2017-2018年湘教版八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形(第2课时)教案 (精品)
教学目标
1．知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法
2.过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法
3.情感 态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几 何的内在价值
重点难点
1、重点：探 索正方形的性质与判定
证明： ∵四边形ABCD是正 方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） ．
又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴∠EAO=∠F DO．
∴ △AEO≌△DFO．
∴OE=OF．
三、课堂小结：
本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法 ．重点是正方形定义．
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各 自特有的性质和判定．
掌握正方形定义是学好本节的关 键．
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一 组邻边相等的平行四边形（菱形）
②有一 个角是直角的平行四边形（矩形）
（2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以正方形 ：
已知：四边形ABCD是正方形，对 角线AC、BD相交于点O。
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
二、例题讲解
1、求证：正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形 ．
并且△ABO如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO ，再 由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
2、 难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法
教学策略
分析启发、合作探究式
教学活动
课前、课中反思
一、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形 ．
正方形定义 ：有一组 邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括 了两层意思 ：
边： 对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角．
（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又 能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定．
经历探索正方形有关性质、判定 条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法
课后反思
四、课堂练习
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．如下左图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．已知： 如下右图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
湘教版初中数学八年级下册2.7 正方形
TB:小初高题库
湘教版初中数学
知识点 2 正方形的判定 6.下列说法不正确的是( )
9.如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE 等于( )
A.2
B.3
C.2 2
D.2 3
第 9 题图
第 10 题图
10.如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按照如图所示摆放，点 A1,A2，…,An 分别是正方形的
PE+PC 的最小值是__________.
14.如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是对角线 BD 上的一点，过点 M 作 ME∥CD 交 BC 于
点 E，作 MF∥BC 交 CD 于点 F.求证 AM=EF.
15.如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF 与 BC 交于点 G. （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC 的大小.
中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是( )
1
1
A.n
B.n-1
C.( )n-1
D. n
4
4
11.已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC
⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种
选法，其中错误的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 7.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC 8.如图正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为 G，求证： AE=BF.
湘教版八年级下册数学教案 第2章 四边形 2.7 正方形
2.7 正方形【知识与技能】1.能说出正方形的定义和性质.2.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算.【过程与方法】1.经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力.2.通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.3.探索并掌握正方形的性质.【情感态度】1.在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情.2.进一步加深对“特殊与一般”的认识.【教学重点】正方形的定义和性质及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.【教学难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.一、创设情境，导入新课装修房子铺地面的瓷砖，大多是正方形的形状，它是什么样的四边形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？【教学说明】用学生比较熟悉的正方形物体入手，容易引起学生的注意，激发全体学生的学习热情，提高学习效率.