《高等数学》第四册数学物理方法
第一章 复数与复变函数(1) 1、计算 (1).(2)(12)222;iiiiii122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655iiiiiiiiiiii
5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102iiiiiii
4222(4).(1)[(1)](2)4;iii
112222
2222(5).()[()]ababiabiabiabab
11222224[(cossin)]()(cossin);22abiabi
3、设11,2iz23;zi试用三角形式表示12zz及12zz。 解:121cossin;(cossin);44266zizi 121155[cos()sin()](cossin);2464621212zzii
122[cos()sin()]2(cossin);46461212ziiz
11、设123,,zzz三点适合条件1230zzz及1231;zzz试证明123,,zzz就是一个内接于单位圆z=1的正三角形的顶点。
证明:1230;zzz123231;312;;zzzzzzzzz 122331;zzzzzz123,,zzz
所组成的三角形为正三角形。
1231zzz123,,zzz
为以z为圆心,1为半径的圆上的三点。
即123z,z,z就是内接于单位圆的正三角形。 、 xz1z2z3 17、证明:三角形内角与等于。 证明:有复数的性质得: 321321
311223arg;arg;arg;zzzzzzzzzzzz
133221
3112231;zzzzzzzzzzzz••
arg(1)2;k (0,);(0,);(0,); (0,3); 0;k;
第一章 复数与复变函数(2) 7、试解方程4400zaa。
解:由题意44za,所以有410zaa; 4cossiniziea
;所以24(0,1,2,3)kizeka;
41izae;342izae;543izae;744
izae
、
12.下列关系表示的z点的轨迹的图形就是什么？它就是不就是区域？
1212(1).()zzzzzz 解:此图形表示一条直线,它不就是区域。 (2).4;zz
解:2222(4)xyxy即816;2;xx此图形为x2的区域。
Z3 y o Z1 Z2 x 1(3).1;1zz
解:222211(1)(1);zzxyxy；22;0;xxx此图形为x>0的区域。 (4).0arg(1)2Re()3;4zz且
解:此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]4的部分。 (5).1Im0;zz且
解:1z表示半径为1的圆的外上半部分及边界,它就是区域。 12(6).Im;yzy
解:它表示虚部大于1y小于等于2y的一个带形区域。 (7).231;zz且 解:此图形表示两圆的外部。 131(8).;2222iizz且
解:211()22y2x,2231()22xy,它表示两相切圆半径为12的外部区域。 (9).Im12;zz且 解:此图形表示半径为2的圆的内部,且Im1z的部分,它就是区域。 (10).20arg;4zz且)
解:此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在40,的部分,它就是区域。 第二章 解析函数(1) 4、若函数fz在区域D上解析,并满足下列的条件,证明fz必为常数、 0fzzD
证明:因为fz在区域上解析,所以,uvuvxyyx。 令,,fzuxyivxy,即0uvfzixy。 由复数相等的定义得:0uvxy,0uvyx。 所以,1,uxyC(常数) ,2,vxyC(常数),即12fzCiC为常数。 5 、证明函数在z平面上解析,并求出其导数。
(1)(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy 证明:设,,fzuxyivxy=(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy 则,(cossin)xuxyexyyy,,(cossin)xvxyeyyxy (cossin)cosxxuexyyyeyx;cossincosxxxveyyyexyey
(sinsincos)xuexyyyyy; (cossinsin)xveyyxyyx
满足;uvuvxyyx。 即函数在z平面上,xy可微且满足CR条件,故函数在z平面上解析。 ()(cossincos)(cossinsin)xxuvfziexyyyyieyyxyyxx
8.由已知条件求解析函数fzuiv, 22uxyxy,()1fii。 解:2,2xyuxyuyx, 2,2xxyyuu。 所以0xxyyuu即u就是平面上调与函数。由于函数解析,根据CR条件得2xyuvxy,于就
是,22()2yvxyx,其中()x就是x的待定函数,再由C—R条件的另一个方程得2'()xvyx=2yuyx,
所以'()xx,即2()2xxc。于就是22222yxvxyc 又因为()1fii,所以当0,1xy,时1u,112vc得12c 所以22221(2)222yxfzxyxyixy。 第二章 解析函数(2)
