基本初等函数专项训练(含答案)经典题
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则 叫做以 为底 的对数, 记作 , 其中 叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即 ；自然对数： , 即 （其中 …）. （4）对数的运算性质 如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数 的定义域为 , 值域为 , 从式子 中解出 , 得式子 . 如果对于 在 中的任何一个值, 通过式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 表示 是 的函数, 函数 叫做函数 的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 , 并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称.②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域. ③若 在原函数 的图象上, 则 在反函数 的图象上. ④一般地, 函数 要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（ ）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于 （ ） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则 等于 （ ） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则 的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（ ） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于 （ ）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若 的图像是 （ ）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。
基本初等函数练习题与答案
2．函数 f (x) log1 x2 2x 5 的值域是__________.
2
3．已知 log14 7 a, log14 5 b, 则用 a, b 表示 log35 28
。
4．设 A 1, y, lg xy, B 0, x , y,且 A B ，则 x
2 2 lg 3 lg 3 2 6
3．解：
x
0 且1 1
x x
0，
1
x
1且
x
0
，即定义域为 (1, 0)
U(0,1) ；
f
(x)
1 x
log2
1 1
x x
1 x
log2
1 1
x x
f
的值。
2．计算 1 lg 0.001 lg2 1 4 lg 3 4 lg 6 lg 0.02 的值。 3
3．已知函数
f
(x)
1 x
log2
1 1
x x
,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。
4．（1）求函数 f (x) log2x1 3x 2 的定义域。
D． b a c
二、填空题
1．若函数 y log2 ax 2 2x 1 的定义域为 R ，则 a 的范围为__________。 2．若函数 y log2 ax 2 2x 1 的值域为 R ，则 a 的范围为__________。
3．函数 y 1 (1 )x 的定义域是______；值域是______. 2
2
B．
2
1
必修1基本初等函数基础练习含答案
必修1基本初等函数基础练习含答案参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2022路南区校级二模）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0B．0＜a＜1，0＜b＜1C．a＞1，0＜b＜1D．a＞1，﹣1＜b＜0【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断【解答】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，某某因为函数y=a的图象过定点（0，1），函数y=a+b的图象过定点（0，1+b），由图象知0＜1+b＜1∴﹣1＜1+b＜0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较；换底公式的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．2．（2022云南模拟）设a=1，b=0.3，c=5，则下列不等式中正确的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性判断b，c与1的关系即可500.30【解答】解：∵b=0.3＜0.3=1，c=5＞5=1，a=1，∴c＞a＞b故选：C 【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题4．（2022深圳一模）若函数y=a+b的部分图象如图所示，则（）某50.3A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0B．0＜a＜1，0＜b＜1C．a＞1，﹣1＜b＜0D．a＞1，0＜b＜1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断【解答】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，某某因为函数y=a的图象过定点（0，1），函数y=a+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．3．（2022深圳一模）若函数y=a+b的部分图象如图所示，则（）某5．（2022西安模拟）已知a=π，b=3，c=e，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．3ππ第1页（共6页）【分析】根据函数y=某的增减性判断b＞c，再构造函数f（某）=某﹣3，判断a＜b；最后判断c＜a；即可得出π3某结论．【解答】解：∵a=π3，b=3π，c=eπ，函数y=某π是R上的增函数，且3＞e＞1，∴3π＞eπ，即b＞c＞1；设f（某）=某3﹣3某，则f（3）=0，∴某=3是f（某）的零点，∵f′（某）=3某2﹣3某ln3，∴f′（3）=27﹣27ln3＜0，f′（4）=48﹣81ln3＜0，∴函数f（某）在（3，4）上是单调减函数，∴f（π）＜f（3）=0，∴π3﹣3π＜0，即π3＜3π，∴a＜b；又∵eπ＜πe＜π3，∴c＜a；综上b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查了利用函数的单调性判断大小的应用问题，是较难的题目．6．（2022北京模拟）在同一坐标系中，函数y=3某的图与的图象（A．关于某轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=某对称【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数图象和性质以及偶函数的定义即可判断【解答】解：分别作出y=3某的图与的图象，如图所示，由图象可知，图象关于y轴对称．故选：B【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题7．（2022枣庄一模）函数f（某）=a某﹣b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（A．a＞1，b＞0B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：由指数函数的单调性知函数为递减函数，则0＜a＜1，∵f（0）=a﹣b＜1，∴﹣b＞0，即b＜0，故选：D【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．8．（2022嘉兴二模）计算：log43log92=（）A．B．C．4D．6【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的换底公式、运算法则即可得出．【解答】解：log43log92==，故选：A．【点评】本题考查了对数的换底公式、运算法则，属于基础题．9．（2022嘉兴二模）计算：（log43+log83）（log32+log92）=（）A．B．C．5D．15第2页（共6页）））【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．12．（2022眉山模拟）若logm＜logn＜0，则（）A．1＜m＜nB．1＜n＜mC．n＜m＜1D．m＜n＜1【分析】化简（log43+log83）（log32+log92）=（log23+log23）（log32+log32），且log23log32=1，从而解得．【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（log23+log23）（log32+log32）=log23log32=；故选：A．【点评】本题考查了对数的化简与运算，属于基础题．10．（2022青羊区校级模拟）﹣（﹣10）0+（log2）（log2）的值等于（A．﹣2B．0C．8D．10【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：﹣（﹣10）0+（log2）（log2）=3﹣1+（﹣2）某2=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．11．（2022沙坪坝区校级一模）若2a=3，则log318=（）A．3+B．3﹣C．2+D．2﹣【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数性质和换底公式求解．【解答】解：∵2a=3，∴a=log23，∴log318====2+．故选：C．【点评】本题考查对数的化简求值，是基础题，解题时要注意换底公式的合理运用．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的换底公式，将对数进行化简，然后利用对数函数的性质进行求解判断．【解答】解：由换底公式可知，不等式logm＜logn＜0，等价为，则logn＜logm＜0，∴n＞m＞1，即1＜m＜n．故选：A．【点评】本题主要考查对数的换底公式的应用，以及对数函数的单调性，倒数的性质，综合性较强．13．（2022聊城校级模拟）若lg2=a，lg3=b，则log23等于（）A．B．C．abD．ba【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数换底公式即可得出．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log23==．故选：A．【点评】本题考查了对数换底公式，考查了计算能力，属于基础题．14．