第15章 轴(第15章)
八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线2角的平分线的判定新沪科2
4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相 等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；② 在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线 上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线 的交点处，上述结论中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(1)如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分 别为D，E，BE与CD相交于点＝∠2，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，
∴OD＝OE(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在△ OBD 和△ OCE 中， ∵∠ODD＝OBO＝E，∠EOC（对顶角相等），
A．点M B．点N C．点P D．点Q
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P是( C )
A．线段CD的中点 B．过点O作CD的垂线与CD的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D， C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1 与∠2的大小关系是( A )
14．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°， O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E， ∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE. ∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD. 又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°， ∴CO平分∠ACD.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定
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1A 2C 3A 4D 5B
6B 7 4:5:6 8B 9D 10 见习题
第13、15章作业解答[1]
![第13、15章作业解答[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e59600b84b73f242326c5f7e.png)
第十三章 滚动轴承一、选择题13—1 各类滚动轴承中，除承受径向载荷外，还能承受不大的双向轴向载荷的是 A ，还能承受一定单向轴向载荷的是 B 、D 。
A 深沟球轴承B 角接触球轴承C 圆柱滚子轴承D 圆锥滚子轴承13—2 选择滚动轴承类型时为方便拆卸常用 B ，需有一定调心性能时选 D ，作为游动轴承时适宜选 A 、 C 。
A 深沟球轴承 B 圆锥滚子轴承 C 圆柱滚子轴承 D 调心球轴承13—3 转速n=2800r/min ，一端固定一端游动的蜗杆轴其固定端轴承应选用 C 。
A 推力球轴承 B 深沟球轴承 C 一对角接触球轴承 D 一对圆锥滚子轴承 13—4 D 适用多支点、弯曲刚度小的轴及难于精确对中的支承。
A 深沟球轴承B 圆锥滚子轴承C 角接触球轴承D 调心球轴承 13—5 载荷一定的深沟球轴承，当工作转速由210r/min 变为630r/min 时，其寿命变化为 D 。
A L h 增大为3 L h （h ） B L r 下降为L r /3（r ）C L r 增大为3 L r （r ）D L h 下降为L h /3（h ） 13—6 若一滚动轴承的基本额定寿命为537000转，则该轴承所受的当量动载荷 B 基本额定动载荷。
A 大于B 小于C 等于D 大于等于 13—7 某滚动轴承按寿命公式计算得寿命L h =25100h ，其可靠度 B ；若要求工作寿命达30000h , 可靠度 C 。
A 为99% B 为90% C <90% D >90%13—8 直齿圆柱齿轮轴系由一对圆锥滚子轴承支承，轴承径向反力F r1>F r2，则作用在轴承上的轴向力 D 。
A F a1>F a 2B F a1<F a2C F a1=F a2 =0D F a1=F a2 ≠0 13—9 6210滚动轴承内圈与轴颈配合的正确标注为 C 。
A 6750k H φ B 750H φC 650k φD 7650H k φ 13—10 滚动轴承内圈与轴颈、外圈与座孔的配合 D 。
第15章滑动轴承
pv与功耗成正比,它表征了轴承的发热因素, pv越大,温升越高,越容易引起油膜的破裂
二, 推力轴承
p
F ≤[p]
d1 d2
F
d2
d1
F
2 (d 2 d12 ) z
4 pvm=[pv]
z----轴环数, 考虑承载的不均匀性, [p],[pv]应降低20~40%
§15-6
动压润滑的基本原理
一,动压润滑的形成和原理和条件 两平形板之间不能形成压力油膜!
轴承座
联接螺栓 轴承 螺纹孔
轴承盖 整体式向心滑动轴承
剖分轴瓦
榫口
轴承座 剖分式向心滑动轴承
整体轴套
卷制轴套 薄壁轴瓦 厚壁轴瓦
轴瓦非承载区内表面开有进油口和油沟,以利于润滑油均匀分 布在整个轴径上.
F 进油孔 油沟
油沟形式
B
d
设计:潘存云
轴承中分面常布置成与载荷垂直或接近垂直.载荷倾斜时结构如图 大型液体滑动轴承常设计成两边供油的形式,既有利 于形成动压油膜,又起冷却作用.
