2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第6章第2讲 等差数列及其前n项和
【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》
备战高考2019年高考数学一轮复习第6章 数列第3节 等比数列及其前n 项和考试要求：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).考点突破，深度剖析考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A.－ 3B.－1C.－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. (2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)A (2)73考点三 等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N *)．[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]自我检测，夯实智能一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A.2B.4C. 2D.2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 4．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.5．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B7.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A8.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B9.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n －1).答案 B二、填空题10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案 4解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.11.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5.答案 512．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n1－2＝2n －1.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 答案 12n14.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0， ∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列， ∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022. 答案 1 02215.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）2三、解答题16.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ，∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.17.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾.故数列{a n ＋1}不是等比数列.19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
2019版高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法第二节等差数列
4．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， a12＝a1＋11d＝－8， a1＝3， 由已知，得 解得 9×8 S9＝9a1＋ d＝－9， d＝－1. 2 16×15 ∴S16＝16×3＋ ×(－1)＝－72. 2
n a1＋an n n－ 1 na1＋ d 2 2 (2)前 n 项和公式：Sn＝_______________＝ ________ .
3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an＝ am＋ (n－m)d (n， m∈ N*)． (2)若 {an}为等差数列，且 k＋ l＝ m＋ n(k， l， m，n∈ N*)， 则 ak＋al＝am＋an 为 2d . (4)若 {an}， {bn}是等差数列，则 {pan＋ qbn}也是等差数列． (5)若 {an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋ m，ak＋2m，…(k，m ∈ N*)是公差为 md 的等差数列． .
课 堂 考 点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 等差数列的基本运算
[题组练透]
S1 1． (2017· 嘉兴二模)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， 若 ＝ S4 1 S3 ，则 ＝ 10 S5 2 A. 5 3 B. 5 3 C. 7 4 D. 7 ( )
解析：设数列{an}的公差为 d，因为 Sn 为等差数列{an}的前 n S1 1 S3 项和，且 ＝ ，所以 10a1＝4a1＋6d，所以 a1＝d.所以 ＝ S4 10 S5 3a1＋3d 6d 2 ＝ ＝ . 15 d 5 5a1＋10d
差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， ____
第六章 第2讲 等差数列及其前n项和
抓住3个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
即当 n≤12 时，an＞0，n≥14 时，an＜0. ∴当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值， 且最大值为 S12＝S13 12×11 5 ＝12×20＋ ×－3＝130. 2 5 法二 同法一求得 d＝－ . 3
nn－1 5 5 2 125 － ＝－ n ＋ n ∴Sn＝20n＋ · 2 6 6 3 252 3 125 5 ＝－ n－ 2 ＋ . 6 24 ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值， 且最大值为 S12＝S13＝130.
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解
(1)当 n＝1 时，8a1＝a2 1＋4a1＋3，a1＝1 或 a1＝3.
当 n≥2 时，8Sn－1＝a2 n－1＋4an－1＋3， 1 2 则 an＝Sn－Sn－1＝ (an＋4an－a2 n－1－4an－1)， 8 从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
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(2)假设存在符合条件的 a. 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1， 从而 an－logabn＝4n－3－loga5n
－1
＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5. 由题意，得 4－loga5＝0，所以 a＝ 5. 所以满足条件的 a 存在，即 a＝ 5. 4 4
＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒ a1＋a20 18 S20＝ ×20＝ ×20＝180. 2 2
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(2)令 Sn＝7n2＋45n，则 an＝14n＋38，Tn＝n2＋3n， 则 bn＝2n＋2， an 14n＋38 7n＋19 7 1 31 则 ＝ ＝ ＝ ＋ × ，由 2n＋1∈N*， b2n 4n＋2 2n＋1 2 2 2n＋1 则 2n＋1＝31，n＝15.
