第六章定积分的应用例题

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CH6(1)定积分——典型例题

典型例题7
例7 求 4 lnsin 2 xdx.
解
0
令 2x t,
4
lnsin 2 xdx
1
2 lnsin tdt.
0
20
I 4 lnsin 2xdx 4 ln(2sin xcos x)dx
0
0
4 (ln 2 lnsin x lncos x)dx
0
ln 2 4 ln 2
故f f x < 0，从而F ( x) < 0, a < < x.
F x < F a 0 x a,b
F b < 0即得证.
THANK YOU
2 0
sin
sin x
x cos
x
dx,
J
2 0
sin
cos x
x cos
x
dx,
I J
2
dx
,
0
2
I J
2 0
sin sin
x x
cos cos
x x
dx
2
d(cos
x
sin
x
)
0 sin x cos x
0.
故得 2I , 2
即
I
.
4
典型例题
典型例题6
例6 求 ln2 1 e2 x dx. 0
x 0 ln 2
解令 ex sin t,
t
x lnsin t , dx cos t dt .
2
6
sin t
原式
6 2
cos
t(
cos t sin t
)dt
2 6
cos2 t sin t
dt

ch6定积分及其应用——定积分应用典型例题

第六章定积分及其应用定积分应用习题课典型例题典型例题1例1 由 1. 求其所围成的图形的面积.⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===40cos ,sin ,0πx x y x y x 所围的平面图形如图所示0xy 14πxy sin =xy cos =2. 它绕x 轴旋转而成的旋转体体积解()4cos sin d A x x x π=-⎰[]12cos sin 40-=+=πx x 1. 2. ()4220cos sin d V x x xππ=-⎰4cos2d x xππ=⎰22sin 240πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 0xy 14πxy sin =xy cos =典型例题典型例题2例2 求抛物线21x y -=在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解设抛物线上切点为)1,(2x x M -则该点处的切线方程为)(2)1(2x X x x Y --=--它与 x , y 轴的交点分别为,)0,(212xx A +)1,0(2+x B 所指面积=)(x S 22(1)122x x+12(1)d x x--⎰22(1)243x x+=-oxyM1B 1A=')(x S )13()1(22412-⋅+x x x ,33<x 0)(<'x S ,33>x 0)(>'x S 且为最小点 .故所求切线为3433Y X =-+,0)(='x S 令得[ 0 , 1] 上的唯一驻点33=x ,]1,0[)(33上的唯一极小点在是因此x S x =oxyM1B 1A典型例题典型例题3例3 设非负函数()[0,1]f x 在上满足()()x f x f x '=曲线)(x f y =与直线1=x 及坐标轴所围图形(1) 求函数;)(x f (2) a 为何值时，所围图形绕 x 轴一周所得旋转体体积最小？解 (1)时，当0≠x 由方程得a xx f x f x 23)()(2=-'[]a x x f 23)(=',223x a +面积为 2 ,即xC x a x f +=223)(故得又⎰=10d )(2x x f ()x x C x a d 23210+=⎰22Ca +=a C -=4xa x a x f )4(23)(2-+=(2) 旋转体体积V x x f d )(102⎰=π()1610132++=a a π(),01513=+='a V π令5-=a 得又V ''5-=a ,015>=π5-=∴a 为唯一极小点,因此5-=a 时 V 取最小值 .x o y 1典型例题典型例题4轴所围图及表示x t x x f y t V )0(,)()(>==例4 设)(x f y =在 x ≥0 时为连续的非负函数, 且,0)0(=f 形绕直线 x ＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:.)(2)(t f t V π=''x)(x f xoyt证利用柱壳法xx f x t V d )()(2d -=π则xx f x t t V td )()(2)(0-=⎰πx x f t t d )(20⎰=πx x f x td )(20⎰-πx x f t V t d )(2)(0⎰='π)(2t f t π+)(2t f t π-()2().V t f t π''=故典型例题典型例题5例5 求曲线132--=x y 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y ＝3 旋转所得旋转体的体积.故旋转体体积为=V 432⋅⋅πx x d )]2(3[2122⎰+--π1222221362(1)d 2(1)d x x x xπππ=----⎰⎰222=362(1)d x xππ--⎰448.15π=解利用对称性 ,⎩⎨⎧=y 10≤≤x ,22+x 21≤<x ,42x -在第一象限 xx d )]4(3[22122⎰---πo xy A 123BC典型例题典型例题6)d 5(d x u =故所求旋转体体积为x x xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA)d 5(d x u =故所求旋转体体积为xx xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA典型例题典型例题7解方法一)()()()1(x C x R x L '-'='边际利润xx x L 02.018202.020)(-=--='故得9000)(=='x x L 得驻点令()0.020L x ''=-<又.900件时，总利润最大当产量为∴9500(2)(90050)(180.02)d 8075()L x x +=-=⎰元.807550900元件，总利润为件又多生产即从8000(3)(800)(180.02)d 8000()L x x =-=⎰元.8000800元件时的总利润为即生产方法二(0)0C =Q 固定成本为x x C 2)(=∴2(0)200.01R x x=+-(0)0R =Q 201.020)(x x x R -=∴总利润函数为∴xx x x C x R x L 201.020)()()(2--=-=201.018)(x x x L -=即2()(0)2d (0)2C x C x C x =+=+⎰先求总成本函数0()(0)(200.02)d x R x R x x =+-⎰总收入为9000)(=='x x L 解得令()0.020L x ''=-<Q 件时，总利润最大．当产量为900∴)(807595001.095018)50900()2(2元=⨯-⨯=+L 元．总利润为件时，件多生产即从产量为807550900)(800080001.080018)800()3(2元=⨯-⨯=L 元．件时的总利润为即生产8000800201.018)()1(xx x L -='典型例题典型例题8例8某企业购置一台设备需购置成本1000元，在10年中每年收益为200元，若连续利率为5%，假设购置的设备在10年后完全失去价值，求价值的资本价值．100.050200d 1000t v e t -=-⎰0.0510200(1)10000.05e -⨯=--)(88.573元≈元．即收益的资本价值为88.573是有限的，为而资本价值仍若收益流量是无限期的,0.05200lim[(1)1000]0.0520010003000().0.5t t v e -→+∞=--=-=元解THANK YOU。