45
设计:潘存云
宽径比B/d----轴瓦宽度与轴径直径之比.重要参数 液体润滑摩擦的滑动轴承: B/d=0.5~1 非液体润滑摩擦的滑动轴承: B/d=0.8~1.5
二, 推力滑动轴承 作用:用来承受轴向载荷 结构特点: 在轴的端面,轴肩或安装圆盘做成止推面. 在止推环形面上,分布有若干有楔角的扇形块.其数量 一般为6~12. 用来承受停 固定式 ---倾角固定,顶部预留平台, 车后的载荷. 类型 可倾式 ---倾角随载荷,转速自行调整,性能好.
表15-1 常用轴瓦及轴承衬材料的性能 [p] [pv] HBS 最高工作 轴径硬度 材料及其代号 金属型 砂型 温度℃ Mpa Mpa.m/s
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、数学课上，小丽用尺规这样作图：（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于D，E两点；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；第三部，作射线OC并连接CD，CE，下列结论不正确的是（）A.∠1=∠2B.S△OCE =S△OCDC.OD=CDD.OC垂直平分DE2、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为MN，若AB=2，BC=4，那么线段MN的长为（）A. B. C. D.23、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两根，则m的值是（）A.16或25B.16C.25D.5或84、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A.2B.3C.4D.无法确定5、如图，在正方形中，是边上的动点，于点于点，则的值为（）A. B. C. D.6、下列选项中的图形有一个为轴对称图形，判断此形为何？（）A. B. C. D.7、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个8、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.三角形三条垂直平分线的交点到三个定点的距离相等9、如图，在ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到的位置．使得，则旋转角为（）A.30°B.40°C.50°D.80°10、下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）.A. B. C. D.11、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当DE=AE时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）A.②③B.②④C.①③④D.②③④12、如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.13、如图,已知△,按以下步骤作图:①分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、；②作直线交于点，连接，若，则下列结论中不一定成立的是（）A. B.△是等边三角形 C.点D是AB的中点 D.14、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=48°，则∠2的度数是( )A.64°B.65°C.66°D.67°15、下列说法中不正确的是（）A.线段有1条对称轴B.等边三角形有3条对称轴C.角只有1条对称轴D.底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处．17、如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的度数为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝________．19、如图OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，点E在⊙O上，EB恰好经过圆心O．连接EC．若∠B＝∠E，OD＝，则劣弧AB的长为________．20、如图，已知直线l1∥l2， l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4 ，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=________．21、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝________°.22、如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=________．23、等腰锐角三角形的一个内角是40°，则这个三角形其余两个内角的度数是________。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形 含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，三组互相垂直的线段，已知AD=2，BC=8，BF=4，那么AC的长度等于（）A.2B.3C.4D.52、如图，在中，，，，，和的平分线交于点，于点，则的长为（）A.1B.2C.3D.43、如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则DF的长度为（）.A.6B.C.D.84、已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A.7B.10C.11D.10或115、如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得＝6+ ，其中正确的有( ) 到；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD′A.2个B.3个C.4个D.5个6、如图，将沿翻折，使其顶点均落在点O处，若，则的度数为（）A. B. C. D.7、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP （P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A.78°B.75°C.60°D.45°8、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm10、如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°11、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C.D.12、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.13、自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.14、下列命题中，错误的是（）．A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分C.矩形的对角线相等且互相垂直平分D.角平分线上的点到角两边的距离相等15、将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（）A.有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B.有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C.两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D.以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平行四边形中，，.以点为圆心、为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是________.17、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，现将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，已知AP=4，则PP′长度为________．18、如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是________点.19、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为________．20、已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是________．21、如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是________.22、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是________．23、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为________．24、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．25、如图，在正方形ABCD 中，AC＝6 ，E是BC边的中点，F是AB边上一动点，则FB＋FE 的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．28、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．29、如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．30、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、D5、B6、B7、B8、D9、A10、B11、C12、A13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形的性质
8．【中考·黔西南州】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线 上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
15
【点拨】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵CG＝CD，∠CGD＋∠CDG＝∠ACB， ∴∠CDG＝∠CGD＝30°.
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC＝________．
(2)求∠ACF的度数．
解：∵在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝30°. ∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°. 又∵∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
15．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E ，C，作△AEC，使AE＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度 数．
结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
D
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
7．【2021·合肥庐阳区四十五中月考】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝ AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：作AF⊥BC，垂足为F， ∵AB＝AC，∴BF＝CF， ∵AD＝AE，∴DF＝EF， ∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
证明：在△ACD中，∵CD＝AC，CF是△ACD的中线， ∴CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB. ∴∠FCA＋∠ACE＝∠DCF＋∠ECB＝90°， ∴CE⊥CF.
13．【芜湖鸠江区校级统考】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ 35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是C边上的中点，连接AD，AE.
