关于调和级数的进一步讨论

关于调和级数的进一步讨论数学与与计算机科学学院数学与应用数学(师范)专业2004级刘挺指导教师赵克全摘要：调和级数是一类特殊而又十分重要的发散级数，具有一些非常重要的的性质。

教材中一般采用柯西收敛原理给出其证明。

事实上，证明调和级数发散的方法有很多种，各类证明方法都体现了不同的数学逻辑和思维。

本文从不同的方面入手，在已有文献的基础上，对调和级数作了进一步分析和讨论，并给出了调和级数发散性的一些新的证明方法和性质。

本文的结论是对已有文献中一些相应结果的改进与推广。

关键词：调和级数；发散；敛散性；应用Abstract：The harmonic series is one kind of special and very important divergent series which has some very important characterizations. In the teaching material, the authors usually made use of the convergence principle of cauchy to prove it. In fact, there are many ways of proving radiation of the harmonic series and each kind of method has manifested the different mathematical logic and the thought. In this paper，the harmonic series is discussed and analyzed deeply and widely from the different aspects, and at the same time has given some new ways of proving the radiation of harmonic series and some new properties of harmonic series. These conclusions improve and generalize some corresponding results in references.Key words：harmonic series；radiation；astringency and radiation；applications调和级数是一类重要的发散级数。

近年来，大量学者对调和级数进行了广泛而深入的研究，取得了一系列丰富的研究成果。

文献[1,2,3,4,5,6]中，作者分别给出了调和级数的一些性质、特征；文献[7,12,13,14]中，作者从级数收敛的必要条件、级数与数列之间的关系、级数与广义积分之间的关系、柯西收敛原理以及比较判别法等方面入手，给出了证明调和级数发散的7种方法；文献[8]中，作者又从数形结合的角度给出了证明调和级数发散的一种方法；文献[10,11]中的作者通过对调和级数缺项的讨论给出了调和级数的两个性质，同时引出了对于调和级数悖论的思考。

本文主要通过对调和级数的发散性的证明和性质的研究，在已有证明方法和性质的基础上，从不同的数学知识和思维角度，采用不同的方法来证明调和级数的发散性，通过总结和归纳，并给以推广，给出了十三种证明调和级数发散的方法，并对调和级数的性质做了更进一步的分析和讨论。

1 预备知识为了讨论本文的主要问题，下面先给出一些讨论调和级数的发散性和性质所需要用到的引理。

引理[4,15]1.1（柯西收敛原理） 级数∑∞∞→n n a 收敛的充分必要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N ，使得当N n >时，对任意的自然数 ,3,2,1,=p p ，都成立 ε<++++++p n n n a a a 21。

引理[2,4]1.2 若级数∑∞∞→n na的部分和数列{}n S 的某一个子列发散，则∑∞∞→n na发散。

引理[4]1.3 设数列{}n a 、{}n b 和{}n c ，若满足条件n n n c b a +=，且有b b n n =∞→lim ，则数列{}n a 和数列{}n c 具有相同的敛散性。

引理[2,3,4]1.4(柯西积分判别法) 设()f x 为),1[+∞上非负递减函数，那么正项数∑)(n f 与非正常积分dx x f ⎰∞1)(同时收敛或者同时发散。

引理[4]1.5 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数：① 如果n n v u ≤，若1n n u ∞=∑发散，则∑∞=1n n v 发散；若∑∞=1n n v 收敛，则1n n u ∞=∑收敛；② 若)0(lim +∞<<=∞→l l v u nnn ，则级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 有相同的敛散性。

引理[4]1.6（拉格朗日中值定理） 如果函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得'()()()()f b f a f b a ξ-=-。

2 调和级数的证明方法定理2.1 调和级数11n n∞=∑是发散的。

下面我们总结现有文献中证明调和级数发散的方法，并在此基础对现有的证明方法加以分类归纳，同时给出另外4种新的证明方法。

2.1 利用Cauchy(柯西)收敛准则证明调和级数的敛散性证法[7]1 对调和级数11n n∞=∑有p n n n a a a p n n n ++++++=++++++1211121 111n p n p n p >++++++ pn p=+ 令n p =，则有2121=+>++++++p n p a a a p n n n ，所以由引理2.1得调和级数11n n∞=∑发散。