最新06第六节定积分的几何应用

06第六节定积分的几何应用第六节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★直角坐标情形★例1★例2★例3★例4★参数方程情形★例5★极坐标情形★例6★例7★例8★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9★例 10★例 11 ★例 12★例 13★平行截面面积为已知的立体的体积★例 14 ★例 15★内容小结★课堂练习★习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量«Skip Record If...»（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如«Skip Record If...»为积分变量，并确定它的变化区间«Skip Record If...»，任取«Skip Record If...»的一个区间微元«Skip Record If...»，求出相应于这个区间微元上部分量«Skip Record If...»的近似值，即求出所求总量«Skip Record If...»的微元«Skip Record If...»；(2) 由微元写出积分根据«Skip Record If...»写出表示总量«Skip Record If...»的定积分«Skip Record If...»微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量«Skip Record If...»关于区间«Skip Record If...»应具有可加性，即如果把区间«Skip Record If...»分成许多部分区间, 则«Skip Record If...»相应地分成许多部分量, 而«Skip Record If...»等于所有部分量«Skip Record If...»之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量«Skip Record If...»的近似表达式«Skip Record If...»，即使得«Skip Record If...». 在通常情况下，要检验«Skip Record If...»是否为«Skip Record If...»的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意«Skip Record If...»的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 «Skip Record If...»所求曲边扇形的面积 «Skip Record If...»三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 «Skip Record If...»所求旋转体的体积 «Skip Record If...»四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 «Skip Record If...»所求立体的体积 «Skip Record If...»例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元: «Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2（E02）求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»所围成的面积.解如图,并由方程组«Skip Record If...»解得它们的交点为«Skip Record If...»选«Skip Record If...»为积分变量, 则«Skip Record If...»的变化范围是«Skip Record If...»任取其上的一个区间微元«Skip Record If...»则可得到相应面积微元«Skip Record If...»从而所求面积«Skip Record If...»例3（E03）求由«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4计算由曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的图形的面积.解面积微元:(1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5求椭圆«Skip Record If...»所围成的面积.解椭圆面积: «Skip Record If...»面积微元: «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6（E04）求双纽线«Skip Record If...»所围平面图形的面积.解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例7（E05）求心形线«Skip Record If...»所围平面图形的面积«Skip Record If...»解面积微元:«Skip Record If...»所求面积:«Skip Record If...»例8求出«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的图形的公共部分的面积（其中«Skip Record If...»）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»上. 令«Skip Record If...»代入方程«Skip Record If...»得其极坐标方程为«Skip Record If...»于是所求面积可表示为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9（E06）连接坐标原点«Skip Record If...»及点«Skip Record If...»的直线、直线«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴围成一个直角三角形. 将它绕«Skip Record If...»轴旋转构成一个底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的圆锥体, 计算圆锥体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例10（E07）计算由椭圆«Skip Record If...»围成的平面图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的图形绕«Skip Record If...»轴旋转而成的立体 .取«Skip Record If...»为自变量，其变化区间为«Skip Record If...»任取其上一区间微元«Skip Record If...»相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为«Skip Record If...»高为«Skip Record If...»的扁圆柱体的体积，即体积微元«Skip Record If...»故所求旋转椭球体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»特别地，当«Skip Record If...»时，可得半径为«Skip Record If...»的球体的体积«Skip Record If...»例11求星行线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋构成旋转体的体积.解体积微元 :«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12计算由连续曲线«Skip Record If...»、直线«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成的曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:«Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»例13（E08）求由曲线«Skip Record If...» «Skip Record If...»所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图,并由方程组«Skip Record If...»解得交点为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»于是,所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»所求绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积«Skip Record If...»例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角«Skip Record If...»（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:«Skip Record If...»体积微元: «Skip Record If...»所求体积:«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15求以半径为«Skip Record If...»的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为«Skip Record If...»的正劈锥体的体积.解取底圆所在的平面为«Skip Record If...»平面，圆心«Skip Record If...»为原点,并使«Skip Record If...»轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 «Skip Record If...»过«Skip Record If...»轴上的点«Skip Record If...»作垂直于«Skip Record If...»轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为«Skip Record If...»于是所求正劈锥体的体积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围成的平面图形的面积.3.求由抛物线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»围成的图形,绕«Skip Record If...»轴旋转而成的旋转体的体积.。

