2020-2021高中必修一数学上期末试题带答案(5)
2020-2021学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．8.（填空题，5分）已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值为___ ．9.（填空题，5分）已知log35= 1a，5b=7，则用a、b的代数式表示log63105=___ ．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={2−|x|，x≤2(x−2)2，x＞2，函数g（x）=b-f（2-x），如果y=f（x）-g（x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是___ ．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|x2的大致图象为（）A.B.C.D.14.（单选题，5分）若函数f(x)=x2+a−1e x是偶函数，则实数a的值是（）A.-1B.0C.1D.不唯一15.（单选题，5分）已知cos170°=m，则tan10°的值为（）A. √1−m2mB. −√1−m 2mC. √1−m 2D. √1−m 216.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]；③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ．其中正确结论的序号是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ③ ④17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值； （2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x (a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式；（2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+x k．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.（问答题，16分）已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求y=log22f(x)−log12 [2f（x）]，x∈[12，2]的最值，并求出取得最值时的x取值．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2020]【解析】：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：2021-x≥1，解得：x≤2020，故答案为：（-∞，2020]．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，2）【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=x 12}={x|x≥0}，B={x|e x-2＜1}={x|x＜2}，∴A∩B=[0，2）．故答案为：[0，2）．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−∞，−√2)∪(√2，+∞)【解析】：根据指数函数的单调性即可得出：a2-1＞1，然后解出a的范围即可．【解答】：解：∵f（x）在（-∞，+∞）严格增函数，∴a2-1＞1，解得a＜−√2或a＞√2，∴a的取值范围是(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．故答案为：(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．【点评】：本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，12]【解析】：利用复合函数的单调性，转化求解即可．【解答】：解：因为y= (12)x是减函数，y=x2-x-2在(−∞，12]是减函数，所以函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为：(−∞，12]．故答案为：(−∞，12]．【点评】：本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．【正确答案】：[1] (−3，32)【解析】：直接利用指数的性质a0=1求解即可．【解答】：解：因为当x=-3式时，f（x）= a0+12=32，所以函数f（x）必过定点(−3，32)．故答案为：(−3，32)．【点评】：本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质a0=1，属于基础题．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．【正确答案】：[1]70【解析】：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，推得四边形AEFB为矩形，可得EF=AB，再由解直角三角形可得CE=DF，即可得到所求最大值．【解答】：解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，因为AB || EF，AE || BF，所以四边形AEFB为平行四边形，又因为∠AEF=90°，可得四边形AEFB为矩形，所以EF=AB=16，因为AE || PC，可得∠PCA=∠CAE=30°，×54=27，所以CE=ACsin30°= 12同理可得DF=27，所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：CD=CE+EF+FD=27+16+27=70（cm），故答案为：70．【点评】：本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．【正确答案】：[1] f−1(x)=−√x(x≥0)【解析】：由y=f （x ）反解出x ，然后求出原函数的值域即为反函数的定义域，再得到y=f （x ）的反函数．【解答】：解：因为y=x 2（x≤0），所以x=- √y ，又因原函数的值域是{y|y≥0}，所以已知函数f （x ）=x 2（x≤0），则y=f （x ）的反函数为 f −1(x )=−√x (x ≥0) ．故答案为： f −1(x )=−√x (x ≥0) ．【点评】：本题主要考查反函数的求解，解题中一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域，同时考查了学生的计算能力，属于基础题．8.（填空题，5分）已知a 、b 都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：直接利用均值不等式求解【解答】：解：∵（a+1）（b+2）=16，∴（a+1）+（b+2） ≥2√( a +1)(b +2) =2× √16 =8，（当且仅当a+1=b+2，即a=3，b=2时取等号）∴a+b≥5，则a+b 的最小值为5，故答案为：5．【点评】：本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知log 35= 1a ，5b =7，则用a 、b 的代数式表示log 63105=___ ．【正确答案】：[1] b+a+1b+2a【解析】：由换底公式可得出 log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) ，然后进行对数的运算即可．【解答】：解：∵ log 35=1a ，5b =7 ，∴ log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) = log 35+log 35b +1log 35b +2 = 1a +b a +1b a +2 = b+a+1b+2a ． 故答案为： b+a+1b+2a ．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：利用对数函数的性质，判断a，b是大小，得到关系式，然后求解a+2b的取值范围．【解答】：解：|lga|=|lgb|，a＜b时，|lga|=|lgb|，lga+lgb=0=lg（ab），∴ab=1，a，b＞0，所以a+3b=a+ 3 a ，令f（a）=a+ 3a，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+ 31=4，即a+3b的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了函数与方程的应用、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用点B在函数f（x）上，得到p和q的关系式，再利用对数式与指数式的互化即可得到答案．【解答】：解：根据题意，因为点B（p，q）在函数f（x）=log24x上，又f（x）=2+log2x，所以2+log2p=q，所以p=2q-2，即4p=2q ，所以 2q p 的值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，涉及了指数与对数的运算，解题的关键是将点B 代入f （x ）得到p 和q 的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=b-f （2-x ），如果y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，则实数b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] {74}∪(2，+∞)【解析】：根据f （x ）的解析式，先求出f （2-x ）的解析式，进而求得y=f （x ）+f （2-x ）的解析式，然后将问题转化为函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，作出两个函数的图象，根据图象分析求解即可．【解答】：解：函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2， 则函数 f (2−x )={2−|2−x |，x ≥0x 2，x ＜0 ， 故函数 y =f (x )+f (2−x )={2−|x |+x 2，x ＜02−|x |+2−|2−x |，0≤x ≤2(x −2)2+2−|2−x |，x ＞2，即 y =f (x )+f (2−x )={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，因为函数g （x ）=b-f （2-x ），且y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，等价于f （x ）+f （2-x ）=b 恰有两个根，即函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，因为 y =x 2+x +2=(x +12)2+74 且 y =x 2−5x +8=(x −52)2+74 ， 所以函数y=f （x ）+f （2-x ）的最低点的纵坐标为 74 ，作出函数y=f （x ）+f （2-x ）和y=b 的图象如图所示，由图象可知，当b= 74 或b ＞2时，两个函数图象有两个交点，即y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，}∪(2，+∞)．所以实数b的取值范围是{74}∪(2，+∞)．故答案为：{74【点评】：本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数一般选用分类讨论或是数形结合的方法进行研究，而对于函数零点问题，则一般会转化为两个函数图象的交点进行处理，解题的关键是作出函数y=f（x）+f（2-x）的图象，属于中档题．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|的大致图象为（）x2A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．【解答】：解：∵f （-x ）= lg|x|x 2=f （x ），且定义域关于原点对称， ∴函数f （x ）为偶函数，即函数f （x ）的图象关于y 轴对称，故排除A ，B当x ＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x ＜1时，函数y=lg|x|为减函数， 当x ＞0，函数y= 1x 2 为减函数，故函数f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数， 故图象为先增后减，故排除C ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．14.（单选题，5分）若函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数，则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.不唯一 【正确答案】：C【解析】：根据题意，由偶函数的定义可得f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ，变形可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数， 则f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ， 变形可得：（a-1）（e x -e -x ）=0恒成立，必有a=1， 故选：C ．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 15.（单选题，5分）已知cos170°=m ，则tan10°的值为（ ） A.√1−m 2m B. −√1−m 2mC.√1−m 2D. √1−m 2【正确答案】：B【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin170°= √1−m 2 ，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】：解：因为cos170°=m ， 所以sin170°= √1−m 2 ， 则tan10°= sin10°cos10° = sin170°−cos170° = √1−m 2−m =- √1−m 2m． 