2.2 利用级数收敛的必要条件证明调和级数的敛散性引理2.1 设正项级数1n n a ∞=∑满足1+≥n n a a ，并且级数1n n a ∞=∑收敛，则0lim =∞→n n a n 。

反之，若()∞≠≠=∞→a a a a n n n ,0lim ，则级数1n n a ∞=∑发散。

证明 因为级数1n n a ∞=∑收敛，根据柯西准则，有对任意0>ε，存在N N ∈0，当0N n >时，取n p =，则ε<+++++n n n a a a 221 。

又因120n a a a ≥≥≥≥> ，则2n na ε<，即22n na ε<，所以2lim 20n n na →∞=。

又因对n N ∀∈，有122+≥n n a a ，则nn na a n a n n n n 2122)12()12(02212+⨯=+≤+<+ 所以0)12(lim 12=++∞→n n a n ，即0lim =∞→n n na 。

证法[7]2 对于调和级数11n n∞=∑，取n a n 1=，显然有1+>n n a a ，因为01)1(lim )(lim ≠=⨯=∞→∞→n n na n n n ，所以由引理2.1得调和级数11n n∞=∑发散。

2.3 利用级数和数列敛散性的定义证明证法[7]3 取调和级数11n n∞=∑的部分和数列{}n S 的一个子列{}k S 2，则k S 2满足：11211111111111234567821222k k k k S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111222>++++ 12k =+ 所以∞=⎪⎭⎫⎝⎛+≥∞→∞→21lim lim 2k S n n k ，即子列{}k S 2发散。

由引理1.2得调和级数11n n∞=∑发散。

上述方法是把调和级数中的某些项合并后组成具有一定规律的新的级数，即寻找原级数的一个子列，然后通过对该子列的讨论来说明调和级数的发散性的。

实际上，我们还可以类似的用此种方法对调和级数的项重新合并来证明调和级数的发散性。

证法4 对调和级数11n n∞=∑有11111123n n n ∞==+++++∑11111111129101199100101999⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111101010100100100100010001000⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 990900101001000=+++ 999101010=++++ 由于加括号的前n 项和910n n s >，并且有9lim 10n n →∞=∞，所以调和级数11n n∞=∑发散。

2.4 利用级数和数列的性质证明调和级数的敛散性证法[7]5 取调和级数11n n∞=∑的部分和数列{}n S 和数列n b n ln =，令n n n s b s c n n n n ln 131211ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-=-=由不等式nn n 1)11ln(11<+<+，有 0)11ln(11)1ln(ln 111<+-+=+-++=-+nn n n n c c n n即数列{}n c 为单调递减数列，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=123121ln 131211ln 131211n n n n n c n⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=)111ln()311ln()211ln()11ln(1ln 131211n n 1111111123231n n ⎛⎫⎛⎫>++++-++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭10n=> 因此数列{}n c 是单调递减且有下界的数列，即数列{}n c 收敛。

又因+∞=∞→n n ln lim ，由引理1.3得调和级数11n n∞=∑发散。

上面的证明方法中，在证明数列{}n c 有下界时，我们可以采用另外的一种方法来证明，从而又得出一种新的证明调和级数发散的方法。

证法6 取调和级数∑∞∞→n n 1的部分和数列{}n S 和数列n b n ln =，令n n n s b s c n n n n ln 131211ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-=-=由不等式nn n 1)11ln(11<+<+有 0)11ln(11)1ln(ln 111<+-+=+-++=-+nn n n n c c n n即{}n c 为单调递减数列。

令1111ln(1)23n a n n ⎛⎫=++++-+ ⎪⎝⎭ ，则( 1.2,3)n n a c n <= 。

又由不等式n n n 1)11ln(11<+<+有111ln(1)011n n a a n n +-=-+>++， 则数列{}n a 为单调递增数列，即有12211ln 21n n a a a c c c -=<<<<<<= 则数列{}n a 为单调递增且有上界的数列。