杨辉三角
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
杨辉三角通项公式
杨辉三角通项公式首先，我们需要明确什么是杨辉三角。
杨辉三角是由中国明代数学家杨辉于13世纪发明的一种数形结合的数学形式。
它是通过将由数字组成的等边三角形的每个数字是其左上角和右上角的数字之和而形成的。
这种特殊的三角形不仅在数学中有广泛的应用，而且也广泛用于计算概率，组合和统计学。
杨辉三角通项公式是计算杨辉三角中指定位置数字的公式。
它表示为C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!)，其中n表示行数，k表示列数。
这个公式的实质是从n个元素中选择k个元素的组合方法的总数。
这个公式在组合数学，统计学和概率论中有广泛的应用，特别是在计算等概率事件和二项式分布方面。
为了解决杨辉三角中特定位置的数字，可以使用杨辉三角通项公式进行计算。
但是，在计算中，我们还需要理解阶乘运算。
阶乘是一种特殊的数学运算，它表示所有小于或等于给定数字的正整数乘积。
例如，4！= 4 * 3 * 2 * 1 = 24。
在杨辉三角通项公式中，我们使用阶乘来表示组合数的分母。
杨辉三角通项公式的应用非常广泛，它可以用于计算二项式系数、概率论、组合数学等很多领域。
在组合数学中，它可以用于解决组合问题，例如从n个元素中选择k 个元素的组合方法的数量。
在概率论中，它可以用于计算等概率事件和二项式分布的概率。
在计算机科学中，它可以用于优化算法，例如在快速排序中，使用组合数公式来计算划分点的位置。
总之，杨辉三角通项公式是一个非常重要的数学公式，具有广泛的应用领域。
它不仅可以用于解决各种组合问题，还可以用于计算等概率事件、概率分布等各种问题。
在学习数学的过程中，了解这个公式的含义及其应用是非常有必要的。
杨辉三角(小学版)
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所 对应的第n行的数字，
很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。 古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
杨辉三角系数和规律
杨辉三角系数和规律杨辉三角是中国古代著名的数学图形，由数学家杨辉在《详解九章算法》中首次记述。
杨辉三角是一个由数字构成的三角形，其中数字的值是由其上方两个数字相加而来的。
它具有很多奇妙的性质和规律，被广泛应用于数学、物理、统计学等领域。
先来看看杨辉三角的生成过程。
这里以5行为例进行说明：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1第一行只有一个数字1，是该三角形的顶端；第二行有两个数字1，是该三角形的第二层；第三行有三个数字1，中间一个数字2，是由其上方的两个数字1相加得到的；第四行有四个数字1，中间两个数字3，是由其上方两个数字1和2相加得到的；第五行有五个数字1，中间三个数字6，是由其上方两个数字3相加得到的。
这样，整个杨辉三角就被构造出来了。
杨辉三角的规律十分有趣。
首先，杨辉三角的每一行都对应了整数幂的展开式的系数。
例如，三次方展开式(a+b)^3为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，其中1、3、3、1就是杨辉三角的第四行，对应该展开式中的系数。
同理，第五行对应的是(a+b)^4的系数，第六行对应的是(a+b)^5的系数，以此类推。
其次，杨辉三角的每一行都是对称的，即从中心点开始往左和往右的数字是相同的。
例如，第三行和第四行都是对称的，数字排列为1、2、1和1、3、3、1。
这个规律也可以推广到更高的行数。
最后，还有一个有趣的性质是杨辉三角中每一行相邻的两个数之和等于下一行的相应位置上的数。
例如，三角形中第四行3+3=6，3+1=4，1+3=4，都等于第五行相应位置上的数。
这个性质也可以通过数学归纳法证明。
杨辉三角—知识点详解
杨辉三⾓—知识点详解杨辉三⾓杨辉三⾓（欧洲叫帕斯卡三⾓）是⼀个很奇妙的东西，它是我国数学家杨辉在1261年发现的，欧洲的帕斯卡于1654年发现，⽐我国的巨佬数学家杨辉晚了393年。
（在此show⼀下我的爱国情怀）铺垫知识(1)⼆项式系数⼆项式系数，定义为(1+x)n展开之后x的系数。
通常来讲，⼆项式系数代表的是从n件物品中，⽆序地选取k件的⽅法总数，如果你读过我全排列的博客，那么你会发现，这就是我们定义的“组合数”。
证明也⽐较简单：我们假设上述的n=4，k=2，通过组合数公式可以得出组合数为6.假如我们把(1+x)4展开并标记每⼀个x，就会得到：(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)上式等于：(1+x1)⋯(1+x4)=⋯+x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4+⋯我们发现，假如把标记去掉，这个x2的系数正好等于6.也就证明了：(1+x)n中x k的系数正好等于从n个元素中选取k个元素的组合数（C k n）.杨辉三⾓性质杨辉三⾓（帕斯卡三⾓），是⼆项式系数在三⾓形中的⼏何排列。
我们看⼀发杨辉三⾓的图，并在此图上进⾏后续的讲解：（版权：转载⾃百度）我们从这张杨辉三⾓⽰意图上发现，杨辉三⾓的每⾏⾏⾸与每⾏结尾的数都为1.⽽且，每个数等于其左上及其右上⼆数的和。