（2022天水校级模拟）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．15．（2022南昌校级模拟）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】常规题型．【分析】根据换底公式变为同底的对数再比较大小．第3页（共6页））【解答】解：log46=∵3＞∴＞=；log89==故选A【点评】本题考查了换底公式，和对数函数的单调性．当给出的对数不同底时，往往要转化为同底的进行大小比较．16．（2022天水校级模拟）已知A．B．A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．200.20【分析】由a=log0.22＜log0.21=0，0＜b=0.2＜0.2=1，c=2＞2=1，能比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a=log0.22＜log0.21=0，200.200＜b=0.2＜0.2=1，c=2＞2=1，∴a＜b＜c，故选A．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．，则下列不等式一定成立的是（）C．ln（a﹣b）＞0D．3a﹣b18．（2022靖远县校级三模）若a=2，b=log23，c=log2A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数的性质及应用．0.5，则有（）＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意得出a＞b＞0；利用指数函数y=与幂函数y=某的单调性判断A正确，b【分析】化简a=2=【解答】解：a=2=b=log23＞log22=1，且b=log23＞log220.50.5，c=log2，c=log2=﹣，判断log23＞log22=﹣，=，从而得出b＞a＞c．利用作差法判断B错误，利用分类讨论法判断C错误，根据指数函数的性质判断D错误．【解答】解：∵y=某是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0；又∵y=∴b=＞=a，是定义域R上的减函数，＜；故b＞a＞c，故选B．【点评】本题考查了对数、指数的运算及对数值的取值范围，属于基础题．19．（2022长春校级模拟）已知a=log23，b=log46，c=log49，则（）A．a=b＜cB．a＜b＜cC．a=c＞bD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质和对数的换底公式，即可比较大小．【解答】解：根据对数的换底公式可知log23=log49，∴a=c，∵函数y=log4某，为增函数，∴log46＜log49，即a=c＞b，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数的单调性和对数的换底公式是解决本题的关键．又∵y=某在（0，+∞）上是增函数，∴∴∵﹣=＜＜；，A正确；＜0，∴＜，B错误；当1＞a﹣b＞0时，ln（a﹣b）＞0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≤0，∴C错误；∵a﹣b＞0，∴3＞1，D错误．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数以及幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了作差法与分类讨论思想的应用问题，是基础题目．17．（2022新郑市校级一模）设a=log0.22，b=0.2，c=2，则（）20.2a﹣b20．（2022赤峰模拟）设a=log53，b=log73，c=log35，则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．第4页（共6页）【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可由1＜3＜5＜7得0＜log73＜log53＜1，log35＞1．【解答】解：∵1＜3＜5＜7，∴0＜log73＜log53＜1，log35＞1；∴c＞a＞b，故选C．【点评】本题考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题．21．（2022唐山三模）设a=logπ3，b=log3π，c=lnπ，则（）A．c＞a＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】由利用三个数与1的大小关系，以及对数的运算性质，能够比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a=logπ3＜log33=1，b=log3π＞log33=1，c=lnπ=logeπ＞log3π=b，∴a＜b＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．23．（2022湛江一模）函数f（某）=log2（某﹣1）的定义域是（）A．{某∈R|某＞1}B．{某∈R|某＜1}C．{某∈R|某≥1}D．{某∈R|某≤1}【考点】对数函数的图像与性质；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：某﹣1＞0，解得：某＞1，∴函数f（某）的定义域是{某∈R|某＞1}，故选：A．【点评】本题考查了对数函数的定义域问题，是一道基础题．24．（2022重庆校级模拟）若A．B．C．，则a的取值范围是（）D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】分a＞1和1＞a＞0两种情况，利用函数y=loga某在它的定义域上的单调性，结合条件求得a的取值范围，再取并集即得所求．【解答】解：当a＞1时，函数y=loga某在它的定义域（0，+∞）上是增函数，由于=logaa，故可得a＞1．22．（2022赣州一模）已知a=log42，b=log63，c=lg5，则（）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质，判断对数的取值范围即可．当1＞a＞0时，函数y=loga某在它的定义域（0，+∞）上是减函数，由于=logaa，故可得＞a＞0．，综上可得a的取值范围是【解答】解：a=log42=，b=log63c=lg5＞，又b﹣c=log63﹣lg5====，故选C．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．25．（2022吉林校级四模）若f（某）是幂函数，且满足A．B．C．2D．4=2，则=（）=，【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由待定系数法求得幂函数解析式，从而求出【解答】解：设f（某）=某，由，得α=log32，α∴b＜c，故a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查对数值的大小比较，根据对数的运算性质，判断对数的取值范围是解决本题的关键．．第5页（共6页）∴．【分析】首先利用对数的换底公式，化为含有log23的代数式后代值即可得到答案．【解答】解：log49===log23=a．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．26．（2022春重庆期末）已知函数f（某）=3，对任意的某1，某2，且某1＜某2，则下列四个结论中，不一定正确的是（）A．f（某1+某2）=f（某1）f（某2）B．f（某1某2）=f（某1）+f（某2）C．（某1﹣某2）[f（某1）﹣f（某2）]＜0D．【考点】指数函数的图像变换．【专题】函数的性质及应用．﹣某故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础的计算题．29．（2022春潮州期末）化简：2log2510+log250.25=（）A．0B．1C．2D．4【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：2log2510+log250.25=log510+log50.5=log55=1．故选：B．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算能力．【分析】化简函数f（某）=3=【解答】解：∵函数f（某）=3=﹣某﹣某，进而分析函数的单调性和凸凹性，可判断四个答案的真假．是指数函数，且在定义域R为减函数，且为凹函数，30．（2022春济南校级期末）计算（log54）（log1625）=（）A．2B．1C．D．故A：f（某1+某2）=f（某1）f（某2）正确；（表示函数是指数函数）B：f（某1某2）=f（某1）+f（某2）错误；（表示函数是对数函数）C：（某1﹣某2）[f（某1）﹣f（某2）]＜0正确；（表示函数是减函数）D：正确；（表示函数是凹函数）【考点】换底公式的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果．【解答】解：（log54）（log1625）==某=1．某故选：B【点评】本题考查的知识点是指数和对数的运算性质，指数函数的图象和性质，是指数函数与抽象函数的综合应用，难度中档．27．（2022春杭州期末）计算：log225log52A．3B．4C．5D．6【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据换底公式，化简计算即可．=（）故选B．【点评】本题考查对数的运算性质，解答本题，熟练掌握对数的运算性质及对数的换底公式是关键，本题中选择底数很重要，一般换底时都选择常用对数．【解答】解：log225log52==3．故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．28．（2022春枣庄期末）若log23=a，则log49=（）2A．B．aC．2aD．a【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．第6页（共6页）。
基本初等函数练习题与答案
数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）[基础训练A 组] 一、选择题1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称 4．已知13x x -+=，则3322x x -+值为（ ）A. B. C. D. -5．函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2(,1]36．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A. 60.70.70.7log 66<< B. 60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<<7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3xe D ．34xe +二、填空题1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
