证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法
证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．
一、反证法
如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．
反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．
用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．
例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．
反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④
由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(
2
b a )2·(
c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4c
d ＜(a ＋b)(c ＋d)，
综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜3
1ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－3
2ab ，显然矛盾．
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．
例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c
＞0．
证明：反证法
由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，
又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，
从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．
∴假设不成立，从而a ＞0，
同理可证b ＞0，c ＞0．
例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．
证明：反证法
假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，
∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．
故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，
又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，
∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．
例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，
|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于
2
1． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，
∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，
但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋2
1＋2×2
1= 2， 即2＜2，矛盾，
∴假设不成立，
∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于
2
1． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .21932
1,21422
1,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－
21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－2
1，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于
21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于4
1． 证明：反证法
假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞4
1，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞4
1， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞2
1， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞2
1， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞2
3，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．
例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a
不能同时大于1．
证明：反证法
假设⎪⎩
⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么
2
)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2
)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，
即假设不成立，
故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．
二、三角换元法
对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．
若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋
y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22
b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．
例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：2
1≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．
∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－
2
1sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，
而
21r 2≥21，2
3r 2≤3， ∴ 21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 例2 已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10．
证明：∵x 2－2xy ＋y 2= (x －y)2＋y 2，
∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2．
∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan
21)|≤r 5≤10．
例3 已知－1≤x ≤1，n ≥2且n ∈N ，求证：(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n ． 证明：∵－1≤x ≤1，设x = cos θ2 (0≤θ≤2
π)， 则1－x =1－cos θ2= 1－(1－2sin 2θ) = 2sin 2θ，1＋x =1＋cos θ2= 2cos 2θ，
∴(1－x)n ＋(1＋x)n = 2n sin n 2θ＋2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ＋cos 2θ) =2n ，
故不等式(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n 成立．
例4 求证：－1≤21x -－x ≤2．
证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4
π)， ∵－
4π≤θ－4
π≤43π， ∴－1≤2sin(θ－4
π)≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
例7 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥
225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=2
1－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋2
5)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥2
25． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2
25． 例8 已知a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：21a ＋22a ＋…＋2n a ≥n
1． 证明：设a 1= t 1＋n 1，a 2= t 2＋n 1，…，a n = t n ＋n
1，其中t 1＋t 2＋…＋t n = 0，
则21a ＋22a ＋…＋2n a = (t 1＋
n 1)2＋(t 2＋n 1)2＋…＋(t n ＋n 1)2= n ·21n
＋2×n 1( t 1＋t 2＋…＋t n )＋…＋21t ＋22t ＋…＋2n t =n 1＋21t ＋22t ＋…＋2n t ≥n 1． 四、放缩法
放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明．这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则是达不到目的．
利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败．