故选：B ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]； ③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ． 其中正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：先研究函数的性质，求出函数值为±1时对应x 的值，再根据函数的单调性对四个结论进行判断，找出使得值域是[-1，1]结论，即可得出答案．【解答】：解： y =log 12(1−x ) 是增函数，且当x=-1时，y=-1，x= 12时，y=1，y=22-|x-1|-3= {23−x −3，x ≥12x+1−3，x ＜1 ，当x=1时，y=1，x=2时，y=-1，x=0时，y=-1，且当x ＜1时，函数y=22-|x-1|-3是增函数，x ＞1时，函数y=22-|x-1|-3是减函数，当n=0时，最大值1必在x ＞n 时取到，即m 的值必须保证自变量x 可以取到1，故m≥1，故 m ∈(12，2] 错误， ① 不正确；② 当 n ∈[0，12) 时，此范围中n=0存在，故此时m≥1，故m∈（n ，2]错误， ② 不正确； ③ 由 ① 知，当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]，故 ③ 正确；④ 当 n =12 时，此时 y =log 12(1−12) =1，此时在-1≤x≤n 时，-1≤y≤1，故此时 m ∈(12，2] ，可保证函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，故 ④ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断与应用，分段函数的性质，本题综合性强，思维量大，研究清楚函数的性质是解答的关键． 17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值；（2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简可得f （α）=-tanα，根据特殊角的三角函数值即可求解．（2）根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：（1）因为 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) = − cosα(−tanα)−cotαsinα=-tanα， 所以 f (π3) =-tan π3 =- √3 ；（2）因为 tanθ=12 ， 所以sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ= sin 2θ+sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ = tan 2θ+tanθ−1tan 2θ+1 = 14+12−114+1= −15 ．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式； （2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+xk．【正确答案】：【解析】：（1）根据奇函数在x=0处有意义可得f （0）=0，然后求出a 的值，再求出f （x ）的反函数；（2）根据对数函数的单调性建立不等关系，分0＜k ＜2和k≥2两种情况，解不等式即可．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．所以f （0）=a−12=0 ，解得a=1，设y=f （x ）=e x −11+e x，则 e x =1+y1−y，所以 x =ln (1+y1−y) ， 所以函数f （x ）的反函数 f −1(x )=ln 1+x1−x ，x∈（-1，1）； （2）由 f −1(x )＞ln 1+x k ，可得 ln 1+x 1−x ＞ln 1+xk，x∈（-1，1）， 则1+x 1−x ＞1+x k ，所以 11−x ＞1k且k ＞0，所以1-x ＜k ，所以x ＞1-k ，① 若-1＜1-k ＜1，即0＜k ＜2，则原不等式的解集为（1-k ，1）， ② 若1-k≤-1，即k≥2，则原不等式的解集为（-1，1）．【点评】：本题主要考查反函数的求解，利用函数的奇偶性求参数值和对数不等式的解法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用二次函数求最值即可；（2）分段求出满足S≥80的t 的范围，取并集求得学生的学习效果最佳时间，再与20比较即可得出结论．【解答】：解：（1）当0＜t≤13时，S= −14t 2+6t +46 ， ∴当t=-62×(−14)=12时，S 的值最大，最大值为82；（2）当0＜t≤13时，令S=- 14 t 2+6t+46＞80，解得12-2 √2 ＜t ＜12+2 √2 ， ∴t∈（12-2 √2 ，13]，当13＜t≤40时，令83-log 3（t-5）＞80，解得5＜t ＜32，∴t∈（13，32）， ∴t∈（12-2 √2 ，32），∵32-（12-2 √2 ）=20+2 √2 ＞20，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】：本题主要考查了函数的实际运用，考查分段函数最值的求法与不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，16分）已知幂函数 f (x )=x −2m 2+m+3(m ∈Z ) 是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m 的值，并确定f （x ）的解析式；（2）求 y =log 22f (x )−log 12[2f （x ）]， x ∈[12，2] 的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，由此求得m的值．（2）令log2f（x）=t= log2x3，则t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，再利用二次函数的性质，求出它的最值．【解答】：解：（1）∵幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数，∴-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，求得-1＜m＜32，且-2m2+m+3 为奇数．∴m=0，f（x）=x3．（2）令log2f（x）= log2x3 =t，则log12f(x) = log21f(x)=-log2f（x）=-t，y=t2+t+1．∵ x∈[12，2]，∴t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，故当t=- 12时，此时，x= 2−16，函数y取得最小值为34，当t=3时，即x=2时，函数y取得最大值为 13．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，对数函数的性质应用，属于中档题．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）=2x（x∈R），将f（2x）-2f（x）≤3转化为22x-2x-6≤0，然后利用一元二次不等式的解法以及指数不等式的解法求解即可；（2）根据g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，利用换元法k=2x0−2−x0，转化为存在实数k∈(3 2，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，再设m=1k2，m∈[16225，49)，转化为求解函数y=m+√4m+1的求值范围，即可求得t的取值范围；（3）根据H（x）=f（2x+2）+af（x）+b的解析式，令v=2x，将问题转化为对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，列出关于a，b的关系，求解即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）=2x（x∈R），所以不等式f（2x）-2f（x）≤3，即为22x-2x-6≤0，即（2x+2）（2x-3）≤0，解得0＜2x≤3，所以x≤log23，故不等式f（2x）-2f（x）≤3的解集为（-∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，即存在实数x0∈（1，2]，使得1+22x0−2−2x0=t(2x0−2−x0)2成立，令k=2x0−2−x0，因为k在（1，2]上单调递增，所以k∈(32，154]，又(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，则有存在实数k∈(32，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，则t=1k2+√4k2+1，设m=1k2，m∈[16225，49)，即有y=m+√4m+1在m∈[16225，49)上单调递增，所以y∈[271225，199)，故t的取值范围为[271225，199)；（3）H（x）=f（2x+2）+af（x）+b=22x+2+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，令v=2x，因为x∈[0，1]，所以v∈[1，2]，所以φ（v）=4v2+av+b，因为若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，则对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，所以 { |4+a +b |≤12①|16+2a +b |≤12②|16b−a 216|≤12③ ，由 ① ② ③ 解得a=-12，b= 172．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用，涉及了函数与不等式的综合应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数转化为常见函数进行研究，属于难题．。
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1. 集合，，则（）{}0A x x =>{}2,1,0,2B =--()RA B = ðA. B.C.D.{}0,2{}2,1--{}2,1,0--{}2【答案】C 【解析】【分析】先求出，再求交集即可.R A ð【详解】据题意，所以 (],0R A =-∞ð()R A B = ð{}2,1,0--故选：C 2. 已知，，则（ ） 1cos 2α=3π2π2α<<()sin 2πα+=A. B.C. D.1212-【答案】A 【解析】【分析】先求出，再根据诱导公式求. sin α()sin 2πα+【详解】，， 1cos 2α=3π2π2α<<， sin α∴==， ()sin 2πsin αα∴+==故选：A.3. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，为始边，终边经过点，则xOy θOx ()5,12-（ ）sin cos θθ+=A.B. 713713-C. D.712-712【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求出，即可得出结果. sin ,cos θθ【详解】因为终边经过点，所以，，()5,12-12sin 13θ==5cos 13θ-==所以. 7sin cos 13θθ+=故选：A ．4. 函数的零点所在区间为（ ） ()()1ln 23f x x x =---A. B.C.D.()4,3--()3,e --()e,2--()2,1--【答案】B 【解析】【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性， 得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解. ()f x 【详解】由题意可知，的定义域为， ()f x (),0-∞令，则，由在上单调递减，u x =-ln y u =u x =-(),0-∞在定义域内单调递增，ln y u =所以在单调递减.()ln y x =-(),0-∞所以函数在上单调递减. ()()1ln 23f x x x =---(),0-∞所以 ()()()12214ln 442ln 4ln e 03333f -=---⨯--=->-=>⎡⎤⎣⎦()()()13ln 332ln 31ln e 103f -=---⨯--=->-=⎡⎤⎣⎦ ()()()1ee ln e e 21033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦ ()()()1442ln 222ln 2ln e 0333f -=---⨯--=-<-<⎡⎤⎣⎦ ()()()151ln 112033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦故，根据零点的存在性定理，可得()3(e)0f f -⋅-<函数的零点所在区间为. ()()1ln 23f x x x =---()3,e --故选：B.5. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ）22cm A. B. C. D.6cm 3cm 12cm 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值．2122R =R 【详解】解：设扇形的半径为，则弧长， Rcm l Rcm =又因为扇形的面积为， 22cm 所以，2122R =解得， 2R cm =故扇形的周长为． 6cm 故选：．A 6. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A. 3 B. 1C. －1D. －3【答案】D 【解析】【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1∴f （1）=2+2-1=3． ∴f （-1）=-f （1）=-3． 故选D ．7. 