高数第十章习题
第十章作业高数
第十二章作业(P225) 3,根据级数的收敛和发散的定义判别下列级数的敛散性:解：级数的部分和匕 = (V2 — √r i) + (V3 — √2) H F (V∏ ÷ 1 — √n)=√n + 1 — 1因为lim s n = ∞,所以原级数发散.n→∞解：级数的部分和s …段+六+…+际★西二泊-录+泊一白+…+ 乂+-焉)因为lims rι = ∖ 所以原级数收敛.n→∞4.判定下列级数的敛散性，对于收敛的情形，求出级数的和:解：级数是一公比为“v 1)的等比级数，故收敛，其和为二τ = 1∙____________________________________________ 5(3) 1 - E + 卷+…+ J+ …；解：级数是一公比为-：(-：VI)的等比级数，故收敛，其和为，丁 二:« « 1 —(-彳) 5 (5) ∑n=i⅛解：因为所以级数发散.n→∞ VH解：级数可看作公比为1的等比级数和公比为*的等比级数之和.这两个等比级数13都是收敛的，故原级数是收敛的，其和为民+』=:.14 14 4(9)∑∞1(sinl)2^解：级数可看作公比为黄彦1(< 1)的等比级数,故级数是收敛的，其和为taτi z l.8.已知级数∑^ι%l 的部分和% =求%l 及级数的和s.Σ∞n=l 1(4n-l)(4n+3)sin 2f l l-sin 2l∑^1(√^Γ+1 -解：当九=1 时，a1 = s1 = 0；当九 > 1 时，a n = s n- s n.1 = - ^ =痴乐.“（三八，当M>1时；故册=卜5+1）0,当M=1时s = lim s n = 1.n→∞(习题12.1 (B)) 5.若级数”隰/以一/1)收敛,且limn册=4证明级数M—>8■ 时收敛；解：设级数册.1)与ΣN%1的部分和分别为力和小.因为级数-%IT)收敛，故Hms rι存在，记为s.n→∞又s rι= 2(α2 - %) + 3(a3 -。
《高等数学教程》第十章多元函数微分法习题参考答案
《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案10－1 (A)1.)()(y x xy +2.x xy xy y x 2)()(++5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2,0),({x y x y x π≤≠;(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;(4)41- (5)不存在； (6)0(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续10－1 (B)1．21x +2．1,22-+=+=x y z x x f3．yy x +-1)1(210－2 (A)1.(1)52(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e2. 13.(1)x y x yz y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1vu u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3))ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ (4))]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)y x yx y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xyxy xy xy y z xy y xy x z y y++++=∂∂++=∂∂ (7)x x zy z u x z y u x z y x u z yz y y zln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-(8)zz x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.4π 7.6π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2222222)(y x x y x z +-=∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,222)1(--=∂∂x y x x yz ,)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x xz+-+=∂∂,)sin(22y x x yz+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;012.023=∂∂∂y x z ,2231y y x z -=∂∂∂.10－2 (B)2.74arctan , )74arctan(-.10－3 (A)1.(1)dy y x dx y y )11()1(2-++;(2))(1dy dx xye x x y--;(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(22)(dy x yx dx y x y eyx x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 5252-3. 0.25e4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.50235. -5厘米6. 