高中数学-平面向量的概念及其线性运算分层练习

高中数学-平面向量的概念及其线性运算分层练习

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段;

②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;

③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线;

④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.

以上命题中正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.0

【解析】选D.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;

②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;

③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;

④不正确,当b=0时,a与c不一定平行,

故正确命题的个数为0.

2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )

A.a与λa的方向相反

B.a与λ2a的方向相同

C.|-λa|≥|a|

D.|-λa|≥|λ|·a

【解析】选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反.B正确;对于

C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.

3.(·威海模拟)设a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为

( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

【解析】选B.因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+p b=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.

【变式备选】已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )

A.B,C,D

B.A,B,C

C.A,B,D

D.A,C,D

【解析】选C.因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.

4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是( )

①=+;②=(+);③=-;④=.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C.因为由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②= (+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知③=-是正确的,因为,的大小相同,方向相反,所以

④=是错误的.

【变式备选】如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是

( )

A.c=b- a

B.c=2b-a

C.c=2a-b

D.c=a-b

【解析】选A.由=2得

+=2(+),即2=-+3,即c=b-a.

5.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则= ( )

A.+

B.+

C.+

D.+

【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.

6.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若

=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2= ( )

A. B. C.1 D.

【解析】选A.=+=+=+(+)=-,所以λ=,μ=-,

故λ2+μ2=.

7.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则= ( )

A.-

B.-

C.-+

D.-+

【解析】选C.方法一:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以=+=+=+ (-)=+,于是=-=-=-= -+.

方法二:=+=+

=-+(++)

=-+(++)

=-+++(++)

=-+.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.给出下列四个命题:

①若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量;

②若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量;

③若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量;

④若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线.

其中为真命题的有________(填上序号).

【解析】由向量的平行四边形法则知道,若a+b与a-b是共线向量,则必有a与b也是共线向量.所以①是真命题;若|a|-|b|=|a-b|,则a与b同向,或b是零向量或a,b均为零向量,所以a与b是共线向量,所以②是真命题;若|a-b|=|a|+|b|,则a与b方向相反,或a,b中至少有一个零向量,所以a与b是共线向量,所以③是真命题;当a是零向量,b是非零向量时,||a|-|b||=|a|+|b|成立,而b不能与任何向量都共线,所以④是假命题.

答案:①②③

9.直线l上有不同三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-c os α)+

sin α(α是锐角)总成立,则α=________.

【解析】因为直线l上有不同三点A,B,C,所以存在实数λ,使得=λ,所以-=λ(-), 即=+λ,

所以所以sin α=cos α,因为α是锐角,所以α=45°.

答案:45°

10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1+k e2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为________.

【解析】因为=2e1+k e2,

=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)

=e1-4e2,

由A,B,D三点共线,得∥,

所以2e1+k e2=λ(e1-4e2),

所以则k=-8.

答案:-8

【变式备选】若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.

【解析】+-2=(-)+(-)=+,-==-,

所以|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.

答案:直角三角形

1.(5分)已知a,b是非零向量,则“a与b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若“a与b不共线”,由向量加法的几何意义知|a|,|b|构成的两边之和大于|a+b|构成的第三边,即“|a+b|<|a|+|b|”;若非零向量a,b反向共线,显然|a+b|<|a|+|b|成立,但“a与b不共线”不成立.

2.(5分)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与

△ABC的面积比为( )

A. B. C. D.

【解析】选C.如图,设AB的中点为D.由5=+3,得3

-3=2-2,所以=,所以C,M,D三点共线,且= ,所以△

ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为.

【变式备选】P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( ) A.2 B.3 C. D.6

【解析】选B.由=(+),得3=+,

所以++=0,P是△ABC的重心.

所以△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.

3.(5分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足: =+λ(+),λ

∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的

( ) A.外心 B.内心

C.重心

D.垂心

【解析】选B.作∠BAC的平分线AD.

因为=+λ,

所以=λ=λ′·(λ′∈[0,+∞)),

所以=·,

所以∥.

所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.

4.(12分)(·龙岩模拟)已知△ABC的外接圆O的半径为5,AB=6,若=+,求||的最小值. 【解析】设AB中点为D,连接OD,则OD⊥AB,AD=AB=3,OA=5,所以

OD==4,=(+),

所以CH=||=|+|=2OD=8,又OC=5,

当O,C,H三点共线时,OH取得最小值3.

5.(13分)经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设= m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.

【解析】设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),

=-=n b-m a,

=-=a+b,

由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即n b-m a=λa+λb,

从而消去λ得+=3.

于是m+n=(m+n)

=≥(2+2)=.

当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.