2019版文科数学一轮复习全国版试题第6章第2讲 等差数列及其前n项和(考题帮.数学文) Word版含解析
第二讲等差数列及其前项和题组等差数列及其前项和.[全国卷Ⅰ分]记为等差数列{}的前项和.若,则{}的公差为().[浙江分]已知等差数列{}的公差为,前项和为,则“>”是“>”的() .充分不必要条件.必要不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件.[全国卷Ⅰ分]已知等差数列{}前项的和为,则().[新课标全国Ⅰ分][文]已知{}是公差为的等差数列为{}的前项和.若,则() ..[新课标全国Ⅱ分][文]设是等差数列{}的前项和.若,则().[浙江分]已知{}是等差数列,公差不为零,前项和是.若成等比数列,则() >><<><<>.[全国卷Ⅱ分]等差数列{}的前项和为,则∑=nk kS11..[浙江分][文]已知{}是等差数列,公差不为零.若成等比数列,且,则..[全国卷Ⅱ分][文]等差数列{}中.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设[],求数列{}的前项和,其中[]表示不超过的最大整数,如[],[]..[福建分][文]等差数列{}中.(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)设,求…的值..[新课标全国Ⅰ分][文]已知{}是递增的等差数列是方程的根.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.题组等差数列的性质及应用.[北京分]设{}是等差数列.下列结论中正确的是() .若>,则>.若<,则<.若<<,则>.若<,则()()>.[重庆分][文]在等差数列{}中,则().[广东分]在等差数列{}中,若,则..[陕西分][文]中位数为的一组数构成等差数列,其末项为,则该数列的首项为..[北京分]若等差数列{}满足><,则当时,{}的前项和最大.组基础题.[南宁市联考]等差数列{}中,则{}的前项和等于()。
2019版高考数学(理)第一轮复习课件：等差数列及其前n项和
和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( A．1 B．2 C．4 D．8
解析 设{an}的公差为 d，则
a1＋3d＋a1＋4d＝24， a4＋a5＝24， 由 得 6×5 S6＝48， 6a1＋ 2 d＝48，
解得 d＝4.故选 C.
(2)[2018· 吉林模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 6a3＋2a4－3a2＝5，则 S7＝( ) A．28 B．21 C．14 D．7
(5)若{an}是等差数列， 公差为 d, 则 ak， ak＋m， ak＋2m， …(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列． (6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n 仍成等差数列，其公差为 n2d.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ) (2)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函 数．( × )
第5章
数列
第2讲 等差数列及其前n项和
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它
差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d 为常数)．
的前一项的
2．等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件 是
解析 由 6a3＋2a4－3a2＝5，得 6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)
－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即 5a4＝5，所以 a4 7×a1＋a7 7×2a4 ＝1，所以 S7＝ ＝ ＝ 7 a 4＝7.故选 D. 2 2
数学一轮复习高考帮第6章第2讲 等差数列及其前n项和(.数学文)
第二讲等差数列及其前n项和题组1等差数列及其前n项和1.[2017全国卷Ⅰ,4,5分]记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.82.[2017浙江,6,4分]已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[2016全国卷Ⅰ,3,5分]已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.974.[2015新课标全国Ⅰ,7,5分][文]已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.125.[2015新课标全国Ⅱ,5,5分][文]设S n是等差数列{a n}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.116.[2015浙江,3,5分]已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n.若a3,a4,a8成等比数列,则() A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C .a 1d>0,dS 4<0D .a 1d<0,dS 4>07.[2017全国卷Ⅱ,15,5分]等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑=nk kS 11= . 8.[2015浙江,14,6分][文]已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1= ,d= .9.[2016全国卷Ⅱ,17,12分][文]等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 10.[2015福建,17,12分][文]等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =2a n -2+n ,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.11.[2014新课标全国Ⅰ,17,12分][文]已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n2n }的前n 项和.题组2 等差数列的性质及应用12.[2015北京,6,5分]设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是 ( )A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C.若0<a 1<a 2,则a 2>√a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 13.[2014重庆,2,5分][文]在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7= ( ) A.5B.8C.10D.1414.[2015广东,10,5分]在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .15.[2015陕西,13,5分][文]中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .16.