这样我们发现，杨辉三⾓左右对称。
那么我们就可以通过这些基本概念把这个杨辉三⾓同我们所说的组合数即⼆项式系数联系在⼀起：通过刚才的知识铺垫，我们发现，第i⾏的第j个数，我们可以⽤C j i来表⽰从i个元素中选取j个元素的组合数。
（注意，这⾥的第i⾏是从0计数）并且，由于对称性，我们可以发现，杨辉三⾓中第n⾏的第m个数恒等于本⾏的第n-m+1个数。
与⼆项式系数知识点进⾏结合，我们会发现(1+x)n展开后，各次数的系数正好对应第n⾏的每⼀项。
杨辉三⾓代码实现的递推公式在很多题⽬中，我们常常需要⽤打表的形式先处理出杨辉三⾓矩阵，然后再以此为基础进⾏程序求解。
中国古代数学杨辉三角
中国古代数学杨辉三角是一个重要的数学概念，它是一种用数字排列形成的三角形模式，通常用于表示数字之间的比例、排列和组合关系。
在中国古代，杨辉三角的起源可以追溯到十世纪末和十一世纪初，当时数学家们开始研究数字之间的规律和关系。
首先，杨辉三角是一个数学概念，它可以通过不同的数字排列和组合来表达不同的数学关系。
例如，它可以用于计算数字之间的比例、排列和求和等问题。
此外，杨辉三角还可以用于解决一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列组合问题、概率论中的概率计算问题等。
在中国古代数学中，杨辉三角的应用非常广泛。
它不仅被用于解决数学问题，还被用于记录数字之间的规律和关系，以及用于数学教育等方面。
在古代，数学家们通过研究杨辉三角，发现了一些有趣的规律和特点，如数字之间的对称性、重复性和递推关系等。
这些规律和特点不仅有助于理解杨辉三角的本质，还为后来的数学研究提供了重要的基础。
在具体的应用方面，杨辉三角在古代的商业、军事、天文等领域都有广泛的应用。
例如，在商业中，商人可以通过杨辉三角来计算货物运输的成本和利润；在军事中，军事家们可以通过杨辉三角来分析敌我双方的实力和战略布局；在天文学中，天文学家们可以通过杨辉三角来研究天体之间的距离和运动规律等。
综上所述，中国古代数学中的杨辉三角是一种重要的数学概念，它具有广泛的实用价值和理论意义。
在古代，数学家们通过研究和发现杨辉三角中的规律和特点，为后来的数学研究奠定了基础。
在现代，杨辉三角仍然被广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域，成为现代数学的重要组成部分。
最后，值得一提的是，中国古代数学中的杨辉三角不仅仅是一种数学概念，它还体现了中国古代数学文化的独特性和智慧。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地了解中国古代数学的发展历程和特点，进一步弘扬中国古代数学文化。
杨辉三角n次方的公式
杨辉三角n次方的公式杨辉三角是一种二项式数列，它可以描述许多有趣的现象，比如卡特兰数、斐波那契数列、和三角函数。
同时，它还是计算概率、条件概率以及组合分析中不可或缺的一环。
1、杨辉三角的基本性质a) 第n（n>1）行的项数为n个b) 第n行的首项和末项都为1c) 第n行的第k项（k>0 && k<n）为：Cnk=Cn,k-1 + Cn-1,k-12、杨辉三角的三个公式a) Pascal's Triangle Formula：Cnk=n!/(n-k)!*k!，这个公式可以称为拉格朗日公式，它可以帮助用户计算组合数Cnk。
b) Binomial Coefficients Formula：Cnk=(nk)，这个公式最早由希腊数学史学家埃斯梅尔发现，它是随机变量x服从两个同样概率分布的情况下，x的概率分布函数的系数。
c) Recursion Formula：Cnk=(n-1)Cn-1,k-1+nCn-1,k，这个公式是由诺伊尔式公式推导出的，可用来计算条件概率与非条件概率。
3、关于杨辉三角n次方的公式a)将杨辉三角每一项拆分开来：Cnk=n!/(n-k)!*k!；b)将其中的n!分解成多项式：n!=n(n-1)(n-2)...3*2*1；c)将其中的(n-k)!分解成多项式：(n-k)!=(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...3*2*1；d)将其中的k!分解成多项式：k!=k(k-1)(k-2)...3*2*1；e)将a、b、c、d四个多项式乘起来：n!/(n-k)!*k!= n(n-1)(n-2...3*2*1)×(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...3*2*1×k(k-1)(k-2)...3*2*1；f)考虑到有重复度，将所有系数移到左边：Cnk=(n-k+1)(n-k+2)...n(n-1)(n-2)...k(k-1)(k-2)...3*2*1；g)将其中可以求和的部分移到右边：Cnk=n^n/(n-k+1)×(n-1)^n-1/2 ×...×k^k/k；h)最后就得到杨辉三角n次方的公式：Cnk=n(n-1){n-2}...k{k-1}/[(n-k+1)(n-k+2)...n{n-1}{n-2}...k{k-1}]。
杨辉三角形的规律
杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。
杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
第n行的数字个数为n个.