12、设就是z的解析函数,证明xyuv,xyvu (,)uivzxiy。 证明:就是z上的解析函数,所以,在,xy上处处可微,即uvxy,uvyx, 所以,uvyvuxxyvyxu,所以xyuv, 同理,uvyvuxyyvxxu,所以,xyvv 即得所证。 14、若zxiy,试证:(1)sinsincoszxchyixshy。 证:sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy
=()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi =()sincos22yyiiyyeeeexix sincosxchyixshy
18、解方程ln2iz。 解:lnlnarg02izziz, 即1,arg2zz,设zxiy 221xy
,arg2xiy得0,1xy,即zi。
20、试求2(1),3,,iiiiiie及(1)Lni。
解:(2)222,0,1,2,ikikiiLniieeek ln2(2)(1)244(1)(cosln2sinln2)ikiiLnikieeiee
,
0,1,2,k
(1)ln(1)2ln22ln2(2)44Lniiikiikik 0,1,2,k 3(ln32)3cosln3sinln3iiLnikeei
222(cos1sin1)iieeeei
22,求证0sinlim1zzz 证: zxiy(x,y,均为实数),所以,sinsin()limlimzxyzxiyzxiy 当0x则极限趋近于z轴,有sinlim1iyiyiyiyeeiyiyz 当0y时,则极限趋于z轴,有sinlim1xxx, 故sinlim1zzz。 第三章 柯西定理 柯西积分(1)
1、计算积分120),ixyixdz（积分路径就是直线段。 解:令z=(1+i)dz， dz=(1+i)dt,则:
120(1)itidz1+i2
0(x-y+ix)dz
312
0
11(1)(1)033tiitdti
。
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法1.1复数与复数运算
12
课后习题
1.下列各式在复平面上表示什么？ (1) |z-a|=|z-b|，a、b为复常数
解：由表达式可知，这是一条直线，即a、b两点 的垂直平分线。
(3) Rez>1/2
解：设z=x+iy，则Rez=x，故原式即为x>1/2，它表 示为x>1/2的半平面。
2.将下列复数用代数式、三角式和指数式表示。
指数式和三角式的优越性 模相乘、幅角相加.
y2
z1 z2
1 2 z2
y1
1 2
z1
x1 x2
10
除法运算：
z1 x1 x2 y1 y2 x y1 x1 y2 i 2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
1 i ( ) e 2 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
1
课程的基本要求
《数学物理方法》作为物理、电子类专业的专业基 础课，既是一门数学课程，又是一门物理课程。在 学习过程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不 顾，也不宜在数学上作过多的纠缠；既要照顾数学 完整性与连续性，也应考虑物理模型、物理图象、 物理过程以及数学结论的物理内涵，因此，应将数 学方法与物理思想有机地联系起来，作为一个整体 加以学习。主要是掌握今后有关物理课程中遇到的 各种数学工具，并能熟练地运用这些数学手段有效 地解决物理问题。
数学物理方法01
2
2
因为 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z 2 2 Re( z1 z2 ),
z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
z1 z2 2 [Re( z1 z2 )] [Im( z1 z2 )] z1 z2 2 z1 z2
2 2 2 2 2 2
z1 z2 z1 z2
2016/9/13 16
乘法运算
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )
两个复数相乘 1 2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) 等于它们的模相乘， 幅角相加 1 2 exp[i (1 2 )]
2016/9/13
2
x y .
2
2 2 2 注意: z ( x y ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
2016/9/13 10
3.复数的几何表示
复数 z = x + iy 与有序实数对 (x ,y )成一一
对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴 , 纵轴
叫虚轴或 y 轴 .这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
复数的向量表示法
复数 z x iy 可以用复平 面上的点向量oz 表示.
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
z
sin z6
z
,
0]
1 d5
lim
z0
5!
dz5
z sin z
1 5!
