杨辉三角与布莱尼兹三角PPT课件

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杨辉三角基本性质：
介绍杨辉三角蕴含的基本规律 ：
（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是
Cnr
n! r!(n r)!
．
（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，
也就是
． C n r C n r 1 1C n r1
（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内
除
“1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》
算
书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明国发现在 这个
表不晚于11世纪。
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1. 什么是杨辉三角？
二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列 出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深 入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）
第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
。。。
1+1=21 1+2+1=4=22 1+3+3+1=8=23 1+4+6+4+1=16=24 1+5+10+10+5+1=32=25
。。。
第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+… Cnn-1+ Cnn=2n
第n+1行 数字的和为2n，前n行所有数的和为2n-1,
授课教师：符日仕
授课班级：08电子技术与应用
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杨辉：
杭州钱塘人，南宋末年数学家、数学教育家。他著作甚多，由他编著的数学 书共五种二十一卷，分别是《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》 二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》 二卷。其中后三种合称为《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，后流传 世界。
1＋2＋3＋
．．．＋
C
1 n
1＝（第2条斜线）
1＋3＋6＋ ．．．＋
Fra Baidu bibliotek
C
2 ＝（第3条斜线）
n 1
1＋4＋10＋
．．．＋
C
3 ＝（第4条斜线）
n 1
C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 （第r+1条斜线）
于是有一般性结论：
一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第
它恰好比第n+1的和小2 n小1。
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（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩出发，向右（左）上方作 一条和左（右）斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数。
例如：10＝1＋2＋3＋4， 20＝1＋3＋6＋10，．．．
根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝（第1条斜线）
在观察中进行角度的转换，打破常规，从下到上。杨辉三角中，一肩扛两数，是从 上到下习惯观察顺序，上行两数的和与下行中间正对数相等；莱布三角形中，一脚踏
两数，是自下而上的观察顺序，下行两数的和与上行中间正对数相等.
根据前五行的规律，可以知道第六行-的第三个数是 （ 1/60 ）
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布莱尼兹三角与杨辉三角有着相似的性质：
例如 ：
，它的两项的系数是1和1；
，它的三项系数依次是1、2、1；
，它的四项系数依次1、3、3、1。
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规律：
（1）杨辉三角的第2K-1行（K是正整数）的各数字之除了两端为1，其余都是偶数。
（2）行数为素数（质数）时，如第2，3，7，11等行，除了两端的1外，行数 可以整除其余各数。
（3）计算一下杨辉三角中各行数数学之和
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杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛， ．．．）我 国古代数学的伟大成就——堆垛术． ？问题：
1、计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有 什么有趣的联系？
2、将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层 是一个圆弹，求总数：
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观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）
斜线上的第 个数．
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条
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（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足, a1=1, a2=1, 且 an = an-1 + an-2 (n≥3)
这就是著名的斐波 那契数列（斐波那契，
中世纪意大利数学家，传 世之作《算术之法》）．
． Cnr Cnnr
（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
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德国数学家莱布尼兹在研究中发现了下面的单位分数三角形，其特点 是单位分数是分子为1，分母为正整数的分数。由于这个三角形最早是由莱布 尼兹作出，所以叫做莱布尼兹单位分数三角形，或简称为莱布尼兹三角形。
（1）第n+1条线上所有数之和等于1/n。即，某些由单位分数组成的 无穷级数可以由布莱尼兹三角求得。
如：1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + … 1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + …
（2）布莱尼兹三角中每一个数等于其脚下两个数之和。
如：1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/30
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科学的发现离不开仔细的观察，数学领域中也是如此。 著名数学学欧拉曾经说过：“在被称为纯数学的那部分数 学中，观察无疑地也占有重要的地位。”我该在平时的学 习和生活中注意观察，学会观察，善于观察，不断提高自 己的观察能力。
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