例5 设n 为自然数，求证：91＋251＋…＋2)12(1+n ＜4
1． 证明：∵2)12(1+k =14412++k k ＜k k 4412+=41(k
1－11+k )， ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =4
1(1－
11+n )＜4
1． ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜4
1[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜4
1． 例5 已知a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ，其中n 为自然数， 求证：
21n(n ＋1)＜a n ＜2
1(n ＋1)2． 证明：∵)1(+k k ＜21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立， ∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＜
23＋25＋27＋…＋212+n =2
1[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)] =21(n ＋2n)＜21(n ＋2n ＋1) =2
1(n ＋1)2． 又)1(+k k ＞2k = k ，
∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＞1＋2＋3＋…＋n =
21n(n ＋1)， ∴21n(n ＋1)＜a n ＜2
1(n ＋1)2． 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和．放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度．
11．设a 、b 为不相等的两正数，且a 3－b 3= a 2－b 2，求证：1＜a + b ＜
3
4． 证明：由题意得a 2＋ab ＋b 2= a + b ，
于是(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2= a + b ，故a + b ＞1，
又(a ＋b)2＞4ab ，而(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2
= a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋4)(2
b a +， 即43(a ＋b)2＜a ＋b ，解得a + b ＜3
4． ∴1＜a + b ＜3
4． 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：
1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋b
a d a ++＜2． 证明：∵d c
b a b +++＜
c b a b ++＜b
a b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜d
c c +，
d c b a d +++＜a d c d ++＜d
c d +， d c b a a +++＜b a d a ++＜b
a a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：
1＜
c b a b ++＋
d c b c ++＋a d c d ++＋b
a d a ++＜2．
证明不等式的几种方法
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法 不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题． 本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法 证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法． 【例1】若,0,0>>b a 证明：21 212 12212)()(b a a b b a +≥+ 证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(3 3b a ab b a +-+= ab b a ab b ab a b a ) ())((+-+-+= ab b ab a b a ) 2)((+-+= 0))((2 ≥-+= ab b a b a ∴原不等式成立 证法二 （作商比较） 右边 左边 b a a b b a ++=3 3)()() () )((b a ab b ab a b a ++-+= ab b ab a ) (+-= 12=-≥ ab ab ab ∴原不等式成立． 点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较） 若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a ∴= -+-+=--| ||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2 211 < +++--) 11)((2 2 2 2b a b a b a ≤++2 2 b a b a 1 即|||)()(|b a b f a f -≤- 综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号． 证法二（作差比较） )2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+
不等式的常见证明方法
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++ 不等式证明的几种方法 刘丹华 余姚市第五职业技术学校 摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。 关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题 引言 证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方 法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。 一、构造法 构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题 的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。 （一） 、构造方程证明不等式 某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来 证明。 例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，2 2 2 2 12 x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤ ，23o y a ≤≤， 203 z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得 2 2 2 21()2a y z y z a --++= ⇒ 222 22()2202 a y a z y z az --+-+ = 因为 y R ∈， 所以 22 4()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤ 所以 203z a ≤≤ 同理可证： 203x a ≤≤， 2 03 y a ≤≤. 不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用． 1 利用构造法证明不等式 “所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”) 52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想 方法常有以下几种形式： 1.1 构造函数证明不等式 构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式． 1.1.1 利用判别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法． 例1 设R z y x ∈,,，证明0)(32 2 ≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令2 2 2 33)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2 2 2 2 )(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=?知0≤?，所以0)(≥x f ． 故0)(322 ≥+++++z y x z y xy x 恒成立． 对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2 )(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤?，从而即可得出所需证的不等式． 例2 设+ ∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证 614141414<+++++++d c b a )18](2[P ． 证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2 不等式的证明方法 不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。 一. 比较法 例1 求证：2 23x +>x . 证明：因为()2 22 155232320222x x x x x ??+-=-+=-+≥> ??? 所以 2 23x +>x . 证明例1的方法称为作差比较法。用差与“0”比较大小。 例2 已知a >b>c>0,求证：() 3 a b c a b c a b c abc ++>。 证明：因为 () 2223 3 3 3 a b c b a c c a b a b c a b c a b c a b c abc ------++= 33 33 33 a b a c b a b c c a c b a b c ------+++= 3 3 3 a b a c b c a a b b c c ---?? ????