55.3立方厘米10－3 (B)1.xdy e ydx e du yxyx ⋅+⋅=--222210－4 (A)1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂pz]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ-+-=∂∂z2.)]23ln(2233[22y x xy x x y x z ---=∂∂]23)23[ln(22yx y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[244)(22yx y x x e x z xyy x -+=∂∂+ ]2[244)(22xyx y y e y z xyy x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy xu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy yu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy zu++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2t t e t t -- 6.232)43(1)41(3t t t ---7.xx e x x e 221)1(++ 8.11sin 2++⋅a a x e ax9.)ln 1(1x y x xzy x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)'2'12f ye xf xzxy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f zy z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ (4))1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f xu⋅=∂∂' 14.(1)''2'2242f x f x z +=∂∂,''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f yz +=∂∂(2)''222''12''112212f yf y f x z ++=∂∂ '22''22''12221)1(f y f y f y x y x z -+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ (3)''2222''123''114'222442f y x f xy f y yf xz +++=∂∂''1223''223''113'2'1252222f y x yf x f xy xf yf yx z ++++=∂∂∂ ''224''123''1122'122442f x yf x f y x xf yz +++=∂∂ (4)''33)(2''12''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf f x f e xz y x y x y x ++++++⋅-=∂∂''33)(2''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂ ''33)(2''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf f y f e y z y x y x y x ++++-+⋅-=∂∂10－4 (B)1. )1()()()(212122121ψψϕψϕϕψψϕψϕϕ'+'+'-'=∂∂'-'+'+'=∂∂xx y z x yy x z 2. vvuv uu xv xu v u v u x yf x f xy x xf f x xf xf f y x zyf f f x f x z2222)2(22)2(+++++++=∂∂∂+++=∂∂3. z t y f z f z u x t y f x y f x f x u ∂∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ψϕψϕϕ.10－5 (A)1.xy y e y x 2cos 2--;2.-1;3.xxy x y xy y ln ln 22--. 4.xy xyz xyz yz x z --=∂∂,xyxyz xyzxz y z --=∂∂2 5.z x zx z +=∂∂,)(2z x y z y z +=∂∂ 6. zy y z zxe x z x cos 3,cos 252-=∂∂-=∂∂ 7.dy dx xee x dz xy z xy z ++-+=----1)1(1 8.322224)()2(xy z y x xyz z z ---⋅ 9.32232)(22xy e e z y z xy ze y z z z --- 10. 2 11. 2 12.(1))13(2)16(++-=z y z x dx dy ,13+=z x dx dz (2)y x z y dz dx --=, yx x z dz dy --= (3)y x u y x u -+-=∂∂, y x y v y u -+-=∂∂； y x x u x v -+=∂∂, yx xv y v -+=∂∂10－5 (B)5.32)()()(v u u vv v uv u uv v uu u v u v uu u uv F F F F F F F F F F F F F F F F F -⋅-⋅+⋅+⋅---⋅-⋅ 7.'1'2'2'1'1'2'2'1)12)(1()12(g f yvg xf g f yvg uf x u------=∂∂ '1'2'2'1'1'1'1)12)(1()1(g f yvg xf uf xf g x v----+=∂∂8.1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u ,]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v uu 10－61.321＋2.32 3.)(2122b a ab+ 4.2948 5. 5 6.14227.1412 8.202020000zy x z y x ++++9. }6,2,3{)0,0,0(--=gradf , }0,3,6{)1,1,1=（gradf10－71.切线方程：222111)12(-=-=--z y x π 法平面方程：422+=++πz y x2.切线方程：8142121-=--=-z y x 法平面方程：011682=-+-z y x 3.切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法平面方程:0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x 4.切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程:024916=--+z y x5.)1,1,1(1---P 及)271,91,31(2--P7.