九年级圆全章教案
第二十四章圆
时间：2015-11-7
地点：数学教研组
包组领导：吕志成
主备：樊堃
成员：夏维库赵勇焦文正黄蓉王娅莉
第二十四章圆
24.1圆的有关性质
第一课时24.1.1 圆
教学目标
【知识与能力】
了解圆的有关概念．
【过程与方法】
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴【情感态度与价值观】
培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．
教学重难点
以点的集合定义圆所具备的两个条件．
观察车轮，你发现了什么？
观察
观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
知识要点
动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆（circle）．
如何在操场上画一个半径是5m的圆？
首先确定圆心，然后用5米长的绳子一端固定为圆心端，另一端系在一端尖木棒，木棒以5米长尖端划动一周，所形成的图形就是所画的圆
·
圆心、半径
固定的端点O叫做圆心（center of acircle）．
线段OA叫做半径（radius），一般用r表示．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”
同圆内，半径有无数条，长度都相等．
确定一个圆的要素是什么？
一是圆心，圆心确定其位置，
二是半径，半径确定其大小.
圆的特点
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r ）．
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的新定义，静态定义
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合．
车轮为什么圆的，而不是椭圆或其他图形？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理弦、直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
经过圆心的弦叫做直径
圆弧（弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．）
小练习
请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧．
课堂小结
1．圆
动态定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆
静态定义
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2．圆心、半径
固定的端点O叫做圆心．
线段OA叫做半径，一般用r表示．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”
3．圆的特点
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径 r）．
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
4．弦、直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径．
5．圆弧（弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
随堂练习
1．填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是_______，而不是“圆面”．
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的_______ ，半径决定圆的_______ ，二者缺一不可．
（3）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（4）图中有_______条直径， _______条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_______ 条，劣弧有_______ 条．
2．判断下列说法的正误
(1)弦是直径
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径
(5)半圆是最长的弧
(6)直径是最长的弦；
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
(8)半径相等的两个圆是等圆
教后反思：
第二课时 24.1.2垂直于弦的直径
教学目标
【知识与能力】
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题
【过程与方法】
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解
【情感态度与价值观】
培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法
教学重难点
垂径定理及其运用
思考圆是否是轴对称图形，有哪些对称轴
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
上图是轴对称图形吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE ＝BE ，AC ＝BC ，AD ＝BD ．
知识要点
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理三角形
d + h = r
在a ，d ，r ，h 中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量 实际问题
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ． 垂径定理的推论
222
)2
(a d r +=
课堂小结
1．圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴
2．垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．垂径定理的推论
略
4．解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
随堂练习
1．判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
2．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．3．在直径是20cm的⊙O中，角AOB 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是
4．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为
教后反思：
第三课时24.1.3 弧，弦，圆心角
教学目标
【知识与能力】
理解弦、弧等概念．
初步会运用这些概念判断真假命题．
【过程与方法】
逐步培养阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力．
进一步提高观察、比较、分析、概括知识的能力
【情感态度与价值观】
培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．
教学重难点
对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．
学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧
圆心角
顶点在圆心的角
弦心距
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
探究
在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和O′A′重合．
知识要点
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
弧、弦、圆心角关系定理的推论
1.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的
弦心距相等．
2在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．
3在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等
（在同圆或等圆中，有一组关系相等，那么所对应的其它各组关系均分别相等）课堂小结
1．圆心角
顶点在圆心的角
2．弦心距
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
3．弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
随堂练习
1．AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
教后反思：
第四课时24.1.4 圆周角
教学目标
【知识与能力】
理解圆周角的概念．
掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．
【过程与方法】
继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．
【情感态度与价值观】
渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
教学重难点
圆周角的概念和圆周角定理．
圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
圆中有多少个圆周角？
下列圆中的是圆周角吗?
知识要点
圆周角定理①
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?
