数学文化之杨辉三角
高中数学《杨辉三角》教学设计
《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。
本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。
杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。
（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。
通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。
二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。
同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。
2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。
班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。
三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。
2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
高中数学选修本(理科)研究性课题 杨辉三角
研究性课题：杨辉三角●教学目标(一)教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质)(二)能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力，数式变换能力.3.观察问题，概括问题证明问题的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.●教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与排列、组合与概率的知识结合起来.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是不无帮助的.●教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点，用数学归纳法证明二项式定理，也是一个难点，由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系，究竟有什么样的关系，要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.●教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法，因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的，从一般的情况求解显得枯燥无味，而本节也是研究性课题，在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法，让学生讨论研究，从中发现问题，提出问题，最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程，让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.●教具准备实物投影仪(或幻灯机，幻灯片)，学生的讨论成果展示.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在第十章，我们在学习二项式定理时，已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里记载着类似下面的表：图2—7这个表称为杨辉三角，在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪，在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal ，1623年~1662年)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，这就是说，杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读，目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌，激励他们立志为中华民族伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献，今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系，(板书课题，研究性课题：杨辉三角)Ⅱ.讲授新课［师］一般的杨辉三角如下： 其中)!(!!C r n r n r n -=.［师］在学习二项式定理时，我们知道，杨辉三角的第n 行就是二项式(a +b )n展开式的系数，请同学们回顾一下，二项式定理的内容是什么？［生］(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 2221110++++⋅++--- . ［师］你们能证明这个定理吗？ ［生］利用定义证明：(a +b )n=(a +b )·(a +b )·(a +b )·…·(a +b ).(n 个括号).等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项.a n ，a n －1b ，a n －2b 2，…，a n －r b r ，…，b n .