第n行的第k个数字为组合数.
第n行数字和为2n −1.
除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说,第n行第k个数字等于第n - 1行的第k −1个数字与第k个数字的和）。
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。
2、第n行的数所组成的数字为11n-1。
3、第n行的数字之和是2n-1。
4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。
5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。
6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。
7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。
主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
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并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）
都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家
杨辉三角
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕 斯卡三角形，是二项式系数在三角
形中的一种几何排列。
性质
1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2、第n行的数字个数为n个。
3、第n行数字和为2^(n－1)。
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质
写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5 个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行 第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数 之和是第2n-1个斐波那契数。
·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
·杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
·阿皮亚纳斯 德国 1527
·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
·薛贝尔 法国 1545
·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数
就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应
当a=b=1时，代入二项式定理可证明1
但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2
?
二项式定理
二项式定理: 叫二项式系数（0≤r≤n）.通 项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.
系数性质
①对称性： ②增减性和最大值：先增后减 n为偶数时，中间一项的二项式系数最
帕斯卡三角形(Pascal'sTriangle)计 算方法
三角性质
每列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第r元素是 nCr.每
列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.
nCr =nCr=
n!n!
--------
r!(n-r)!r!(n-r)!
这里还要介绍一下，帕斯卡三角形也叫贾宪三角形。
我国的贾宪三角形
1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》 中记载着一张珍贵的图形--------“开方作法本源”图。根据
杨辉自注，此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”，就是
说这张图是贾宪（11世纪）创造的，贾宪制作这张表进行 开方运算，因其形似三角形，因此我们称之为“贾宪三角
第7列第7列 117117 = 1948717119487171 1 7 21 35 35 21 7 1172135352171
第8列第8列 118118 = 214358881214358881 1 8 28 56 70 56 28 8 118285670562881
其英文解释为：Pascal's triangle
形”,又称“杨辉三角”。
欧洲人一般称它为“帕斯卡三角形”，认为是法国科
学家帕斯卡（1623～1662）首创的。中国和阿拉伯的数
学家独立发明这个三角形都要早于欧洲。
近些年来国外也初见承认这项成果属于中国，有些数
学史书上开始称它为“中国三角形”(Chinese triangle）
了。
二项式定理
二项式定理
大，为：Tn/2＋1 n为奇数时，中间两项的二项式系数相
等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2＋1]
赋值法
掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以
（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个
24= 1+4+6+4+1 = 1624=1+4+6+4+1=16
三角性质2
如果有一列的第一元素是质数,除了前后元素之外,多可以被此质数除尽。 例如, 第7列row7 (1 7 21 35 35 21 7 1) 7, 21, and 35 多可被 7整除.例如, 第7列row7(172135352171)7,21,and35多可被7整除.列数计算
二项式定理的推广：
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉
三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之
为“开方作法本源”图。
binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出：
其中，二项式系数指...
等号右边的多项式叫做二项展开式。
二项展开式的通项公式为
其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为
1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）
/3…依此类推。
介绍
其实，中国古代数学家在数学的许多重要 领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数 学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而贾宪 三角的发现就是十分精彩的一页。
同时，这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y
nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) 。上述y^x 指y的x次方，(a
nCr b) 指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形，是一个三角形矩阵，其顶 端是 1,视为(row0).第1列(row1)(1&1)两个 1,这两个1是由他们上头左右两数之和 (不 在三角形内的数视为0).依此类推产生第2列 (row2):0+1=1;1+1=2;1+0=1.第3列 (row3):0+1=1;1+2=3; 2+1=3;1+0=1. 循 此法可以产生以下诸列。
例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是
4!
--------
1!(4-1)!
= 4= 4
5!=5×4×3×2×1=120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
第n 列元素合是2n.
20= 120=1
21= 1+1 = 221=1+1=2
22= 1+2+1 = 422=1+2+1=4
23= 1+3+3+1 = 823=1+3+3+1=8
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
发现历程
在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一 般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉 的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学 家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一 个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪 的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在 他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一 般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在 1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定 理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。
常用公式：（a²+b²）=a²+2ab+b²
根据杨辉三角 可得 （a³+b³）
=a³+3a²b+3ab²+b
以此类推 分别将a降幂 b升幂
例如：
，它的两项的系数是1和1；
，它的三项系数依次是1、2、1；
，它的四项系数依次1、3、3、1
a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是