2．化简11410104848++的值等于__________。
3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。
4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x xy 的值是_____________。
5．方程33131=++-xx的解是_____________。
6．函数1218x y -=的定义域是______；值域是______.7．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 。
(完整版)基本初等函数测试题及答案
基本初等函数测试题一、选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．有以下各式：① na n ＝ a ； ②若 a ∈ R ，则 (a 2－ a ＋ 1)0＝ 1；③ 3 x 44y ; ④6－ 2 2＝ 3－ 2.y3x3此中正确的个数是 ()A ． 0B ． 1C ．2D ．3|x|的图象是 ()2．函数 y ＝ a (a>1)3．以下函数在 (0，＋∞ )上是增函数的是 ()－xB ． y ＝－ 2x1A ． y ＝ 3C ． y ＝ logxD ． y ＝ x24．三个数 log 21， 20.1,2－1 的大小关系是 ()51－1－－11 －A ． log 25<2<2 1 B ． log 25<2 1<20.1 C ． 2<2 1<log 25 D ． 2<log 25<215．已知会合 A ＝ { y|y ＝ 2x ， x<0} ， B ＝ { y|y ＝log 2x} ，则 A ∩ B ＝ ()A ． { y|y>0}B ． { y|y>1}C ． { y|0<y<1}D ．6．设 P 和 Q 是两个会合，定义会合 P －Q ＝ { x|x ∈ P 且 x?Q} ，假如 P ＝{ x|log x ＜ 1} ，Q2＝ { x|1<x<3} ，那么 P －Q 等于 ( )A ． { x|0＜ x ＜ 1}B ． { x|0＜ x ≤ 1}C ． { x|1≤ x ＜2}D ． { x|2≤ x ＜ 3}17．已知 0<a<1， x ＝ log a 2＋ log a 3， y ＝2log a 5，z ＝log a 21－ log a 3，则 ( )A ． x>y>zB ． x>y>xC ． y>x>zD ． z>x>y8．函数 y ＝ 2x － x 2 的图象大概是 ()9．已知四个函数① y ＝ f 1(x)；② y ＝ f 2 (x)；③ y ＝f 3(x)；④ y ＝ f 4( x)的图象以以下图：- 1 -则以下不等式中可能建立的是 ()A ． f (x ＋ x )＝ f (x )＋ f (x )B ． f (x ＋ x )＝f (x )＋ f(x )112111 22122122C ． f 3(x 1＋ x 2) ＝f 3(x 1)＋ f 3(x 2 )D ． f 4(x 1＋ x 2)＝f 4(x 1)＋ f 4(x 2)f ( x)12－1， f 3 2，则 f 1 2 310．设函数x 2(x)＝ x(2010))) 等于 ()1， f (x)＝ x ( f (fB ． 2010211A ． 2010 C.2010 D. 201211．函数 f(x)＝3x 2 ＋ lg(3 x ＋ 1)的定义域是 ( )1－xA. －∞，－ 1B. － 1， 133 3C. －1， 1D. － 1，＋∞332e x －1， x<2，12． (2010 石·家庄期末测试)设 f(x)＝则 f[ f(2)] 的值为 ()log 3 x 2－ 1 ， x ≥ 2.A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13． 给出以下四个命题：(1)奇函数的图象必定经过原点；(2)偶函数的图象必定经过原点；1(3)函数 y ＝ lne x 是奇函数； (4)函数 yx 3 的图象对于原点成中心对称.此中正确命题序号为 ________． (将你以为正确的都填上 )14. 函数 y log 1 (x 4) 的定义域是.215．已知函数 y ＝ log a (x ＋b)的图象以以下图所示，则 a ＝ ________， b ＝ ________.16．(2008 上·海高考 )设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈ (0，＋∞ )时，f(x)＝ lgx ，则知足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ________．- 2 -三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 10 分 )已知函数 f( x)＝ log 2(ax ＋ b)，若 f(2)＝ 1， f(3)＝ 2，求 f(5)．118． (本小题满分 12 分 )已知函数 f (x)2 x 2 .(1)求 f(x) 的定义域； (2) 证明 f(x)在定义域内是减函数．2x － 1 19． (本小题满分 12 分 )已知函数f( x)＝2x ＋ 1.(1)判断函数的奇偶性； (2) 证明： f( x)在(－∞，＋∞ )上是增函数．220． (本小题满分 12 分 )已知函数 f x(m 2 m 1)x mm 3是幂函数 , 且 x ∈ (0，＋∞ )时， f(x)是增函数，求 f(x)的分析式．21． (本小题满分 12 分 )已知函数 f( x)＝ lg(a x －b x )， (a>1>b>0) ．(1)求 f(x)的定义域；(2)若 f(x)在 (1，＋∞ )上递加且恒取正当，求a ，b 知足的关系式．1122． (本小题满分 12 分 )已知 f(x)＝ 2x －1＋2 ·x.(1)求函数的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性；(3)求证： f(x)>0.- 3 -参照答案答案速查： 1-5 BCDBC6-10 BCACC11-12 CC1.分析： 仅有②正确． 答案： Ba x ， x ≥0 ，2.分析： y ＝ a |x|＝－且 a>1 ，应选 C.答案： Ca x， x<0 ，3.答案： D4.答案： B5.分析：A ＝ { y|y ＝ 2x ，x<0} ＝ { y|0<y<1} ，B ＝ { y|y ＝ log 2x} ＝ { y|y ∈ R} ，∴ A ∩ B ＝{ y|0<y<1} ．答案： C6.分析： P ＝{ x|log 2x<1} ＝ { x|0<x<2} ， Q ＝{ x|1<x<3} ，∴ P － Q ＝ { x|0<x ≤1} ，应选 B.答案： B17.分析： x ＝ log a 2＋ log a 3＝ log a 6＝ 2log a 6， z ＝ loga21－ loga 3＝ loga 7＝ 2log 7.1a∵ 0<a<1 ，∴ 111log a 7.2 log a 5> log a 6> 22 即 y>x>z.答案： C8.分析： 作出函数 y ＝2x 与 y ＝ x 2 的图象知，它们有3 个交点，因此 y ＝2x － x 2 的图象与x 轴有 3 个交点，清除B 、C ，又当 x<－ 1 时， y<0，图象在 x 轴下方，清除 D.应选 A.答案： A9.分析： 联合图象知， A 、 B 、 D 不建立， C 建立． 答案： C10.分析： 依题意可得 f 3(2010) ＝ 20102， f 2(f 3(2010))22 －1－2 ＝ f 2(2010 ) ＝(2010 ) ＝ 2010 ，∴ f 1(f 2(f 3(2010))) ＝ f 1(2010 － 2－2 1－11 .)＝ (2010) ＝2010＝20102答案： C1－x>0x<1－111.分析： 由 ?1? <x<1. 答案： C3x ＋1>0x>－ 3312.分析： f(2) ＝ log 3(22－ 1)＝ log 33＝ 1，∴ f[f(2)] ＝ f(1) ＝ 2e 0＝ 2.答案： C13.分析： (1) 、 (2)不正确，可举出反例，如1， y ＝ x －2，它们的图象都可是原点． (3)y ＝ x中函数 y ＝ lne x＝x ，明显是奇函数．对于(4) ， y ＝x 13是奇函数，而奇函数的图象对于原点对称，因此 (4)正确．答案： (3)(4)- 4 -14.答案： (4,5]15.分析： 由图象过点 (－ 2,0)， (0,2)知， log a (－ 2＋ b)＝ 0， log a b ＝ 2，∴－ 2＋ b ＝1，∴ b＝ 3， a 2＝ 3，由 a>0 知 a ＝ 3.∴ a ＝ 3， b ＝ 3.答案： 3 316.分析： 依据题意画出 f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0 的 x 的取值范围是－1<x<0 或x>1.答案： (－ 1,0)∪ (1，＋∞ )17.解：由 f(2) log 2 2a ＋ b ＝12a ＋ b ＝2 ? a ＝ 2， ＝ 1，f(3)＝ 2，得 3a ＋ b ＝ 2? ∴ f(x)＝ log 2(2xlog 2 3a ＋ b ＝4 b ＝－ 2. － 2)，∴ f(5)＝ log 28 ＝3.18.∵ x 2>x 1≥ 0，∴ x 2－ x 1>0， x 2＋ x 1>0，∴ f(x 1) － f(x 2)>0 ，∴ f(x 2)<f( x 1)．于是 f(x)在定义域内是减函数．19.解： (1) 函数定义域为 R.2－x － 11－ 2x2x － 1f(－ x)＝－ x＋ 1 ＝x ＝－x＝－ f(x)，21＋ 22 ＋ 1因此函数为奇函数．1 2< ＋∞ ，(2)证明：不如设－ ∞<x <x∴ 2x 2>2x 1.又由于 f(x 2)－ f(x 1)＝ 2x 2－ 1 － 2x 1－ 1 ＝ 2 2x 2－ 2x 12 1 1 2x 2>0，2x ＋ 1 2x ＋ 1 2x ＋ 1 ＋1∴ f(x 2)> f(x 1)．因此 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数．20.解： ∵ f(x)是幂函数，∴ m 2－ m － 1＝ 1， ∴ m ＝－ 1 或 m ＝ 2，∴ f(x)＝ x －3 或 f(x)＝ x 3，而易知 f(x)＝ x －3 在 (0，＋ ∞ )上为减函数，f(x)＝x 3 在 (0，＋ ∞ )上为增函数． ∴ f(x)＝ x 3.21.解： (1) 由 a x－ b x>0，得 a x>1.ba∵ a>1>b>0，∴ b >1， ∴ x>0.即 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )．(2)∵ f( x)在 (1，＋ ∞ )上递加且恒为正当，∴ f(x)>f(1) ，只需 f(1)≥ 0，即 lg(a － b)≥ 0，∴ a － b ≥1.∴ a ≥ b ＋ 1 为所求22.解： (1) 由 2x － 1≠ 0 得 x ≠0，∴函数的定义域为 { x|x ≠0， x ∈ R} ． (2)在定义域内任取 x ，则－ x 必定在定义域内． 1 1 f(－ x)＝ 2－x － 1＋ 2 (－ x)＝2xx ＋1 ( －x) ＝－ 1＋2x ·x ＝ 2x ＋1 ·x.1－2 22 1－ 2x 2 2x － 111 2x ＋ 1而f(x)＝2x － 1＋2 x ＝ 2 2x －1 ·x ， ∴ f(－ x)＝ f(x)．∴ f(x)为偶函数．(3)证明：当 x>0 时， 2x >1，11∴2x － 1＋2 ·x>0.又 f(x)为偶函数，∴当 x<0 时， f(x)>0.故当 x ∈ R 且 x ≠ 0 时， f(x)>0.。
