小学数学六年级《容斥原理》练习题

容斥原理

当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分。

【知识要点】

原理1 设有n 件事物，其中n 1件具有性质1，n 2件具有性质2；n 1.2件同时具有n 1和n 2的性质，则n 件事物中具有性质1和性质2的事物共有： n 1＋n 2＋n 1.2

既不具有性质1又不具有性质2的事物共有：

n －n 1－n 2＋n 1.2

原理2 设有n 件事物，其中n 1件具有性质1，n 2件具有性质2，n 3件具有性质3；n 1.2件具有性质1和1，n 1.3件具有性质1和3，n 2.3件具有性质2和3，n 1.2.3件具有性质1、2、3。那么n 件事物中，至少含有性质1、2、3中任意一个性质的事物有：

n ＋n 2＋n 3－n 1,2－n 2,3－n 1,3＋n 1,2,3

既不具有性质1、性质2，也不具有性质3的事物共有： n －n 1－n 2－n 3＋n 1,2＋n 2,3＋n 1,3－n 1,2,3

【例题选讲】

例1．六（一）班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，两样都不会的有多少人？

例2．求在1~~100的自然数中不是3的倍数，也不是4的倍数的数有多少个？

例3． 以108为分母的最简真分数共有多少个？和是多少？

例4．一次数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？

例5．一次数学练习，甲答错题目总数的9

1，乙答对7道题，两人都答对的题目是题目总数的6

1。问甲至少答对多少道题？

【课内练习】

1．某校有学生960人，其中510人订阅《中国少年报》，330人订阅《少年文艺》，120人订阅《中小学数学教学报》，其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅三种报刊。问这个学校中没有订阅任何报刊的学生多少人？

2．求在1~~100的自然数中不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？

3．求在1~~300的自然数中不是3的倍数，不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？

4．分母是1001的最简真分数有多少个？和是多少？

5．在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的4

1，乙答错了3道，甲、乙都错的题占题目总数的6

1。求甲、乙都答对的题目数。

6． 100个学生只有一人没学过外语，学过英语有的39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学会俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？

7． 48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，这48人中独生子女有几人？

8．某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？

9．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这100本书中有甲、乙、丙签名的图书分别为33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。问：这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙任何一人借阅过？

【例题选讲】

例1．六（一）班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，两样都不会的有多少人？

解：46-(17+14-4)=19(人 )

例2．有三个面积各为30平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米（如图），三个圆共盖住多大面积？

解：30×3-5-6-8+3=74

例3．五环图中每一个环内半径为4厘米。其中两两相交的小122.5平方厘米，求每个小曲四边形的面积。

解：[3.14×（52-42）×5-122.5]÷8=2.35

例4．一次数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？

解： 18-（25-10）=3（人）

例5．一次数学练习，甲答错题目总数的9

1，乙答对7道题，两人都答对的题目是题目总数的6

1。问甲至少答对多少道题？ 解：总题数应是18的倍数，（1）如果共18道题，两人共对

（2）如果是36题，则甲对36×329

8 题 经验证符合题意 【课内练习】

1．求在1~~100的自然数中不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？

解： 33010061005100=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 100-3=67 2．某校有学生960人，其中510人订阅《中国少年报》，330人订阅《少年文艺》，120人订阅《中小学数学教学报》，其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅三种报刊。问这个学校中没有订阅任何报刊的学生多少人？

解：960-（510+330+120-270+58）=212（人）

3．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这100本书中有甲、乙、丙签名的图书分别为33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。问：这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙任何一人借阅过？ 解：100-（33+44+55-29-25-36）+25=33（本）

4．分母是1001的最简真分数有多少个？ 解：726100110011431001911001771001131001111001710011001=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+---++-

5．在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的

41，乙答错了3道，甲、乙都错的题占题目总数的6

1。求甲、乙都答对的题目数。 解：总题数应是12的倍数。如果共12道题，甲错12×34

1= 乙错3 共12-（3+3-2）=8

6．以105为分母的最简真分数共有多少个？ 解：48105105351052110515105710551053105105=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+---++-

7．100个学生只有一人没学过外语，学过英语有的39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学会俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？ 解：100-1-（39-49+41-14-13-9）=6（人）

8．48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，这48人中独生子女有几人？

解：

48

9．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

解：48-[（48-27）+（48-33）+（48-40）]=4（人）

有弟弟10人 无弟弟38人 有妹妹2人 无妹妹8人 有妹妹4人 无妹妹34人