新北师大九年级下1.5 三角函数的应用

2001
3.如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为 30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同
一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为
60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑 匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
D
E
30°
【解析】作CF⊥AB于点F，则
A B
60°
x tan60 x tan30 50.
x 50 tan 60 tan 30 50 3 3 3 25 3 43 m .
答:该塔约有43m高.
知识应用
1.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的 40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会
BC tan40 , BC BD tan400. BD BE BC 2 BD tan400 2 6.1955 (m).
0
E
2m
DE BE DB 7.96m.
2 2
C
答:钢缆ED的长度约为7.96m.
D
400
5m
B
3 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长 CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果
你认为货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?
2.审图，确定已知和未知.
A x
A
55º
tan 55
3.设适当的未知数，列方程
x
BD x
4.解方程，结论.
D
A x
B
25º
tan 25
D
C
20
B
CD x
CD BD tan 25 tan 55 ; x x BD x tan 55 CD x tan 25
B 1000 A D
680
300
海平面
C
2.（2013•张家界）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高 华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图 1，在一次巡 航过程中，巡航飞机飞行高度为 2001 米，在点 A 测得高华峰 顶 F 点的俯角为 30° ，保持方向不变前进 1200 米到达 B 点后测 得 F 点俯角为 45° ，如图 2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度 多少米．（结果保留整数，参考数值： 3=1.732， 2=1.414）
B
┌ C
D
F C
4.一艘货船以36节的速度在海面上航行,当它行驶到A处时, 发现她的东北方向有一灯塔B，货船继续向北航行40mim 后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货船 与灯塔B的距离（结果精确到0.01海里)
D
24
课堂小结
感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题;
精确到0.01m3 ).
A D
B
C
解：（1）过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
则EC DE DC tan 45 4 2,
AF DE 4 2, BF 24 4 2.
AF 4 2 tan ABC 0.3084. BF 24 4 2
∴CE＝CD×sin∠CDE ＝sin72°×（10×tan 18° ―0.5）≈2.6（m） 答：CE为2.6m即限制高度为2.6m.
九年义务教育北师大教材九年级下册数学
1.5 三角函数的应用
新课引入
视线
1.仰角、俯角：
铅 垂 线
仰角
俯角
水平线 视线
2.直角三角形的边角关系： a tan A a b tan A b
a b tan A
B c a A b ┌ C
新知探究 1.审题，画图.
茫茫大海中有一个小
岛A,该岛四周10海里内有 暗礁.今有货船由东向西
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (有“弦”用“弦”; 无“弦”用 “切”) 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
中考链接
1.( 2014 年河南)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰 A 测得潜 艇 C 的俯角为 300．位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯角为 680.试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度.（结 果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,tan680≈2.5， 3≈1.7)
F
tan 30
CF CF , tan 60 AF BF
∴ ∵ ∴ ∴
AF
CF CF 3 3 CF , BF CF tan 30 tan 60 3
C
AF BF AB 4000
3CF
3 CF 4000 3
CF 2000 3
∴海底黑匣子C点距离海面的深度为 (500 2000 3)米
新知探究
古塔究竟有多高
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰
角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 现在你能完成这个任务吗? 要解决这个问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想 的? 准备怎么去做?
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°, AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
D
AC BC tan ADC , tan BDC , x x
AC x tan 60, BC x tan 30.
A
30° 50m
B
60° ┌ C
答:楼梯多占约0.61m一段地面.
2.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且
DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆 ED的长度为多少?(结果精确到0.01m). E 2m C
400 D
5m
B
解:如图,根据题意可知, ∠B=90° ,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m
解：根据题意可知，∠BAD=55°， C D ∠CAD=25°，BC=20海里. 20 20 x 设AD=x，则 tan 55 tan 25 1.428 0.466
20.79 海里 10(海里)
x tan 55 x tan 25 20.
答:货轮继续向西航行途中没 有触礁的危险.
加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
B 4m A D
┌ C
求(1)AB-BD的长,(2)AD的长. 解:如图,由题意可知, ∠C=90° ∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.
BC sin 40 , BD BC BD sin 40.
B 4m 350 D 400 ┌ C
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.

再求 体积!
随堂演练
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的 高度为20m,求此斜坡的倾斜角. A 2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的 仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得 C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精 确到0.1m). A 3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等 腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口 宽AD=180mm,燕尾槽的深度是 70mm,求它的里口宽BC(结果精确 B E 到1mm).
25º 北 A 55° 观测点 被观测点
航行,开始在A岛南偏东
55°的B处,往西行驶20海 里后到达该岛的南偏东
D C 20 B
25°的C处之后,货船继续
向西航行.
（参考数据： sin55º=0.819,cos55º=0.574,tan55º=1.428, Sin25º=0.423,cos25º=0.906,tan25º=0.466)
∴∠ABC≈17°. 答:∠ABC约为17°.
B A
6m
D
135°
┌
┐
8m
C
F 30m E
（2）
A
6m
D
先算 面积!
135°
┌
B
┐
8m
C
F 30m E
100m
AD BC AF 由梯形面积公式S 得, 2
S 36 4 2 2 72 2 .
V 100S 100 72 2 10182 .34 m3 .
4．（贵阳中考）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建 造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，
其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，点C在BD上，BC＝0.5m．根据
规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知 驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制
的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和
小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确 到0.1m）
【解析】小亮说的对，在△ABD中，∠ABD＝90°，
∠BAD＝18 ° BA＝10
BD ∴tan∠BAD＝ BA
∴BD＝10×tan 18° ―0.5 ∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°

在△ABD中，∠CDE＝90 ° ―∠BAD＝72° CE ∵CE⊥ED∴sin∠CDE＝ CD

A BC sin 35 , AB BC BD sin 40 4 0.6428 AB 4.48 m . sin 35 sin 35 0.5736
AB BD 4.48 4 0.48 m .
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.