14.1.1 直角三角形的三边关系-勾股定理
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)
第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点：用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长，再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42＝52，52+122＝132，那么就有勾2+股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究新知1.勾股定理的证明活动1：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图所示的图形，利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形＝，＝从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即＝活动2：给学生如图所示的图形，利用面积证明.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S ＝2214,2ab c S a b ⨯++右边＝() .左边和右边的面积相等，即2214,2ab c a b ⨯++＝（）教学反思222.c a b +化简可得＝教学说明：以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动：出示习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝____； （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝20，则BC ＝____； （3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是__________.【答案】（1）13 （2）15 （3）10或教学说明：先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长，则c a b【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 如图，在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝6， BC ＝8，求AC .解：根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝AC ²，所以AC10.例2 如图，Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ，另一直角边BC 长为6 cm ，求AC 的长.解：由已知AB ＝AC -2，BC ＝6cm ，根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝（AC -2）²+6²＝AC ²，解得AC ＝10(cm).例3 如图，为了求出湖边两点A ，B 之间的距离，一名观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到160米，BC 的长为128米，问A ，B 解：Rt △ABC 中，AC ＝100，BC ＝128， 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答： A ，B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长. （1）已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝_______.（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 的面积等于_______. （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a 2＝______.2.直角三角形三边长是连续偶数，则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝15∶8，则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中，已知两直角边长a ＝1，b ＝3，那么斜边c 的长为（ ）.A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为（ ）.A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.（1）4 （2）60 （3）1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝. 方法：（1） 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用； （2）“割、补、拼、接”法.思想：（1） 特殊——一般——特殊； （2） 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝.教学反思。
七年级下册数学 直角三角形三边的关系
图1-1
C中各含有多少个小方格？它 们的面积各是多少？ C A （3）你能发现图1-1中三个正 方形A，B，C的面积之间有什 么关系吗？图1-2呢？
B
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形 的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定
理的应用模型是求线段长度最基本方法之一.
1.勾股定理.
2.用拼图法验证勾股定理.
3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么. ——毕达哥拉斯
3
4，那么弦等于5.
人们还发现在直角三角形中， 勾是6， 62=36, 勾是5， 52=25, 股是8， 82=64, 股是12， 122=144, 弦一定是10； 102=100 弦一定是13， 132=169 52+122=132 等等. 62+82=102
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称
A B
图1-3
C
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
A的面积 （单位面积）
B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积）
图1-3 图1-4
16
4
9
9
25
13
方法4
S正方形C
1 4 4 3 1 2
A B
图1-3
C
C
25
（单成若干个直角边为整 数的三角形来求
§14.1 .1《直角三角形的三边关系》教学设计公开课
§14.1 .1《直角三角形的三边关系》教学设计【教材分析】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系.由勾股定理及其逆定理，能够把直角三角形中“形”的特征转化为“数”的关系，因此它可以解决直角三角形中的许多计算问题.勾股定理不仅体现出完美的“形数统一”思想，而且其成为数学上最引人注目的定理之一．对学生来说，用面积的“割补”证明一个定理应该是比较陌生的，尤其觉得不像证明，因此，勾股定理的证明是一个难点.但是，八年级学生经过一年的几何学习，已具有初步的观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解.因此，教师要创设一种便于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情．【教学目标】知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的证明过程．过程方法：在勾股定理的证明过程中，体会转化和数形结合的思想．情感态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，培养文化自信，激发学习数学兴趣和爱国热情．【教学重点与难点】重点：证明勾股定理.难点：用拼图的方法证明勾股定理.【课型】新授课.【教具】多媒体课件（演示文稿），三角尺.【教学方法】讲授法、小组合作学习.【教学过程】一、情境设计，导入新课活动一：设疑激趣教师多媒体展示：2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．你见过这个图案吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。
式？ ；运用了哪些数学方法？（二）、新课预习：用15分钟时间自主阅读课本第108至110页的内容，尝试完成探索发现、归纳总结的内容.二、探究新知：（一）活动一：合作探究 1、试用上面的方法探究下图的面积并写一个关于a 、b 、c 的恒等式：温馨提示：图中白色小正方形的边长为多少？白色小正方形面积怎么表示？（二）想一想：（1）利用我们手中的四个全等的直角三角形还能拼出其他的正方形吗？（2）拼出的正方形的面积该怎样表示?三、概括总结：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、 b ，斜边为c ，那么一定有a2＋b 2＝c 2，这种关系我们称为勾股定理．它揭示了直角三角形三边之间的关系．勾股定理文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．图形语言：符号语言：在ABC Rt ∆中，090=∠C∴ )AB BC (AC 222222=+=+c b a 四、典例精析：例：如图，在Rt △ABC 中 ∠B=90°，AC=13，AB=12，求BC 的长。
14.1.1直角三角形三边的关系1
勾股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
本课小结
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题？
1、直角三角形满足勾股定理：两直角边的平方和 等于斜边的平方.