现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么，在上面n 个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即0C n 种，所以a n的系数为0C n; 恰有1个取b 的情况有1C n 种，所以a n －1·b 的系数为1C n ; 恰有2个取b 的情况有2C n 种，所以a n －2·b 2的系数为2C n; ……恰有(n －1)个取b 的情况有1-C n n种，所以ab n －1的系数为1-C n n; n 个都取b 的情况有n n C 种，所以b n 的系数为nnC 因此，n n n r r n r n n n n n n n n bb a b a b a a b a C C C C C )(222110++++⋅++=+--- . ［师］这种定义法证明固然是好，但不能代表更广泛的意义？你们能用其他方法给予证明吗？［生］用数学归纳法证明:(1)n =1时，左边=(a +b )1=a +b ，展开式的系数为1，1.而右边b a b a +=+=1101C C ，∴左边=右边，∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时等式成立，即kk k r r k r k k k k k k bb a b a a b a C C C C )(110++⋅+++=+-- . 当n =k +1时， (a +b )k +1=(a +b )k(a +b )利用,,C C C ,,C C C ,C C 1111101010 +++++=+=+=r k r k r k k k k k k 1111C C ,C C C +++-==+k k k k k k k k k k ， 得到kk k r r k r k k k k k k abb a b a a b a 1111111011C C C C )(++-+++++++++++=+ 这就是说，如果n =k 时等式成立，那么n =k +1时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对于任意正整数n ，等式都成立.这样，我们就证明了二项式定理.［师］杨辉三角有哪些基本性质？［生甲］(1)对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即kn nk n -=C C (k =0，1，2，…，n ).这一性质可直接由组合数计算公式或性质得到.将r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{0，1，2，3，…，n }直线r =2n将其图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.因为，由(1)可知kn n k n n n n n n n --===C C ,,C C ,C C 110 .又kk n k k k n n n n k nk n 1C )!1()1()2)(1(C 1+-⋅=-+---=- ，所以)(1C C 1k g kk n k n k n =+-=-,那么f (k )的单调性情况由21+-k n 来决定，即g (k )＞1还是g (k )＜1.由2111+<⇔>+-n k k k n .可知，当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间的一项二次式系数2C n n取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数2121C,C+-n nn n相等，且同时取得最大值.［生乙］这个三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rn r n r n 111C C C ---+=，这也是杨辉三角的最基本的性质.［师］除了杨辉三角的基本性质外，仔细观察杨辉三角的图形，我们还可以发现什么样有趣的排列规律呢？(引导启发学生观察问题，分析问题、提出问题，最后再解决问题，教师应参与学生一起讨论)［生］计算杨辉三角中各行数字的和，我们有：(板书) 第1行 1+1=2， 第2行 1+2+1=4， 第3行 1+3+3+1=8， 第4行 1+4+6+4+1=16， 第5行 1+5+10+10+5+1=32， ……于是：猜想第n 行 nn nn n r n n n n 2C C C C C C 1210=+++++++- ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n.［师］你能证明这个结论吗？［生］可以，用数学归纳法证明：(板书)(1)当n =1时，左边=1101C C +，右边=21=2. ∴左边=右边，即当n =1时，等式成立. (2)假设n =k 时，结论成立，即kk k k k r k k k k 2C C C C C C 1210=+++++++- . 那么n =k +1时，11111131211101C C C C C C C C +++++++++++++++++++k k k k r k r k k k k k 11210132101111132211001222)C C C C C C (2C C C 2C 2C 2C 2C 2C 2C )C C ()C C ()C C ()C C ()C C ()C C (C +--++---+=⋅=+++++++=+++++++++=+++++++++++++++=k k k kk k r k k k k k k k k k k r k k k k k k k k k k k r k r k r k r k k k k k k k k 即n =k +1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，等式对一切自然数n ∈N *都成立. ［师］你在证明过程中用到了什么技巧？