[2014北京,12,5分]若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大.A 组基础题1.[2018南宁市联考,3]等差数列{a n }中,a 3+a 7=6,则{a n }的前9项和等于 ( )A.-18B.27C.18D.-272.[2018惠州市二调,7]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 9=12a 12+6,a 2=4,则数列{1S n}的前10项和为 ( )A.1112 B.1011C.910D.893.[2018长春市高三第一次质量监测,4]等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d>0,则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( )A.6B.7C.8D.94.[2017福建省高三质量检测,4][数学文化题]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日转多七人.每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝.第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人.修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天.”在这个问题中,第5天应发大米( )A.894升B.1 170升C.1 275升 D .1 467升5.[2017昆明市适应性检测,6]已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1=1,√S 3=a 2,则a 8=( ) A.12 B.13 C.14D.156.[2018湘东五校联考,14]已知等差数列{a n }的公差为d ,若a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的方差为8,则d 的值为 .7.[2018辽宁省五校联考,17]已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x2-6x+5=0的两个实根.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)在(1)中,设b n=S nn+c ,求证:当c=-12时,数列{b n}是等差数列.8.[2018惠州市一调,17]在公差不为0的等差数列{a n}中,a1,a4,a8成等比数列.(1)若数列{a n}的前10项和为45,求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=1a n a n+1,且数列{b n}的前n项和为T n,若T n=19-1n+9,求数列{a n}的公差.B组提升题9.[2018河北省武邑中学二调,4]数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5=()A.9B.10C.11D.1210.[2017成都市三诊,12]设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,其中m∈N*且m≥2,则数列{1a n a n+1}的前n项和的最大值为()A.24143B.1143C.2413D.61311.[2018武汉市部分学校调研测试,15]设等差数列{a n}满足a3+a7=36,a4a6=275,且a n a n+1有最小值,则这个最小值为.12.[2018石家庄市重点高中摸底考试,16]设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(S m-S n)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n的值是.13.[2018湘东五校联考,17]已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列a n}的通项公式;(2)设T n为数列{1a n a n+1}前n项的和,若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.答案1.C 设等差数列{a n }的公差为d ,∴{a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,∴d=4,故选C . 2.C 因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d+6a 1+15d=10a 1+21d ,2S 5=10a 1+20d ,所以S 4+S 6-2S 5=d ,所以d>0⇔S 4+S 6>2S 5,故选C .3.C 设等差数列{a n }的公差为d ,因为{a n }为等差数列,所以S 9=9a 5=27,所以a 5=3.又a 10=8,所以5d=a 10-a 5=5,所以d=1,所以a 100=a 5+95d=98,故选C .4.B 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由d=1,S 8=4S 4,得8a 1+28=4(4a 1+6),解得a 1=12,所以a 10=12+9=192,故选B .5.A 解法一 因为数列{a n }为等差数列,设公差为d ,所以a 1+a 3+a 5=3a 1+6d=3,所以a 1+2d=1, 所以S 5=5a 1+5×42×d=5(a 1+2d )=5.解法二 因为数列{a n }为等差数列,所以a 1+a 3+a 5=3a 3=3,所以a 3=1,所以S 5=5(a 1+a 5)2=5×2a 32=5.6.B 由a 3,a 4,a 8成等比数列,得(a 1+3d )2=(a 1+2d )·(a 1+7d ),即3a 1+5d=0,所以a 1=-53d ,所以a 1d<0,又dS 4=(a 1+a 4)×42d=2(2a 1+3d )d=-23d 2<0,故选B .7.2nn+1 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意,得{a 1+2d =3,4a 1+6d =10,解得{a 1=1,d =1,所以S n =n(n+1)2,则1S n=2n(n+1)=2(1n -1n+1),所以∑k=1n1S k=2(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=2nn+1.8.23 -1 由a 2,a 3,a 7成等比数列,得a 32=a 2a 7,则2d 2=-3a 1d ,即d=-32a 1.又2a 1+a 2=1,所以a 1=23,d=-1.9.(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ,由题意有{2a 1+5d =4,2a 1+10d =6,解得{a 1=1,d =25. 所以{a n }的通项公式a n =2n+35.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n =[2n+35].当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,b n =1;当n=4,5时,2<2n+35<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,b n =3;当n=9,10时,4<2n+35<5,b n =4.所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. 10.(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d.