根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？
知识要点
圆周角定理②：圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．
例题：⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________
因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，所以它所对的弧也相等
课堂小结
1．圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
2．圆周角定理
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半
3．圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．
教后反思：
24.2.1点与圆的位置关系
教学目标：
1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定．
2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
3.会画三角形的外接圆，熟识相关概念．
4.经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想．
5.通过本节课的教学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育．
教学重难点：
用数量关系判定点和圆的位置关系．
教学过程：
一．导入新课：
你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
二．讲授新课：
探究：
由位置判断距离：
⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB __OC__OD = ___．点E在圆内，点F在圆外，则OE __r，OF __r．
由距离判断位置：
⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则点A在圆____，点B在圆__，点C在圆___．
知识要点：点和圆的位置关系
点P在圆外 d > r
点P在圆上 d = r
点P在圆内 d < r
思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？（圆外的点，圆上的点，圆内的点）
小练习：
1．A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？请通过画图来说明．
2．A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B 应站在哪儿？有几个位置？
3．现在要求Ｂ与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那么B应站在哪儿？有几个位置？
回顾：画圆的关键是什么？
（确定圆心；确定半径的大小）
探究：
1．过一点可以作几个圆?
2．过两点可以作几个圆？
3．过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?
知识要点：
过已知一点可作无数个圆．
过已知两点也可作无数个圆．
过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
外接圆、外心：
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
思考：不在同一直线上的三个点确定一个圆．为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？
证明：假设经过同一直线l 的三个点能作出一个圆，圆心为O．
则O应在AB的垂直平分线l1上，l1⊥l
且O在BC的垂直平分线上l2上，l2⊥l
所以l1、l2同时垂直于l，
这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，
所以经过同一直线的三点不能作圆．
反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
例如：
命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．
假设：经过同一直线的三点能作出一个圆．
矛盾：过一点有两条直线垂直于已知直线．
定理：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
探究：分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？
归纳：锐角三角形的外心位于三角形内．
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点．
钝角三角形的外心位于三角形外．
三．课堂小结：
1.点和圆的位置关系；
2.三点定圆；
3.外接圆、内接三角形；
4.外心；
5.反证法；
四．随堂练习：
1．判断下列说法是否正确
（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆。（）
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形。（）
（3）经过三点一定可以确定一个圆。（）
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。（）
2．若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形3．⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ；点C在________ ．
4．⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ；当OP _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不在圆外．
5．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B 在⊙A _____ ；点C在⊙A ____；点D在⊙A _____ ．
6．已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P｀与⊙O的位置为（）
A．在⊙O内B．在⊙O外
C．在⊙O上D．不能确定7．已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系．
（1）若PO=4.5，则点P在_____；
（2）若PO=2，则点P在_____；
（3）若PO= _____，则点P在圆上．
8．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？为什么？
五．布置作业：
习题24.2 1、7、8、9题。
课后反思：
24.2.2直线与圆的位置关系（1）
教学目标：
1.理解直线和圆的位置关系；
2．经历探索直线和圆的位置关系的过程；
3.通过观察，比较和动手操作，感受到数学活动充满想象和探索；
教学重难点:
直线和圆的位置关系的性质和判定．
教学过程：
一．导入新课：
我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：
（1）点和圆有哪几种位置关系？
（2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系）
二．讲授新课：
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳经历了哪些位置关系?
通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种?
2.归纳：
(1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交.
(2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.
(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
3.请你想一想：
通过前面复习知道：点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离，这一数量关系来刻画它们的位置关系；那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢?
当直线与圆相交、相切、相离时，d与r有何关系？（d是圆心到直线的距离，r是圆的半径）
1．直线与圆相交<=> d＜r
2．直线与圆相切<=> d＝r
3．直线与圆相离<=> d＞r
4.典型例题：
例1在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3．
例2已知：如图示，∠AOB＝30°，M为OB上一点，以M为圆心，5cm 长为半径作圆，若M在OB上运动，问：
①当OM满足时，⊙M与OA相离？
②当OM满足时，⊙M与OA相切？
③当OM满足时，⊙M与OA相交？
三．随堂练习：
1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线的距离为d：
(1)若直线与⊙O相切，则d＝____；
(2)若d＝4cm，则直线与⊙O有_____个公共点；
(3)若d＝6cm，则直线与⊙O的位置关系是____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm．
3.在平面直角坐标系中有一点A(－3，－4)，以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况．
四．课堂小结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？
3.判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，由圆心到直线的距离与半径的关系来判断．
在实际应用中，常采用第二种方法判定．
五．布置作业：
1.课本P96 练习题；
2.习题24.2 2题。
课后反思：
24.2.2直线与圆的位置关系（2）
教学目标：
1．理解切线的判定定理与性质定理；
2．会应用切线的判定定理和性质定理解决简单问题．
教学重难点：
切线的判定定理和性质定理的应用．
教学过程：
一.导入新课:
复习直线和圆的位置关系:
(1)．直线和圆有哪些位置关系？
(2)．如何判断直线和圆相切？
二．讲授新课：
1．探究切线的判定定理。
思考：如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l ⊥OA ，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
总结：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
下面图中直线 l 与圆相切吗？
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ 2.探究切线的性质定理:
思考：如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
总结：圆的切线垂直于过切点的半径． 3.