2．勾股定理的作用： （1）已知直角三角形任意两边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系； （3）用于说明平方关系；
3、勾股定理应用提示：（1）直角三角形 （2）反映的是三边关系 （3）分清直角边和斜边
SR 与S P、SQ
之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
SP SQ SR
即：BC2 AC2 AB2
图14.1.1
等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜 边的平方呢?
正方形P的面积＝ 9 平方厘米；
正方形Q的面积＝ 16 平方厘米；
正方形R的面积＝R25 1平方3厘米4． 4 1 正方形P、 Q、 R的面积2之间的关系
是 P+ Q= R 25
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
存在关系 AC2+BC2=AB2
．
分“割”成若干个直角边 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平方也成立！
勾股定理
对于任意直角三角形，如果两直角边分别 为a、b,斜边为c，那么一定有
八年级数学上册-第十四章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系课件 (新
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14.1.1 直角三角形三边的关系
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学习目标： 1、会用数格子的方法求正方形的面积. 2、在直角三角形中，已知两边能求第三边. 自学指导： 1、阅读教材，探索勾股定理的推导过程. 2、找出勾股定理的内容？
总结规律
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形两直角边分
别为a， b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
注意：勾股定理只适用在直角三角形中求边 之间的关系！
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公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
10 9 12 a=9,b=12
方法小结 (1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
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例2：如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边
BC长为6cm，
求AC的长.
C
解：由已知AB=AC-2，BC=6cm,
c2=a2 + b2 a2=c2 － b2
c a2 b2
c
b
a c2 b2
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
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例题分析 例1 .在Rt△ABC中，∠C=90°. (1) 已知：a=6，b=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
14.1.1直角三角形三边的关系
猜一猜
分别以直角△ABC的三边BC,AC,AB为边， 向外作三个正方形，若三边长分别为a,b,c。
B
c2
a2 a c
b
C
A
b2
三个正方形的 面积具有怎样 的数量关系呢？
数一数 （图中每个小方格代表一个单位面积）
定理运用
作业
一、P.111 练习 第1、2题 二、 P.117 习题14.1 第1、2、3题 三、准备4张全等的直角三角形纸片
ac
b
四、 家庭作业：练习册P.93-95
A
∵AB２+BC２ =AC２
∴AB2 =AC2－BC2
=1602 － 1282=962
∴AB=96（米）
答:A、B两点间的距离是96米.