(1)切平面方程：042=-+y x法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x(2)切平面方程:22π=+-z y x ， 法线方程:241111π-=--=-z y x(3)切平面方程:002002002202020)()()(1z z z c y y y b x x x a c z z b y y a x x -=-=-=++， 8.2112±=+-z y x 9.)3,1,3(--,133113-=+=+z y x 11.223cos =r10－8])4(21)4(22)[2sin()4(22222)2sin(.122ππηξπ-+-++--++=+y y x x y x y x其中 ).10()4(4<<-+==θπθπηθξy x ，])1(2)1(313)1[ln(!)2(!21.23322232y y x y x x y e y xy y z ηηηξξ+++-++++-+= 其中 ).10(,<<==θθηθξy x ，1021.1.3 10)!1()(!)(.4)(10<<++++=++=+∑θθy x n nk k yx e n y x k y x e10－9(A)1.(1)驻点)0,0(;极大点)0,0((2)驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0(;极大点)0,0(;极小点(2,2).(3)驻点)0,2(),0,76(-;极大点)0,716(;极小点)0,2(-.2.(1)极小值：3231313),(a a a f =； (2)极小值：0)1,1(=-f ； (3)极大值：8)2,2(=-f ；(4)极小值：2)1,21(ef -=-.3.极大值：41)21,21(=z .4.当两边都是2e 时，可取得最大周界.5.当长、宽、都是32k ，而高为3221k 时，表面积最小. 6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 368. .3,521==D D 利润 125)3,5(=L 9.X=15(千克), Y=10(千克)10. （1） 当电台广告费用万元），(75.01=x 当报纸广告费用万元），(25.12=x 时可使利润最大。
高等数学第10章B试题
高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______总分题号选择题填空题计算题证明题其它题型题分20 20 20 20 20 核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( )2、设某个力场的力的方向指向y轴的负向，且大小等于作用点(x,y)的横坐标的平方。
若某质点，质量为m，沿着抛物线1－x=4y2从点(1，0)移动到点(0，)，则场力所做的功为答( )3、设，则U(x,y)=答( )4、用格林公式计算，其中C为圆周x2+y2=R2,其方向为逆时针方向。
则得答( )5、设 d U =[y +ln (x +1)]d x +(x +1－e y )d y , 则U (x ,y )= (A) ⎰⎰-++++yy xy x x x y 0d )e 1(d )]1ln([(B) ⎰-++++xy x x x x 0d )]e 1()1ln([ (C) ⎰-++++yy y y y y 0d )]e 1()1ln([(D) ⎰⎰-+++yy xy x x x 0d )e 1(d )1ln(答 ( )6、7、设C 为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向。
则(A)4π； (B)0； (C)2π； (D)π。
答( )8、某物质沿曲线C ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===3232t z t y t x ，0≤ｔ≤1分布，其线密度为，则它的质量M=答( )9、设L 是xoy 平面上的一条光滑曲线弧，函数f (x ,y )在L 上有界。
用L 上的点M 1，M 2，…M n －1把L 分成n 个小段。
设第i 个小段的长度为ΔS i ·(δi ,εi )为第i 小段上的一点，i =1,2,…,n 。
则函数f (x ,y )在曲线L 上的对弧长的曲线积分(A)∑=∆niiiS f 1) , (ληξ(B) ∑=→∆ni i i S f 10) , (lim λληξ (C) ∑=→∆ni i i S f 10) , (lim λληξ,且极限值与L 的分法无关，与(ξi ,εi )的取法无关。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
高等数学 课后习题答案 第十章
习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。
高数第10章经典类型题
第十章 经典类型题一、二重积分的计算（1）直角坐标系1.画出积分区域，并计算二重积分2+1x D e dxdy ⎰⎰（），其中D 是由x 轴，x y =及1x =所围成的闭区域。
2.计算二重积分D σ⎰⎰，其中D 是由2与1y x y ==所围成区域。
3.计算二重积分2D x dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,3,y x y x ===所围成的闭区域.4. 计算二重积分sin d d ,D x x y x ⎰⎰其中D 是直线2,y x x π==及x 轴所围成的闭区域.5.计算二重积分22Dx dxdy y ⎰⎰，其中D 是直线12,,2y y x x x ===所围成的闭区域。
（2）极坐标系6.计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰,其中D 是由中心在原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域。
7. 计算二重积分Dx σ⎰⎰2d ，其中D 是圆x y +=221所围成的闭区域。
22arctan,1D y dxdy D x y x+=⎰⎰8. 计算其中是由直线y=x,x 轴和围成的在圆周第一象限的闭区域。
.9.计算二重积分cos()D x σ⎰⎰22+y d ，其中D是由直线,y x =轴和圆4x y +=22所围成的在第一象限的闭区域。
