人教版八年级数学上等腰等边三角形及其性质

第1讲 等腰三角形（一）1．等边△ABC 中，D 为AC 的中点，CE ＝CD .求证：BD ＝DE .2．如图，AC ＝AD ，BC ＝BE ，∠DCE ＝045，求证：AC ⊥BC .3．如图，已知AC ＝CD , EF ＝DF ，AF ＝AG ，求∠A.一、全等中的几何画图（一）动态画图，周密思考4．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，过G 点任画直线l ，过A 点、B 点分别作l 的垂线AE 、BF ，垂足为E 、F ，试画图探究AE 、BF 与EF 的大小关系.5．如图，1l ∥2l ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，过C 点任画直线交1l 、2l 于E 、F ，试探究AE 、BF 、AB 三线段的数量关系，并证明．6．在ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小.（二）动态画图，由此及彼7．如图∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线交BC于D点(1) 求证：AB＋BD＝AC(2) 如图，若AD为∠A的外角平分线，问上结论是否成立，画图证明45．8．如图AC＝BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON＝0(1) 求证CN＋MN＝AM(2) 若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明9．已知Rt △ABC ，∠A ＝090，AB ＝AC ，过点B 的直线BF 交直线AC 于D ，CE ⊥BE 于E(1) 当BE 平分∠ABC ，求证：AB ＋AD ＝BC ;(2) BE 转到△ABC 外，平分∠ABC 的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．（一）直角三角形全等问题10．如图，等腰△ABC ，∠ACB ＝090，D 为CB 延长线上一点，AF ＝AD ，且AE ⊥AD ，BE 交AC 的延长线于点P ．(1) 求证：BP ＝PE ;(2) 若32 BC BD ，求PCAC 的值.（二）延长、截取法运用11．已知：CA ＝CB ，AD 平分∠CAB ，且AB ＝AC ＋CD ，求证：AC ⊥BC12.如图在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，E 点与A 点关于x 轴对称，B 点与F 点 关于y 轴对称，∠GEP ＝045，交直线AB 于G 点，交直线AF 于P 点，求证：EG 平分 ∠PGB .13.如图1，点A 、B 分别为x 轴、y 轴正半轴上一点，P 为第二象限一点，P A ⊥PB ，P A 交y 轴于点C ，且C 为P A 的中点．(1) 求证：∠PBO ＝∠P AO ;(2) 已知A (a ，0)、C (0，b )，若()02322=-+-b a ，求P 点的坐标； (3) 如图2，若P A ＝PB ，求BCOC 的值.第2讲 等腰三角形(二)1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2．等腰三角形的判定：(1)等腰三角形定义；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 基础回顾例1 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于M .(1) 求证：∠BME ＝21(∠ACB －∠B )； (2) 若EM 平分AD ，求证：∠CAM ＝∠B .分析：(1)由AD 平分∠BAC ，设∠1＝∠2＝α，根据内角和定理及外角与内角关系定理，建立∠BME 、∠B 、∠ACB 与α之间的关系式，消去参数α“即得；(2)由EM 垂直平分AD ，得MA ＝MD ，∠MAD ＝∠MDA ，于是∠2＋∠CAM ＝∠1＋∠B ，得证．证明：点评：(1)问是“设参法”，先建立含有“参数”和相关量的关系式，再消去参数，便得所求证的关系式(2)问则是运用“等边对等角”的性质证明角相等，这种方法是证明角相等的又一方法，例2等腰△ABC 中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数.分析：按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.解：点评：(1) 当面对的问题情形较多时，应注意分类讨论；(2) 当难以直接计算求角时，可考虑通过建立方程求解.1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角.2．如图，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点，且与∠C的内角平分线交于P点．(1) 直接回答：当∠B与∠C满足什么条件时，点P在△ABC内，在△ABC外，在△ABC 的边上？(2) 若P在△ABC内，过P作PQ∥BC交AB、AC于Q、R．求证：QR＝AQ＋CR例3如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC中点，AD平分∠BAC，MF∥AD 交AC于F．求FC的长.分析：“角平分线＋平行线”易构造等腰三角形，对于中点的条件，类比“倍长中线”的方法，移动CF，构造等腰三角形，寻找CF、AB、AC之间的关系。

