九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理习题课件新版北师大版
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北师大版九年级数学下册：垂径定理课件
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝B⌒M－DM⌒ ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
第三章 圆
3.3 垂径定理*
情景导入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 A 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你 的理由.
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD
所在的直线
A
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C
(课件)3.3垂径定理
C
O
D
B N
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC = BC,
C
A B
⑤
⌒
AD = BD.
⌒
M└
●
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径, ④AC=BC, ② CD⊥AB, ⑤AD=BD. ③ AM=BM,
义务教育教科书（北师）九年级数学下册
第三章 圆
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁 的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形 。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯 形、正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
A
C
B
M└
●
O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒ ⌒⌒ ∴AC =BC,
AC和BC重合,
⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ AD =BD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
画一画
例：平分已知弧
已知：弧AB 求作：弧AB的中点 A
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
3.3北师大版九年级数学下册课件第三章圆第三节垂径定理
∴ CD是直径， AD⌒＝BD，⌒AC＝⌒BC ⌒
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
北师版九年级数学下册作业课件 第三章 圆 垂径定理
2 ＝3.9，在 Rt△OHN 中，若 HN＝1.5 m，则 OH＝ ON2－HN2 ＝ 3.92－1.52 ＝3.6 m， ∵OD＝OC－DC＝3.9－2.4＝1.5，∴DH ＝OH －OD＝3.6－1.5＝2.1(m )，N F ＝M E ＝ HD＝2.1 m>2 m，∴此货船能顺利通过
A． 7 13
B．12 13
C． 7 12
D．13 12
B)
3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于点 E，则下列结论中不成立 的是( C )
A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D． BD ＝ BC
4．(2022·上海)如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC＝11， BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 ___4_0_0_π____．(结果保留π)
2
3
14．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2 m，拱顶高出水面 2.4 m， 现有一艘宽 3 m，船舱顶部为正方形并高出水面 2 m 的货船要经过这里，此时货船能 顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
解：能顺利通过，理由：由题意知 AB＝7.2 m，CD＝2.4 m，设⊙O 的半径为 R， 在 Rt△AOD 中，OD＝(R－2.4)m，AD＝1 AB＝3.6 m，∴R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R
7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽 AB 为 6 dm，如果往里注入 一些油后，油面上升 1 dm，油面宽度为 8 dm，则圆柱形油槽直径为___1_0____dm.
8．某居民区一处圆形下水道破裂，如图所示，修理人员准备更换一段新管道， 已知污水水面宽度为 60 cm，水面至管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内径 多大的管道？
A． 7 13
B．12 13
C． 7 12
D．13 12
B)
3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于点 E，则下列结论中不成立 的是( C )
A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D． BD ＝ BC
4．(2022·上海)如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC＝11， BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 ___4_0_0_π____．(结果保留π)
2
3
14．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2 m，拱顶高出水面 2.4 m， 现有一艘宽 3 m，船舱顶部为正方形并高出水面 2 m 的货船要经过这里，此时货船能 顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
解：能顺利通过，理由：由题意知 AB＝7.2 m，CD＝2.4 m，设⊙O 的半径为 R， 在 Rt△AOD 中，OD＝(R－2.4)m，AD＝1 AB＝3.6 m，∴R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R
7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽 AB 为 6 dm，如果往里注入 一些油后，油面上升 1 dm，油面宽度为 8 dm，则圆柱形油槽直径为___1_0____dm.
8．某居民区一处圆形下水道破裂，如图所示，修理人员准备更换一段新管道， 已知污水水面宽度为 60 cm，水面至管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内径 多大的管道？
北师大版九下数学课件3.3垂径定理
为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3
例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：A⌒C＝B⌒D
M
C
D
A
B
.O
证明：∵作A直B径∥MCND⊥，A∴BM。N⊥CD。则AM⌒＝N B⌒M，CM⌒ ＝D⌒M（垂直平分弦的直径平 分弦所对的弦） A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
A
●
B 由 ① CD是直径 可推得
M
●O
② AM=BM
③CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.
3.3 垂径定理 预习导学 课件2024-2025学年度 北师大版数学九年级下册
变式3 [2024延安期中]一根排水管的截面如图所示，已知排水 管截面的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水 面宽度(CD)变为8，求此时排水管水面上升的高度．
解：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，交 CD 于 F，连接 OC，如图 所示，则 AE＝12AB＝3，OF⊥CD，∴CF＝21CD＝4， 在 Rt△AOE 中，OE＝ OA2－AE2＝ 52－32＝4， 在 Rt△COF 中，OF＝ OC2－CF2＝ 52－42＝3， 当水面没超过圆心 O 时，EF＝OE－OF＝4－3＝1， 当水面超过圆心 O 时，EF＝OE＋OF＝4＋3＝7， 即排水管水面上升的高度为 1 或 7.
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
变式2 如图，⊙O 的弦 AB＝2 3，M 是 AB 的中点，且 OM ＝1，则⊙O 的半径等于( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
例3 如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的 污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为 0.1米． (1)此下水管道横截面的半径为___0_.5_米___；
第三章 圆 *3 垂径定理
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿AC翻折， 使点B落在D的位置，则关于线段AC的说法，最恰当的 是( D ) A．是△ABD中BD边上的中线 B．是△ABD中BD边上的高 C．是△ABD中∠BAD的平分线 D．以上都对
2. [2024商洛期末]如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°.求证：△ABC为等边三角形． 证明：∵AB＝BC，BD⊥AC于点D， ∴∠ABC＝2∠ABD. 又∵∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形．
1. 垂径定理：垂直于弦的直径__平__分____这条弦，并且平 分__弦__所__对__的__弧__．