二、三重积分的计算10.计算()⎰⎰⎰++V dxdydz z y x sin ，其中V 是平面2π=++z y x 和三个坐标平面所围成的区域。
11.求⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22的值，其中Ω是222与+= =x y z z a 所围成的闭区域。
（a>0）12. 计算⎰⎰⎰Vxyzdxdydz ，其中V 是球面4222=++z y x 和三个坐标平面所围成的在第一挂限内的闭区域。
13.求⎰⎰⎰Ωxydv 的值，其中Ω是由圆柱面2214x y z += =与以及三个坐标面所围成的在第一卦线内的闭区域。
三、求由曲面所围成的立体的体积（理解求解方法）14.求由三个平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱体被平面0z =及抛物面226x y z +=-截得的立体的体积。
高数 第十章线面积分习题和答案
第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。
9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x 222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。
高数下册第十章习题详解 10
习题 10-11． 写出下列级数的前五项: （1）21(2)n n n ∞=+∑； （2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅-⋅∑；（3）11(1)10n n n-∞=-∑； （4）1!(1)nn n n ∞=+∑．解：（1）222221234534567+++++； （2） 1131351357135792242462468246810⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）111111020304050-+-+-；（4）123451!2!3!4!5!23456+++++.2． 写出下列级数的一般项: (1)111246+++； (2)231153759711a aa++++⋅⋅⋅⋅ ；(3) 35791113149162536-+-+-+-22242462468xx+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅(0x >)．解：（1）12nun=；(2) 1(21)(23)n naun n -=-+；（3） 2(21)(1)nnn un+=-；（4）22!nnnx un =⋅.3． 判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=-∑； （2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+； （4）π2ππsinsin sin 666n ++++；（5）1n ∞=-∑； （6）13+++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；(10)23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解：（1）因为11)]1n n S ∞==++=∑，则lim n n S →∞→∞，所以1n ∞=∑发散；（2）因为1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+，则11111()()221212nn k S n k k ==-→→∞-+∑，所以11(21)(21)n n n ∞=-+∑收敛；（3）111111(1)()...()122311n S nn n =-+-+-=-++，收敛（4）由于lim sin6n n π→∞≠，发散（5）因为n a ==--=-，所以1nn k S ==-=∑，lim 1n n S →∞=-=-（6）由于1limn →∞=，则级数发散；（7）1111(1())(1())1111113322()1113232221132lim lim lim limlimlim n nn nnnnn n n n n n S →∞→∞→∞→∞→∞→∞--=-=-=-=-=---收敛（8）由于21lim121n n n →∞-=+，发散（9）2221(n ∞=-=∑（10）由于11lim1(1)n nen →∞=+，发散4． 证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++++⋅⋅⋅-+．证明：由于111111[(1)()...()]34473231n S n n =-+-++--+ 11(1)331n =-+则级数收敛，且其和：111(1)3313lim lim n n n S n →∞→∞=-=+5．若级数1nn u ∞=∑与1nn v ∞=∑都发散时，级数1()nn n u v ∞=±∑的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()nn n u v ∞=±∑收敛性又如何？解：当级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()nn n u v ∞=±∑不一定收敛：如11n n∞=∑与11()n n∞=-∑都发散，而111()00...n n n∞=-=++∑收敛；若其中一个收敛，一个发散，则级数1()nn n u v ∞=±∑发散，证明如下：假设级数1n n u ∞=∑发散，则存在00ε>，对任何的自然数N ，总存在自然数0m N>和0P ，有000000001122()()...()mm m m m P m P μνμνμν++++++++++++00010...m m P μμε++≥++≥，所以该级数发散。
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