例： 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与
⊙O 相切于点 D .
求证： AC 是⊙O 的切线．
l
l
分析：根据切线的判定定理，要证明AC 是⊙O 的切线，只要证明由点O 向AC 所作得垂线段OE 是⊙O 的半径就可以了。而OD 是⊙O 的半径，因而需要证明OE=OD.
注意：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径。 三．随堂练习：
教科书第 98 页 练习第 1，2 题． 四．课堂小结：
1.切线的判定定理与性质定理是什么？
2.在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？ 五．布置作业：
教科书习题 24.2 第 4，5，12 题． 课后反思：
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
教学目标：
1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定理，并会用其解决有关问题；
2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想． 教学重难点：
切线长定理及其应用． 教学过程：
一．导入新课：
圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．在
A
C
切线长定理的探究过程中，同学们将要经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程，其中体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．今天，咱们就一起来探究圆的切线长定理和三角形的内切圆等知识。
二．讲授新课：
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2．思考：已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能够过点P 画出⊙O的切线吗？
3.探究：如图，PA,PB是⊙O 的两条切线，切点分别是A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
已知：如图，PA,PB是⊙O 的两条切线，切点分别是A,B.
求证：P A=PB，∠APO=∠BPO．
证明：∵P A、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴P A=PB，∠APO=∠BPO．
知识要点：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
注意：连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线．
4.探究新知，挖掘内涵
切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是什么？
过圆外一点能作几条圆的切线？它们的切线长有什么关系？∠APO 和∠BPO有什么关系？
定理有几个条件？分别是什么？定理有几个结论？分别是什么？
5．应用新知，迁移拓展
一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？
（问题：与三条边相切的圆的圆心必须满足什么条件？满足这样条件的点怎样作？要不要三条角平分线都作出来？）
知识要点：
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆．
三角形的内心：三角形内切圆的圆心．（即三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。）
例△ABC 的内切圆⊙O 与BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE 的长．
A
三．课堂小结：
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆．
4．三角形的内心：三角形内切圆的圆心．（即三角形三条角平分线的交点,到三角形三边的距离相等）
四．随堂练习：
课本P1001.2题
五．布置作业：
习题24.2 第 3.6.10 题．、
课后反思：
24.2.2圆与圆的位置关系
教学目标：
1.掌握圆和圆的五种位置关系．
2.观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆和各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系．
3.通过观察，比较和动手操作，让学生感受到数学活动充满想象和探索，感受证明的必要性、严谨性及数学结论的确定性．
教学重难点：
1.圆和圆的“位置关系”所对应的“数量关系”．
2.两圆相交的判定及有关计算和两圆或三个圆相切的画法．
教学过程：
一．回顾旧知：
九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版
、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆
车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距
2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 第二十四章圆 时间：2015-11-7 地点：数学教研组 包组领导：吕志成 主备：樊堃 成员：夏维库赵勇焦文正黄蓉王娅莉 第二十四章圆 圆的有关性质 第一课时圆 教学目标 【知识与能力】 了解圆的有关概念． 【过程与方法】 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴【情感态度与价值观】 培养通过动手实践发现问题的能力． 渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法． 教学重难点 以点的集合定义圆所具备的两个条件． 观察车轮，你发现了什么 观察 观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗 · 知识要点 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆（circle）． 如何在操场上画一个半径是5m的圆 首先确定圆心，然后用5米长的绳子一端固定为圆心端，另一端系在一端尖木棒，木棒以5米长尖端划动一周，所形成的图形就是所画的圆 圆心、半径 固定的端点O叫做圆心（center of acircle）． 线段OA叫做半径（radius），一般用r表示． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 同圆内，半径有无数条，长度都相等． 确定一个圆的要素是什么 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 圆的特点 （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r ）． （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 圆的新定义，静态定义 圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合． 车轮为什么圆的，而不是椭圆或其他图形 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦． 经过圆心的弦叫做直径 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．） 小练习 请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧． 课堂小结 1．圆 动态定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 静态定义 圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2．圆心、半径 固定的端点O叫做圆心． 线段OA叫做半径，一般用r表示． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 3．圆的特点 （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径 r）． 第二十八章圆 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念. 2.认识圆的轴对称性和中心对称性,探索垂径定理,探索并了解弧、弦、圆心角之间的关系,探索并了解圆周角与圆心角及所对弧的关系. 3.了解并证明圆周角定理及其推论,知道圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半,直径所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径,圆内接四边形的对角互补. 4.知道三角形的外接圆和外心,会用尺规过不在同一直线上的三点作圆和作三角形的外接圆. 5.会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积. 1.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动,了解概念,掌握定理及公式. 2.通过探究活动中小组合作交流,培养学生合作意识. 3.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想. 4.让学生经历探究圆及其相关结论的过程,进一步发展学生数学思考和数学推理的能力. 5.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义,提高学生计算能力和数学思维. 1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、分析以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯. 3.进一步培养合情推理能力,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力. 4.进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育. 与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型——三角形、四边形等的基础上,并在小学的基础上,学生已经积累了大量有关圆的经验,本章是在此基础上,进一步研究一个基本的曲线形——圆,对圆的概念和性质进行系统地梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力. 