函数的图象大致是（ ） ()222x xx f x -=+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且， ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x xx x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项； ()f x B,D 又因为当时，，故排除选项， 0x >()0f x >C 故选：.A 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为()2,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()2g x x x =-()()()0f g x g x m +-=4，则实数m 的取值范围为（ ） A. B.C.D.1m >m 1≥1m <1m £【答案】C 【解析】【分析】令，则.根据选项分，和进行讨论即可求解. ()g x t =0t ≥1m =0m =1m >【详解】令，则.()g x t =0t ≥当时，方程即，则有，由函数图象可得1m =()()()0f g x g x m +-=()10f t t +-=()1(0)f t t t =-≥方程有一个根为，另一个根为，1t =0=t即或，结合函数的图象可得所有根的和为5，不合题意，故排除选20x x -=21x x -=2y x x =-项；B,D当时，方程即，则有， 0m =()()()0f g x g x m +-=()0f t t +=()(0)f t t t =-≥由函数图象可得方程有一个根，(0,1)t ∈即，结合函数的图象可得所有根的和为4，满足题意，故选项错2(01)x x t t -=<<2y x x =-A 误，同理，当时，方程的所有根的和为2. 1m >故选：.C 二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9. 已知函数，则（ ） ()cos 2xf x =A.B.()()f x f x -=()()f x f x -=-C. ，D. ，()()2f k x f x π+=k ∈Z ()()()21kf k x f x π-=-k ∈Z【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例. 【详解】对于A ，，故A 正确. ()()R cos cos 22x x x f x f x ⎛⎫∈-=-== ⎪⎝⎭，对于B ，，故， ()()0cos 01,0cos 01f f ==-==()()00f f -≠-故B 错误.对于C ，，故， ()()2cos 1,0cos 01f f ππ==-==()()200f f π+≠故C 错误.对于D ，当k 为奇数时，； ()22coscos cos 222k x x x f k x k πππ-⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭当k 为偶数时，， ()2cos cos 22x x f k x k ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以. ()()()21,kf k x f x k π-=-∈Z 故D 正确. 故选：AD.10. 命题“∀1≤x ≤3，－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） 2x A. a ≥9 B. a ≥11 C. a ≥10 D. a ≤10【答案】BC 【解析】【分析】由命题为真求出a 的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真13x ≤≤219x ≤≤9a ≥{|9}A a a =≥的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集. 故选：BC11. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“好函数”，则()f x 12,x x ()()()1212f x f x f x x +=⋅()f x 下列函数是“好函数”的是（ ） A.B. C.D.()2xf x =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12log f x x =()3log f x x =【答案】CD【解析】【分析】利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.【详解】对于A ，函数定义域为，取，则，， ()f x R 121,2x x ==()()126f x f x +=()124f x x ⋅=则存在，使得，A 不是；12,x x ()()()1212f x f x f x x +≠⋅对于B ，函数定义域为，取，则，， ()f x R 121,2x x ==()()1234f x f x +=()1214f x x ⋅=则存在，使得，B 不是； 12,x x ()()()1212f x f x f x x +≠⋅对于C ，函数定义域内任意的，()f x {}|0x x >12,x x ，C 是；()()()()12111211212222log log log f x f x x x x x f x x +=+==⋅对于D ，函数定义域内任意的，()f x {}|0x x >12,x x ，D 是．()()()()33121212123log log log f x f x x x x x f x x +=+==⋅故选：CD12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）()()2log 1,11(,12x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩A. 若，则B.()1f a =3a =202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若，则或D. 若方程有两个不同的实数根，则 ()2f a ≥1a ≤-5a ≥()f x k =12k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的分段函数逐项分析计算即可判断作答.【详解】对于A ：当时，，解得，当时，，解得，则1a >2log (1)1a -=3a =1a ≤1()12a=0a =或，A 不正确；0a =3a =对于B ：， 222202120211(log (1)log (log 20200202020202020f =-==-<，B 正确；22log 2020log 2020220211(())(log 2020)()2202020202f f f -=-===对于C ：当时，，即，解得，当时，，解得1a >22log (1)2log 4a -≥=14a -≥5a ≥1a ≤1()22a≥，则或，C 正确；1a ≤-1a ≤-5a ≥对于D ：函数在上单调递增，值域为R ，则时，，()2log 1y x =-(1,)+∞()2log 1x k -=R k ∈函数在上单调递减，值域为，则时，， 1()2x y =(,1]-∞1(,]2-∞1()2xk =12k ≥因此，方程有两个不同的实数根，则，D 正确. ()f x k =12k ≥故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 计算：___________. 1417sin cos tan 336πππ+-=【答案】0 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】 141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25sincos 0036ππ⎛=+-== ⎝故答案为：014. 已知幂函数的图象关于原点对称，则________.()211m y m m x +=+-m =【答案】 2-【解析】 【分析】根据幂函数的定义列出方程求出的值，再判断函数图象是否关于原点对称. m 【详解】解：是幂函数，()211m y m m x+=+- ，211m m ∴+-=解得：或， 1m =2m =-又 函数的图象关于原点对称，()211m y m m x+=+-.2m ∴=-故答案为：.2-15. 函数的单调递增区间是________．()2ln 2y x x =-+【答案】 ()0,1【解析】【分析】先求出函数定义域，再结合二次函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令，220x x -+>02x <<()0,2()2202t x x x =-+<<则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增，22t x x =-+()0,1()1,2ln y t =所以函数的单调递增区间是．()2ln 2y x x =-+()0,1故答案为：.()0,116. 已知定义在的函数，对满足的任意实数，，都有[)1,+∞()f x tx x=+121x x -≤1x 2x ，则实数的取值范围为__________.()()121f x f x -≤t 【答案】 04t ≤≤【解析】 【分析】 不妨设，则 ，则不等式转化为12x x >1201x x <-≤()()121f x f x -≤恒成立，进而转化为最值问题求解即可.121212122112x x x xx x t x x x x x x +≤≤+--【详解】解：当时，，明显成立； 12x x =()()1201f x f x =-≤当时，不妨设，则 ，12x x ≠12x x >1201x x <-≤恒成立，()()()()21121212121211t x x tf x f x x x x x x x x x -∴-=-+=-⋅-≤恒成立， 121211t x x x x ∴-≤-即，211212111t x x x x x x ≤-≤--整理得恒成立，121212122112x x x xx x t x x x x x x +≤≤+--，，121x x -≤ 211x x ∴≥-，()()()()121221121111121122224x x x x x x x x x x x x ≥-+-=-=+⨯--=∴当且仅当，即时等号成立，故，2111x x =-=211,2x x ==4t ≤又，，121x x -≤ 2101x x ∴>-≥-，当且仅当时，等号成立，故，12121212210x x x x x x x x x x ≤-∴++=-211x x -=-0t ≥综上所述. 04t ≤≤故答案为：.04t ≤≤【点睛】本题考查不等式恒成立问题，先进行参变分离，然后转化为最值问题，考查学生综合分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分）17. 已知，且是第三象限角， 1tan 2α=α（1）求的值； sin α（2）求的值. 2sin sin cos()2πααπα⎛⎫++⋅-⎪⎝⎭【答案】(1);(2).25【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得2sin cos αα=22sin cos 1αα+=αsin α，的值；cos α（2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案. sin αcos α【详解】解：(1)由，可得，即， 1tan 2α=sin 1tan cos 2ααα==2sin cos αα=可得，由是第三象限角，可得222sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩αsin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故的值为sin α(2) , 22sin sin cos()cos sin cos 2πααπαααα⎛⎫++⋅-=-⋅⎪⎝⎭代入， sin α=cos α=可得原式. 422555=-=【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型. 18. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数.m ()22mm f x x -++=[)0,∞+(1)求幂函数的解析式；()f x (2)作出函数的大致图象；()()1g x f x =-(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性.()g x ()g x [)1,+∞【答案】(1)；(2)图象见解析；(3)减区间为；增区间为，证明()2f x x =(][],1,0,1-∞-[][)1,0,1,-+∞见解析. 【解析】【分析】(1)根据幂函数在上是单调递增函数，可知，解不等式()22m m f x x -++=[)0,∞+220m m -++>即可.(2)由(1)可知，则，先画出的图象，再将该图象轴下方的部分翻折()2f x x =()21g x x =-21y x =-x 到轴上方，即可.x (3)根据(2)的图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可. 【详解】(1)由题意可知，，即 220m m -++>12m -<<因为是整数，所以或 m 0m =1m =当时，0m =()2f x x =当时，1m =()2f x x =综上所述，幂函数的解析式为.()f x ()2f x x =(2) 由(1)可知，则()2f x x =()21g x x =-函数的图象，如图所示：()g x(3)由(2)可知，减区间为；增区间为 (][],1,0,1-∞-[][)1,0,1,-+∞当时，[)1,x ∞∈+()2211g x x x =-=-设任意的，且1x [)21x ∈+∞,120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+又，且1x [)21x ∈+∞,120x x ->∴()()120g x g x ->即在区间上单调递增.()g x [)1,+∞【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题. 19. 已知.()2f x x mx n m =++-（1）若，对一切，恒成立，求实数的取值范围； 3n =x R ∈()0f x ≥m （2）若，，，求的最小值. 