第六章 定积分及应用答案
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第六章 定积分及应用
一、填空题 1、
16
； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、
,43ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2
y x π
π
=-
； 15、42
2x x xe e --； 16、2
2x
x
xe
e ---；
17、x cos ； 18、
2
1； 19、π
二、选择题
1、B ；
2、B ；
3、C ；
4、C ；
5、B ；
6、C ；
7、B ；
8、D ；
9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算
1．0； 2.
45
； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5.
16ln
2
5
； 6. 42ln
3
； 7.
112
2
π
+
； 8. )1(22
+e ；
9.
2
14
-
π
; 10. 6
31π-
; 11. 12ln 2-
（二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 4
1; 4.
112
; 5. e
11-
; 6.
6
11; 7. )1ln(11-++e
（三）含变限积分的极限 1. 2; 2.
3
1; 3. 2; 4.
110
; 5.
3
1; 6. 6
1-
（四）广义积分 1.
12
π
; 2. 2ln ; 3. π
（五）平面图形面积 1.
3
32； 2.
3
64； 3.
2
9； 4.
6
7
（六）旋转体的体积 1.π5
72； 2. 5
2π
四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 3
14;
3、e 4.
)
sin ()cos 1(t t t --
5.
2
12ln t t
6.1,4==b a
7. )()(x f x F =''
8. 解x
e x x
x f +++=cos 11)(2
，
x
e x x x x
f +-+-=
'sin )
1(2)(2
2
9．解⎰⎰-=x
x
dt t tf dt t f x x F 00
)(2)()(，⎰⎰
-
=
-+=
'x
x
dt x f t f x xf x xf dt t f x F 0
)]()([)(2)()()(
因为)(x f 在),(+∞-∞内为增函数，所以，当0)(),()(0<'<>x F x f t f x 故时，；
当0)]()([)(),()(00
<--='><⎰x dt x f t f x F x f t f x 故时，；因此，在),(+∞-∞内)(x F 为减 函数。
10. 解2
2
)]()([)()()(x
dt
t f x f x
dt
t f x xf x F x
x
⎰⎰
-
=
-
=
'，)()()(t f x f x f >∴单调递增，
故0)]()([)(2
>-
=
'⎰x
dt
t f x f x F x
，所以，)(x F 在),0(+∞上连续且单调递增。
11.解 即极小值为零。
的极小值点，且为,0)0()(00
2
===∴⎰
dt te I x I x t
12． 3=a
13. （1） 0=x 为极小值点，极小值()00=F 。 （2）拐点的横坐标为2
2±=x 。
（3）()()81
16
3
23
2
4
22
12
14
------=
=
'⎰⎰
e
e
dx
e
dx x F x x
（二）．定积分等式的证明 1. 设x a b t =+- 2、证
⎰
⎰
⎰
⎰
+++
+
=
T
a T
T
a T
a a
dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(0
, 而
⎰⎰
⎰
===⎰
=
+-=+a
a
a
T
x u T
a T
dx x f du u f du T u f dx
x f 0
)()()()(
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
=
+
+
=
∴+T
x
T
a
T
a a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0
)()()()()(
3.
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
=-
=+
=
+
a
a
a
a
a a
a a
a a
a a
dx x f du u f dx x f dx x
f x
dx x f dx x
f x
x f 11
112
112
)(2)()()1
(1
)()]1
(1)([
故
⎰⎰
+
=
a
a
a a
dx x
f x
x f dx x f 121)]1
(1)([2
1)( 4、2
（三） 定积分不等式的证明. 1.
提示：1≤
≤