第六章定积分的应用

d
0
2
2a
2
cos
2
2
0
2 a2(1 cos )2 a2 sin2 d 8a 0
24
四、变力沿直线段作功
恒力作功：W F s
设有一变力F(x)随位移x而变，求它把物体由 a 移动到 b 所作
的功。 F(x)
•
••
Oa
bX
取 x为积分变量，它的变化区间为[a, b]，
于是变力F x所做的功为：
20
解建立直角坐标系如图。
－R
则底圆的方程为：x2 y2 R2
过任意点 x R, R作垂直于 x 轴的
O
Y
截面，截面为一直角三角形，
x x2 y2 R2
它的两条直角边的长分别为 R2 x2 及
RX
R2 x2 tan , 因而截面积为 A( x) 1 (R2 x2 )tan
一、直角坐标系下平面图形的面积
y
1. 由 y f ( x) 0 ,
y f (x)
x a, x b, y 0
所围成的曲边梯形的面积为：
b
A a f ( x) dx
2. 由上、下两曲线 y 1x,
y 2x及 x a , x b
所围成的图形面积为：
o xa
y
xb x
y 2x
y 1x
x
1 x
dx
x2 2
ln
2 x
1
3 2
ln
2
2. y e x , y e x 与直线x 1.
解如图所示, 所求面积为
A 1 e x e x dx 0
ex ex
1 0
e e1 2
y x
1,1

定积分及其应用

①.若a=b, 则
b
f (x)dx 0.
a
②.若a>b, 则
b
a
f(x)dx f(x)dx.
a
b
从而可消除对定积分上下限的大小限制.
四.定积分的几何意义
由定义1知, 当连续函数
f (x) 0 且a<b时, 定积分
b f ( x ) d x 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积; a
当 f (x) 0, 且 a < b时,
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH
y
y=ƒ(x)
A
C
B
Δy {
DH
的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
oa
EF
x x+Δx b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并在每一
就有定积分的定义:
定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间
[ xi1 , xi ]
的长度为 xi xi xi1(i1,2, ,n),在每个小区间 [ xi1 , xi ]
n
个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边