基本初等函数综合测试题(教师补课专用含答案详解)
基本初等函数综合测试题（教师补课专用含答案详解）一、选择题1．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是 ( )A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215D ．20.1<log 215<20.21.[答案] A [解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2，∴log 215<20.1<20.2，选A.2．设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝ ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)2.[答案] C [解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C. 3．已知2x ＝3y ，则xy ＝ ( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23D ．lg 323.[答案] B [解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3， ∴x y ＝lg3lg2. 4．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是 ( )4.[答案] A [解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e<0，从而排除B ，故选A.5．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则 ( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数5.[答案] D [解析] 因为f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，故选D.6．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，则m ＝ ( )A ．1B ．－3C ．－3或1D ．26.[答案] B [解析] 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，所以m 2＋2m －2＝1且m ≠1，解得m ＝－3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝ ( )A ．3B ．6C ．9D ．127.[答案] C [解析] f (－2)＝1＋log 2(2－(－2))＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6， ∴f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)8.[答案] B [解析] 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B. 9．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是( )．A B C D 9．A 解析：当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，y ＝a －x 单调递减，故选A ．10．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )．A ．(1－a )31＞(1－a )21 B ．log 1－a (1＋a )＞0 C ．(1－a )3＞(1＋a )2D ．(1－a )1+a ＞110．A 解析：取特殊值a ＝21，可立否选项B ，C ，D ，所以正确选项是A ．11．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．A ． a ≤2B ．a ＞3C ．2≤a ≤3D ．a ≥311．D 解析：由函数f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，于是有21－a ≥1，解得a ≥3．12．函数f (x )＝2－x －1的定义域、值域是( )．A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R12．C 解析：函数f (x )＝2－x－1＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21－1的图象是函数g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21图象向下平移一个单位所得，据函数g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21定义域和值域，不难得到函数f (x )定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．二、填空题13.若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.13.[答案] (－8，－6] [解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a6，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.14．满足2－x ＞2x 的 x 的取值范围是 ． 14．参考答案：(－∞，0)． 解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0． 15.64log 2log 273的值为_____．15．参考答案：21． 解析：64log 2log 273＝3lg 2lg ·64lg 27lg ＝63＝21．16.已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____． 16．参考答案：41． 解析：⎪⎭⎫⎝⎛91f ＝log 391＝－2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ＝f (－2)＝2－2＝41． 17.函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为 ．17．参考答案：⎥⎦⎤ ⎝⎛143，． 解析：由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧0 34log 0345.0≥)－(＞－x x ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧13443 ≤－＞x x ∴ 所求函数的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛143，． 18.已知函数f (x )＝a －121+x，若f (x )为奇函数，则a ＝________． 18.参考答案：a ＝21． 解析：∵ f (x )为奇函数，∴ f (x )＋f (－x )＝2a －121＋x －121＋x -＝2a －1212＋＋x x ＝2a －1＝0，∴ a ＝21． ∴a ∈(－8，－6]．三、解答题19.已知函数f (x )＝(12)ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19.[解析] (1)由已知得(12)－a ＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝(12)x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，即[(12)x ]2－(12)x －2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1.20.已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围． 20.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}．21．求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21.[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2，∴原不等式化为a 8－x 2>a－2x.当a >1时，函数y ＝a x 是增函数， ∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数， ∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4. 故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}； 当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}．22.已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值． 22..[解析] (1)∵f (x )＝2x ， ∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2) ＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}．(2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3. 23.已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1) ．(1)若函数f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．23．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]． 解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有⎩⎨⎧0 ＜440a －a ＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)； (2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值． ①当a ＝0时，a x 2＋2x ＋1＝2x ＋1，当x ∈(－21，＋∞)时满足要求； ②当a ≠0时，应有⎩⎨⎧0 ≥440a －a ＝＞Δ⇒ 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．综上，a 的取值范围是[0，1]．24.求函数y ＝4x ＋2x+1＋1的定义域、值域、单调区间：24.参考答案：定义域为R ．令t ＝2x (t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．。