在小学学过圆的基础上,进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念,所以圆这一章在初中数学学习中占有重要地位.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中阶段圆锥曲线的学习的基础性工程. 【重点】 1.垂径定理及其推论的推导及应用. 2.圆周角定理及其推论的推导及应用. 3.正多边形的有关计算. 4.弧长和扇形面积、圆锥的侧面积的相关计算. 九年级数学上册第24章圆教案（共23套 新人教版） 第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 ※教学目标※ 【知识与技能】 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别. 【过程与方法】体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【情感态度】 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 【教学重点】 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 【教学难点】 圆的集合定义方法． ※教学过程※ 一、情境导入 （课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形． 二、探索新知 1.圆的定义 （课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点 O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记 作“⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于 定长r的点的集合． 思考为什么车轮是圆的？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮 中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理． 2.圆的有关概念 弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧. 劣弧：小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧. 三、巩固练习 1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚 第三章 九年级圆全章教案 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 第二十四章圆 时间：2015-11-7 地点：数学教研组 包组领导：吕志成 主备：樊堃 成员：夏维库赵勇焦文正黄蓉王娅莉 第二十四章圆 圆的有关性质 第一课时圆 教学目标 【知识与能力】 了解圆的有关概念． 【过程与方法】 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴【情感态度与价值观】 培养通过动手实践发现问题的能力． 渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法． 教学重难点 以点的集合定义圆所具备的两个条件． 观察车轮，你发现了什么？ 观察 观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ · 知识要点 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆（circle）． 如何在操场上画一个半径是5m的圆？ 首先确定圆心，然后用5米长的绳子一端固定为圆心端，另一端系在一端尖木棒，木棒以5米长尖端划动一周，所形成的图形就是所画的圆 圆心、半径 固定的端点O叫做圆心（center of acircle）． 线段OA叫做半径（radius），一般用r表示． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 同圆内，半径有无数条，长度都相等． 确定一个圆的要素是什么？ 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 圆的特点 （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r ）． （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 圆的新定义，静态定义 圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合． 车轮为什么圆的，而不是椭圆或其他图形？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理 弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦． 经过圆心的弦叫做直径 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．） 小练习 请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧． 圆 教学目标： 【知识与技能】 掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理,公式解决具体问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解. 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点,构建知识体系. 【教学难点】 利用圆的相关知识解决具体问题. 教学过程： 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑，加深理解 1.垂径定理及推论的应用 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧. 特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的. 2.三角形内切圆的半径r,周长l与面积S之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数 第三章圆 §3.1 车轮为什么做成圆形 学习目标:经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 学习重点:圆及其有关概念，点与圆的位置关系． 学习难点:用集合的观念描述圆． 学习方法:指导探索法. 学习过程: 一、例题讲解： 【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． 【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法． 【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC． 【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置． 【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？ 二、随堂练习 1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由． 2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是． 三、课后练习作业：小结： 教后记： §3.2 圆的对称性（第一课时） 学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理． 学习重点:垂径定理及其应用． 学习难点:垂径定理及其应用． 学习方法:指导探索与自主探索相结合。 学习过程: 一、举例： 【例1】判断正误： （1）直径是圆的对称轴． （2）平分弦的直径垂直于弦． 【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高． 【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长． 【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长． 课后练习: 作业：小结： 教后记： §3.2 圆的对称性（第二课时） 学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学习重点:圆心角、弧、弦之间关系定理． 学习难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 课题：圆 【学习目标】 1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位 置关系 【重点难点】 重点：会确定点和圆的位置关系.。 难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼 光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。 【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形 3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗 【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1圆的集合定义（集合的观点） 2、圆的运动定义：_____________________________________________ （运动的观点） 圆心：----------------------------- 半径：_____________________________ 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ____________________ ”，读作 a ” 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到_____________ （圆心）的距离 都等于_______ 半径）； （2）到定点的距离等于_____________ 的点都在同一个圆上. 