由已知得{a 1+d =4,(a 1+3d)+(a 1+6d)=15,解得{a 1=3,d =1.所以a n =a 1+(n-1)d=n+2. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得b n =2n +n , 所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+...+(210+10) =(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)=2×(1−210)1−2+(1+10)×102=211+53 =2 101.11.(Ⅰ)因为方程x 2-5x+6=0的两根为2,3,所以由题意得a 2=2,a 4=3. 设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d ,故d=12,从而a 1=32.所以{a n }的通项公式a n =12n+1.(Ⅱ)设{a n 2n }的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知a n2n =n+22n+1,所以S n =322+423+…+n+12n+n+22n+1,则12S n =323+424+…+n+12n+1+n+22n+2,两式相减得12S n =34+(123+…+12n+1)-n+22n+2=34+14(1-12n -1)-n+22n+2,所以S n =2-n+42n+1.12.C 若{a n }是递减的等差数列,则选项A,B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>√a 1a 3,所以C 正确.故选C .13.B 由等差数列的性质得a 1+a 7=a 3+a 5,因为a 1=2,a 3+a 5=10,所以a 7=8,故选B . 14.10 由a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25得5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.15.5 设等差数列的首项为a 1,根据等差数列的性质可得,a 1+2 015=2×1 010,解得a 1=5. 16.8 因为数列{a n }是等差数列,所以a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0,所以当n=8时,其前n 项和最大.A 组基础题1.B 解法一 设等差数列的公差为d ,则a 3+a 7=a 1+2d+a 1+6d=2a 1+8d=6,所以a 1+4d=3.于是{a n }的前9项和S 9=9a 1+9×82d=9(a 1+4d )=9×3=27,故选B .解法二 由等差数列的性质,得a 1+a 9=a 3+a 7=6,所以数列{a n }的前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=9×62=27,故选B .2.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 9=12a 12+6及等差数列的通项公式得a 1+5d=12,又a 2=4,∴a 1=2,d=2,∴S n =n 2+n ,∴1S n=1n (n+1)=1n -1n+1,∴1S 1+1S 2+…+1S 10=(1-12)+(12-13)+…+(110-111)=1-111=1011.选B .3.C 由d>0可得等差数列{a n }是递增数列,又|a 6|=|a 11|,所以-a 6=a 11,即-a 1-5d=a 1+10d ,所以a 1=-15d 2,则a 8=-d 2<0,a 9=d2>0,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C .4.B 由题意,知每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差数列,则第5天的总人数为5×64+5×42×7=390,所以第5天应发大米390×3=1 170(升),故选B .5.D 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得√3+3d =1+d ,解得d=2或d=-1(舍去),所以a 8=1+7×2=15,故选D .解法二 S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2,由√S 3=a 2可得√3a 2=a 2,解得a 2=3或a 2=0(舍去),则d=a 2-a 1=2,所以a 8=1+7×2=15,故选D .6.±2 依题意,由等差数列的性质得a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的平均数为a 3,则由方差公式得15×[(a 1-a 3)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 3)2+(a 4-a 3)2+(a 5-a 3)2]=8,所以d=±2. 7.(1)∵a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个实根, ∴a 1=1,a 2=5,∴等差数列{a n }的公差为4, ∴S n =n ·1+n (n -1)2·4=2n 2-n.(2)当c=-12时,b n =Snn+c =2n 2-n n -12=2n ,∴b n+1-b n =2(n+1)-2n=2,b 1=2.∴数列{b n }是以2为首项,2为公差的等差数列. 8.(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0),由a 1,a 4,a 8成等比数列可得a 42=a 1·a 8,即(a 1+3d )2=a 1·(a 1+7d ),解得a 1=9d.由数列{a n }的前10项和为45得10a 1+45d=45,即90d+45d=45,所以d=13,a 1=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =3+(n-1)×13=n+83.(2)因为b n =1an a n+1=1d (1a n-1an+1),所以数列{b n }的前n 项和T n =1d [(1a 1-1a 2)+(1a 2-1a 3)+…+(1a n-1an+1)]=1d (1a 1-1an+1),即T n =1d (1a 1-1a1+nd )=1d (19d -19d+nd )=1d 2(19-19+n )=19-19+n,因此1d 2=1,解得d=-1或d=1.故数列{a n }的公差为-1或1. B 组提升题9.D 因为数列{a n }满足2a n =a n-1+a n+1(n ≥2),所以数列{a n }是等差数列,则a 3+a 4+a 5=a 2+a 4+a 6=12.故选D .10.D 因为S m-1=13,S m =0,S m+1=-15,所以a m =S m -S m-1=0-13=-13,a m+1=S m+1-S m =-15-0=-15. 因为数列{a n }为等差数列,所以公差d=a m+1-a m =-15-(-13)=-2, 所以{(m -1)a 1+(m -1)(m -2)2×(-2)=13,ma 1+m (m -1)2×(-2)=0,解得a 1=13. 所以a n =a 1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n , 当a n ≥0时,n ≤7.5,当a n+1≤0时,n ≥6.5, 所以数列{1a n a n+1}的前6项为正数,所以1a n a n+1=1(15-2n )(13-2n )=12(113-2n -115-2n),所以数列{1an a n+1}的前n 项和的最大值为12×(111-113+19-111+17-19+…+1-13)=12×(1-113)=613.