基本初等函数练习题与答案
5.
1
3x 3x 3x 3x 3, x 1 1 3x
6.
x
|
x
1
,y
|
y
0,
且y
1
2x
1
0,
x
1
；
y
1
8 2 x 1
0, 且y
1
2
2
7. 奇函数 f (x) x2 lg(x x2 1) x2 lg(x x2 1) f (x)
84 411
212 222
212 (1 210 )
3. 2 原式 log2 5 2 log2 51 log2 5 2 log2 5 2
4. 0 (x 2)2 ( y 1)2 0, x 2且y 1， logx ( yx ) log2 (12 ) 0
4．若函数
f
(x)
1
m ax 1
是奇函数，则 m
为__________。
5．求值：
2
27 3
2log2 3
log2
1 8
2 lg(
3
5
3
5 ) __________。
三、解答题
1．解方程：（1） log4 (3 x) log0.25 (3 x) log4 (1 x) log0.25 (2x 1)
log a
(1
1 a
)
②
log a
(1
a)
log a
(1
1 a
)
③ a1a
压轴题09 基本初等函数、函数与方程(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题09基本初等函数、函数与方程题型/考向一：基本初等函数的图像与性质题型/考向二：函数的零点题型/考向三：函数模型及其应用○热○点○题○型一基本初等函数的图像与性质1.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.一、单选题1．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>2．已知函数()2121x f x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数【答案】CA．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=4．已知函数()1,0,2x f x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩若()()6f a f a <-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞【答案】D【详解】由解析式易知：()f x 在R 上递增，又()()6f a f a <-，所以6a a <-，则3a <.故选：D5．函数()2eln 2x f x x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知实数1a ≠，函数()2,0,a x f x x -≥=⎨<⎩若(1)(1)f a f a -=-，则a 的值为（）A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．函数⎣⎦的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x x =+--⎡⎤⎣⎦，有1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，()1,1x ∀∈-，()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x -=---+=+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x 为偶函数，排除AB 选项；当01x <<时，110x x +>->，则()()ln 1ln 1x x +>-，此时()()()ln 1ln 10f x x x x =+-->⎡⎤⎣⎦，排除D 选项.故选：C.二、填空题9．已知函数()2()e e x x f x x -=-⋅，若实数m 满足))2(1)f f m f -≤，则实数m的取值范围是____________．【答案】ln3-##1ln311．已知,,1x y a ∈>R ，若2x y a a a +=，且x y +的最大值为3，则函数()()212log 2f x x ax a =-++的最小值为______故当4x =时，()2432x --+取得最大值32，则()f x 的取到最小值为5-．故答案为：5-.12．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab =______.○热○点○题○型二函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.一、单选题1．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】 函数()243x f x x =+-的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()f x 在定义域R 上为增函数,412204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，12102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故函数()243x f x x =+-的零点所在区间是11,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.()a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】依题意，因为函数()2cos 1f x a x x =--有且只有1个零点，所以()2cos 10f x a x x =--=有且仅有一个解，即2cos 1a x x =+有且仅有一个解，转化为cos y a x =与21y x =+有且仅有一个交点，当0a =时，cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，所以0a ≠；当a<0时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，当0x =时，21y x =+有最小值1，cos y a x =有最小值a<0，此时cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，由于cos 0y a x ==与21y x =+都是偶函数，若在除去0x =之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，所以a<0不符合题意；当0a >时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，又因为211y x =+≥，所以当且仅当1a =时，此时0x =有唯一的交点.故选：B.3．已知()0,2πθ∈，若函数()()2sin cos sin 2f x x x x θ=-+在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则θ的值可能为（）A ．π6B ．π4C ．11π12D ．6π54．若函数2()1,0f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意函数22,0()1,0x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数即()2f x =的解的个数，当0x >时,令212+=x ，即1x =，符合题意；当0x ≤时，令22x -=，得=1x -，符合题意，故()()2g x f x =-的零点有2个，故选：B.5．已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]1,36．是定义在R 上的奇函数，当1,1x ∈-时，f x x =，11f x f x +=-，令()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【详解】由()()11f x f x +=-可得，()f x 的图象关于1x =对称，又由()()11f x f x +=-可得()()2()f x f x f x +=-=-，所以()4(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 以4为周期，所以作出()f x 的图象如下，()()lg g x f x x =-的零点个数即为方程()lg f x x =也即()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数，因为lg 91,lg101<=，所以数形结合可得()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数为故选:B.7．已知函数41,0141,02x x x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于的方程有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（）A ．7,5⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．7,5⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ C ．7,52⎛-- ⎝⎦D ．7,522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()y c c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c =有3个实数根时，13c -<<，()()()22110f x t f x t ∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题9．已知偶函数()f x 满足()()()126f x f x f -+=，()11e f -=+，且当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，则下列说法正确的有（）A ．2e a =B ．()f x 在[]18,24上为增函数C ．()320231ef -=-D ．()f x 在[]2023,0-上共有169个零点【答案】ABD【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()111e f f -==+，又当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，故()11e 11e f a -=+=+，解得2e a =，故A 选项正确．因为()()()126f x f x f -+=，令6x =-，得()()()666f f f --=，故()60f =．由()()120f x f x -+=得()()12f x f x +=，即函数()f x 具有周期性且周期为12．