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 正方形的定义和性质做一做：同一张长方形纸片折出一个正方形（如右图所示）.【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，所以它具有这些图形的所有性质.小组交流，归纳总结.例：教材第73页“例1”【教学说明】综合运用正方形的性质进行有关的证明，一方面达到掌握新知的目的，另一方面发展了学生推理能力.问题2 正方形的判定说一说：教材第73页“说一说”【教学说明】归纳正方形的判定方法，使学生更好地了解矩形、菱形、正方形之间的联系与区别，体验事物之间是相互联系但又是有区别的，同时也培养了学生善于归纳、勤于总结的好习惯.例：教材第73页“例2”【教学说明】引导学生运用所学知识解决问题，并学会一题多解，一题多变，养成勤于反思、归纳的好习惯.三、运用新知，深化理解1.如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A.BE=CEB.∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠EBC=90°D.AG⊥BE2.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD3.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE=CA.（1）求∠ACE、∠CAE的度数；（2）若CD=5cm，请求出△ACE的面积.4.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点.（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形.（2）若EF ⊥BC ，且EF=21BC ，求证：平行四边形EGFH 是正方形. 【教学说明】让学生自主完成，检查学生掌握情况如何，根据情况个别辅导，对于出现错误较多的地方应作重点强调，有针对性加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.A 2.D 3.（1）∠ACE=135°，∠CAE=22.5°；（2）2225cm 2 4.证明：（1）在△BEC 中，∵G 、F 分别是BE 、BC 的中点，∴GF ∥EC 且GF=21EC ， 又∵H 是EC 的中点，∴EH=21EC ， ∴GF ∥EH 且GF=EH ，∴四边形EGFH 是平行四边形.（2）∵G 、H 分别是BE 、EC 的中点，∴GH ∥BC 且GH=21BC ， 双∵EF ⊥BC 且EF=21BC ， ∴EF ⊥GH ，EF=GH ，∴平行四边形EGFH 是正方形.四、师生互动，课堂小结这一节课的学习，你能完整地说出正方形的性质与判定吗？有哪些收获？还存在哪方面的问题?请与大家交流.【教学说明】归纳总结所学知识，形成结构体系，分享收获，探讨不足，以达到整体提高.1.布置作业：习题2.7中的第2、3题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.本节课虽然是学习正方形的性质与判定，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性质和判定的复习、归纳和总结的作用，因此在教学中通过折纸、观察、验证推理等过程，使学生感受到了解它们之间的共同性质和判定与特殊性质和判定，理解更加深刻，运用更加熟练.。
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形课件 湘教下册数学课件
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
第三十一页，共四十九页。
第三十二页，共四十九页。
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若 AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么(shén me)图形？证明你
一组对角(duìjiǎo)，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
第十二页，共四十九页。
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (
)C
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相(hù 平分 xiāng) D.对角线互相垂直
第十三页，共四十九页。
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点(dǐngdiǎn)A，B，C，D正好
B
A
E
ADF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，A E∴B ED=F,AF.
(2)略
第十一页，共四十九页。
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
(2)求正方形EFGH的面积.
第四十五页，共四十九页。
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形( ， jǔxíng) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形(第1课时)教案 (新版)湘教版
这节课你 有什么收获?学到了什么?有什么疑问提出来?
七、布置作业。
在观 察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力, 进一步培养学生数学说理的习惯与能力
课后反思
正方形
教学目标
1．知识与技能：探索并掌握正方形的概 念及其特殊 的性质；学会识别 正方形
2.过程与方法：在观察、 操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力, 进一步培养学生数学说理的习惯与能力
3.情感态度与 价值观：培养合 情推理能力和探究习惯,体会平面几 何的内在价值
重点难点
1、重点：正方形特殊特征与性质的探索过程
(此题要求学生尝试说出每一步的根据是什么,用以培养他们的逻辑思维能力和数学说理能力。)
四、巩固练习。
1．如 果要用给定长 度的篱笆围 成一个最大面积的四边形区域,那么应 当把这区域围成怎样的四边形?
2．在下列图中,有多少个正方形?有多少个矩形?
五、看谁 做的又快又正确?
1．用纸剪出一个正方形,与你的同伴比一比,看 谁又快又正确?
正方形可以看作为_______的矩形。
(让 学生探索、讨论,培养学生的合作能力与意识,也可指名学生讲讲他 的发现。)
2．概括。
正方形是中心对称图形,也是轴对称图形。
正方形可以看作为有一个角是直角的菱形；
正方形可以看作为有一组邻边相 等的矩形。
三、应用举例。
例3如图,在正方形ABC D中,求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
2、难点：数学说理能力的培养
教学策略
分析启发、合作探究式
教学活动
课前、课中反思
一、提问。
观察正方形有 哪些特征?