判断正误 :
若直角三角形的两条边长为6cm、
8cm，则第三边长一定为10cm.( × )
6 8
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重要的 思想方 法及数 学思想
定理内容
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
E
解： ∵在Rt△ ABC中， ∠B=90° ∴AB2 + BC2 = AC2 ∵AB= 4， BC=3 ∴AC2 =42+32 ∴AC=5
1、如图中的各个直角三角形，求未知边的长。
A
G
4？
13 ？
B3 C
F 12
E
解： ∵在Rt△ EFG中， ∠F=90°
∴GF2 + EF2 = EG2
∴GF2 = EG2 - EF2
∵EG= 13， EF=12
∴GF2 =132 – 122 =169-144=25
【精品】八年级数学上册14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系教案2新版华东师大版
14.1.1 直角三角形三边的关系（2）教学目标知识与技能：掌握勾股定理的运用方法．过程与方法：经历理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵．情感态度与价值观：通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想，体会勾股定理对人类发展的重要作用以及它的重大意义和文化价值．重点、难点、关键重点：理解并熟练运用勾股定理．难点：对勾股定理函数的领会．关键：教学中，应鼓励学生经历观察、归纳过程，通过数形结合达到领会和应用的要求．教学准备教师准备：投影仪，投影片、直尺、圆规．学生准备：复习上一节内容．教学过程一、回顾交流、课堂小测1．教师提问：（1）什么叫勾股定理？（2）请你以5cm，12cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，•来验证勾股定理．学生活动：举手发言，讲出勾股定理的内容，然后动手做（•2）•，•验证出斜边长为13cm，而52+122=132，加深对勾股定理的理解．2．课堂小测．投影显示：（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）（2）求下列图中未知数x，y，z的值．教师活动：操作投影仪，显示“课堂小测”，组织学生进行小测，巡视．学生活动：认真小测，以测促思，学会勾股定理的应用．媒体使用：小测之后，教师与学生共同解决上述问题，巩固勾股定理的应用．二、范例学习例2 如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？思路点拨：由于构建了Rt △ABC ，因此，利用勾股定理，可以求出=（米）．教师活动：操作投影仪，讲例，让学生明确在勾股定理的应用中，要先构建Rt △，•分清斜边和直角边，然后应用． 三、随堂练习课本P53练习第1，2题． 探研时空．1． 如图所示，把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股定理，你能利用下图验证勾股定理吗？教师活动：组织学生进行随堂练习，巡视、关注“学困生”，请部分学生上讲台演示． 学生活动：进行练习，讨论、交流“探研时空”．继续理解勾股定理的内涵，加深印象．2．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G 的边长为7cm ，求正方形A ，B ，C ，D 的面积．G 7cmFEDCB A思路点拨：此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，即S E +S F =S G ． 同理S A +S B =S E ，S C +S D =S F所以S A +S B +S C +S D =S G =49cm2教师活动：操作投影仪，显示“探研时空”，引导学生进行思考． 学生活动：分四人小组，合作探研，然后踊跃在全班发表自己的看法． 3．小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿．（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，•能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？教师活动：操作投影仪，显示第3题，引导学生两次运用勾股定理，求得问题．学生活动：小组合作交流，通过分析学生明白应该使用勾股定理，在应用中发现需重复使用勾股定理．答案：能放入电梯内的竹竿的最大长度约为3米，小红买的竹竿至少为3．1米．媒体使用：借助投影仪．教学形式：师生互动，生生互动．四、实际应用问题提出：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？思路点拨：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图•所示，•图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长度．C BA由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（千米2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：3600×3=540（千米/时）20答：飞机每小时飞行540千米．五、课堂总结由学生自己总结勾股定理的应用．1．方法：分四人小组，先由小组总结，然后由各小组代表进行发言，•最后由教师归纳． 2．内容：（1）勾股定理的概念．（2）如何在实际问题中确定好RT△．（3）你对本节课内容学习中，在哪些方面有自己的见解．六、布置作业1．课本P54习题14．1第4，5题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）第二课时作业设计一、判断题1．△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13．（）2．△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（）二、填空题3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，AB2=50，则BC=_______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=________cm．5．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．6．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．7．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．8．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．F E D CBA 9．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为_______． 三、选择题10．若等腰△ABC 的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC 为边的正方形面积为（ ）． A ．3 B ．12 C ．2716.43D 11．已知等腰三角形斜边上中线为5cm ，则以直角边为边的正方形面积为（ ）．A ．10cm 2B ．15cm 2C ．50cm 2D ．25cm212．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（ ）． A ．56 B ．48 C ．40 D ．3213．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的长是（ ）． A ．2.5cm B．2cm C ．14．如图所示，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C•与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ）．A ．3.74B ．3.75C ．3.76D ．3.77四、解答题．1516．如图（a ～c ）所示，求下列直角三角形中未知边的长．17．如图所示，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m ，•求梯子的顶端与地面的距离h ．18．如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．19．如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，•求正方形DCEF 的面积．五、探索题20．做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为a、b，斜边长为c），再做3•条边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成2个正方形（如图所示）你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．答案:一、1．× 2．×二、3．5 4．9 5．5．30 7．4．8 8．（1）60 （2）112 9．12cm2三、10．B 11．C 12．B 13．C 14．B四、15．提示：用勾股定理 16．•略 17．提示：利用勾股定理18．动手题19. 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，同理CD=13，S正方形DCEF=CD2=169．五、20．能.。