当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，故当(]6,0x ∈-时，函数()f x 单调递增，所以当(]18,24x ∈时，函数()f x 单调递增．又()()1860f f ==，且当(]18,24x ∈时，函数()0f x >恒成立，所以()f x 在[]18,24上为增函数，故B 选项正确．()()()()()32023121687755e 1f f f f f -=⨯+==-==+，故C 选项错误．因为当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，所以当06x ≤<时，()420<e 1e 1f x -+<≤+，又()f x 为偶函数，所以60x -<≤时，()0f x >，又()60f -=，所以函数()f x 在[)6,6-上有且仅有一个零点，因为()f x 的周期为12，2023121687=⨯+，所以(]2016,0-上有168个零点，再考虑[]2023,2016--等价于[]7,0-这个区间，有1个零点，故最终有169个零点，故D 选项正确．故选：ABD ．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A ．e 16-B ．e 17-C ．e 18-D ．e 19-三、填空题11．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()()2221g x f x af x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的零点，则a 的取值范围是__________．【答案】()[)1,01,2- 【详解】令()()()22210g x f x af x a =-+-=⎡⎤⎣⎦，得()1f x a =-或()1f x a =+，画出()f x 的大致图象．设()f x t =，由图可知，当0t <或2t >时，()t f x =有且仅有1个实根；当0=t 或12t ≤≤时，()t f x =有2个实根；当01t <<时，()t f x =有3个实根．则()g x 恰有4个不同的零点等价于10,011a a -<⎧⎨<+<⎩或10,112a a -=⎧⎨≤+≤⎩或011,12a a <-<⎧⎨+>⎩或112,112,a a ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩解得10a -<<或12a ≤<．故答案为：()[)1,01,2-12．已知函数11,02()2(2),28x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则实数k 的取值范围是___．设()g x kx =，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则函数()f x 与()g x 的图象有且只有四个公共点，由图得，(1,1),(3,2),(5,4),(A D B C 则2481,,,357OA OB OC OD k k k k ====，则<<<OB OC OA OD k k k k ，○热○点○题○型三函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：――→读题文字语言⇒――→建模数学语言⇒――→求解数学应用⇒――→反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.一、单选题1．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．20个月B ．40个月C ．28个月D ．32个月m /s ）可以表示为31log 2100Qv =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m /s ln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A ．83B ．8C ．32D ．643．0C 表示生物体内碳14的初始质量，经过t 年后碳14剩余质量01()2hC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0t >，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为00.4C ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据lg 20.301≈）．正确选项是（）A ．1.36hB ．1.34hC ．1.32hD ．1.30h“ChatGTP ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010≈）A ．72B ．74C ．76D ．78血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.9故选：B6．某企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位:mg /L ）与时间t （单位:h ）之间的关系为0e ktM M -=（其中0,M k 是正常数）．已知在处理过程中，该设备每小时可以清理池中残留污染物10%，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A ．6小时B ．8小时C ．10小时D ．12小时媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为()000N N >，经过t （天）时间之后的热搜度变为()0etN t N α-=，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数0.3α=，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t 至少为（）．（ln 20.693≈，t 取整数）A ．7B ．6C ．4D ．3族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.5【答案】C二、多选题9．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为3B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+【答案】CD【详解】由图可知，函数过点()1,3，将其代入解析式，=3a ，故3t y =，A 选项，取前3个月的浮萍面积，分别为32m ，92m ，272m ，故增长率逐月增大，A 错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B 错误；第4个月的浮萍面积为812m ，超过了802m ，C 正确；令132t =，234t =，338t =，解得：132333log 2,log 4,log 8t t t ===，1333332log 2log 8log 162log 42t t t +=+===，D 正确.故选：CD10．泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为()e !kP X k k λλλ-==，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y ，()P Y k =表示经该种紫外线照射后产生k 个嘧啶二体的概率．已知Y 服从泊松分布，记为()Y Pois λ~，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：3e 0.049-=⋅⋅⋅，恒等式0e !inxi x i ==∑）A ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%B ．设()()f k P Y k λ==，则,(1)()0,()f k f k k λ∀∈+->∈N NC ．如果()X pois λ~，那么(!)X E X λ=，X 的标准差σλ=D ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是（）A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 【答案】BD【详解】在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得115k =，D 正确.故选：BD地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，。
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题(含答案)
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题（含答案）1.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A． B．C．pq D．﹣1【答案解析】D【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解出即可．解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．2.设函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）成立，则函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）【答案解析】B【分析】由题设知，函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝2．a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．解：∵对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）成立，∴函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．当a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．故选：B．3.函数f（x）＝的定义域是（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|x≥1}【答案解析】B【分析】根据根式函数，分式函数，对数函数的定义域求函数f（x）的定义域即可．解：方法1：要使函数有意义，则有，即，所以x＞1．所以函数的定义域为{x|x＞1}．方法2：特殊值法当x＝0时，无意义，所以排除A，C．当x＝1时，，则不能当分母，所以排除D．故选：B．4.已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案解析】B解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）＝2，∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣＝n，①f（n）＝2，②由①得 f（x）＝n+，③②代入③，得＝2，解得n＝1，因此f（x）＝1+，所以f（）＝6．故选：B．5.