0m >0n >()25f =1111m n+--【答案】（1）；（2）最小值为. []6,2-4【解析】【分析】（1）根据判别式小于等于零求解即可；（2）由题知，进而，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 1m n +=111111m n n m+=+--【详解】解：（1）当时，对一切，恒成立， 3n =()230f x x mx m =++-≥x R ∈所以，解得，()2430m m --≤62m -≤≤所以实数的取值范围是.m []6,2-（2），，(2)5f = 2()f x x mx n m =++-. 1m n ∴+=，，0m > 0n >所以，， ()11111122411m n m n m n n m n m n m ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪--⎝⎭当且仅当时等号成立. 12m n ==所以最小值为. 1111m n+--420. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得,A B 成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产2芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片A 10.25B 的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．y x ()0ay kxx =>（1）试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式； ,A B y x （2）现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，4,A B ,A B 该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗A =B +-费资金）【答案】（1）， ()1:04A y x x =>):0B y x =>（2）当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润A 3.6B 0.4为千万元 9【解析】【分析】（1）对于芯片，采用待定系数法，设即可代入已知数据求得结果；对于A ()0,0y mx m x =>>芯片，根据图象中的点坐标可构造方程组求得参数，由此可得函数关系式；B （2）设对芯片投入的资金为千万元，净利润为千万元，可得到关于的函数关系式，采用换元B x W W x 法可将其转化为二次函数最大值的求解问题，结合二次函数性质可得结果. 【小问1详解】生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，可设， A ∴()0,0y mx m x =>>每投入千万元，公司获得毛收入千万元，， 10.2510.254m ∴==生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：； ∴A y x ()104y x x =>由图象可知：，解得：， 142ak k =⎧⎨⋅=⎩112k a =⎧⎪⎨=⎪⎩生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：.∴B yx )0y x =>【小问2详解】设对芯片投入的资金为千万元，则对芯片投入的资金为千万元， B x A ()40x -设净利润为千万元，则，W ()()14020404W x x =+--<<令，则，(0,t =2184W t t =-++则当，即时，，2t =4x =max 1289W =-++=当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为∴A 3.6B 0.49千万元.21. 已知函数（且）是奇函数，且. ()13xbf x a a=--0a >1a ≠()12f =（1）求a ，b 的值及的定义域；()f x （2）设函数有零点，求常数k 的取值范围；()()2g x kf x =-【答案】（1），，3a =6b =-()(),00,∞-+∞U （2） ()()2,00,2-⋃【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性和即可求出a ，b 的值，然后根据函数有意义的条件即可求出函()12f =数的定义域；(2)结合（1）的结论得到关于x 的方程有实数解，分离变量可得，312031x x k +-=-()()231031x xk x -=≠+然后根据函数的值域进行求解. 【小问1详解】 由，可得① ()12f =12ba=-又是奇函数，∴， ()f x ()()112f f -=-=- 即② 233aba=-联立①、②并注意到，解得， ， 0a >3a =6b =-所以，要使函数有意义，则有，解得： ()2131xf x =+-310x -≠0x ≠∴的定义域为. ()f x ()(),00,∞-+∞U 【小问2详解】∵，，∴， 3a =6b =-()()312231x xg x kf x k +=-=--∴有零点，即关于x 的方程有实数解，()g x 312031x x k +-=-∴有实数解，()()231031x xk x -=≠+∵，且， ()231423131x x x-=-++311x +>312x+≠∴且，()2312231x x--<<+()231031x x-≠+∴k 的取值范围是.()()2,00,2-⋃22. 已知，函数和函数.,a m ∈R ()4331x x a f x ⋅+=+()()2214h x mx m x =-++（1）若函数图象的对称中心为点，求满足不等式的的最小整数值； ()f x ()0,3()3log 3f t >t （2）当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数4a =-x ∈R []0,4t ∈()()f x h t =m 的取值范围.【答案】（1）；（2）．272++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）先根据题意可得，令可求出的值，再根据指对数恒等式即可得到关于()()6f x f x +-=0x =a t 的不等式，解出不等式即可求解；（2）根据题意可知，的值域是在上的值域的子集，先求出的值域，再根据()f x ()h t []0,4t ∈()f x 且，只需在上的最小值小于等于， 解出即可．0m >()04h =()h t []0,4t ∈4-【详解】（1）因为函数图象的对称中心为点，所以，令得，()f x ()0,3()()6f x f x +-=0x =，解得，所以，即，于是等价于()4032a f +==2a =()43231x x f x ⋅+=+()342log 1t f t t +=+()3log 3f t >，即，又，解得，故满足不等式的的最小整数为． 4231t t +>+()()110t t +->0t >1t >()3log 3f t >t 2（2）当时，， 4a =-()434843131x x x f x ⋅-==-++因为，所以的值域是． 83(0,)31(1,)(0,8)31xxx∈+∞⇒+∈+∞⇒∈+()f x ()4,4-依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，则的值域是x ∈R []0,4t ∈()()f x h t =()f x 在上的值域的子集，而且，所以在上不能单调递增， 且只()h t []0,4t ∈0m >()04h =()h t []0,4t ∈需在上的最小值小于等于，故()h t []0,4t ∈4-21()422142m h mm m +⎧≤-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩216441474261m m m m m m ⎧---≤-⎪⇒⇒≥+⎨⎪≥⎩或（舍去）． (4)48412112426h m m m m m ≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒≤-+⎨⎨><⎪⎪⎩⎩即正实数的取值范围为．m 72++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的性质，对数恒等式，分式不等式的解法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．结论点睛：一般地，已知函数，()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()2max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2max max f x g x <（3）若，，有成立，故； []1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2min max f x g x <（4）若，，有成立，故； []1,x a b ∃∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()2min min f x g x <（5）若，，有，则的值域是值域的子集 ．[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。
天津市四校(四十七中,一百中学)2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题解析高中数学
由 ，则 在 上单调递增.
所以函数 的零点所在的大致区间是
故选：B
5.已知扇形 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形 的周长为（）
A.32B.24C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角 ，扇形面积 ，
即 ，得半径 ，
所以弧长 ，
故扇形 的周长 .
即实数m的取值范围为 .
故选：D.
二、填空题（5/30）
10.函数 的单调递减区间是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.
【详解】 ，
，
解得 或 .
函数 的开口向上，对称轴是 轴，
在 上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知 的单调递减区间是 .
故答案为：
【详解】对于①，设 ，有 ，
故函数 是奇函数，且易知函数 在R上单调递增，故①正确；
对于②，当 时，不等式为 ，解集为R，
当 时，有 ，解得 ，
综上： ，②错误；
对于③， 中， ，解得 ，③错误；
对于④，若 为偶函数，则 ， ，④错误.
综上：只有①正确.
故选：A
8.若 ，且 ，则 的最小值为（）
A 8B.3C.2D.
故选：D
6.将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到 ，再整体代入即可求得对称轴方程.
【详解】将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
2020-2021高中必修一数学上期末一模试题及答案
2020-2021高中必修一数学上期末一模试题及答案一、选择题1．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．6．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<7．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]8．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞9．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -10．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<12．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．14．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数2logy x=，12y x =，2xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.16．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．17．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________18．0.11.1a =，122log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 19．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______． 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.22．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()82f x x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求(8)F 的值.（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.23．已知函数()22xxf x k -=+⋅，()()log ()2xa g x f x =-（0a >且1a ≠），且(0)4f =.（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82x tf x ≥+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 24．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.25．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值． 26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题2．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．5．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．6．