定积分的定义
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2_3_1
图形的面积近似为
∑∆x x f )(
小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值． 这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．
如果用S 表示图形的面积，由定积分的定义可知
⎰=b
a x
x f S )d (
从这个问题的解决可以看出，当0)(≥x f 时，⎰b
a
x x f )d (的几何意义就是
由曲线)(x f y =与x 轴及直线 b x a x ==,所围的平面 图形的面积．
图形上端曲线方程为)(x f y =，将图形划分为一些小条，其中 小条面积用矩形面积近似，即
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形 （如图2_3_1）， 图形上端曲线方程为)(x f y =，将图形划分为一些小条，其中 小条面积用矩形面积近似，即
x x f ∆)(
0 a x 1 x 2 x i-1 x i b
再来看一般的情况，计算如下图形的面积
图形上面的曲线为)(x f y =，下面的曲线为)(x g y =，由定积 分的几何意义可知图形的面积为
⎰⎰⎰-=-=b
a
b
a
b
a
x
x g x f x x g x x f S )]d ()([)d ()d (
或表示为
⎰-=b
a x
y y S ]d [下上
一个积分是在对称区间],[a a -上的积分，如果遇到这样的 积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是
⎪⎩⎪
⎨⎧=⎰⎰
-是偶函数时当是奇函数时当)(,)d (2)(,
0)d (0
x f x x f x f x x f a
a a
这个结论可以由几何直观加以验证
y
x
O
a
b
y
x O
－a
a
从上图可以看出， 当)(x f 是奇函数时有
⎰⎰=--a
a
x
x f x x f 0
d )(d )(；
当)(x f 是偶函数时有⎰⎰=-a
a
x
x f x x f 0
0d )(d )(．
从上图可以看出，
当)(x f 是奇函数时有⎰⎰=--a
a x x f x x f 0
d )(d )(；
当f =a
x
x f x x f 0
d )(d )(．
y
x
O
－a a
例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．
解：按三角形面积公式有 1
2121
21=⨯⨯=⨯=高底S 用定积分计算（如图）
⎰=1
0d 2x
x S
1
10
2
==x
例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积． 解：按梯形面积公式有
231212121=
⨯+⨯=⨯+=）（高下底）（上底S 用定积分计算（如图）
⎰=2
1d x
x S
2
3
2
2
1
2==
x
例3 求半径为2的圆的面积． 解：按圆的面积公式有
ππ422
=⋅=S
用定积分计算（如图）
⎰
-=2
2
d 44x
x S
y
x
O
1
2 y x
O
1
2 2
y x
O
2
令t x sin 2=，则t t x d cos 2d =，
0=x 时0=t ；2=x 时
2π
=
t ．
⎰⋅-=20
2d cos 2sin 444π
t
t t S
⎰⋅-=20
2d cos sin 116π
t
t t
⎰=20
2d cos 16π
t
t
⎰+=2
d 22cos 116π
t t
20)
2sin 21
(8π
t t +=
π4=
例6 求由x y =，3
x y =所围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示，在区间)0,1(-上 x x >3
在区间)1,0(上
3
x x > 由此得
⎰⎰-+-=-1
30
1
3
d )(d )(x
x x x x x S y
x
O
1
1
2
1)42()24(
1
04
20
12
4=-+-=-x x x x
例7 计算
⎰-
+22
2)d sin (π
π
x
x x x ．
解：因为
2
,x x 都是偶函数，x sin 是奇函数．所以2
x x 是偶函数，
x
x sin 是奇函数．由此得
⎰
⎰
⎰-
-
-
+=+22
22
2
22
2
d sin d )d sin (π
π
π
π
π
π
x
x x x x x x x x x
⎰⎰
=+=20
320
2
d 20d 2π
π
x
x x x x
课后作业
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分： （1）
⎰
1
d x
x ； （2）
)
0(d 0
22>-⎰
R x x R R
.
2．求由下列曲线所围平面图形的面积： （1）直线6,3,0,23===+=y y x x y ；
（2）2
x y =与2=+y x ；
（3）x y cos =与x 轴，在区间],0[π上. 3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：
（1）
⎰
-
22
4d sin π
π
x
x x ； （2）
⎰-2
2
3d x
x ； （3）
⎰
-+1
1
23)d 64(x
x x .