概率论试题及答案

试卷一

一、填空（每小题2分，共10分）

１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。

２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。

３．已知互斥的两个事件满足，则___________。

４．设为两个随机事件，，，则___________。

５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）

1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。

(A) 取到2只红球(B)取到1只白球

(C)没有取到白球(D)至少取到1只红球

2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。

(A)随机事件(B)必然事件

(C)不可能事件(D)样本空间

3. 设A、B为随机事件，则（）。

(A) A (B) B

4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。

(A) 与互斥(B)与不互斥

(C)(D)

5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

(A) (B)

(C)(D)

6. 设相互独立，则（）。

(A) (B)

(C)(D)

7.设是三个随机事件，且有，则

（）。

(A) 0.1 (B) 0.6

8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。

(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3

9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

(A) (B)

10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。

(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。

求取到的两个球颜色不同的概率。

2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。

求能打开门的概率。

3. 一间宿舍住有6位同学，

求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。

4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，

求至少取到一个次品的概率。

5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一

道工序是否出次品与其它各道工序无关。

求该种零件的次品率。

6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。

求该产品的一级品率。

7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次

品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，

求其中确实没有次品的概率。

8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与

0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，

求其中最多有一件次品的概率。

四、证明题（共6分）

设，。证明

试卷一

参考答案

一、填空

1. 或

2. 出现的点数恰为5

与互斥

则

4. 0.6

故

至少发生一个，即为

又由得

故

二、单项选择

1．

2. A

3. A

利用集合的运算性质可得.

4．

与互斥

故

5．

故

6．

相互独立

且

则

9. B

10. B

故P (A) + P (B) –P (C) ≤ 1

三、计算与应用题

1. 解：

设表示“取到的两球颜色不同”，则

而样本点总数

故

2. 解：

设表示“能把门锁打开”，则，而

故

3. 解：

设表示“有4个人的生日在同一月份”，则

而样本点总数为

故

4. 解：

设表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”

则包含的样本点数为。而样本点总数为

故

5. 解：

设“任取一个零件为次品”

由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，

则

于是

6. 解：

设表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”

显然，则

于是

即该产品的一级品率为

7. 解：

设“箱中有件次品”，由题设，有，

又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有

于是

8. 解：

依题意，该厂产品的合格率为，

于是，次品率为

设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”

则

四、证明题

证明

，，

由概率的性质知则

又

且

故

试卷二

一、填空（每小题2分，共10分）

1. 若随机变量的概率分布为

，，则

__________。

2. 设随机变量，且，则

__________。

3. 设随机变量 ,则

__________。

4. 设随机变量，则

__________。

5. 若随机变量

则 __________。

二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)

1. 设与分别是两个随机变量的分布函数，为使

是某一随机变

量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。

(A ) (B )

(C )

(D )

2. 设随机变量

的概率密度为

，则（）。

(A )

(B )

(C )

(D )

3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。

(A ) (B )

(C )

(D )

4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。

(A ) (B )

5. 设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。

(A)(B)

(C)(D)

6. 设服从二项分布，则（）。

(A)(B)

(C)(D)

7. 设，则（）。

(A)(B)

(C)(D)

8．设随机变量的分布密度为, 则（）。

(A) 2 (B) 1

9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。

(A)二项分布(B) 指数分布

(C)正态分布(D)泊松分布

10．设为服从正态分布的随机变量，则( )。

(A) 9 (B) 6

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。

求抽取次数的概率分布。

2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。

求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？

（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？

3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为

求（1）常数；

（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。

4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。

求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；

（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。

5. 设随机变量。

求概率密度。

6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。

求。

7. 设随机变量的概率密度为。

求和。

8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红

或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。

求（1）的概率分布；

（2）。

四、证明题（共6分）

设随机变量服从参数为2的指数分布。

证明：在区间上，服从均匀分布。

试卷二

参考答案

一、填空

1. 6

由概率分布的性质有

即，

得。

，则

3. 0.5

5. 0.25

由题设，可设

即

则

二、单项选择

1. ()

由分布函数的性质，知

则，经验证只有满足，选

2. ()

由概率密度的性质，有

3. ()

由概率密度的性质，有

4. ()

由密度函数的性质，有

5. ()

是单减函数，其反函数为，求导数得

由公式，的密度为

6. ()

由已知服从二项分布，则

又由方差的性质知,

7. ()

于是

8. (A) 由正态分布密度的定义,有

9. (D)

∴如果时,只能选择泊松分布.

10. (D)

∵X为服从正态分布N (-1, 2),EX = -1

∴E(2X - 1) = -3

三、计算与应用题

1. 解：

设为抽取的次数

只有个旧球,所以的可能取值为：

由古典概型，有

设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，

，于是

（1）的最可能值为，即概率达到最大的

（2）

3. 解：

（1）由可得

（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，

因此，若用表示“线路正常工作”，则

而

故

4. 解：

（1）

（查正态分布表）

（2）由题意

即查表得。

5. 解:

对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，

又由题设知

故由公式知：

6. 解:

，则

而

由题设知

即

可得

故

查泊松分布表得，

7. 解:

由数学期望的定义知,

而

故

8. 解:

（1）的可能取值为且由题意,可得

0 1 2 3

四、证明题

证明：

由已知则

又由

得

连续，单调，存在反函数

且

当时，

则

故

即

试卷三

一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）

设二维随机变量

则__________，__________.