D解析：D【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.10．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.12．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．二、填空题13．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．14．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为：解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即2122A x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.因为点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =，Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．17．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .18．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：b c a <<【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a >==，由对数函数的运算公式及性质，可得12112211log log ()222b ===，1ln 2ln 2c =>=，且ln 2ln 1c e =<=，所以a ，b ，c 从小到大的关系是b c a <<. 故答案为：b c a <<. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：()()9,00,3-⋃【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()222232,2,x ax a x a f x x ax a x a⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3a x =； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.①当0a >时， 因为()h x 的对称轴3ax =显然不在[]3,0-，则 只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-， 解得：()0,3a ∈，满足题意. ②当0a =时，()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意. ③当0a <时，因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03a∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意.综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为：()()9,00,3-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论.20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】 【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+， 又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+； 故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案. 【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x xx x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->， 即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->.所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. （2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭， 所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 22．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】（Ⅰ）由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+，所以1(8)825394F =-⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩…剟….故1()25(218)4F a a a =-+剟.令t =t ∈，2211()25(5744G t t t =-++=--+，显然在上()G t 单调递增，所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.23．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(],13-∞- 【解析】 【分析】（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可. （3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可. 【详解】（1）因为()22x xf x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=，解得3k =.（2）因为()()log ()2xa g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：()log (32?)x a g x -=n ，则log (32?)0x a ->n ，等价于：当1a >时，321x ->n ，解得()2,log 3x ∈-∞ 当01a <<时，321x -<n ，解得()2log 3,x ∈+∞. （3）()82xtf x ≥+在R 上恒成立，等价于： ()()228230xx t --+≥n 恒成立；令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立， 又()2283413m m m -+=--，故：2(83)m m -+的最小值为：-13，故：只需13t ≤-即可. 综上所述，(],13t ∈-∞-. 【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.24．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
2020-2021高中必修一数学上期末模拟试题(含答案)
2020-2021高中必修一数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]6．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)7．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)28．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =9．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( )A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U10．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.15．设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y+-的最小值为__________. 16．函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.17．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 18．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________19．已知函数222y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________. 20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．计算3221(1).log 24lglog 27lg 2log 32+-+- 326031(2).(32)(8)9⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭－ 23．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.24．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义． 25．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．26．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．5．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.7．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解8．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A9．C解析：C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xf x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ，综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．10．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．11．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-，由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．12．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a=与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a +--==（舍去），或12a -=（舍去）； 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.15．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】 【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.16．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝解析：02m <<【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由{},min ,{,a a ba b b a b≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点 故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.17．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考解析：4 【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+，∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.18．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次解析：4 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解. 【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =， 函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增， 且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-， 解得4m =或2-（舍），故4m =. 故答案为：4 【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<. 所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（1）32.（2）44. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=3261(-8)9⎛⎫-- ⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 23．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=--- ∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.24．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 25．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得： 区间上是递减的， 且在区间上恒成立；则，解得26．（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞-【解析】 【分析】（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案. （2）化简得到11()221x f x =++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离212x k x -<，求函数212()xg x x -=的最小值得到答案. 【详解】（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，即102b a-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221xx xf x +-==+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210x x ++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递减.（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x-<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅， 令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.。