边____。
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形(第3课时)教案 (新版)湘教版
正方形
．知识与技能：经历探索正方形有关性质和判别条件的过程
索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件
过程；在简单说理过程中，发展学生的推理能力，使学生初步掌握说理的基本方法
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点
图形世界丰富多彩，下面这节课就由我和大家一起
1、正方形定义：
1
）师小结：我们把有一组邻边
做正方形。
发展学生的推、正方形性质（多媒体显示）
）、正方形是不是菱形
动手折纸，多媒体显示）
）填表区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。
（）试着说说正方形具有的性质。
）正方形性质（多媒体显示
①、图中有哪些相等的线段？有哪些
②、图中有那些等腰三角形？
）例题（多媒体显示）鼓励不同学生的不同做法）
、矩形满足什么条件时，就是正方形？
平行四边形满足什么条件时，就是正方形？（合作探究）
、回顾本节课活动过程，观察—分析—
、本节课学到哪些知识与方法。
五．布置作业，以《完美的正方形》为题，写一篇字文章。
、正方形性质。
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形(第2课时)教案 (新版)湘教版
正方形
态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯体会平面几何的内在价值
索正方形的性质与判定
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法
．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
正方形定义：有一组
其定义包括
意思
条件
、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角
形．
对
DO
证明：∵是正方形
（正方形的对角线垂直平分且相等）
DO
本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义．
好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定．
掌握正方形定义是学好本节的关
①有一组邻边相等的平行四边形
②有一个角是直角的平行四边形
所以正方形：
边：对边平行
每条
的度数．已知：。
湘教版八年级下册数学课件第2章四边形2.7正方形
是正方形 的平行四边
形是正方形
基础巩固练
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( A ) A．四个角都是直角 B．两组对边分别相等 C．对角线平分对角 D．内角和为 360°
基础巩固练
2．【教材改编题】如图，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，那么∠BED 为( ) A．60° B．45° C．30° D．15°
能力提升练
11．【中考·自贡】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延 长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE＝DF，连接 AE 和 BF 相交于点 M.求证：AE＝BF.
能力提升练
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝CB＝CD. 又∵CE＝DF，∴BE＝CF.
【答案】B
能力提升练
10．【中考·扬州】如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上， 以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF， M，N 分别是 DC，DF 的中点，连接 MN.若 AB＝7，BE＝5， 则 MN＝________．
能力提升练 【点拨】如图，连接 CF，∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都为 正方形，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝BE＝5，BC＝AB＝7，∠FGC＝90°， ∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12， ∴CF＝ GF2＋GC2＝ 52＋122＝13. ∵M，N 分别是 DC，DF 的中点， ∴MN 是△CDF 的中位线，∴MN＝12CF＝123. 【答案】123
能力提升练 13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点 P，Q
分别是 AB，AC 上的动点，且满足 BP＝AQ，D 是 BC 的 中点． (1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；
八年级数学下册 第2章 四边形2.7 正方形课件(新版)湘教版
（1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形；
菱 形 （3） 两条对角线互相垂直的平行四边形
（1）有一个角是直角的有一组邻边相等的平行四边形； 正方形
（2）有一组邻边相等的矩形；（3）有一个角是直角的菱形
练习
1. 已知正方形的一条对角线长为 4 cm， 求它的边长和面积. 【教材P74】
四个角 两条对角线互相垂直平分且相 都是直角 等, 每条对角线平分一组对角
轴对称 中心对称
特殊四边形的常用判定方法
平行 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边 四边形 平行且相等;（4）两条对角线互相平分（；5）两组对角分别相等
（1）有三个角是直角；（2）有一个角是直角的平行四边形；
八年级数学下册 第2章 四边形2.7 正方 形课件（新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
2. 如图， 将正方形 ABCD 的各边 AB，BC，CD，DA 顺次延长至 E，F，G，H，且使 BE=CF =DG=AH. 求证： 四边形 EFGH 是正方形.【教材P74】
定义
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形.
有一个角是直角
矩形
一组邻边相等
平行四边形 一组邻边相等
正方形
菱形
有一个角是直角
说一说，正方形具有哪些性质？
• 正方形的四条边都相等.
AB=BC=CD=DA
A
• 正方形的四个角都是直角.
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
• 正方形的对角线相等，且互相垂直平分.