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第十章重积分第二节二重积分计算法习题 一、填空题: 1、⎰⎰=++D d y y x xσ)3(323________________.其中.10,10:≤≤≤≤y x D2、=+⎰⎰Dd y x x σ)cos(_______________.其中D 是顶点分别为 )0,0(，)0,(π，),(ππ的三角形闭区域 .3、将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(,其中D 是由x 轴及半圆周)0(222≥=+y r y x 所围成的闭区域,化为先对y 后对x 的二次积分,应为_____________________. 4、将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(,其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的闭域,化为先对x 后对y 的二次积分,应为__________________________. 5、将二次积分⎰⎰--22221),(xx x dy y x f dx 改换积分次序,应为_________________________. 6、将二次积分⎰⎰-xx dy y x f dx sin 2sin 0),(π改换积分次序,应为_________________________.7、将二次积分⎰⎰--2ln 1),(2yedx y x f dy ⎰⎰-++2)1(2112),(y dx y x f dy 改换积分次序,应为__________________________.二、画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、⎰⎰+D yx d eσ,其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域.2、⎰⎰-+Dd x y x σ)(22其中D 是由直线x y x y y 2,2===及所围成的闭区域.3、⎰⎰⎰⎰--=xDdy y x x y dx d y x f 02))(2(cos ),(πσπ。
4.,2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D:20,11≤≤≤≤-y x .三、设平面薄片所占的闭区域D 由直线,2=+y x x y =和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该薄片的质量 . 四、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=,所围成的立体的体积 . 答案一、1、1；2、23π-；3、⎰⎰--220),(xr rrdy y x f dx ；4、⎰⎰⎰⎰+22121121),(),(yydx y x f dy dx y x f dy ；5、⎰⎰-+-211210),(yydx y x f dy ；6、⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy arcsin arcsin 1arcsin 201),(),(ππ； 7、⎰⎰+-21120),(x exdy y x f dx .二、1、1--e e ；2、613；3、π；4、235π+.三、34.四、π6.极坐标习题一、填空题: 1、将⎰⎰Ddxdy y x f ),(,D 为x y x 222≤+,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________. 2、将⎰⎰Ddxdy y x f ),(,D 为x y -≤≤10,10≤≤x ,表示为极坐标形式的二次积分为______________.3、将⎰⎰+xx dy y x f dx 32220)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.4、将⎰⎰2010),(xdy y x f dx 化为极坐标形式的二次积分为______________________.5、将⎰⎰-+xxdy y x dx 221)(221化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.二、计算下列二重积分: 1、⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2、⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D 是由直线x y =,)0(3,,>==+=a a y a y a x y 所围成的区域.3、⎰⎰--Dd y x R σ222,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的区域.4、⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D:322≤+y x .三、试将对极坐标的二次积分⎰⎰-=θππθθθcos 2044)sin ,cos (a rdr r r f d I 交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θ2=r 上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成,它的面密度为22),(y x y x +=ρ,求这薄片的质量.五、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积. 答案一、1、rdr r r f d ⎰⎰-θππθθθcos 2022)sin ,cos (； 2、⎰⎰-+1)sin (cos 020)sin ,cos (θθπθθθrdr r r f d ；3、⎰⎰θππθsec 2034)(rdr r f d ；4、⎰⎰θθθπθθθsec tan sec 4)sin ,cos (rdr r r f d ； 5、⎰⎰θθπθ2cos sin 0401rdr rd ,12-.二、1、)12ln 2(4-π； 2、414a ；3、)34(33-πR；4、π25.三、⎰⎰-=4420)sin ,cos (ππθθθd r r f rdrI a⎰⎰-+ar ar a ad r r f rdr2arccos2arccos22)sin ,cos (θθθ.四、405π.五、4323a π.