弧^i ; 弧的表示 半圆 -------------------------- ；等圆 等弧^τζ ----------------------- 优弧: 劣弧: ------------------------- ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P, 置关系若C)O 的半径为r, 点P 到圆心0的距离为d,那么: <=> 点P 在圆 【训练案】 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；(2)到点A 和点B 的距离都 点与圆有哪几种位 <=> 点P 在圆 1、设AB 二3cm,作图说明满足下列要求的图形: (1)到点A 和点B P 圆全章教案 人教版九年级数学(上)教案主备人：柴多元徐国荣葸仁秀修订：九年级备课组 第二十四章圆 一、教学目标 1.了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． 2.探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 3.进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． 4.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算． 二、教学重点 1．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L和⊙O相交dr及其运用． 7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用． 8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题． 9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│CD C．AB<2CD D．不能确定五、体会收获的快乐：本节课你学到了什么？六、看我的，我能行！课本第83页，练习1、2题。板书设计 人教版九年级数学(上)教案主备人：柴多元徐国荣葸仁秀修订：九年级备课组 第五课时圆周角 教学目标 1、能说出圆周角的概念，会在具体的图形中辨认圆周角； 2、会证明并记住圆周角定理，能运用其进行简单的计算与证明. 第二十四章圆 单元要点分析 教学内容 1．本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，?圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用． 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程． 教学目标 1．知识与技能 （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． （4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算． 2．过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．?了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想． （4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，?使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． （5）探索弧长、扇形的面积、?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 教学重点 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 3.1.1 圆(一) 学习目标 1、理解、掌握圆的定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系. 3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 学习重点：理解、掌握圆的概念. 学习难点：会确定点和圆的位置关系. 教学过程 一、情境引入： 思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？ 二、探究学习： 1．尝试：量一量（1）利用圆规画一个⊙O ，使⊙O 的半径r=3cm. （2）在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O 的半径为r ， 点P 到圆心O 的距离为d ，那么： ①点P 在圆 d r ②点P 在圆 d r ③点P 在圆 d 2．概括总结． （1）圆是到定点距离 定长的点的集合. （2）圆的内部是到 的点的集合； （3）圆的外部是 的点的集合 。 3.典型例题： 例1、已知点P 、Q ，且PQ=4cm ，⑴画出下列图形：到点P 的距离等于2cm 的点的集合；到点Q 的距离等于3cm 的点的集合。 ⑵在所画图中，到点P 的距离等于2cm ，且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来。 ⑶在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ，且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来。 例2．如图，在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，AC 的中点。以B 为圆心，BC 为半径画圆，试判断点A ，C ，E ，F 与圆B 的位置关系。 ??? F C B P Q 4.巩固练习 （1）⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在。 （2）⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在； 当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。 （3）正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。 （4）已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( ) (A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定 三、归纳总结： （1）圆的定义。 （2）画圆并体会确定一个圆的两个要素是和 （3）点与圆的位置关系。 教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 教学难点对等弧概念的理解。 教学过程 （一）情境导入：圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA 绕着它 固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） （二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车 上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆 心的圆 叫作“圆O”，记为“⊙ O” 线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC， 其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。 教学目标 1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 ( 上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。 线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵ 、BAC ︵， 其中像弧BC ︵ 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧， 像弧BAC ︵.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？ （四）课后小结 小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。 课后作业： 课后小记： 教学目标：1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系， 称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 (二)实践与探索1 （1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 =。 AOB AOB ∠=∠，AB AB =，AB AB 实质上，AOB ∠确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？ 的度 所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。 课后作业： 课后小记： 圆 1.1圆的基本元素 教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。 重点难点： 1、重点：圆中的基本概念的认识。2、难点：对等弧概念的理解。 教学过程： 一、圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。 如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。 由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） 二、圆的基本元素 问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。 我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图 如图28.1.2,线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC 都是圆BAC ︵，其中像弧BC ︵ 这样小于半圆周的圆弧叫做劣 弧，分别记为BC ︵ 、 中的像弧BAC ︵这样的 弧， 大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。 结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习： 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。 5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？ 五、作业： 1、如图，AB 是⊙ O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 2、经过A 、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？ 