2020-2021学年上海市闵行区高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0＜1C. yx＞1D. yx16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a，设a∈R．2x+1（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x）|成立，其中k为正（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2整数，求k的值．2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，5}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，∴A∩B={2，5}．故答案为：{2，5}．【点评】：本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）【解析】：直接由对数式的真数大于0求解一元一次不等式得答案．【解答】：解：由2-x＞0，得x＜2．∴函数y=lg（2-x）的定义域是（-∞，2）．故答案为：（-∞，2）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．【正确答案】：[1] −6b 1 6【解析】：利用指数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，∴ 4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)= −6a23−16−12b2−56−1 =-6 b16．故答案为：-6 b 1 6．【点评】：本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：利用一元二次方程根与系数的关系可得答案．【解答】：解：已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2，αβ=- 32；则1α+1β= α+βαβ= −2−32= 43．故答案为：43．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：根据题意得到log a4=2，然后求出a，再求出f(2√2)的值．【解答】：解：∵f（x）=log a x的图象经过点（4，2），∴log a4=2，∴a2=4，且a＞0，∴a=2，∴ f(2√2)=log2232=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，结合f（x+2）=-f（x）可得f（-2）=-f（-2+2）=f（0），即可得答案．【解答】：解：根据题意，y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=-f（-2+2）=f（0）=0，故答案为：0．【点评】：本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴ 1=a+b≥2√ab，即ab≤14，当且仅当a=b时取等号，∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94，即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：利用数形结合对x分段讨论即可求解．【解答】：解：由图象可得：当x＜0时，y1y2＜0，当x=0时，y1y2无意义，当0＜x＜3时，y1y2＞ 0，当x=3时，y1y2=0，当x＞3时，y1y2＜0，综上，y1y2≥0的解集为（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查了函数的图象的问题，考查了学生的数形结合思想的能力，属于基础题．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：由绝对值三角不等式即可求得a的取值范围．【解答】：解：|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3，因为关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．【正确答案】：[1]-3• (12)x+2【解析】：根据题意求出a、c的值，再判断b的取值范围，即可写出函数的一个解析式．【解答】：解：函数y=a•b x+c中，x∈[0，+∞）的值域为[-1，2），所以x=0时，y=a+c=-1；x→+∞时，y=a•0+c=2，所以c=2，a=-3，且b∈（0，1），所以该函数的一个解析式可以为y=-3• (12)x+2．故答案为：-3• (12)x+2．【点评】：本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]{4}【解析】：作出两函数的图象，当x≥0时，k＞1，在[0，+∞）上有一个交点，只需当x＜0时两函数图象有且只有一个交点，最后根据一元二次方程只有一个根建立关系式，从而可求出所求．【解答】：解：由 y =2|log 2(x+1)| 得 y ={1x+1，−1＜x ＜0x +1，x ≥0，由y=k|x|得 y ={−kx ，x ＜0kx ，x ≥0 ，作出两函数的图象如下图：当x≥0时，k ＞1，在[0，+∞）上有一个交点，而函数y=k|x|与 y =2|log 2(x+1)| 的图象恰有两个公共点， 所以当x ＜0时两函数图象有且只有一个交点，即y=-kx 与y= 1x+1相切， 即-kx=1x+1（x ＜0），即kx 2+kx+1=0，Δ=k 2-4k=0，解得k=4或0（舍去） 所以实数k 的取值范围为{4}． 故答案为：{4}．【点评】：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短． 【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：首先表示横轴和纵轴方向的距离之和，再根据含有绝对值的三角不等式进行求解最值，即可得到答案．【解答】：解：设格点的坐标为（x，y），则-2≤x≤6，1≤y≤6，根据含有绝对值三角式|a|+|b|≥|a-b|可得横轴方向距离和为d（x）=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=（|x+2|+|x-6|）+（|x+2|+|x-4|）+2|x-2|≥|（x+2）-（x-6）|+|（x+2）-（x-4）|+2×0=14，此时d（x）的最小值时14，此时三个等号成立的条件是-2≤x≤6，-2≤x≤4，x=2，所以x=2时，d（x）的最小值时14，纵轴方向的距离和为f（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|≥|（y-1）-（y-6）|+|（y-2）-（y-5）|+|（y-3）-（y-4）|=9，此时d（y）的最小值是9，三个等号成立的条件是1≤y≤6，2≤y≤5，3≤y≤4，即y=3或4，当y=3时，此时格点的位置是（2，3），是垃圾回收点，故舍去；当y=4时，此时格点的位置是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题是具有实际应用背景的习题，涉及了含有绝对值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离进行研究，属于中档题．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x【正确答案】：B【解析】：根据函数性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】：解：y=x2≥0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件．y=2x＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y=lnx的值域为R，不满足条件．当x＜0时，y＜0，则函数的值域不是（0，+∞），不满足条件．故选：B．【点评】：本题主要考查函数值域的判断，结合函数的值域性质是解决本题的关键，是基础题．14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除【正确答案】：D【解析】：根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，从而得出结论．【解答】：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选：D．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0C. y＜1xD. y＞1x【正确答案】：A是R 【解析】：条件即2020x-2021-x＜2021y-2021-y，由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t上的增函数，f（x）＜f（y），可得结论．【解答】：解：实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，∴2020x-2021-x＜2021y-2021-y，是R上的增函数，f（x）＜f（y），由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t∴x＜y，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件【正确答案】：B【解析】：根据函数的奇偶性与单调性的定义判定函数的性质，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：对于p1：令x1=x2=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0；令x1=x，x2=-x，则f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，所以此函数为奇函数；设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在R上单调递增，故p1是q的充分条件；对于p2，不能表示任意性，不符合单调性的定义，故p2不是q的充分条件；综上所述，p1、p2中仅p1是q的充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把a的值代入集合B解出集合B，再解出集合A，即可求解；（2）分别解出集合A的补集，以及集合B，根据集合的包含关系即可求解．【解答】：解：（1）当a=1时，B={x|x2-4x+3≤0}=[1，3]，A={x|x≥2或x＜-1}，所以A∩B=[2，3]，（2）A=[−1，2)，B=[a，a+2]，因为B ⊂A，则{a≥−1a+2＜2，解得-1≤a＜0，即实数a的取值范围为[-1，0）．【点评】：本题考查了集合间的交并补运算以及集合间的包含关系，涉及到解分式不等式以及一元二次不等式，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1，设a∈R．（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数为奇函数，则有f（0）=0，求出a的值，再利用奇函数的定义进行检验即可；（2）求出当a=0时f（x）的解析式，然后利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）= 2x+a2x+1，定义域为R，且为奇函数，所以f（0）=0，即1+a1+1=0，解得a=-1，经检验，此时对任意的x都有f（-x）=-f（x），故存在a=1，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，f(x)=2x2x+1=1−12x+1，函数f（x）在R上为单调递增函数，证明如下：设x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(1−12x1+1)−(1−12x2+1)= 12x2+1−12x1+1=2x1−2x2(2x2+1)(2x1+1)，因为x1＜x2，所以2x1−2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上为单调递增函数．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数的性质并能够进行灵活的运用，属于中档题．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用题意得到p（x）=f（x）g（x），然后去掉绝对值化为分段函数表示即可；（2）分类讨论，分别利用基本不等式和函数的单调性求解分段函数两段的最值，分别比较即可得到答案．