12
小结
1 定义
Re s[f
( z ),
z0 ]
1
2 i
C
f (z)dz c1
2 定理
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
3 计算方法 C
k 1
ⅰ 一级奇点 ⅱ m 级极点
Re
s[
f
(
z),
k 1
15
法则4
Re s[
f
(z),
]
Re s[
f
(1) z
1 z2
, 0]
证明
1
Re s[ f (z), ]
2 i C
f (z)dz
z ei
1 2 f (ei )iei d
2 i 0
z 1
rei
1
ei
ei
r 1
1 2
2 i 0
f
(
1 rei
)
i rei
d
1 2
2 i 0
(见例2.1.2=p29-30 和例2.1.4=p30)。
它们指出在什么条件下，f(z)及f(z)eimz沿 上半平面的无穷大半圆周的积分为零。
22
2.大圆弧引理-第二章内容
若(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Rei, R→∞,12 )上
23
引理1 若z在上半平面及实轴上趋于∞时, zf(z)
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
y
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
高等数学四教材
高等数学四教材高等数学是大学阶段的必修课程之一，而高等数学四则是其中较为深入的一个部分。
本文将以《高等数学四》教材为主题，介绍其内容和特点。
第一章微分方程在高等数学四教材中，微分方程是一个重要的章节。
微分方程作为数学的一个分支，涵盖了广泛的应用范围，包括物理、生物、经济等领域。
本章主要介绍了一阶和二阶微分方程的基本理论、求解方法以及一些常见的应用实例。
通过学习这一章，学生可以掌握微分方程的基本概念，理解微分方程的几何和物理意义，并且能够运用所学知识解决实际问题。
第二章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学四教材的另一个重要章节。
在这一章中，学生将学习多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分等概念和理论，并运用这些知识解决实际问题。
多元函数微分学不仅与微积分密切相关，还与其他科学领域有着广泛的应用，如经济学的边际分析、物理学中的矢量场等。
通过学习这一章，学生可以进一步提高数学建模和问题求解的能力。
第三章多重积分多重积分是高等数学四教材的核心内容之一。
这一章主要介绍了二重积分和三重积分的定义、性质和计算方法，并展示了多重积分在几何、物理等领域的应用。
多重积分是求解面积、体积、质量、重心等问题的重要工具。
通过学习这一章，学生不仅可以掌握多重积分的基本概念和计算方法，还可以培养几何直观、提高空间想象力。
第四章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是高等数学四教材中的另一个重要内容。
这一章主要介绍了曲线积分和曲面积分的定义、计算方法和物理意义，并给出了一些常见的应用实例。
曲线积分与曲面积分作为向量分析的重要分支，与物理、工程等领域的应用密切相关。
通过学习这一章，学生可以进一步理解向量场的性质和行为，掌握曲线积分与曲面积分的计算方法。
第五章傅里叶级数傅里叶级数是高等数学四教材的最后一个章节。
这一章除了介绍傅里叶级数的定义、性质和计算方法外，还对傅里叶级数在物理、工程、信号处理等领域的应用作了简要介绍。
傅里叶级数作为函数展开的重要工具，可以将一个周期函数展开为正弦函数和余弦函数的和。
数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板
12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数
《数学物理方法A》教学大纲
《数学物理方法A》教学大纲（Methods of Mathematical Physics ）一.课程编号: 040422二.课程类型：必修.学时/学分: 48学时/3学分适用专业: 通信与信息类强化班先修课程: 高等数学, 线性代数, 普通物理三.课程的性质与任务：数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。
通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法, 培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。
为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
四、教学的主要内容及学时分配（一）教学的主要内容复变函数部分:1.复数与复变函数复数及其代数运算, 复数的几何表示, 复数的乘幂与方根, 复平面上的点集, 复变函数的概念, 复变函数的极限和连续性2.解析函数解析函数的概念, 函数解析的充要条件, 初等函数3.复变函数的积分复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法, Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理, Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数, 解析函数与调和函数的关系4.级.复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级.5.留数孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系, 留数的定义、留数定理、留数的计算规则, 留数在定积分计算上的应用数学物理方程部分:1.典型方程和定解条件1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。
2.分离变量法（驻波法）1）分离变量法的基本步骤；2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；3）非齐次边界条件的处理；4）施特姆-刘维尔方程的固有值问题简介。
3.达郎贝尔法（行波法）1）一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；2）非齐次波动方程的齐次化原理。
4.积分变换法1）傅立叶积分变换的概念及基本性质；2）应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；3）拉普拉斯变换的概念和基本性质；4）拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）