2. 设随机变量和

则__________.

3. 若随机变量

与相互独立，且，，

则服从__________分布. 4. 已知

与

则 __________.

5. 设随机变量

的数学期望为

、方差

，则由切比雪夫不等式有

__________.

二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)

1. 若二维随机变量

的联合概率密度为，则系数

（）.

(A )

(B )

(C )

(D )

2. 设两个相互独立的随机变量

和

分别服从正态分布

和

，则下列结论正确的是

（）.

(A ) (B )

(C )

(D )

3. 设随机向量(X , Y )的联合分布密度为, 则（）.

(A ) (X , Y ) 服从指数分布

(B ) X 与Y 不独立 (C ) X 与Y 相互独立 (D ) cov(X , Y ) ≠0

4. 设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有

（）.

(A )

(B )

(C )

(D )

5. 设随机变量

与随机变量

相互独立且同分布, 且

, 则下列各式中成立的是（）.

(A )

(B )

(C )

(D )

6．设随机变量

的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（）.

(A )

(B )

(C)(D)

7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相

关系数（）.

(A)(B)(C)(D)

8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

9. 设是个相互独立同分布的随机变量，，

则对于，有（）.

(A)(B)

(C)(D)

10. 设,为独立同分布随机变量序列，且X i( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布

N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（）.

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）

1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.

求二维随机变量的联合概率分布.

2. 设二维随机变量的联合概率密度为

（1）确定的值；

（2）求.

3. 设的联合密度为

（1）求边缘密度和；

（2）判断与是否相互独立.

4. 设的联合密度为

求的概率密度.

5. 设，，且与相互独立.

求（1）的联合概率密度；

（2）；

（3）.

6. 设的联合概率密度为

求及.

7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.

求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.

8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.

问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.

四、证明题（共6分）

设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.

试卷三

参考解答

一、填空

由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

相互独立的正态变量之和仍服从正态分布

且，

，∴

二、单项选择

1. (B)

由

即

∴选择(B).

2. (B)

由题设可知，

故将标准化得

∴选择(B).

3. (C)

∴选择(C).

4.(C)

∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则

∴选择(C).

5. (A)

∴选择(A).

6.(A)

∵由期望的性质知

∴选择(A).

7. (D)

∴选择(D).

8. (B)

与不相关的充要条件是

即

则

∴选择(B).

9. (C)

∴选择(C).

10.(A)

X i ( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则

故

∴选择(A ). 三、计算与应用题 1. 解

显然

的可能取值为

；

的可能取值为

注意到将

个球随机的放入

个盒子共有种放法,则有

即

2. 解

（1）由概率密度的性质有

可得

（2）设，则

3. 解

（1）

即

即，

（2）当时

故随机变量与不相互独立.

4. 解

先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此

当时，，

当时，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

09-10-1-概率统计A--期末考试试卷答案

诚信应考考出水平考出风格浙江大学城市学院 2009— 2010学年第一学期期末考试试卷《概率统计A 》开课单位：计算分院；考试形式：闭卷；考试时间：2010年 1 月24日；所需时间： 120 分钟题序一二三总分得分评卷人一．选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足（ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为（ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立且不同分布得分年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………

概率论期末试卷

填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________.

概率论与数理统计练习题练习题及参考答案

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 σμN 的样本，则∑== n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X ++=μ 是μ的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 =EX DX p -1: 3．?????≤≤-=,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是均匀分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论复习题及答案

复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。（4）会求简单随机变量函数的概率分布。（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。（3）会计算随机变量函数的数学期望。（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论与数理统计期末考试

一填空 1．设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件，4.0)(,8.0)(==A P B A P ，则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立，则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，S 是样本标准差，则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、，从中随意取一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本，n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本，且这两种样本独立，则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ，则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13．已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===，则()P AB = ， ()P A B = 。 14．若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B ＝。 15．若随机变量X 服从(1,3)R -，则(11)P X -<<= 。 16．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝。 17．设随机变量,X Y 相互独立，且X 服从(2)P ，Y 服从(1,4)N ，则(23)D X Y -= 。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F =

概率论及数理统计练习题及答案

练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB .

解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况：出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28

概率统计试题及答案

<概率论>试题一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分

概率统计期末考试试卷及答案

任课教师专业名称学生姓名学号密封线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分分 108

求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即解得24 1 = k 2分（2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分（4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1）求X 的数学期望EX 和方差DX （2）求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分分解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-

概率统计期末试卷.docx

浙江工业大学概率统计期末试卷（ A ）（2009 ～ 2010 第一学期） 2010-1-14 任课教师学院：班级：上课时间：星期 ____,_____节学号：姓名：一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个随机变量 X i (i 1,2,3, , n) 相互独立且具有相同的分布 , 并且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为（） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为（） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则（） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有（） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是（） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数表示 ).

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有（A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（）（A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7．已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。