［生］利用①杨辉三角的基本性质3.(前面证明过了)②01C +k 换成0C k ，③11C ++k k 换成k kC ，然后合并再用归纳假设. ［师］他的这两步代换是十分重要的，也是较好的.如果也利用性质3是无法操作的，所以在具体的解题过程中要因题、因情而宜，不能千篇一律地都使用一个技巧.同学们，思考一下，还有其他的方法可以证明吗？［生丙］用赋值法.在二项式定理中，对a ，b 都赋值1，即可得出结论.证明：∵(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 在上式中令a =b =1.即得，(1+1)n= +⋅⋅+⋅⋅+⋅--22211011C 11C 1C n nn n n n r r n r n 11C ⋅⋅+-nn n1C ⋅++ ， 故有:nn n r n n n n 2C C C C C 210=++++++ . ［师］请同学们再观察杨辉三角，还可以得到什么结论呢！ ［生］经观察计算知，每行的奇数项的和等于偶数项的和，即：15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . ［师］你怎样证明它呢？ ［生］利用赋值法.因为(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n b b a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 令a =b =1得：n n nr n n n n 2C C C C C 210=++++++ ① 令a =1，b =－1得:0C )1(C )1(C C C C 3210=-++-++-+-n n n r n r n n n n ②由②得∴531420C C C C C C n n n n n n ++=+++ +…又由①知：14202C C C -=+++n nn n .故命题得证. ［师］用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第1，3，7，15行的各数字有什么特点？［生］第一行是1；第三行是1，3，3，1；第7行数字是1，7，21，35，35，21，7，1，第15行数字是1，15，105，…，105，15，1，这些行上的各个数字都是奇数，而第2，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14行上的数字有奇数有偶数.［师］总结概括的很好！你们能将这种情况推广吗？ (稍等片刻，让学生之间互相讨论，交流自己的研究结果，应该给学生留一定的时间和空间)［生丁］因为1=21－1，3=22－1，7=23－1，15=24－1，所以我们大胆猜想第2k－1行(k ∈N*)的各个数字都是奇数.［师］你能证明吗？［生丁］这个我没有证明，但我认为应该是正确的！ ［师］不能仅靠直觉，前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的，所以我们提出的猜想，要尽可能地给予证明，如果课堂上不能解决，课后再讨论证明方法也行.［生戊］我有一种证明思路，利用组合数定义进行证明即可.因为：12)2()1()2()32)(22)(12(C 12⋅⋅-⋅-⋅----=- r r r r k k k k rk，下面对r 进行分类，当r 为偶数时，设为r =2m (m ∈N) ∴12)22)(12(2)22()32)(22)(12(C 12⋅------=- m m m m k k k k rk下面再对m 的奇偶性分类讨论，经过有限步的约分化简，可以得到r k12C -在r =2m 时是奇数.同样地，当r 为奇数时，r =2m +1时，我们也用这种无穷递降法进行化简，得出r k12C -也是奇数.［师］同学们，他用这种无穷递降法求解思想来证明，你们能听懂吗？［众生］思路我们是清楚的，就是没有哪一种情况是坚持到底的.［师］这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法，他在证明过程中奇偶性是交替的，分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将2提取进行约分.由于r 是有限的，所以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分，化为全是奇数的乘法与除法.也就是他的叙述上稍加改进，即更加完善了.［生壬］我在戊的基础上进行改进，也是利用无穷递降法求证，同时也运用数学归纳法的思想求解.“因为当r =0时012C -k=1，r =1时，112C -k=2k－1都是奇数，命题成立.”(2)假设当r =l (l ≥0)时结论成立，即l k12C -－1是奇数.那么r =l +1时，当l 是偶数时2k－l －1，l +1都是奇数. ∴112C +-l k是奇数.当l 是奇数，即l =2m +1(m ∈N)，112222221121+--=+--=+---m m m m l l k k k ，对m 的奇偶性再进行分类讨论，这样无穷递推下去，因k 是有限的，只要经过有限步的变换即可使112+--l l k 变为奇数奇数.由归纳假设可知，这个命题对r =l +1时也成立. 由(1)(2)可知，命题对r ∈{0，1，2， (2)－1}都成立. ［师］很好！这个学生的思路也是很清楚的，他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了，虽然数学归纳法仅适合于无限个取值，但这种思想递推关系是可以用的.Ⅲ.课堂练习归纳已经总结的杨辉三角的性质. Ⅳ.课时小结［师］这节课我们研究了杨辉三角的有关性质，同学们，你们能归纳概括吗？