线性规划常见题型大全
绝密★启用前
2014-2015学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）
1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥??
≥??+≤?
，则z ＝4x ＋y 的最大值为( )
A 、10
B 、8
C 、2
D 、0 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8
考点：线性规划.
2．若不等式组0220
x y x y y x y a -≥??+≤?
?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值围是（ ）
A.43a ≥
B.01a <≤
C.413
a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥
【答案】D
【解析】根据
22
x y
x y
y
-≥
?
?+≤
?
?
≥
?
??
画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a
+=斜率为1
-，纵截距为a，
自直线x y a
+=经过原点起，向上平移，当01
a
<≤时，
22
x y
x y
y
x y a
-≥
?
?+≤
?
?
≥
?
?+≤
?
表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当
4
1
3
a
<<时，
22
x y
x y
y
x y a
-≥
?
?+≤
?
?
≥
?
?+≤
?
表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当
4
3
a≥时，
22
x y
x y
y
x y a
-≥
?
?+≤
?
?
≥
?
?+≤
?
表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.
图1 图2 图3
考点：平面区域与简单线性规划.
3．已知变量x,y满足约束条件
20
1
70
x y
x
x y
-+≤,
?
?
≥,
?
?+-≤,
?
则
y
x的取值围是( )
A．
9[6]
5
, B．9
(][6)
5
-∞,?,+∞ C．(3][6)
-∞,?,+∞ D．(3,6] 【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域，
y
x
可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（
59
,
22
），（1,6）则可知k＝
y
x的围是
9[6]
5
,.
4．（5分）（2011?）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=?的最大值为（）
A.3
B.4
C.3
D.4
【答案】B
【解析】
试题分析：首先做出可行域，将z=?的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．
解：首先做出可行域，如图所示：
z=?=，即y=﹣x+z
做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选B
点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．
5．已知不等式组
20
20
20
x y
x
ax y
+-
?
?
-
?
?-+
?
≥
≤
≥
表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（）﹙A﹚1
-（B）
5
2
﹙C﹚2（D）
1
2
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1
a>-，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积
1
(22)23
2
S a
=?+?=，解得
1
2
a=，故选D.
考点：1.线性规划求参数的取值.
6．设x ，y 满足约束条件，若z=的最小值为，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 ∵=1+
而表示点(x ，y)与点(－1，－1)连线的斜率．
由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a ，0)的连线斜率最小，
即==a=1
7．已知实数x ，y 满足条件22(3)(2)110
x y x y ?-+-≤?--≥?，则2y
z x =-的最小值为（ ）
A ．32+
B ．22．34 D ．43
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图
可行区域为上图中的靠近x 轴一侧的半圆，目标函数0
22
y y z x x -=
=
--，所表示在可行区域取一点到点（2,0）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0）作半圆的切线，切线的斜率2
y
z x =
-的最小值，设切线方程为y=k （x-2），则A 到切线的距离为1，故2
2
3141k k k -=
?=+.
考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.
8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于
1
2
的概率是( ) （A ）
916 （B ）34 （C ）1516 （D ）1532 【答案】C 【解析】
试题分析：设这两个数为：,x y ，则0202
x y ≤≤??
≤≤?.若两数中较大的数大于1
2，则还应满
足：12x >或12y >（只需排除121
2x y ?
≤????≤??
）
，作出以上不等式组表示的区域，由几何概型
的概率公式得1
15
41416
p =-=.选C.
考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题（题型注释）
9．若实数x，y满足线性约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
?
?
?
≤≤
??
，则z=2x y
+的最大值为________．
【答案】5.
【解析】
试题分析：作出不等式组
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
?
?
?
≤≤
??
表示的平面区域，即可行域，则可知直线0
3=
-
+y
x与直线x
y
2
1
=的交点)1,2(
M，作直线l：0
2=
+y
x，平移直线l，可知当2
=
x，1
=
y时，5
1
2
2
max
=
+
?
=
z.
考点：线性规划.
10．已知变量,x y满足约束条件
23110,
480,
20,
x y
x y
x y
+-≤
?
?
+-≥
?
?-+≥
?
若目标函数()0
z x ay a
=->的最大
值
为1，则a= .
【答案】3
【解析】
试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以141
a
=-?，所以3
a=.
考点：线性规划.
11．设z=kx+y，其中实数x，y满足
20
240
240
x y
x y
x y
+-≥
?
?
-+≥
?
?--≤
?
若z的最大值为12，则实数k= ．
作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)
过原点作出直线kx+y=0
k=0时，y=0，目标函数z=y 在点A 处取得最大值4，与题意不符
②102k <-≤
即1
02
k -≤<时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，目标函数z=kx+y 在点A 处取得最大值，即，此时k=2与1
02
k -≤<不符;
③－k>12即k<－1
2
时，直线kx+y=0即y=－kx 经过一、三象限，平移直线y=－kx 可知，
目标函数z=kx+y 在点B 处取得最大值，即max 022z =+=，此式不成立
④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx 经过二、四象限，平移直线y=－kx 可知，目标函数z=kx+y 在点A 处取得最大值，即max 4412z k =+=，此时k=2与k>0相符，所以k=2
12．点(,)M x y 是不等式组03
33x y x ?≤≤?
≤??
≤?表示的平面区域Ω的一动点，且不等式
20x y m -+≥总成立，则m 的取值围是________________.
【答案】3m ≥ 【解析】
试题分析：将不等式化为2m y x ≥-，只需求出2y x -的最大值即可，令2z y x =-，
就是满足不等式0333x y x ?≤≤?
≤??
≤?的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在()0,3处z
取最大值3，则m 取值围是3m ≥.
考点：简单的线性规划和转化思想.
13．设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x x y -=??
?
??-≥≤+≥则的最大值为.
【答案】8