第六章定积分的应用63259

第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：一、 再论曲边梯形面积计算],[b a 上连续，且0)(≥x f ，底为],[b a1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x an i i =<<<<<<=- 110将区间分成),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。

于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1],[b a 具有可加性。

(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。

只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件(1) U ],[b a 有关；(2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。

2(1) 根据问题，选取一个变积分变量，并确定它的变化区间(2)dxxfU)(≈∆)dxxfdU)(=。

间，得⎰=b adx xfU)()()(bxadxxfdU≤≤=因此，也称此法为微元法。

小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）作业：作业卡第二节 平面图形的面积教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点：面积元素的选取 教学内容：一、直角坐标的情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线与与由曲线与及直线，⎰⎰⎰-=-=bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(其中：dxxgxf])()([-为面积元素。

例1 计算抛物线xy22=与直线4-=xy所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图解方程⎩⎨⎧-==422xyxy, 得交点：)2,2(-和)4,8(。

2. 选择积分变量并定区间3. 给出面积元素在20≤≤x 上，dxx dx x x dA 22])2(2[=--=在82≤≤x 上，dxx x dx x x dA )24(])4(2[-+=--=4. 列定积分表达式18213224324]24[22822232023822=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-++=⎰⎰x x x xdxx x dx x A42≤≤-ydy y y dA ]21)4([2-+= 18642)214(4232242=-+=-+=--⎰y y y dy y y A显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。

例2 求椭圆12222=+by a x 所围成的面积 )0,0(>>b a 。

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。

a x ≤≤0， 221ax b y -=dx ax b ydx dA 221-==故 dx a x b ydx A aa ⎰⎰-==0220144( * )作变量替换 t a x cos = )20(π≤≤t则 t b ax b y sin 122=-=， tdt a dx sin -=⎰-=02)sin )(sin (4πdt t a t b A( * * )ab ab dt t ab πππ=⋅-⋅==⎰2!!2!)!12(4sin 422 二、极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。

取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。

A ∆的面积可近似地用半径为)(θϕ=r ， 中心角为θd 的窄圆边扇形的面积来代替，即θθϕd A 2])([21≈∆从而得到了曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21=从而⎰=βαθθϕd A )(212例3解： 由于心脏线关于极轴对称，ππθθθθθθπθπππ2224220422022022232!!4!)!14(8cos 82cos42cos 2)cos 1(212a a tdt ad ad a d a A t =⋅-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎰⎰⎰⎰=令小结: 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积. 作业: 作业卡 P67~P68第三节 体积教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积 教学重点：体积的计算 教学难点：体积元素的选取 教学内容：一、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。

],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。

即：体积元素为[]dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为[]dx x f V ba⎰=2)(π例 1 求由曲线x hry ⋅=及直线0=x ，)0(>=h h x 和x 轴所围成的三角形绕解：取x 为积分变量，则],0[h x ∈h r dx x h r dx x h r V hh20222023πππ=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。

取定轴为x 轴， 且设该立体在过点a x =，b x =且垂直于x 轴的两个平面之内， 以)(x A 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。

取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a 。

立体中相应于],[b a 上任一小区间],[dx x x +的一薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的扁圆柱体的体积。

即：体积元素为 dx x A dV )(=于是，该立体的体积为 dx x A V ba⎰=)(例2 计算椭圆12222=+by a x解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22x a aby -=及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。

在x 处)(a x a ≤≤-222)()(x a ab x A -⋅=π 2222234)()(ab dx x a a b dx x A V aa aaππ=-==⎰⎰-- 例3 计算摆线的一拱)20()cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 以及0=y 所围成的平面图形绕y 轴旋转而生成的立体的体积。

解：dy y xdy y x V aa)()(20212022⎰⎰⋅-⋅=ππ⎰⎰--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2022sin )sin (tdt t t a336a π=请自行计算定积分 ⎰-π202sin )sin (tdt t t小结: 旋转体体积平行截面已知的立体的体积 作业: 作业卡 P69第四节 平面曲线的弧长教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长， 教学重点：平面曲线弧长的计算 教学难点：弧长元素的选取 教学内容：一、直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y 的长度取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s ∆可以用它的弧微分ds 来近似。

于是，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+=弧长为[]⎰'+=badx x f s 2)(1例1 计算曲线)(3223b x a x y ≤≤=的弧长。

解：dx x dx x ds +=+=1)(12])1()1[(32)1(321232323a b x dx x s baba+-+=+=+=⎰二、参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=的形式，从而有[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(例2解： 圆的参数方程为 )20(sin cos π≤≤⎩⎨⎧==t tr y t r xrdt dt t r t r ds =+-=22)cos ()sin (r rdt s ππ220==⎰三、极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。

曲线的参数方程为此时θ变成了参数，且弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有⎰'+=βαθd r r s 22例3解：θθθd a a ds 222)sin ()cos 1(-++=θθd a 2cos 2=ad d a d a d a s 8]cos cos [4cos 42cos22220=-+===⎰⎰⎰⎰πππππϕϕϕϕϕϕθθ小结: 平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下作业: 作业卡 P70第五节 功、水压力和引力教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：一、变力沿直线所作的功例 1 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系)(x F 为：浮F G x F -=)(其中：g r G ⋅⋅=1343π是球的重力，浮F 表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。