= ? ? ??? ?? ?? 且a >b>0, 所以a -b>0, 1a b >，故3 1a b a b -??> ??? 。 同理可证 3 1a c a c -??> ???，3 1b c b c -??> ? ?? 。 所以 3 3 3 1a b a c b c a a b b c c ---??????> ? ? ??? ???? ，从而()3a b c a b c a b c a b c ++ >。 证明例2的方法称为求商比较法。用商与“1”比较大小。 二．反证法 例3 是无理数。 = q p ，p ≠0,且p,q 互素，则 所以， 222p q = ① 故2 q 是偶数，q 也必是偶数。 不等式证明常用方法 不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法 例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+. 证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+. 评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论. 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用. 二、作商法 例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥. 证明：首先，由条件0>b a b a ,0>a b b a ， 其次， b a a b b a b a b a b a -=)(， ⑴当0>≥b a 时， 1≥b a ，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a . ⑵当0>>a b 时，10<-b a b a . 综合⑴、⑵：1)(≥-b a b a ，∴a b b a b a b a ≥. 评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论. 2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。作商法常用于证幂、指数形式的不等式。 三、综合法 例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证： c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,c ab 也均是正实数. ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a +≥+≥+≥ 不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 1A B >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 1A B <。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++ 解析：用作差比较法 ∵ ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-= ++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2 a b a b a b ab +> 解析：用作商比较法 ∵ () 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b b ab -++--- - -+??=== ??? 又∵a>b>0,() 2 2 1,01 2a b a b a b a a b a b b a b ab -+-??∴>>∴> ? ?? ∴> 例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。 解析：法1：用作差比较法 [][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x x x a a +--=11l o g )1(l o g 2 ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-< x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 法2：用作商比较法 2 111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x --=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证 不等式证明的几种常用方法 一、比较法 （1）差值比较法 要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。 ①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体； ②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段； ③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 【例一】 求证：2 33x x +> 证明： ()() () 2 2 2 2 33223333 x x x x +-=-+ - + 2 333 0244x ? ?=-+≥ > ?? ? 2 33x x ∴+> (2)商值比较法 已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式； ③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 【例二】 已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥ 证明： = ∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1; 当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即a b b a a b a b ≥ 二、综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。重点：基本不等式 【例三】 已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 证明： 2 2 2a b ab +≥ ，2 2 2a c ac +≥，2 2 2c b bc +≥ ()2 2 2a b c abc ∴+≥，()2 2 2b a c abc +≥，()2 2 2c a b abc +≥ ∴a (c 2+b 2 )+b (a 2 +c 2 )+c (a 2 +b 2 )≥6abc . 又因为a ,b ,c 是不全等的正数 所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 三、分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B 的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn -A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 【例四】 求证：6 372+ < + 证明: 证明函数不等式的六种方法 在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。 1. 代数法 这种方法是最常用的方法之一。我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。 例如，我们要证明： f(x) > g(x) 其中 f(x) = x^2 + 2x + 1 g(x) = x^2 + x 我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到： f(x) - g(x) = x + 1 因此， f(x) > g(x) 当且仅当 x > -1 2. 消元法 这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。 例如，我们要证明： f(x, y) > g(x, y) 其中 f(x, y) = x^2 + y^2 g(x, y) = x^2 - y^2 我们可以将y消去，得到： f(x, y) - g(x, y) = 2y^2 因此， f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 0 3. 极限法 这种方法通常适用于连续函数的不等式。我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。 例如，我们要证明： f(x) > g(x) 其中 f(x) = x^2 + 2x + 1 g(x) = x^2 + x 我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到： lim (f(x)) = +∞ x→+∞ lim (g(x)) = +∞ x→+∞ 因此， f(x) > g(x) 当 x → +∞ 4. 导数法 【技巧题型】不等式题目的七种证明方法 高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！ 压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。 今天，我就来总结一下不等式的证明方法。 1 比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过 来确定a,b大小关系的方法。前者为作差法，后者为作商法。 但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。 2 分析法和综合 这两个方法我们一般会一起使用。 分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。 如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。 综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。 