【解答】：解：（1）根据题意可得，p（x）=f（x）•g（x）= (8+8x)(143−|x−22|) ={8x+968x+976，1≤x≤22，x∈N∗−8x+1320x+1312，22＜x≤30，x∈N∗；（2）① 当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）= 8x+968x +976≥2√8x•968x+976=1152，当且仅当x=11时取等号，所以p（x）min=p（11）=1152，② 当22＜x≤30，x∈N*时，p(x)=−8x+1320x+1312在（22，30]上单调递减，所以p（x）min=p（30）=1116，又1152＞1116，所以日最低收入为m=1116千元，又0.3m=33.48千元＞30千元，所以该园区能收回投资成本．【点评】：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了分段函数的应用、基本不等式求最值的应用、函数单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型进行研究，属于中档题．20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，画出函数y=|f（x）|的图象，结合图象求出m的范围即可；（2）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．（3）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，则必有[f（x）]max-[f （x）]min≤4，即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．【解答】：解：（1）a=3时，f（x）=x2-6x+5，画出函数y=|f（x）|的图象，如图示：，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，则0＜m＜4，即m∈（0，4）；（2）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]是单调减函数，∴f（x）的最大值为f（1）=6-2a，f（x）的最小值为f（a）=5-a2，∴6-2a=a，且5-a2=1，∴a=2．（3）函数f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，开口向上，对称轴为x=a，∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5-a2，f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，∴5-a2≤f（x）≤6-2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，∴6-2a-（5-a2）≤4，解得：-1≤a≤3；综上：2≤a≤3．【点评】：本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是中档题．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2）|成立，其中k为正整数，求k的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用换底公式得到log25= 4m，化简f（10）=log210=1+log25，即可得出答案．（2）方程转化为若x+tx2=1，讨论参数t的值得解．（3）利用已知和函数单调性得到ab=1，把等式转化为√k（a2+1）=2a2，对k取值讨论得解．【解答】：解：（1）因为log516=m，所以log216log25 =m，即4log25=m，所以log 25= 4m ，所以f （10）=log 210=1+log 25=1+ 4m ．（2）g （x ）=2f （x ）+f （ 1x +t ）=2log 2x+log 2（ 1x +t ）=log 2（ 1x +t ）x 2=log 2（x+tx 2）， 令g （x ）=log 2（x+tx 2）=0，所以x+tx 2=1（x ＞0，t+ 1x ＞0）只有一个正根，当t=0时，x=1满足题意，当t ＞0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上单调递增，且h （0）=-1＜0，所以满足题意有一个正根，当t ＜0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上不单调，若有一个正根，则Δ=1+4t=0，解得t=- 14 ，综上，m 的取值范围为{- 14 }∪[0，+∞）．（3）f （x ）=log 2x ，因为a≠b ，|f （a ）|=|f （b ）|，所以f （a ）=-f （b ），所以f （a ）+f （b ）=0，即log 2ab=0，解得ab=1，|f （a ）|=|f （b ）|=|f （√k (a+b )2 ）|， 不妨设 √k (a+b )2 =a= 1b， 所以 √k （a+b ）=2a ，所以 √k （a+ 1a ）=2a ，即 √k （a 2+1）=2a 2，当k=1时，a 2+1=2a 2，所以a=1，此时b=1与已知矛盾，舍去，当k=2时， √2 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √2 ）a 2= √2 ，此时a 有正解，满足题意， 当k=3时， √3 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √3 ）a 2= √3 ，此时a 有正解，满足题意， 当k≥4时， √k （a 2+1）=2a 2，所以（2- √k ）a 2= √k ，此时2- √k ≤0无解，不满足题意， 综上得k=2或k=3．【点评】：本题考查函数的性质，零点，参数的取值，属于解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．。
天津市西青区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
西青区2020~2021学年度第一学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上；答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一.选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()UA B =（ ）A. {}2,3B. {}1,2,3,4C. {}1,4D. {}2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()UA B .【详解】已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{}2,3A B ∴=，因此，(){}1,4UA B ⋂=.故选：C.2. 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（ ）A. x y e =B. sin y x =C. y =D. 3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可． 【详解】对A:xy e =它不奇函数也不是偶函数; 对B: sin y x =是奇函数，它在区间(2,2)()22k k k Z ππππ-+∈上递增，在定义域内不能说对C: y =对D:3y x =是奇函数，在定义域内是增函数． 故选：D ．3. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b >> D. 若a b <，则11a b> 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合不等式的性质可判断C 正确；举反例可判断ABD 错误. 【详解】对于A ，若0c，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，若1,2a b ==-，则22a b <，故B 错误； 对于C ，若0a b <<，则22a ab b >>，故C 正确； 对于D ，若1,1a b =-=，则11a b<，故D 错误.5. 设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ ） A. 在区间1(,1),(1,e)e 内均有零点.B. 在区间1(,1),(1,e)e内均无零点.C. 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点.D. 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点.【答案】C 【解析】 【分析】令()0f x =，画出函数13y x =和ln y x =的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案【详解】解：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13y x =和ln y x =的图像，如图所示根据图像可知，()y f x =区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点，故选：C6. 已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 是偶函数，最大值为1 B. ()f x 是偶函数，最大值为2 C. ()f x 是奇函数，最大值为1 D. ()f x 是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简，得到()cos 1f x x =+，结合余弦函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin 1cos 12f x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 则()cos()1cos 1()f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 是偶函数； 又由cos y x =的最大值为1，()f x ∴的最大值为2； 故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 7. 设1ln2a =，12eb =，2c e -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】1lnln102a =<=，10221eb =>=，2001c e e -<=<=，因此，a c b <<. 故选：A8. 对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：综合题． 分析：①把x=-π12代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误； ②把x=5π12，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误； ③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个 π6单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-π12代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，所以，①不正确； ②把x=5π12，代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移π6个单位得到函数为f （x ）=sin （2x+3π），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数f （x ）=sin （2x+π6），正确； 故选C ．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型． 9. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. f()sin αf >(cos β)B. f ()sin αf < (cos β)C. f (sin α)f > (sin β)D. f()cos αf <(cos β)【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sin α＞cos β，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sin α）＞f （cos β），即可得答案． 【详解】根据题意，定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ）， 则有f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 又由函数f （x ）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数， 若α，β是锐角三角形的两个内角， 则α+β2＞π，则有α2＞π-β，则有sin α＞sin （2π-β）＝cos β， 又由函数f （x ）在[0，1]上是增函数， 则f （sin α）＞f （cos β）； 故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．第Ⅱ卷温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．【答案】12x 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，根据点(求得幂函数的解析式.【详解】由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将(代入得122αα==，所以()12f x x=.故答案为12x【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.11. 132327log 3log 48⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭______.【答案】112【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.【详解】原式=1323227311log 3log 4log +2=822⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.故答案为：11212. 命题“x ∀∈R ，*n ∃∈N ，使得2n x ≥”的否定形式是__________． 