基于UG弧齿锥齿轮参数化建模及动力学仿真

基于UG弧齿锥齿轮参数化建模及动力学仿真
史朋真;王春燕;贾廷臣
【摘要】根据弧齿锥齿轮的形成原理和加工方法,推导弧齿锥齿轮的齿廓方程和齿面节线方程.在UG三维建模环境下,通过对弧齿锥齿轮基本参数的输入,实现对弧齿锥齿轮的参数化建模,并对建好的模型进行虚拟装配和动力学仿真分析.检验模型是否存在干涉以及齿轮的啮合特性质量,以此来提高机械设计人员在虚拟环境下对弧齿锥齿轮的设计和使用效率.
【期刊名称】《太原科技大学学报》
【年(卷),期】2019(040)001
【总页数】5页(P68-72)
【关键词】弧齿锥齿轮;参数化建模;动力学仿真
【作者】史朋真;王春燕;贾廷臣
【作者单位】太原科技大学机械工程学院,太原030024;太原科技大学机械工程学院,太原030024;太原科技大学机械工程学院,太原030024
【正文语种】中文
弧齿锥齿轮是一种重要的传动零件，由于它具有传动平稳、噪声低、承载能力大等特点。

被广泛应用于汽车、船舶、机床、飞机等机械领域中，因此人们更加重视对弧齿锥齿轮的设计和制造领域的研究。

弧齿锥齿轮复杂的空间齿面和不规则的空间曲线给人们建模带来了困难。

传统的设计建模方法是将弧齿锥齿轮的球面渐开线近
似为基锥平面上的平面渐开线，以螺旋线代替齿轮啮合节线，这样的建模方法影响了弧齿锥齿轮的建模精度，建立出来的弧齿锥齿轮齿面在啮合传动中容易产生干涉的现象。

本文根据推导的齿轮啮合传动节线和球面渐开线的数学表达式，通过球面渐开线形成原理和弧齿锥齿轮的加工方法，建立弧齿锥齿轮的齿廓曲线，在UG建模模块环境下以传动节线作为齿面线来扫掠出弧齿锥齿轮的轮齿齿面，从而保证一对轮齿齿面是共轭的。

在UG装配模块环境下对一对弧齿锥齿轮进行虚拟装配，在动力学模块环境下对一对弧齿锥齿轮的进行动力学仿真，以此来提高弧齿锥齿轮建模和装配的高效性和准确性[1]。

1 弧齿锥齿轮齿廓形成原理
在推导弧齿锥齿轮的轮齿齿廓前，我们需要知道弧齿锥齿轮的基本参数和这些参数之间对应的关系，如表(1)所示给出了弧齿锥齿轮的模数、齿数、压力角、螺旋角和根据这些参数所查到的齿高系数、径向、切向变位系数、名义刀盘半径等。

1.1 球面渐开线形成原理
如图1当基圆锥以O为定点在平面OPR做纯滚动时，基圆锥母线上与OPR重合的A点运动到B点，形成于球面相重合的AB空间曲线，这就是基圆锥在平面OPR上做纯滚动所形成的球面渐开线[2]。

由于AB在球面上，所以AB上的点到顶点O都是相等的，以O为原点建立空间坐标系，使XOY平行于AOR。

利用空间几何知识可得到球面渐开线的方程(1)。

图1 球面渐开线的形成Fig.1 Formation of spherical involute
(1)
表1 弧齿锥齿轮建模的基本参数Tab.1 Basic parameters of spiral bevel gear 大端模数m3.5齿数zz1=12 z2=30压力角α20°螺旋角β35°刀盘半径rc50.8顶
隙系数c*0.188齿高系数h*a0.85径向变位系数x0.327切向变位系数xt0分锥角δδ=arctan(z1/z2)分度圆直径dd=mz基圆直径dbdb=mzcosα齿顶圆直径dada=d+2hacosδ齿根圆直径dfdf=d-2hfcosδ齿顶高haha=(h*a+x)m齿根高hfhf=(h*a+c*-x)m节锥距RR=d/2sinδ基圆锥锥距RbRb=db/2sinδb齿顶角
θaθa=arctan(ha/R)齿根角θfθf=arctan(hf/R)顶锥角δaδa=δ+θa根锥角
δfδf=δ-θf齿基高hbhb=(d-db)/2cosδ基圆齿角θbθb=arc tan(hb/R)基锥角
δbδb=δ-θb
根据弧齿锥齿轮的啮合原理和球面渐开线方程，推导齿轮大端和小端的齿面轮廓线。

由图2可知， pp1为球面渐开线，∂为 p1o1 在XOY投影内与x轴的夹角，即动点p1的偏角。

θ为基圆展开角，Φ为∠p1o1m平面XOY的投影。

为平面展开角，ω为动点p1的转角，p1p0hh0是一个矩形，并且垂直于平面omm1，由几何关系可得：
图2 基圆的球面渐开线Fig.2 Spherical involute of base circle
γ=θsinδb∂=θ-Φ
(2)
(3)
(4)
联立式(2)、(3)、(4)令ω为节锥角δ、齿顶角δa、齿根角δf.可分别得到分度圆处偏角∂，齿顶处偏角∂a，齿根处偏角∂f，如式(5)所示。

(5)
由(5)式求得∂a，根据(2)、(3)可以推导出式(6)式可求得基圆展开角θ，基圆展开角确定了，相应的齿廓曲线就已知了，如式(7)
(6)
(7)
由当量齿轮可以计算出当量齿轮的弧齿厚，齿厚角是齿厚所对的圆心角，即弧齿厚除以所对应的半径[3]。