第三节三重积分习题 一、填空题:1、若Ω由曲面22y x z +=及平面z=1所围成,则三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(化为三次积分是_______________________.2、若Ω是由曲面0(>=c xy cz ),12222=+by ax ,z=0所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(可化为三次积分为_________.3、若10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ,则⎰⎰⎰Ω++dxdydzz y x )(可化为三次积分__________,4、若Ω:是由),0(,0,0>===h h z z x )0(2222>=+=+a a y x a y x 及所围成,则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(可化为：（1）次序为x y z →→的三次积分______.(2)次序为z x y →→的三次积分_____.(3)次序为y z x →→的三次积分_____. 二、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32,其中Ω是由曲面xy z =,与平面01,===z x x y 和所围成的闭区域 . 三、计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ,其中Ω是曲面1,,0===y y z z ,以及抛物柱面2x y =所围成的闭区域.四、计算⎰⎰⎰Ω+dv yx 221,其中Ω是由六个顶点),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1(D C B A )4,2,2(),0,2,2(F E 组成的三棱锥台.答案 一、1、⎰⎰⎰+----111112222),,(y x xxdz z y x f dy dx ； 2、⎰⎰⎰-cxyax b a dz z y x f dy dx 0100),,(22； 3、⎰⎰⎰++11010)(dz z y x dy dx ，23；4、⎰⎰⎰--hxa xa adz z y x f dy dx 02),,(22，⎰⎰⎰--222),,(xa xa ahdy z y x f dx dz ；⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+22222202),,(),,(ya h a a ya ya h adx z y x f dz dy dx z y x f dz dy 二、3641.三、 0.四、 2ln .柱面坐标球面坐标习题 一、填空题:1、若Ω由曲面和)(3222y x z +=16222=++z y x 所围,则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(表示成直角坐标下的三次积分是_________________;在柱面坐标下的三次积分是_________________;在球面坐标下的三次积分是__________________. 2、若Ω由曲面及222y x z --=22y x z +=所围,将⎰⎰⎰Ωzdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,其值为_______.3、若空间区域Ω为二曲面az y x =+22及222y x a z +-=所围,则其体积可表为三重积分_______________;或二重积分____________;或柱面坐标下的三次积分___________________. 4、若由不等式2222)(a a z y x ≤-++,222z y x ≤+所确定,将⎰⎰⎰Ωzdv 表为球面坐标下的三次积分为_________；其值为_______二、计算下列三重积分: 1、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22,其中Ω是由曲面=24z )(2522y x +及平面z=5所围成的闭区域.2、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22,其中Ω由不等式0,0222≥≤++≤<z A z y x a 所确定.3、⎰⎰⎰Ω++dxdydz c zb ya x)(222222,其中=Ω⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c zb y a x z y x . 三、求曲面225y x z --=及z y x 422=+所围成的立体的体积.四、曲面2224a az y x =++将球体az z y x 4222≤++分成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面,0,,22==++=x a y x y x z 0,0==z y 所围成立体的重心(设密度1=ρ). 六、求半径为a,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 (设密度)1=ρ. 答案 一、1、⎰⎰⎰--+----22222216)(34422),,(y x y x xxdz z y x f dy dx ⎰⎰⎰+--------+)(3164422222222),,(y x yx xx dz z y x f dy dx ,⎰⎰⎰-2163220),sin ,cos (r rdz z r r f rdrd θθθπ⎰⎰⎰---+rrdz z r r f rdrd 3162202),sin ,cos (θθθπ,⎰⎰⎰406020,cos sin (θϕϕθππr f d d dr r r r ϕϕθϕsin )cos ,sin sin 2⎰⎰⎰+46520,cos sin (θϕϕθπππr f d d dr r r r ϕϕθϕsin )cos ,sin sin 2；2、⎰⎰⎰-222120rrzdz rdrd πθ,127π； 3、⎰⎰⎰Ωdv ,⎰⎰+-+-Ddxdy ay x y x a )2(2222,⎰⎰⎰-ra aradz rdrd 20202πθ；4、4cos 203402067,cos sin a dr r d d a πϕϕϕθϕππ⎰⎰⎰.二、1、π8； 2、)(15455a A -π； 3、abc π54.三、)455(32-π.四、27376276373321==a aV V ππ. 五、)307,52,52(2a a a .六、)3(422ha M +(其中ρπh a M 2=为圆柱体的质量).。