［生］(1)对称性.rn n r n -=C C (r =0，1，2，…，n )，关于r =2n对称.(2)单调性及最大值.当n 为偶数时，210C,,C ,C nnn n 是单调递增，n nn nn n C ,,C,C 122 +是单调递减，且2C n n是最大.当n 为奇数时，2110C ,,C ,C -n n nn是递增，n nn nn n C ,,C,C 12121 +++是递减，2121CC+-=n nn n且为最大.(3)rn r n r n 11C C C +-=+.(4)n n nn n n 2C C C C 210=++++ . 15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . (5)第2k－1行的各项都是奇数.Ⅴ.课后作业请同学们观察杨辉三角的第2，4，8，16行中除去两端的“1”之外的数字有什么特点？并根据这些特征，你能得到一般结论吗？并证明之.提示：第2k行中除1外，各个数字都是偶数，证明方法.依照问题5的方法进行证明，数学归纳法和无穷递降法结合.●板书设计。
“杨辉三角”的历史轨迹及启示
“杨辉三角”的历史轨迹及启示作者：石志群来源：《新高考·高二数学》2012年第04期编者按学习二项式定理时，很多同学往往陷入二项式的展开等问题的繁杂计算中，觉得颇为枯燥乏味，殊不知，二项式定理除了有着高度的对称美、与组合数学相关之外，还与解高次方程、概率论、微积分等有着密切的联系.本文从这几个方面向你开启“二项式定理”的历史大门，一个个与之有关的故事，演绎着数学的精彩，希望能引发你学习本段内容的学习兴趣，从中领略些许数学文化的博大精深、美丽芬芳.“二项式定理”是人类文明史上的一朵奇葩，很多民族、众多数学家为了她的发芽、生长、成熟，为了使她更加茁壮、更加瑰丽，献出了辛勤汗水和聪明才智.让我们进行一次从“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史旅游，在旅途中作些欣赏、品味和思考.一、“贾宪三角”与“开方作法本源”目前所见到的最早出现的“贾宪三角”载于杨辉《详解九章算术》（1261年），见于现存《永乐大典》卷16344（藏于英国剑桥大学），叫作“开方作法本源”（图见苏教版教材《选修23》P37）.根据杨辉的自注，这个三角形并不是杨辉发明的，因为他在《详解九章算术》中表述其“出《释锁算书》，贾宪用此术”.根据我国著名数学史家梁宗巨考证，贾宪著书大约在1023年~1050年之间.杨辉之后，朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）卷首也有同样的图，名为“古法七乘方图”.这一三角形的用途主要是开方，或者说解形如x n-A=0的高次方程.先估计出x的首位数a，并设x=x1+a，则（x1+a）n=A.然后再求x 1.而要想求出x1，就要把（x1+a）n展开，此时要用贾宪三角.下面以求x3=1728的正根为例加以说明：“实”即为1728，由其是四位数可知其立方根在10~100之间，并由其大于103且小于203知其立方根的十位数字为1，故可设x=10+b，于是有(10+b)3=1728，按贾宪三角的第4行（1， 3， 3， 1），据“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”有103+3·102b+3·10b2+b3=1782，再以“以廉乘商方，命实而除之”有300b+30b2+b3=1728-1000, 300b+30b2+b3=728.估第二位商，须有b3=8，所以b=2.再用“以廉乘商方，命实而除之”显然有728-（300·2+30·22+23）=0，所以12是1728的立方根.贾宪增乘开方法是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于任意高次方.这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法与现代通用的“霍纳算法（1819年）已基本一致.后来，数学家刘益（约12世纪）在《议古根源》中研究了首项系数可正可负、次数可以是任意的二项方程，他的研究成果可以说是解数字方程方面的重大突破.在贾宪、刘益工作的基础上，秦九韶在《数书九章》中把增乘开方法推广成为任意高次方程的数值解法，使得中国在这方面的成就在世界数学的百花园中大放异彩.古代阿拉伯和日本也都分别发现了这个三角形.1020年前后活跃于巴格达的凯拉吉（al Karaji）写了一本代数学著作，其中就给出了(a+b)3， (a+b)4的展开式.这是阿拉伯国家对此的最早记载，在时间上和中国的贾宪大约同时.日本的村井中渐（1708~1797）在其《算法童子问》（1781年）中载有与贾宪三角非常类似的三角形，专家认为其明显受到朱世杰的《四元玉鉴》的影响.另外，有印度学者认为，印度数学家约在公元前200年的书中已给出了这个三角的构造方法，但另有学者对此持怀疑态度，一般认为可信度不高.帕斯卡在西方亦有许多人知道甚至列出这一数字三角，如施蒂费尔（M. Stifel，1481~1567）、塔尔塔利亚（N. Tartaglia， 1499~1557）等，近年来，发现早在13世纪初已经在未出版的手抄本中出现了这种三角（约丹努斯（Jordanus de Nemore）大约在1220年的《算术》）.其中贡献最大的应当是法国数学家帕斯卡（ B. Pascal， 1623~1662），他不仅发现了这个数字三角，而且最先用数学归纳法证明结论的一般形式（以组合数给出的公式）.那么，帕斯卡又是怎样得到这一发现的呢？二、“帕斯卡三角”与概率论1654年，一个著名的赌徒向帕斯卡提出了一个问题：两个技巧相当的赌徒对局，在没有结束规定的局数时遇到特殊情况，需要立即终止，其中甲只要再胜两局即可赢得所有赌注，而乙则需再胜三局才能赢得所有赌注.问应该如何分配赌注？有人认为应该按3∶2的比例进行分配，你觉得合理吗？