3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。 4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，6BC cm ，求OD 的长。 5、已知：如图，OA 、OB 为⊙O 的半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，试说明AD=BC 。 1.2圆的对称性 教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程： 一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 二、新课 1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 A 图23.1.1 图23.1.3 图23.1.4 第二十四章《圆》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 （一）圆的有关概念 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角； 7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长； 9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 （二）圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知 二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况） 3、弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 4、圆周角的性质 ①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 ③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内d 第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 一、教学目标 1．理解圆的有关概念． 2．体会圆的不同定义方法． 二、教学重点及难点 重点： （1）圆的两种定义方法与圆的有关概念． （2）能够解释和解决一些生活中关于圆的问题． 难点：圆的第二种定义． 三、教学用具 多媒体课件，三角板、直尺、圆规。 四、相关资源 《画圆过程》动画，《画圆过程》动画，《圆形成》的小动画，多个《生活中圆的应用》图片，《弦、直径定义》动画，《弧、半圆、优弧、劣弧定义》动画，《等圆、等弧定义》动画． 五、教学过程 【创设情景，提出问题】 1．如图，观察下列图形，从中找出共同特点． 师生活动：让学生观察图形，发现图中都有圆，此时可以让学生再举出一些生活中类似的图形．对于回答比较好的同学，教师给予表扬． 设计意图：让学生感受到圆的无处不在，圆中蕴涵的数学美，提高他们的学习兴趣． 2．阅读数学史材料． 设计意图：向学生介绍数学史，引出本节课的内容，增加学生的知识面，激发学生的学习兴趣，为本节课的内容作铺垫． 【合作探究，形成知识】 1．如图，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 《画圆》此交互动画主要介绍画圆的过程,包括半径的确定,圆心的确定师生活动：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．在学生归纳的基础上，教师引导学生对圆的一些基本概念作一界定： 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．圆心：固定的端点O叫做圆心． 半径：线段OA叫做这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 2．你能举例说明圆在生活中的应用吗？从集合的角度归纳圆的第二个定义． 人教版九年级第二十四章《圆》整章教案 五、课后记： 24．1．2 垂直于弦的直径 教学过程 一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质） 学生活动设计： 学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 教师活动设计： 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性． 二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神 活动2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD ； 第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？ 学生活动设计：如图2所示，连接OA 、OB ，得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OA M 与△OB M 都是直角三角形，又O M 为公共边，所以两个直角三角形全等，则A M ＝B M ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合．因此AM =B M ，AC =BC ，同理得到AD BD =． 在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 活动3：如图3，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若CD =4 m ，弦AB =16 m ，求此圆的半径． 学生活动设计： 学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条 件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角 形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程． 教师活动设计： 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为R ，由条件得到OD =R －4，AD =8， 在R t △ADO 中222AO OD AD =+， 即222(4)8R R =-+． 解得 R ＝10（m ）． 答：此圆的半径是10 m ． 图4 活动4：如图4，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法． 师生活动设计： 根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点． 〔解答〕1．连接AB ； 2．作AB 的中垂线，交 于点C ，点C 就是所求的点． 三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 活动5 解决下列问题 1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下面水面宽度AB 为7．2米，桥的最高处点C 离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． 图3 B A A B A A B九年级圆全章教案
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圆
单元要点分析 教学内容 1．本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，? 圆和圆的位置关系． （3）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用． 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累 了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特 殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数 学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的 基础性工程． 教学目标 1．知识与技能 （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、? 弦之间的相等关系的定理， 探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，? 探索切线与过切点的 直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． （3）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；? 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面 积和全面积的计算． 2．过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．? 了解概念，理解等量关系，掌 握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，? 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思 想． （4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，? 使学生明确图形在运动变化中的 特点和规律，进一步发展学生的推理能力． （5）探索弧长、扇形的面积、? 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意 义． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累 活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探 索的欲望． 教学重点 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，? 并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，? 所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，? 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90? °的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 6．直线 L 和⊙O 相交 ? d
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