已知函数f（x）＝，给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案解析】C解：对于①：当a＝﹣2时，由0＜e﹣2＜1，f（0）＝1＜f（e﹣2）＝|lne﹣2|＝2，所以函数f（x）在区间（﹣∞，1）上不单调递减，故①错误；对于②：若函数可转换为，画出函数的图象，如图所示：所以函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）．故②正确．对于③令y＝f（x）﹣b＝0，结合函数我的图象，不妨设x1＜0＜x2＜1＜x3，则ax1+1＝﹣lnx2＝lnx3＝b，所以，，所以，令＝﹣1，即b＝﹣a+1，当a＜0时，b＝﹣a+1＞1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，当0＜a＜1时，0＜b＝﹣a+1＜1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，故③正确．故正确答案为：②③，故选：C．6.“lna＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A解：“3a＞3b”⇔“a＞b”，“lna＞lnb”⇔“a＞b＞0”，∵“a＞b＞0”是“a＞b”的充分而不必要条件，故“lna＞lnb”是“3a＞3b”的充分而不必要条件，故选：A．7.已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案解析】C解：因为f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log x，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣f（x）＝log（﹣x），所以f（x）＝﹣log（﹣x），又f（0）＝0，则由f（x）＞0可得，或，解可得0＜x＜1或x＜﹣1．故选：C．8.已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案解析】D解：0＜3﹣2＜1，log0.42＜log0.41＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．9.（多选题）已知函数f（x）＝，则（）A．f（x）为奇函数 B．f（x）为减函数C．f（x）有且只有一个零点 D．f（x）的值域为（﹣1，1）【答案解析】ACD解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），f（x）为奇函数，A正确；对于B，f（x）＝＝＝1﹣，设t＝2x+1，有t＞0且t＝2x+1在R上为增函数，而y＝1﹣在（0，+∞）为增函数，故f（x）在R上为增函数，B错误；对于C，由B的结论，f（x）在R上为增函数，且f（0）＝0，故f（x）有且只有一个零点，C正确；对于D，y＝，变形可得2x＝，则有＞0，解可得﹣1＜y＜1，即f（x）的值域为（﹣1，1），D正确；故选：ACD．10.已知函数f（x）＝，则不等式f（x+1）＜1的解集为（）A．（1，7） B．（0，7） C．（1，8） D．（﹣∞，7）【答案解析】B解：①当x+1≤1，即x≤0时，∴e2﹣（x+1）＜1，即e1﹣x＜1，∴1﹣x＜0，∴x＞1，又∵x≤0，∴无解．②当x+1＞1，即x＞0时，∴lg（x+1+2）＜1，∴lg（x+3）＜1，∴0＜x+3＜10，∴﹣3＜x＜7，又∵x＞0，∴0＜x＜7，故选：B．。
专题03函数的概念与基本初等函数(含答案解析)
专题03函数的概念与基本初等函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．函数()cos f x x x =+的部分图像大致为（）．．．．．已知函数()ln ,e ,x xx f x x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩)的图象大致是（）．．．．．函数2cos ()xf x x x =+的大致图象为（．．．．．已知函数()2,x f x ⎧⎪=⎨⎛-⎪ ⎝⎩)a -，则实数a 的取值范围是（．()3,-+∞B ()3,+∞D ．已知函数5()2f x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩()f x x =-的零点个数为（．13二、多选题．已知函数()f x ⎧=⎨⎩则下列结论正确的是（）．()f x 是偶函数312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x 是增函数()f x 的值域为[-三、填空题8．已知函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()2f f -=__________.四、单选题五、多选题13．已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数.则下列命题正确的是（）A ．()2f x x =是“[]1,1-封闭”函数B ．定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数C ．若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D ．若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 不一定是“{}ab 封闭”函数14．对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：1x ∀，2x D ∈且12x x <，都有()()12f x f x ≤，六、单选题15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +为偶函数，()()()12f x f x f x =+-+，若()12f =，则()18f =（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-八、单选题18．已知函数()f x 的定义域为R ，若函数()21f x +为奇函数，且()()4f x f x -=，2023 1()1kf k ==∑，则()0f=（）A．1-B．0C．1D．2九、多选题十、单选题十一、多选题十二、单选题十三、多选题27．已知2336x y ==，则下列说法正确的是（）A ．()2xy x y =+B ．16xy >C ．9x y +<D ．2232x y +<参考答案：由图象可知，函数()y f x =与即函数()g x 有3个零点，故选：C.7．BD【分析】利用反例可判断AC 选项.【详解】()12f =，而()1f -因为77cos 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0x <时，()[]1,1f x ∈-，当故()f x 的值域为[1,)-+∞，故故选：BD.8．4【分析】根据分段函数的定义求解即可【详解】由()(211log 22,1x f x x -⎧+=⎨≥⎩所以()()(221log 22f -=+--所以()()()31232f f f --===【点睛】本题考查分段函数的单调性，小是关键，属于中档题．10．C【分析】根据已知可得{min sin 的单调性，可得()()12g g >>而得到实数m 的取值范围，即可得出答案【详解】当sin cos x x ≥时，原不等式可化为cos x mx >；所以，()333sin cos sin x x x =>，即()33sin cos sin 0x x ->.令()()sin cos sin F x x x =-，()0,1x ∈，因为函数sin y x =在()0,1上单调递增，cos y x =在()0,1上单调递减，且0cos 1x <<，根据复合函数的单调性可知，函数()sin cos y x =在()0,1上单调递减，所以()F x 在()0,1上单调递减.又()10F x =，()()310F x F x >=，所以31x x <.因为cos y x =在()0,1上单调递减，22sin x x <，所以()22cos sin cos x x >.又()22cos sin x x =，所以22cos x x >，即22cos 0x x -<.令()cos G x x x =-，()0,1x ∈，则()sin 10G x x '=--<恒成立，所以，()G x 在()0,1上单调递减.又()111cos 0G x x x =-=，()()2221cos 0G x x x G x =-<=，所以21x x >.综上可得，213x x x >>.故选：C.【点睛】关键点点睛：证明sin x x >在()0,1上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.13．BC【分析】A 特殊值124,3x x ==判断即可；B 根据定义及函数的性质即可判断；C 根据定义得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，再判断所给定区间里是否有22()()f x k f x k +-=成立即可判断，D 选项可判断出其逆否命题的正误，得到D 选项的正误.【详解】A ：当124,3x x ==时，121[1,1]x x -=∈-，而12()()1697[1,1]f x f x -=-=∉-，A 错误；B ：对于区间{}0，12,R x x ∀∈使120x x -=，即12x x =，必有12()()0f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，B 正确；C ：对于区间{}1，12,R x x ∀∈使{}121x x -∈，则121x x =+，而()f x 是“{}1封闭”函数，则22(1)()1f x f x +-=，即R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，对于区间{}k ，12,R x x ∀∈使{}12x x k -∈，则12x x k =+，*N k ∈，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，...，22(1)()1f x f x +=+，所以222222()(1)...(1)(1)(2)...()1f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++-，即22()()f x k f x k +=+，故22()()f x k f x k +-=，()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈，C正确；D 选项，其逆否命题为，若()f x 是“{}ab 封闭”函数，则()f x 不是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，只需判断出其逆否命题的正误即可，12,R x x ∀∈使12x x ab -=，则12()()f x f x ab -=，若[],ab a b ∈，则ab a ab b a b ≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩，由ab b ≤解得1a ≤，因为*N a ∈，所以1a =，即12,R x x ∀∈使[]12,x x ab b a b -==∈，则[]12()(),f x f x ab b a b -==∈，满足()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D 错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C ，根据给定的条件得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，R x ∀∈有()()f x a f x b +=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.14．