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版
第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是（A）A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称［关于坐标轴对称］点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是（）A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论,互帮互学）5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为（）A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图（1）所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图（2）所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)
八年级 数学 上册 沪科版
(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
第 20 页
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(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
第 21 页
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考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m， 为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
第 14 页
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证明：连接 AP， 在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP， 又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
第 15 页
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
第 18 页
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14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称(共35张PPT)
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它们有什么共同的特点？
讲授新课
一 轴对称和轴对称图形
轴对称 图形
a
m
对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对 称轴.
例4 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和
△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请
在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
E
D
C(F)
CF
D C(F)
E
CF
A (D)
BA
B(E) A
B
A(D)
B(E)
方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键
是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
全班总动员
ABCDEFGHIJKLM
N O P Q R S T U VW X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为 你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速 站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你 报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐 在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了， 及时提醒.
ABCDE FG HI J KLMN OPQRST U VWXYZ
做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个 图形的对称轴最多.
想一想：
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
下面的每对图形有什么共同特点如？图点A、A ′就是一对对称点.
八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪
《等腰三角形》一、说教材分析：1．教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。
通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系，并且对轴对称图形特征的直观反映（三线合一）,对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。
2、教学目标：(1)认知目标：要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征，使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法；(2)能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力；使学生初步学会分析几何证明题的思路，从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；(3)情感目标：通过亲自动手，发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征，对学生进行数学美育教育。
3、教学重难点:(1)教学重点：等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。
(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。
4、教具准备:为了使学生了解这堂课，本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。
二、说教学方法：由于八年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及八年级学生刚刚学习轴对称图形，对轴对称图形的分析相对比较好，再加上八年级学生思维的感官性，所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察，采用教具直观教学法，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。
教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。
对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征，通过让学生动手操作，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形，以及一般三角形的模版，从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。
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5、固定不同零件的各键槽应布置在同一母线上，以 减少装夹次数。精品课件