故选D .11.-12 设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36,又a 4a 6=275,联立,解得{a 4=11,a 6=25或{a 4=25,a 6=11,当{a 4=11,a 6=25时,可得{a 1=-10,d =7,此时a n =7n-17,a 2=-3,a 3=4, 易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,∴a 2a 3=-12为a n a n+1的最小值; 当{a 4=25,a 6=11时,可得{a 1=46,d =-7,此时a n =-7n+53,a 7=4,a 8=-3, 易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n+1的最小值. 综上,a n a n+1的最小值为-12.12.9 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),因为a 2,a 5,a 11成等比数列,所以a 52=a 2a 11,所以(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d ),解得a 1=2d ,又a 11=2(S m -S n )(m>n>0,m ,n ∈N *),所以2ma 1+m (m-1)d-2na 1-n (n-1)d=a 1+10d ,化简得(m+n+3)(m-n )=12,因为m>n>0,m ,n ∈N *,所以{m -n =1,m +n +3=12或{m -n =2,m +n +3=6,解得{m =5,n =4或{m =52,n =12(舍去),所以m+n=9.13.(1)设公差为d ,由已知得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得d=1或d=0(舍去),所以a 1=2,所以a n =n+1. (2)因为1an a n+1=1n+1-1n+2,所以T n =(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)=12-1n+2=n2(n+2),又λT n ≤a n+1对一切n ∈N *恒成立,所以λ≤2(n+2)2n=2(n+4n )+8,而2(n+4n )+8≥16,当且仅当n=2时等号成立.所以λ≤16, 即λ的最大值为16.。
2019年高考数学(理)一轮复习第六章 数列达标测试(三十) 等差数列及其前n项和习题及答案
课时达标检测（三十）等差列及其前n项和1．若等差列{a n}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13C．14 D．15解析：选B 由S 5＝a2＋a42，得25＝＋a42，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.2．在等差列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，即m＝37.3．在单调递增的等差列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝( )A．－1 B．0C.14D.12解析：选B 由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝34，列{a n}单调递增，∴a2＝12，a4＝32.∴公差d＝a4－a22＝12.∴a1＝a2－d＝0.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．9 B．8C．7 D．6解析：选D 设等差列{a n}的公差为d.因为a3＋a7＝－6，所以a5＝－3，d＝2，则S n＝n2－12n，故当n等于6时S n取得最小值．5．已知等差列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a2n＝0，S2n 38，则n等于________．－1＝解析：∵{a n}是等差列，∴2a n＝a n－1＋a n＋1，又∵a n－1＋a n＋1－a2n＝0，∴2a n－a2n＝0，即a n(2－a n)＝0.∵a n≠0，∴a n＝2.∴S2n－1＝(2n－1)a n＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10一、选择题1．(2017·黄冈质检)在等差列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．95 B．100C．135 D．80解析：选 B 由等差列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.2．(2017·东北三校联考)已知列{a n}的首项为3，{b n}为等差列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝( ) A．0 B．－109C．－181 D．121解析：选B 设等差列{b n}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为a n＋1－a n＝b n，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝b1＋b72＝72＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.3．在等差列{a n}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为S n，则S17为( )A．20 B．17C．42 D．84解析：选B 由a3＋a5＋a11＋a17＝4，得2(a4＋a14)＝4，即a4＋a14＝2，则a 1＋a17＝2，故S17＝a1＋a172＝17.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足S n＞0的最大自然n的值为( )A．6 B．7C．12 D．13解析：选C ∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差列的公差小于零．又∵a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足S n＞0的最大自然n的值为12.5．设列{a n}的前n项和为S n，若S nS2n为常，则称列{a n}为“吉祥列”．已知等差列{b n}的首项为1，公差不为0，若列{b n}为“吉祥列”，则列{b n}的通项公式为( )A．b n＝n－1 B．b n＝2n－1C．b n＝n＋1 D．b n＝2n＋1解析：选 B 设等差列{b n}的公差为d(d≠0)，S nS2n＝k，因为b1＝1，则n＋12n(n－1)d＝k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋12×2n n－d，即2＋(n－1)d＝4k ＋2k (2n －1)d ，整得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．设等差列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若列{S n }也为等差列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n n －2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n＝n ＋2n －2＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n的最大值为121. 