ρe分度圆齿厚角，ρa顶圆齿厚角，ρb基圆齿厚角，ρf 根圆齿厚角，它们之间的关系如式(8)所示。

(8)
由式(7)、(8)可得到大端齿顶圆和齿根圆方程
(9)
(10)
假设(9)、(10)为大端凸齿齿廓线，改变方程球面渐开线的展开方向，生成大端凹齿齿廓线，为了保证大端基圆弧齿厚，通过坐标转换矩阵绕z轴旋转ρe度，如式(11).同理改变方程里的基锥距的大小为Rb-0.5b生成弧齿锥齿轮小端的凸凹齿面曲线，由于小齿轮凸凹齿面曲线沿传动节线转过一定的转角β0度如式(12)，可再次通过坐标转换矩阵进行变换，如式(13).
(11)
(12)
(13)
1.2 弧齿锥齿轮传动节线推导
为了几何表达的准确和清晰性，一般把弧齿锥齿轮展成一个扇形，通过调节刀盘的水平和竖直的安装距离来切出弧齿锥齿轮的齿形[4]。

如图3所示为展开后的弧齿锥齿轮和刀盘的平面投影图，齿轮的啮合节线为一圆弧，在以O1的坐标系下建立参数方程，如式(14).在以O坐标系下平面上弧齿锥齿轮任意一点的节锥距为刀盘投影到弧齿锥齿轮展开的扇形平面的圆心的距离，根据加工弧齿锥齿轮刀盘的刀号和半径，可以推出它们之间的几何关系，求得刀盘安装位置。

其中Rm为中点锥距，S为冠状刀盘中心距，V为刀盘竖直安装距，如式(15)。

图3 平面节线圆弧平面刀盘位置Fig.3 The position of the cutter head
(14)
(15)
如图4把扇形平面卷成一个锥形，可以得到齿面节线在三维坐标下的方程式(16)，文献[5]已证明此节线方程在一对弧齿锥齿轮啮合中是共轭的。

图4 卷起后的节锥Fig.4 The tapered knot
(16)
2 弧齿锥齿轮参数化建模
根据已建立的曲线表达式，输入齿轮的基本参数，以啮合节线为引导线，通过扫掠大端和小端的齿廓曲线来生成弧齿锥齿轮的轮齿面体，用缝合命令使轮齿的面体转化成实体，将轮齿实体通过UG的阵列功能生成整个齿轮的轮齿，最后进行倒角来修饰齿轮，形成一个完整的弧齿锥齿轮的模型，实现弧齿锥齿轮的参数化建模，过程如图5所示。

(a)
(b)
(c)
(d)
图5 弧齿锥齿轮的参数化建模过程Fig.5 Parametric modeling process of spiral bevel gears
3 弧齿锥齿轮的虚拟装配及动力学仿真
弧齿锥齿轮对安装误差较为敏感，为验证已建好的模型是否满足齿轮的啮合传动性能，需在虚拟环境下对弧齿锥齿轮进行装配[6]。

为了能实现一对齿轮模型的正常
运转，使建立的模型更加接近真实状况，对装配好的齿轮进行碰撞干涉检查如图6，结果表明，两个齿轮之间没有干涉，说明了装配的合理性。

在UG的动力学模块下，对装配好的大小齿轮进行动力学仿真分析，大小齿轮的齿数分别为z2=30 , z1=12, 定义两个旋转副，位置为大小轮齿的中心，定义两个齿轮的接触为无摩擦接触，小轮为驱动，速度为100 rad/s，设定结算案列，进行结算，过程如图7.最后进行动画演示，可以得到大齿轮的角速度为ω2如图8，
ω1/ω2= 2.5,大小齿轮的传动比满足设计的要求。

图6 齿轮的虚拟装配Fig.6 Virtual assembly of gears
图7 齿轮运动仿真Fig.7 Gear motion simulation
图8 大轮角速度Fig.8 Wheel angular velocity
4 结束语
本文以球面渐开线的形成原理为依据，推导了弧齿锥齿轮齿顶圆弧曲线、齿根圆弧曲线数学方程，通过UG表达式窗口输入这些曲线表达式，建立了轮齿齿廓曲线，生成了轮齿实体，实现了轮齿建模的参数化。

大大降低了弧齿锥齿轮建模的时间，并提高了弧齿锥齿轮建模的准确性。

在虚拟环境下模拟了一对弧齿锥齿轮的安装，并检验了齿轮啮合的性能。

为今后弧齿锥齿轮设计和改进提供了便利，更为齿轮的设计工作者能够在虚拟环境下对弧齿锥齿轮的其它性能研究奠定了基础。

参考文献：
【相关文献】
[1] 董红涛.弧齿锥齿轮的研究现状及发展趋势[J].中航工业动力机械研究,2012,37(2):11-16.
[2] 吴序堂.齿轮啮合原理[M].西安：西安交通大学出版社,2009.
[3] 邓效忠，魏冰阳.锥齿轮设计的新方法[M].北京:科学出版社,2012.
[4] 曾韬.螺旋锥齿轮的设计与加工[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1989：17-30.
[5] 谷计划,段建中.格林森弧齿锥齿轮的啮合转动节线数学原理[J].工程设计学报,2012,2(1):72-77.
[6] 唐进元,杜晋.考虑安装差敏感性螺旋齿轮主动设计方法[J].中国机械工程，2009 20(10) ,1197-1201.。