ACD【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.【详解】A.因为()()22f x f x +-=，所以令1x =得()()1212f f +-=，所以()11f =，故A 正确；()1y f x =+为()y f x =向左平移1个单位得到，是偶函数，故()3y f x =+为()y f x =向左平移3个单位得到，是奇函数，故由lg y x =在(,0)-∞上递减，且lg 101-=，lg 10-=；在(0,结合图象：看出()y f x =和lg y x =的图象有10个交点，即故C 错误：由()10f =，()21f =，()30f =，()41f =-，()50f =，则()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+=，所以()()()()2023125201271k f k f f f ==⨯+++⋅⋅⋅+=-⎡⎤⎣⎦∑，故故选：AB17．ABD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；
(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝
(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)
6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:.
9、已知命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．
二、选择题
10、已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ） A． B． C． D．
11、函数是（ ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 12、曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 13、函数的单调增区间为 A、R B、 C、 D、
14、已知，若恒成立，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D）
15、已知函数其中表示不超过的最大整数， （如,,）.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是
A． B． C． D． 16、已知，，，则 A. B. C. D.
17、已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（ ）
A．（） B．（） C．（，12） D．（6，l2） 18、下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是 A. B.
C. D. 19、已知，，，则 （A） （B） （C） （D） 20、函数的部分图象为（ ） 21、
A B
C D 21、已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 22、已知 ．我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( )
A．1024 B．2003 C．2026 D．2048 23、若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数的一个“姊妹点对”。点对（A,B）与（B,A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数
，则的“姊妹点对”有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
24、函数的图象大致是（ ）
25、已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 26、已知集合，则( ) B. 27、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
28、设，则 （ ） A． B．2 C．3 D．4 29、函数与在同一坐标系中的图像大致是（ ）
30、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于( )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 三、填空题 31、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
32、已知直线y=kx是y=1n x－3的切线，则k的值为____ ． 33、设函数的图象关于点（1，0）中心对称，则a的值为_______
34、已知函数f(x)＝f(x)＝x的根从小到大构成数列{an}，则a2 012＝________. 35、已知函数f(x)＝－xln x＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋，当x∈[0，ln 3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a＝________.
36、设a＝2 0110.1，b＝，则a，b，c的大小关系是________． 37、函数，则_______________. 38、y＝x2ex的单调递增区间是____ ____ ．
39、已知，，，则集合中元素有 个。 40、函数f(x)＝lnx＋的定义域为 ． 参考答案
一、简答题 1、（1）奇函数；（2）定义域，Z}，值域R． 2、解析：的定义域为． （Ⅰ）． 当时，；当时，；当时，． 从而，
分别在区间，单调增加，在区间单调减少．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为． 又． 所以在区间的最大值为．……12分 3、解 (1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)， 又因为－2≤x≤－1，
所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为≤， 所以a≥.(4分) (2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|， 所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2
＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)
①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a； ②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a， 所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)； ③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)
(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝ ①若a≥－，则x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a， 从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；(12分)
②若 a＜－，则x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1， 当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5， 当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，
当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.(14分)
③若－≤a＜－，则x∈[2,4]时， g(x)＝
当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5； 当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a. 因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0， 所以g(x)最小值为4a＋5， 综上所述，
[g(x)]min＝
4、可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.(13分)
由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．(14分) 5、解 (1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39. 当x≥2时， f(x)＝P(x)－P(x－1) ＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x) ＝3x(14－x)． ∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分) (2)设月利润为h(x)， h(x)＝q(x)·g(x)
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0， 当6＜x＜7时，h′(x)＜0， ∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，(11分)
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0， ∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2 987. 综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)
6、解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－，(2分) 所以f(1)＝2，且f′(1)＝2. 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，