【答案】x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x < 【解析】因为“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“2n x ≥”的否定是“2n x <”，所以命题“x R ∀∈，*n N ∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是x R ∃∈，*n N ∀∈，使2n x <，故答案为x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x <．13. 函数tan y x =的定义域为______；若tan 2x =，则5cos sin sin 2cos x xx x-=+______.【答案】 (1). ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2). 34 【解析】 【分析】根据正切函数的性质可直接得出定义域，将5cos sin sin 2cos x xx x-+化为关于tan x 的式子即可求出.【详解】可知tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， tan 2x =，5cos sin 5tan 523sin 2cos tan 2224x x x x x x ---∴===+++.故答案为：,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；34. 14. 用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长为16米，则矩形花园面积的最大值是______平方米.【解析】 【分析】设与墙平行的篱笆长为x 米，表示出矩形花园面积，利用二次函数的性质可求出. 【详解】设与墙平行的篱笆长为x 米，由题可得016x <≤， 则花园面积()2281149822x S x x -=⋅=--+，016x <≤， 则当14x =时，S 取得最大值为98，故矩形花园面积的最大值是98平方米. 故答案为：98.15. 已知函数()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，若对任意的1x 、2x R ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】分析出函数()f x 为R 上的减函数，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】设12x x <，则120x x -<，由()()12120f x f x x x -<-可得()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数.由于()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，由题意可知，函数()232115y x a x =+-+在(],1-∞上为减函数，则113a-≥， 函数ln 4y a x a =-在()1,+∞上为减函数，则0a <，且有()321154a a +-+≥-，所以11301624a a a a-⎧≥⎪⎪<⎨⎪+≥-⎪⎩，解得823a -≤≤-.因此，实数a 的取值范围是8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=.（1）求tan α的值； （2）求cos2α的值； （3）若0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，()5sin 13αβ+=-，求sin β. 【答案】（1）34-；（2）725；（3）5665. 【解析】 【分析】( 1 ) 根据同角的三角函数的关系即可求出； ( 2 ) 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； ( 3 ) 由 β=[(α+β)−α] ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(1)3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.4cos 5α∴==-.sin 3tan cos 4ααα∴==-. ( 2) 27cos 22cos 125αα=-=. （3）0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭322ππαβ∴<+<()5sin 13αβ+=-. 32ππαβ∴<+<()12cos 13αβ∴+==-. ()()()5412356sin sin sin cos cos sin 13513565βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.17. 若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值； （Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集. 【答案】（Ⅰ）4a =；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）14，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可. （Ⅱ）(1)(1)0ax x -->，分0a <、0a =、01a <<、1a =和1a >五种情况讨论即可 【详解】（Ⅰ）()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，14，1是()2110ax a x -++=的解.1114114a aa+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 解得：4a =（Ⅱ）当0a =时，不等式的解为1x >，解集为{}1x x > 当0a ≠时，分解因式()()110x ax --<()()110x ax --=的根为11x =，21x a=. 当0a <时，11a >，不等式的解为1x >或1x a <；解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当01a <<时，11a <，不等式的解为11x a <<；解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<；等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅. 综上：当0a =时，不等式的解集为{}1x x >； 当0a <时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或； 当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a >时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，不等式的解集为∅. 18. 已知函数log ay x =过定点(),m n ，函数()2xf x n x m=++的定义域为[]1,1-. （Ⅰ）求定点(),m n 并证明函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性；（Ⅲ）解不等式()()210f x f x -+<.【答案】（Ⅰ）定点为()1,0，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为()1,0，即可得()f x 的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （Ⅱ）利用定义法即可证明()f x 的单调性；（Ⅲ）根据()f x 的单调性和奇偶性，化简整理，可得()()21f x f x -<-，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）函数log ay x =过定点(),m n ，∴定点为()1,0，()21xf x x ∴=+，定义域为[]1,1-， ()()21xf x f x x -∴-==-+. ∴函数()f x 为奇函数.（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明：任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++. []12,1,1x x ∈-，12x x <，120x x ∴-<，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数.（Ⅲ）()()210f x f x -+<，即()()21f x f x -<-， 函数()f x 为奇函数()()21f x f x ∴-<-()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， 011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩，解得：103x ≤<.故不等式的解集为：1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案. 19. 已知函数()2231f x x x =-+.（Ⅰ）函数()h x 是奇函数，当0x >时，()()h x f x =，求()h x 在x ∈R 上的解析式； （Ⅱ）若()()1g x f x mx =-++，当[]1,2x ∈时，若()g x 的最大值为2，求m 的值.【答案】（Ⅰ）()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（Ⅱ）1.【解析】 【分析】（Ⅰ）首先设0x <，利用函数是奇函数，求函数的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()223g x x m x =-++，讨论对称轴和定义域的关系，讨论函数的最大值，列式求m 的值.【详解】（Ⅰ）设0x <则0x -> 函数()h x 是奇函数，()()2231h x h x x x ∴=--=---()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪∴==⎨⎪-+>⎩（Ⅱ）()()1g x f x mx =-++，()()223g x x m x ∴=-++.()g x 二次函数开口向下，对称轴34mx +=， 在[]1,2x ∈时，()g x 的最大值为2， ①当314m+≤，即1m 时，()()max 1232g x g m ==-++=，解得1m =； ②当3124m +<<，即15m <<时，()2max 369248m m m g x g +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得1m =（舍）或7m =-（舍）；③当324m+≥，即5m ≥时，()()max 28262g x g m ==-++=，解得2m =（舍）； 综上所述，m 的值为1，即1m =.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是：因为重点求0x <的解析式，所以设0x <，而不要设0x >；第二问的关键是讨论对称轴和定义域的关系，由函数在区间[]1,2的单调性，求函数的最大值.20. 已知函数()4cos cos 3f x x x a π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； （Ⅲ）若23π是函数()f x 的一个零点，求实数a 的值及函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）[]1,4.【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式2T πω=求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（Ⅰ）()4cos cos 4cos cos cos sin sin 333f x x x a x x x a πππ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos cos 2122sin 216x x x a x x a x a π⎛⎫=++=++=+++ ⎪⎝⎭，22T ππ==； （Ⅱ）法一： 令26z x π=+；0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. sin y z =，7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 2662x πππ∴≤+≤，解得06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.法二：222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦画数轴与所有区间取交集可知：06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）23π是函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的一个零点 242sin 10336f a πππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 32sin102a π∴++= 解得：1a =.()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin y z ∴=，当7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.72266x πππ∴≤+≤，解得62x ππ∴≤≤ f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦()02sin236f π=+=，2sin 2462f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72sin 2126f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,4.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。