轴系结构改错
四处错误
正确答案
三处错误
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正确答案
错误
1.左侧键太长， 套筒无法装入 2.多个键应位 于同一母线上
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§15.3 轴的强度计算
一、按许用切应力计算（按扭转强度计算）
强度条件： TW TT 9.5n5W 1T06PTMaP
d3 9.55106 3 PC3 Pmm
0.2[T] n
n
式中：WT——抗扭截面系数，mm3
[τT]——许用切应力 C——与材料有关的系数
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系数 C 与轴的材料和承载情况有关。
注意：
弯矩相对转矩较小或只受转矩时，C 取小值。
五、各轴段尺寸的确定 1、d：由载荷→dmin→由结构设计要求确定各段的d。 2、L：由轴上零件相对位置及零件宽度决定，同时考虑：
1）轴段长比轮毂宽小2~3mm——可靠定位。 2）传动件、箱体、轴承、联轴器等零件间距离(查手册)。 3）轴颈的长度一般等于轴承的宽度
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六、轴的结构工艺性设计 1、需磨削的轴段：砂轮越程槽。
第15章 轴
1、概述 2、轴的结构设计 3、轴的强度计算 4、轴的刚度计算 5、轴的临界转速 6、提高轴的强度、刚度
和减轻重量的措施
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§15.1、概述 一、主要功用
轴的功用：1）支承回转件； 2）传递运动和动力。
二、分类 1、按承载分
心轴：只承受弯曲，不传递扭矩
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传动轴：只受扭矩，不受弯矩 汽车下的传动轴。
公式应用： a）传动轴的计算； b）转轴的初估轴径dmin——结构设计，逐步阶梯化 c）对于转轴：算出dmin→结构设计→弯矩图→弯扭 合成强度计算；
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二、按许用弯曲应力计算（弯扭合成强度计算） 已知条件：作用力大小、位置、轴d、l、支点位置 由dmin(扭转初估)→结构设计→支点、力大小、作用点 →画出M、T合成弯矩图→危险截面→计算。
2、中、低碳合金钢：强度高、寿命长，对应力集中敏感， 用于重载、小尺寸的轴。
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种类
注意：钢材
对钢材弹性模量E影响很小，
热处理
3、合金铸铁、QT：铸造成形，吸振，可靠性低，品 质难控制，常用于凸轮轴、曲轴。
合金钢比碳钢有更高的强度和更好的淬火性能。 一般情况下用碳钢，重要的轴用合金钢。
合金钢代替碳钢并不能提高轴的刚度。
1、画出轴的空间受力简图：力分解到水平面、垂直面
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2、作水平面弯矩MH图和垂直面弯矩MV图
3、作出合成弯矩 M MH 2 MV2 图
4、绘转矩T图
精品课件
5、求当量弯矩 M M2(T)2，绘 M 图
α—— 根据转矩性质不同而引入的应力校正系数。 σ—— 一般为对称循环变化（弯矩引起的弯曲应力） （M）
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若有则该轴承受弯矩，否则不承受弯矩。
2、按轴线形状分 光轴
直轴 阶梯轴
又可分为实心、空心（加工困难） 曲轴：发动机专用零件
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钢丝软轴：轴线可任意弯曲，传动灵活。
钢丝软轴的绕制 精品课件
动力源
接头 被驱动装置
接头
钢丝软轴
三、轴的材料（表15-1） 1、碳素钢：30、35、45、50(正火或调质)，45应用最广。 价廉，对应力集中不敏感，良好的加工性。
一、目的 确定轴的尺寸、形状：d、l；
二、要求 1、轴与轴上零件要有准确的相对位置；
2、受力合理——轴结构有利于提高轴的强度和刚度； 3、轴的加工、装配有良好的工艺性、减少应力集中； 4、节省材料、减轻重量
三、轴的毛坯 d小——圆钢（棒料）：车制； d大——锻造毛坯； 结构复杂——铸造毛坯，如曲轴；
弯矩较大时，C 取大值。
扭转强度公式一般用来初算轴的直径，计算
出的 d 作为轴最细处的直径 dmin 。
若考虑到开键槽对轴强度的削弱，则轴的直径
应相应增大。 对于d＞100mm，开一个键槽，d
值增大3% ,开两个键槽，增大7% ；对于
d≤100mm，开一个键槽，d 值增大5~7% ,开两
个键槽，增大10~15精%品课件 ；
1）单向旋转、载荷稳定：切应力接近不变r=+1，
[ 1b]/ [ 1b]0.3
滚动轴承
齿轮
套筒
轴承端盖
半联轴器
轴端挡圈
Ⅰ Ⅰ
R r
h h
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
b
r
C
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Ⅲ
2-3mm
a）借助轴本身形状定位：轴肩、圆锥形轴头； b）借助挡圈、圆螺母、套筒等定位； 保证轴上零件可靠定位： 注意：L轴段长度=B轮毂宽-(2~3)mm 轴圆角半径r＜轴上零件倒角尺寸c＜轴肩高度h 或 轴圆角半径r ＜轴上零件圆角半径R＜轴肩高度h
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四、轴设计的主要内容
轴的概述3
结构设计： 根据轴上零件的安装、固定及轴的制造工艺等
轴的设计包括：
方面的要求，合理地确定轴的结构和尺寸。
承载能力计算： 校核轴的强度、刚度和振动稳定性等。
轴的设计过程：
选材料
估算轴的直径
轴的结构设计
轴的承载能力计算
no 验算合格?
yes 结束
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§15.2轴的结构设计
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轴肩与轴环 套筒
定位轴肩：h= (0.07~0.1)d d：轴颈尺寸； 非定位轴肩：h=(1~2)mm；
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轴系常用紧固件
圆螺母
轴端挡圈
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弹性挡圈
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轴系常用紧固件 .同时可以对零件周向固定 紧定螺钉 销 过盈配合
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（2）周向固定 键、花键、成形联接、弹性环联接、过盈、销等 —— 轴毂联接
如：
转轴：既传递转矩、又承受弯矩 如：减速器中的轴。
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根据承载情况下列各轴分别为哪种类型？
0 轴： 传动轴 Ⅰ轴： 转轴 Ⅱ轴： 转动心轴 Ⅲ轴： 转轴 Ⅳ轴： 转轴 Ⅴ轴： 转动心轴
如何判断轴是否传递扭矩： 从原动机向工作机画传动路线，若传动路
线沿该轴轴线走过一段距离，则该轴传递转矩。
如何判断轴是否承受弯矩： 该轴上除联轴器外是否还有其它传动零件，
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空心轴：充分利用材料，↓质量，但加工困难。
四、轴的结构设计 F
等强度 1、拟定轴上零件装配方案
阶梯轴
组成
轴颈：装轴承处 尺寸= 轴承内径； 轴头：装轮毂处 直径与轮毂内径相当； 轴身：联接轴颈和轴头部分；
精品课件较：
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2、零件在轴上的固定 （1）轴向固定