我们在《必修3》中曾经运用费马的方法解决了这个问题：通过列出所有可能结果（共16种）得到了结果（11∶5）.而帕斯卡则利用了他称为“算术三角形”的数阵（见下图，转个观察角度可以发现，其实就是一个杨辉三角，每条对角线上数就是二项展开式逐项的系数，帕斯卡还用组合数意义对其进行了解释）一般性地解决了这个问题：在一般情况下，如果甲需要m点取胜，乙需要n点取胜，那么就可以选择第m+n条对角线，并求出这条对角线上前n个元素的和α与后m个元素的和β，赌注在按α：β之比来分配.于是，一门新的数学分支——概率论诞生了！后来，数学家雅可布·伯努利将其推广到了两个水平不同，获胜机会不均等的情形，而结果与二项式定理又有着结构上的惊人的相似：如果甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为r（p+r=1），则甲在n局中能够胜r局的概率为C n-r np r(1-p)n-r.这就是教材中介绍的“二项分布”.伯努利还创造性地运用杨辉三角给出了计算前n 个正整数的正整数次幂和的新方法.前者是现代概率论的基础，后者则是“差分”法的先驱.感兴趣的同学可以做一个简单的试验，制作一个形如右图的通道及下方相互隔离的储槽，从上方放入一些小球，观察落入储槽内的小球的分布情况.多次重复上述试验，你可以发现规律：都是中间的储槽中小球多，越往两边的槽中的小球就越少.这是什么原因呢？请你再做一下简单的研究工作：对于每个槽口，把可能到达该位置的不同路线的条数数出来，并尽可能探索“如何更简单地数出到每个位置的不同路线的条数”，同时请研究：与杨辉三角有何关系？（参见苏教版高中数学《必修3》P109“阅读”）有人运用上述性质设计了一个有奖竞猜的游戏（如图），请你计算一下：如果要求中奖的概率不高于25%，此图中的中奖区域最多只能有几格（从边上开起）？三、“牛顿二项式”与“逼近级数法”1715年牛顿这样回忆往事：“在1665年初，我找到了逼近级数法和把任意二项式的任意次幂化成这样的级数的规则……”这里牛顿所回忆的是其在用级数研究圆的面积问题时所作的发现：他在沃利斯研究0~1上曲线y=(1-x2)n与x轴围成的图形的面积的基础上向更一般的情况作了拓展，并发现：∫x0(1-x2)0d x=x，∫x0(1-x2)1d x=x-13x3，∫x0(1-x2)2d x=x-23x3+15x5，∫x0(1-x2)3d x=x-33x3+35x5-17x7，∫x0(1-x2)4d x=x-43x3+65x5-47x7+19x9.牛顿然后列出了x不同次幂的系数：n=0n=1n=2n=3n=4…乘以11111 (x)01234…-13x 300136…15x 500014…-17x700001 (19x9)牛顿惊奇地发现了这里存在着杨辉三角，你能看得出来吗？可惜的是这里的各列上对应的n均为正整数，而为了求得圆的面积，我们需要这里的n对应着12的列的数牛顿值.为了找到这些值，牛顿重新发现了适用于正整数值n的杨辉三角的计算公式（与帕斯卡的公式是一致的），并决定即使当n不是正整数时也使用这个公式，由此得到了推广了的二项式定理.牛顿还运用这个“牛顿二项式定理”处理了许多有趣的级数，比如，他由此推出了反正弦函数y=arcsi n x的幂级数展开式及正弦函数的幂级数展开式：arcsin x=x+16x3+340x5+5112x7+…，sin x=x-16x3+1120x5-15040x7+….四、“杨辉三角”的历史轨迹闪耀着数学家们智慧的光芒我们沿着“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史轨迹走来，在这条轨迹上大量中外数学家的思想火花熠熠生辉.贾宪、杨辉等中国数学家根据解决实际问题时产生的求正整数方根的需要，运用归纳的思想进行探索，运用递推的思想将特殊推向一般，运用算法思想构建了解决一类问题的数学模型.这些，在数学史上都留下了不朽的辉煌，永远闪耀在数学的璀灿的星空.帕斯卡的一般化、模型化的思想在丰富组合数学的内容的同时，催生了新的数学分支，使得对随机现象中的规律性的研究获得了科学的工具，从而使数学的观念、认识世界的方式产生了巨大的影响.伟大的牛顿再一次将二项式定理推向更一般的情形，而这种推广是那样的大胆，充分体现了科学巨人的思想的宏大与精深.也正由于此，其在科学发现、发明上的创新意义才显得更为宝贵而富有价值.数学家们在研究不同的问题时不约而同地在“杨辉三角形”处相遇了！于是，数学的天空中高悬一道名曰“杨辉三角形”的美丽的彩虹，代数学、概率论、差分、数学分析……就是这道彩虹的赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七彩华色.在此你是否感受到数学的内在的统一、联系和数学的神奇、优美与优雅？如果对数学有兴趣的话，请进入数学大花园的深处，去领略数学世界的美妙与绚丽.愿同学们站在前辈们的肩膀上极目远望，向着世界、向着天空、向着未来！。
第六章 数学探究 杨辉三角的性质与应用
在放学回家的过程中,小明这样想:我肯定不会走回
头路的,所以我只能向右和向上走,一共应该向右走
5条街道,向上走5条街道.
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区,图 (1)中
顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有
一条路线.小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区,
形,其构造方法为第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个数(不足3
2
5
个数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x +x+1) 的展开
8
式中,x 项的系数为75,则实数a的值为
2
.