我们来看一个例题，已知 如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。 当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。 3 反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。 这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。 反证法证明一个命题的思路及步骤： 探究证明不等式的几种常用方法 不等式在数学中占有十分重要的地位,证明不等式的方法和技巧也很多,本文介绍一些常用方法,仅供大家参考。 1.比较法 欲比较两个数的大小,可以作它们的差,通过适当变形与零进行比较,最后下结论。 例:已知a、b都是正实数,且ab,求证a 3+b 3>a 2b+ab 2。 证明:由(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)=(a 3-a 2b)-(ab 2-b 3)=a 2(a-b)-b 2(a-b)=(a 2-b 2)(a-b)=(a+b)(a-b) 2 ∵a,b>0,a+b>0 又ab,(a-b) 2>0 故(a+b)(a-b) 2>0,即(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)>0 a 3+ b 3>a 2b+ab 2 2.增减项法 例:已知a>b>0,求证:a+1(a - b)b≥3, 证明:原式左端变形为(a-b)+b+1(a - b)b≥33(a-b)•b•1(a - b)b=3。 3.拆项法 例:设a、b、c∈R +,且a、b、c两两不相等,abc=1,求证:1a+1b+1c>a+b+c。 证 明:=1a+1b+1c=12(1a+1a)+12(1b+1b)+12(1c+1c)=12(1a+1b)+12(1b+1c)+12(1a+1c) >1ab+1bc+1ca=abcab+abcbc+abcca=a+b+c。 4.放缩法 所谓放缩法,一是根据不等式的传递性,将和(或积)中的某些项换成较大(或较小)的,使其和(或积)较大(或较小);二是对于分式的分子(或分母)的扩大(或缩小),使其分式值增大(或缩小),再者是把某些项舍去(或添上)等等技巧性方法。 例:求证:19+125+…+1(2n+1) 2c1+c。 证明:设函数f(x)=x1+x.该函数在(0,+∞)上单调递增,又a、b、c是△ABC的三边长,故a+b>c ∴f(a+b)=a+b1+a+b>f(c)=c1+c 又a1+a+b1+b>a1+a+b+b1+a+b+a+b1+a+b=f(a+b)=a1+a+b1+b>c1+c. 6.换元法 例:已知a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥13 证明:令a=m+13,b=n+13,c=t+13,则m+n+t=0。 ∴a 2+b 2+c 2=(m+13) 2+(下转22页) (n+13) 2+(t+13) 2=m 2+n 2+t 2+2(m+n+t)3+13=m 2+n 2+t 2+13 ∵m 2+n 2+t 2≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥13 7.构造法 构造法的基本原理是数学模型法。利用构造法证明不等式,就是通过构造辅助元素,把条件与结论沟通起来,使问题得以证明的方法。 例:设a、b、c∈R +,且a+b=c,求证:(1)当r>1时,a r+b rc r。 考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ） 来源：文都教育 不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。 1、利用函数的单调性证明不等式 利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数()F x 及区间[,]a b ，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。 下面来看一道典型例题： 例1 证明：当0x >时，ln(1)x x +<． 证明：构造函数()ln(1)F x x x =+-，则1'()11F x x = -+．当0x >时，'()0F x <，()F x 单调减少，则()(0)0F x F <=，即ln(1)x x +<． 类似可证明：当0x >时，1x e x >+．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。 2、利用函数的最值证明不等式 利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数()f x 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足()m f x M ≤≤。 例2 证明：111ln(1) x x +<-， 当10x x <≠且时成立． 证明：令()ln(1)ln(1)F x x x x x =+---， 则1'()1ln(1)ln(1)11 x F x x x x x =+---=----，当0x <时，'()0F x <，()F x 单调递减；当01x <<时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以0x =是()F x 的极小值点，也是最小值点．又 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种．这就是最"没办法"的时候往往又"最有办法",所谓的"正难则反"就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有"至多"、"至少"、"均是"、"不都"、"任何"、"唯一"等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数,求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ② 由不等式③得cd ＜ab 3＞8,即p 3＋q 3＋3pq ＞8, ∵p 3＋q 3= 2,∴pq ＞2． 故pq ＞2 = p 3＋q 3= < p 2－pq ＋q 2>, 又p ＞0,q ＞0 ⇒ p ＋q ＞0, ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2,即 2 ＜0,矛盾． 故假设p ＋q ＞2不成立,∴p ＋q ≤2． 例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b,其中a 、b 是与x 无关的常数,求证： 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号 成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s ≥t B.s>tC.s ≤tD.s 不等式的证明方法 引言 不等式是变量之间很重要的一种联系，证明不等式的方法，人们作了不少探索，不少文章和专著作了这方面的汇聚和总结工作。本文的编写目的是归纳、总结《高等数学》中证明不等式的常用方法，帮助初学者掌握有关的证明方法和技巧。 证明不等式常用的方法有：比较法(差值比较与正数的商值比较)；分析法；综合法；变量替换法；判别式法；反正法；微积法；数学归纳法。 本文着重讲解数学归纳法和微积法，在证明过程中也穿插着用变量替换法（或引入参数法），判别式法。 证明中常用到的不等式如下： 1°a 2+b 2≥2ab ，a,b ∈R 2°1/a+1/b ≥4/(a+b), a 、b>0、a ≠b 3°a 3+ b 3+ c 3≥3abc, a 、b 、c ∈R + 4°b/a+a/b ≥2、a 、b 同号 5°(a 1+a 2+…a n )/n a 1,a 2,…,a n ∈R + 6°(a 1+a 2+…+a n ) (1/ a 1+1/a 2+…+1/a n ) ≥n 2 a 1,a 2,…,a n ∈R + 7° 贝努力不等式：(1+x 1)(1+x 2)……(1+x n )≥1+ x 1+ x 2+…… + x n 其中x 1 x 2…… x n 为同号且大于-1的数。 8°当 n>1时 n!<1( )2 n n + 9°柯西不等式:设a k 和b k 均为任意实数(k=1,2……n),则 (1n k k k a b =∑)2 ≤(2 1 n k k a =∑)(21 n k k b =∑) 10°琴生不等式:设P 1,P 2…P n 是一组正实数,而且P 1+…+P n =1,则对于区间(a,b)上任意一个满足条件函数()0f x ''≥的函数f(x),恒有不等式 1 1 ()()n n k k k k k k f p x p f x ==≤∑∑其中x 1,x 2…x n ∈(a,b),特别地,P 1=P 2=…=P n =1/n 时, 则有不等式f((x 1+x 2+…+x n )/n) ≤1n [f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n )] 一.利用数学归纳法 该发适用于证明对任何自然数n 都成立的不等式。 例1、证明贝努力不等式 (1+x 1)(1+x 2)……(1+x n ) ≥1+x 2+x 3+…… +x n 其中x 1,x 2,……,x n 是符号相同且大于-1的数。 证明：1°(1+x 1)(1+x 2)=1+x 1+x 2+x 1x 2≥1+x 1+x 2 ∵x 1x 2≥0，可知n=2时命题成立 2°设n=k 时，命题成立，即(1+x 1)(1+x 2)…(1+x k )≥1+x 1+x 2+…+x k ∵x 1，x 2。。。x k+1 同号，且为大于-1的数 ∴(x 1+x 2+…+x k )*x k+1≥0 因之(1+x 1)(1+x 2)…(1+x k )(1+x k+1)≥(1+x 1+x 2+…+x k )(1+x k+1) =(1+x 1+x 2+…+ x k + x k+1)+(x 1+x 2+…+x k )*x k+1≥1+x 1+x 2+…+x k +x k+1 这说明n=k+1时，命题也成立。 由1°2°可知命题对一切n 成立。 例2、证明不等式n!＜1( )2n n +1()2 n n +,n ＞1 提示：利用不等式11 21( )(1)211 n n n n n +++=+>++(n=1，2……) 证明：1°显然2！＜2 21()2 + 于是n=2 是命题成立。 2°设n=k 时，命题成立，即不等式证明的几种方法
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