二、填空题7．已知等差列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝a 1＋a 112＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78三、解答题11．已知列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：列{b n }为等差列； (2)求列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴列{b n }是以1为首项，2为公差的等差列．(2)由(1)知列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设列{b n }的前n 项和为T n ，求T n的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故列{a n }为等差列．设列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，n ＋－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝－29＋2×15－2＝－225，∴列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。
2019版文科数学一轮复习高考帮全国版课件第6章第2讲 等差数列及其前n项和(2019高考帮·数文)精选ppt版本
文科数学 第六章：数 列
示例3 (1)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37 等于
A.0
B.37
C.100
D.-37
(2)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是
A.20
B.22
C.24
D.-8
思路分析 两个等差数列对应项的和组成的数列也是等差数列,则(1)易求.
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文科数学 第六章：数 列
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文科数学 第六章：数 列
B考法帮·题型全突破
考法1 等差数列的判定与证明 考法2 等差数列的基本运算 考法3 等差数列的性质的应用 考法4 等差数列的前n项和及其最值
当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一系列孤立的点.
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文科数学 第六章：数 列
名师提醒 等差数列的单调性
当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an} 为常数列.
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考点2 等差数列的前n项和（重点）
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考点3 等差数列的性质（重点）
1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an;反之,不一定成 立. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈N*)也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.
数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。
等差数列（1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 .(3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d.（4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。
当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。
（2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。
1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。
特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。
（2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。
(3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。
(6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1=（2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
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第二讲 等差数列及其前n项和 题组1 等差数列及其前n项和 1.[2016全国卷Ⅰ,3,5分][理]已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97 2.[2015新课标全国Ⅱ,5,5分]设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5= ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 3.[2015浙江,3,5分][理]已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则 ( )
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 4.[2013新课标全国Ⅰ,7,5分][理]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.[2017全国卷Ⅱ,15,5分][理]等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则nkkS11= . 6.[2015浙江,10,6分]已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .
7.[2013新课标全国Ⅱ,16,5分][理]等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .
8.[2016山东,18,12分][理]已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn= .求数列{cn}的前n项和Tn. 题组2 等差数列的性质 9.[2015北京,6,5分][理]设{an}是等差数列.下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0 D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 10.[2015广东,10,5分][理]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= . 11.[2015陕西,13,5分][理]中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .
12.[2014北京,12,5分][理]若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
A组基础题 1.[2018南宁市联考,3]等差数列{an}中,a3+a7=6,则{an}的前9项和等于 ( ) A.-18 B.27 C.18 D.-27
2.[2018惠州市二调,7]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9= a12+6,a2=4,则数列{ }的前10项和为 ( )
A. B. C. D. 3.[2018长春市高三第一次质量监测,4]等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时n的值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9 4.[2017福建省高三质量检测,4][数学文化题]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人,次日转多七人.每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝.第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人.修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天.”在这个问题中,第5天应发大米 ( )
A.894升 B.1 170升 C.1 275升 D.1 467升 5.[2017昆明市适应性检测,6]已知等差数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1, =a2,则a8= ( )
A.12 B.13 C.14 D.15 6.[2018湘东五校联考,14]已知等差数列{an}的公差为d,若a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,则d的值为 .
7.[2018辽宁省五校联考,17]已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1的两个实根.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)在(1)中,设bn= ,求证:当c=- 时,数列{bn}是等差数列. 8.[2018惠州市一调,17]在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列. (1)若数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;
(2)若bn = ,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn= - ,求数列{an}的公差. B组提升题 9.[2018河北省武邑中学二调,4]数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2 ,且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12 10.[2017成都市三诊,12]设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中m∈N*且m≥2,则数列{ }的前n项和的最大值为 ( )
A. B. C. D. 11.[2018武汉市部分学校调研测试,15]设等差数列{an}满足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值,则这个最小值为 .
12.[2018石家庄市重点高中摸底考试,16]设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n的值是 .
13.[2018湘东五校联考,17]已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列an}的通项公式; (2)设Tn为数列{ }前n项的和,若λTn≤an+1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 答案
1.C 设等差数列{an}的公差为d,因为S9=9a5=27,所以a5=3.又a10=8,所以5d=a10-a5=5,所以d=1,所以a100=a5+95d=98,选C.
2.A 解法一 数列{an}为等差数列,设公差为d,则a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1, 所以S5=5a1+ d=5(a1+2d)=5.
解法二 因为数列{an}为等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,所以S5= = =5. 3.B 由a3,a4,a8成等比数列可得(a1+3d)2=(a1+2d)·(a1+7d),即3a1+5d=0,所以a1=- d,所以a1d<0,又dS4= d=2(2a1+3d)d=- d2<0,故选B. 4.C 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1,由 - , - ,得 - , - ,解得 - , ,故选C. 5. 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,知 , ,即 , ,解得 , ,所以Sn= ,因此 =2(1- + - +…+ - )= .
6. -1 由a2,a3,a7成等比数列,得 =a2a7,则2d2=-3a1d,即d=- a1.又2a1+a2=1,所以a1= ,d=-1. 7.-49 由已知得 , ,解得a1=-3,d= ,那么nSn=n2a1+ - d= - .由于函数f(x)= - 在x= 处取得极小值,又n=6时,6S6=-48,n=7时,7S7=-49,故nSn的最小值为-49. 8.(Ⅰ)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11, 所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d,
由 , ,得 , , 解得b1=4,d=3. 所以bn=3n+1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn= =3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn, 所以Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×[4+ - - -(n+1)×2n+2]=-3n·2n+2, 所以Tn=3n·2n+2. 9.C 若{an}是递减的等差数列,则选项A,B都不一定正确.若{an}为公差为0的等差数列,则选项D不正确.对于C选项,由条件可知{an}为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得
a2= ,由基本不等式得 > ,故选C.
10.10 由a3+a4+a5+a6+a7=25得5a5=25,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10. 11.5 设等差数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1+2 015=2×1 010,解得a1=5. 12.8 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.所以当n=8时,其前n项和最大.
A组基础题 1.B 解法一 设等差数列的公差为d,则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=6,所以a1+4d=3.于是{an}的前9项和S9=9a1+ d=9(a1+4d)=9×3=27,故选B.