4.如图所示的杨辉三角最早出现在我国南宋数学家杨
辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中,它有很
(4)已知(2-
2
3
2019
2
2
2
2
)n(n≥2,n∈N*)的展开式中x的系数为f(n),则
+
+
+…+
等于
(2) (3) (4)
(2020)
( B )
2019
A.
110
2019
B.
505
1009
C.
1010
1009
D.
505
1.目的
通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化.
数学探究 杨辉三角的性质与应用
本章总结提升
(2) 540的不同正约数共有 24
个.
(3)用5种不同颜色(颜色可以不全用完)给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要
求每个点涂1种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方案的种
杨辉三角应用
1杨辉三角概述1.1 杨辉三角的产生唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。
到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。
事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。
商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。
这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。
南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。
因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。
我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。
上述(a nCr b) 指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
中考数学试题中的数学文化
第一章 数与式第四节 整式及因式分解中考试题中的数学文化一、杨辉三角【文化背景】杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．【中考对接】1.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a ＋b )n (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”． (a ＋b )0＝1(a ＋b )1＝a ＋b(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4 第1题图 (a ＋b )5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5…则(a ＋b )9展开式中所有项的系数和是( )A. 128B. 256C. 512D. 1024二、《庄子·天下篇》——极限思想【文化背景】古人在两千多年前，已知道数学极限的原理．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺的木棍，第1天开始每天去掉一半，第n 天还剩下12n ，当n 趋于无穷大时，12n 趋于0，但永远不为0，也就是永远取不完．【中考对接】2. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第2020天折断一半后剩下的木棍长应为________尺．参考答案 中考试题中的数学文化1. C2. (12)2020。
数学文化---- 杨辉三角
杨辉三角，光辉四射湖北省孝感市一中刘翀一．考题展示1.（2004年上海春季高考11题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1………………二．背景解读1.此题是考查“杨辉三角”的知识，杨辉三角是中国古代数学文化的代表，在数学史上具有很重要的意义，课本上也出现了杨辉三角（人教A版选修2-2 第77页，选修2-3中1.3.2节“杨辉三角与二项式系数的性质”）2．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家。
字谦光，钱塘（今杭州）人。
杨辉的数学著作甚多,有《日用算法》《杨辉算法》等.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。
古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。
三．杨辉三角的内容和特性1.杨辉三角数表11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1，………………………………上述数表就称为“杨辉三角”，这样的表，最早出现在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算术》一书中。
在这本书里，记载着类似下面的表2．杨辉三角数表的特性杨辉三角包含的内容很丰富，科学家发现了很多有趣的性质，现列举如下：（1）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，即组合等式：111=rrr n n n C C C ---+。
（2）杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等，即=rn rn n C C - （3）第二斜行的数（1,2,3,4,5,6，……）构成等差数列；第三斜行的数（1,3,6,10,15,21,28,36……）构成“三角形数”，其通项为(1)2n n n a +=。
杨辉三角的规律以及推导公式doc资料
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
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杨辉三角
杨辉，字谦光，汉族，钱塘(今杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详.由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷.
杨辉所著的《详解九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.
完全平方公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
由此，我们自然会想到(a+b)3，(a+b)4，(a+b)5，…的展开式是什么.
根据多项式乘法，我们把(a+b)n（n=0，1，2，…）的展开式及其系数写成下面的形式：
在展开式中，a是按其幂指数由高到低排列的，b是按其幂指数由低到高排列的；首项a的次数与末项b的次数相同，都等于二项式乘方的次数；各项中a，b的指数和也等于二项式乘方的次数；展开式中的项数比二项式乘方的次数多1.
展开式各项的系数的规律：每一行首末两项系数都是1，中间各项系数等于它上一行相邻的两个系数之和，第n行系数的和等于2n-1.按照这个规律，可以把(a+b)n （n=6，7，…）的展开式中各项的系数直接写出来.例如，(a+b)6的展开式中，各项的系数分别为1，6，15，20，15，6，1.
上面这个三角形系数表叫做杨辉三角形，又称为贾宪三角形，在国外被称为帕斯卡三角形.
拓展
杨辉三角形是二项式系数在三角形中的一种几何排列.除了书本叙述的规律外，杨辉三角形还有如下规律：。