，试判断△ABC 的形状。 【答案】等边三角形

【解析】 sin 2 A = sin B sin C ⇒ a 2 = bc ，又 2a = b + c ，所以 4a 2

= (b + c )2

，所以 4bc = (b + c )2

，即

(b - c )2 = 0 ，因而b = c ；由 2a = b + c 得 a = b 。所以 a = b = c ，△ABC 为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用

【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：

（1） 一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；

（2） 另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理

题型三与三角形中有关的不等式问题

例 1△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为

（1） 求sin B sin C ;

（2） 若 6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

a 2 .

3sin A

【答案】（1） sin B sin C = 3

；（2） C

∆ABC = 3 + 【解析】

(1) 由题设

得

1

ac sin B = 2

a 2 3sin A

,即1 2

c sin B =

a .

3sin A 由正弦定理得 1

sin C sin B = 2

∴sin C sin B = 2

.

3

sin A .

3sin A (2) 由题设及(1)得cos B cos C - sin B sin C = - 1

,

2

即cos(B + C ) = - 1 .∴ B + C = 2π,∴ A = π

2 3 3 1 a 2

又 2 bc sin A = 3sin A

,即bc = 8.

由余弦定理得b 2 + c 2 - bc = 9,即(b + c )2 - 3bc = 9, ∴b + c = 33.∴C ∆ABC = 3 + 33.

33 2 .