第六章定积分的应用经典例题

第六章定积分的应用例8 求出12222≤+by ax 和12222≤+ay bx 的图形的公共部分的面积（其中0>>b a ）.解如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段OA 在直线x y =上. 令,sin ,cos θθr y r x ==代入方程12222=+ay bx得其极坐标方程为θθ2222222sin cos b a ba r +=于是所求面积可表示为 θθθθθππd b a ba d r S ⎰⎰+=⨯=422222242sin cos 4)(218.tan4tan arctan 14422ab abacr a b ab b a =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=πθ例2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为kxk y cosh =, 其中k 为常数. 计算悬链线上介于b x -=与b x =之间一段弧的长度.解如图，由于对称性，要计算弧长为相应于x 从0到b 的一段曲线弧长的两倍.,c x y sh='弧长微元: dx cx ds 2sh 1+=.dx cx ch=故所求弧长为⎰=bc xc s 0ch 2boc x c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=sh 2.c b c sh 2=例6 证明正弦线)20(sin π≤≤=x x a y 的弧长等于椭圆 )20(sin 1cos 2π≤≤⎩⎨⎧+==t ta y t x 的周长. 证设正弦线的弧长为,1s 则dx y s ⎰'+=π20211dx x a ⎰+=π2022cos1,dx x a ⎰+=π22cos12设椭圆的周长为,2s 则dt y x s t t ⎰'+'=π20222)()(dt t a t ⎰++=π222))(cos 1()(sin 2（利用椭圆的对称性）dt t a ⎰+=π22cos 12dx x a ⎰+=π22cos12,1s =故原结论成立.例7 求极坐标系下曲线)30,0(3sin 3πθθ≤≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a r 的长.解313c o s 3s i n 32⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='θθa r ,3c o s 3s i n 2θθ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=aθθθβαd r r s ⎰'+=∴)()(22θθθθπd a a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=30242623cos 3sin 3sin θθπd a⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=3023sin.a π23=。

定积分及其应用习题章节-资料

积分中值公式
嘉兴学院
12/3/2019
第六章定积分
第11页
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数是 (x)ddxax f(t)dt f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如果f(x) 在 [a,b] 上
x
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第六章定积分
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x)
oa
x xdx b
x
VabA(x)dx
第20页
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第六章定积分
第21页
(3) 平面曲线的弧长
y
A．曲线弧为 yf(x)
弧长
b
sa
1y2dx
dy
B．曲线弧为

x y

b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
嘉兴学院
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第六章定积分
第9页
性质4
b
b
a1d x ad x ba
性质5 如果在区间 [ a ,b ] 上 f ( x ) 0 ，
则 a bf(x )d x 0 (ab )
推论：（1）如果在区间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
嘉兴学院
12/3/2019
第六章定积分
第8页
4、定积分的性质
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) dx 性质2 a b k(x f ) d x k a b f(x ) dx k (为常数 )

第6章定积分的应用习题集及答案

第六章习题定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ）（A ）⎰ba xdx ln ln ln ；（B ）⎰be a e xdx e ；（C ）⎰ba ydy e ln ln ；（D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ；（B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ；（C ）⎰-e x x dx x e e 1)(；（D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ；（B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(；（C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(；（D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ；（B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ；（D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为（ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。

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1.求原点与区间[-4,3]上所有点的平均距离。

2.设有一个正椭圆柱体，其底面的长短轴为a，b。

用过此柱体的底面的短轴且与底面成α角
（0<α<π/2）的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积。

3.一立体底面由y2=2x与x=2围成，用垂直于x轴的平面截该立体，截面为等边三角形，
求该立体的体积。

4.求A(1,0,0)，B(0,1,1)的连线绕Z轴旋转一周，所得旋转曲面与z=0，z=1围成立体的体积。

5. 求摆线{y =a(1−cos t)x =a(1−sin t)
(0≤t ≤2π,a >0)与x 轴围成图形的面积，并求该圆形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。

6. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗
自身重量400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重为2000N ，提升速度3m/s ，在此过程中，污泥以20N/S 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起的污泥的抓斗提升至井口。

问克服重力需作多少功？（不计抓斗高度及位于井口以上的缆绳）
7. 半径为R 的半球形容器内盛满水，问将水全部吸出需要作多少功？当所作功为总功的一
半时问水面下降多少？
8.将半径为R的密度为常数ρ(ρ≥1)的球沉入水中，顶点与水面相接，假设水面不下降，
求将球从水中取出需作多少功？
9.一椭圆形薄板，其长短半轴分别为a,b将其一半铅直地浸入水中，其短轴与水面相齐，
求水对薄板每面的压力？
10.线密度为常数ρ的细线，其中垂线距离为a处有一质量为m的质点，细线长为2l，求细
线对质点的引力。