解：点评：“构造等腰三角形”和“倍长中线”都是几何中的常用方法，关键在于如何结合条件，做到有效地联结起条件与所求．例4 如图，在凸五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠D ，BC ＝DE ，M 为CD 中点，求证：AM ⊥CD .分析：M 为中点，将AM 置入一个三角形中，连AC 、AD ，要证AM ⊥CD ，转化为证等腰△ACD ( AC ＝AD )，应证△ABC ≌△AED .已有∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，应证AB ＝AE ，转化为证∠1＝∠2，∠3＝∠4.注意到条件∠C ＝∠D ，于是延长BC 、ED 交于F ，得等腰△FCD 和等腰△FBE ，问题得证．证明：点评：(1) 多边形中两个相邻的内角相等，则延长两边就有可能形成等腰三角形;(2) 证两线垂直的问题，可转化为证等腰三角形的问题，再运用“三线合一”的性质，得到垂直关系．(3) 还可延长AB 、AE 交直线CD 于G 、H ，证△AGH 为等腰三角形较简单．3．如图，∠B ＝∠C ，∠ADB ＝090－21∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形.4.如图，直角梯形ABCD ，CD ∥AB ，AB ＝AC ，AE ⊥AC ，且AE ＝AD ，连BE 交AC 于F 求证：BF ＝EF .例5已知如图：B（－1，0），D(0，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD＝AE.(1) 求证：AB＝AC；(2) △ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD＝CF，求证：OG长度不变.证：点评：(1)常规方法运用．(2)基本题型的变式．例6如图，BD平分∠ABC，AD＝DE，EF∥BC，求证：AB＝EF证明：点评：运用倍长法将角等转化为边等．100，BD为∠B的平分线．求证：BC＝BD＋AD5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝06．如图，直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，点M 、N 分别在y 轴和x 轴上，N 点在B 点右侧，且AM ＝BN .(1) 求AOB S ；(2) 如图①，若点M 在AO 上，求证：CM ＝CN ;(3) 如图②，若点M 在y 轴负半轴上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．7．已知，如图①，在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)．(1) BD 平分∠ABO 的外角，∠ADO ＝045，求∠BAD 的大小：(2) 在①中，求OB AE 的值； (3) 如图②，点P 在OB 上，AP ⊥PF ，∠OBF ＝0135，问PFAP 是否变化？8．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，BF＝AC.(1) 求证：AE＝EF;180;(2) 若EF＝EG，点G在BC上．求证：∠ABG＋∠AEG＝0(3) 在(2)的条件下，若∠FEG＝ ，求∠F AG的大小．90，M，N为直线BC上两点，BN＝CM，9.△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝0连接AM，过点G作CD⊥AM交直线AB于点D，连DN(1) 如图1，当M，N两点重合时，求证：∠AMC＝∠DNB；(2) 如图2，(1)中的结论还成立吗？请完成图2并证明；(3) 如图3，当M，N在直线BC上，直接写出∠AMC，∠DNB的关系__________________，不必证明第3讲等边三角形(三)本讲知识归纳1.等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.2.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.在直角三角形中，030所对的直角边等于斜边的一半.基础回顾◆例1 如图，D是等边△ABC内的一点，DB＝DA，BP＝AB，∠P＝030.求证：BD平分∠PBC.分析：由BD＝DA和等边△ABC，连DC，得△ADC≌△BDC,∠1＝12∠ACB＝030＝∠P. 要证BD平分∠PBC，转化为证△PBD≌△CBD.已有:BP＝BA＝BC，BD＝BD,∠1＝∠P，属”SSA”,不能作为全等的依据.注意到BP＝BC，连PC，则得等腰三角形,进而可证等腰三角形△DPC.问题得证.证明:点评:(1)逐步树立”全等意识”——运用全等解决问题；（2）“等边对等角”与“等角对等边”的边角转变意识.◆例2 如图，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°.求证：AB＋BC＝EF＋ED分析：六边形的六个角都是120°，则其邻补角为60°，延长不相邻的两边相交，可得等边三角形，利用等边三角形的边角关系可去证.证明：点评：（1）当题中涉及到30°、45°、60°、120°、135°等特殊角时，常想到去构造特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等.（2）本例方法仍属“补形法”，前面也以介绍过。

1、如图，D、E分别是等边△ABC的边BC、CA上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE，求AF:BF的值.2、已知：六边形ABCDEF的每一个内角都相等，且AB＝1，BC＝CD＝DE＝9，求：这个六边形的周长.方法运用◆例3如图，O是等边△ABC内一点，已知∠AOB＝115°，∠BOC＝125°，求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角的度数.分析：要求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角，先应把这三条线段移到一块构成三角形。

注意到△ABC是等边三角形，可考虑将其中一个三角形绕顶点旋转60°.解：练习点评：在等边三角形（等腰三角形）、正方形等一些特殊的多边形中，为了将分散的条件相对集中起来，常运用“旋转法”A（0，4），B（－2，0），C（2，0），CM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是M、N.(1)求证：CM＋CN＝AB(2)过O点做直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE＋BF＝AB，问：PE与PF存在怎样的关系，并证明.问题探究例4如图，在正五边形ABCDE中，M、N分别是正五边形ABCDE边上的点，BM与CD交于点O,且∠BON＝108°（1）当点M、N在CD、DE上时（如图①）求证：BM＝CN（2）当点M、N分别分别在DE、EA上时（如图②）试问BM＝CN是否成立？说明理由。