【易错题】高三数学下期末模拟试卷含答案(3)

【易错题】高三数学下期末模拟试卷含答案(3)

一、选择题

1．给出下列说法：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．已知集合{}{}

x -1

B ．（0，1）

C ．（-1,0）

D ．（1,2）

3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆

229x y +=内的概率为（ ）

A ．

536

B ．

29

C ．

16

D ．

19

4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23

B ．35

C ．

25 D ．

15

5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为

A ．

2

B ．

2

C D ．

2

7．函数()f x =的图象关于( )

A ．x 轴对称

B ．原点对称

C ．y 轴对称

D ．直线y x =对称

8．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >

B ．0x …或2x -…

C ．0x <或2x >

D ．1

2

x -

…或3x …

9．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??==+> ??

?且1)a ≠的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知非零向量AB u u u v 与AC u u u

v 满足0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

?

?

u u u v u u u v u u u

v u u u v u u u v 且12

AB AC AB AC ?=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

11．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；

③若,m n 是异面直线，m α?，m βP ，n β?，n αP ，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④

B ．①②③

C ．①③④

D ．①②④

12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2

11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）

A ．当101

,102

b a =

> B ．当101

,104

b a =

> C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->

二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北

的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________ m.

14．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 .

15．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2

:0C y ax a =>的准线l 相交于点

B ，与

C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v

，则a =____．

16．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥??

+≤??≤?

，则32z x y =-的最小值是__________．

17．复数()1i i +的实部为 ．

18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 19．若9

()a x x

-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．

20．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,

12sin x y θθ

=+??=+?（θ为参数）相切，则a 的值为

____.

三、解答题

21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.

（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;

（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，2，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.

22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214

y x =

的焦点，离心率为

25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点

F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r

，求12λλ+的值.

23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y t ?=??

??=-??

（t 为参数）.在以

坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲

线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ??

=+ ???

.

（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

21x tcos y tsin α

α

=+??

=+? (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 25．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且1

4

AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.

()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.

26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，

c .

+=”的概率；

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.

【详解】

解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;

②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;

③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．

故答案为:A

【点睛】

(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;

(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．2．A

解析：A

【解析】

利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．

3．D

解析：D 【解析】

掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,

∴P=

41369=. 故选D

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】

设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，

{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为63

105

=，选B ． 【点睛】

本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】

记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.

【点睛】

本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ?中进行计算即可. 【详解】

在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，

则55

tan BE a EAB AB ∠=

==

.故选C.

【点睛】

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】

解：()2

3x f x x

+=Q

0x ∴≠解得0x ≠

()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.

任取x D ∈，都有()()()2

233x x f x f x x

x

+-+-=

==-，

()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，

故选：C . 【点睛】

本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

2

或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x …

，所以可以转化为找x≤-

1

2

或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是1

2

x ≤-

或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1

2

x ≤-

或x≥3成立的既不充分也不必要条件 x 0<或x 2>是1

2

x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】

本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】

当01a <<时，函数x

y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1

x y a

=

过定点(0,1)且单调递

增，函数1log 2a y x ??=+

?

??过定点1

(,0)2

且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1

x y a

=

过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ?

?=+ ??

?过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

AB AB u u u v u u u v 和AC AC u u u v

u u u

v 分别表示向量AB u u u v 和向量AC u u u v 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?=

?

?

?u u u v u u u v u u u

v u u u v u u u v 表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC V 为等腰三角形，再由12

AB AC AB AC ?=u u u v u u u v u u u

v u u u v 可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ?

?

?+?= ?

?

?

u u u v u u u v

u u u v u u u v u u u v ，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC V 为等腰三角形.又12AB AC AB AC ?=u u u v u u u v u u u

v u u u v ，∴1cos 2A =，∴3A π=，故ABC V 为等边三角形. 故选：C 【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】

①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；

②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α?，m P β，n β?，n αP 时，平面α，β平行；

④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】

本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】 对于B ，令2

14x λ-+

=0，得λ12=，取112a =，得到当b 1

4

=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0

，得λ=

1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+

≥，223113()224a a =++≥，4224319117

()14216216

a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 10729

64＞

＞10． 【详解】

对于B ，令2

14x λ-+=0，得λ12

=， 取112a =

，∴211

1022n a a ==L ，

，＜， ∴当b 1

4

=

时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误； 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0

，得λ=

取1a =

，∴2a =

，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误； 对于A ，2

21122a a =+

≥，223113

()224

a a =++≥，

4224319117

()14216216

a a a =+++≥+=＞，

a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，

当n ≥4时，1

n n

a a +=a n 1

2n

a +＞11322+=， ∴54

45109323232

a a a a a

a ???????????

???????＞＞＞，∴

104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ． 【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.

二、填空题

13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：

【解析】

试题分析:由题设可知在

中,

,由此可得

,由

正弦定理可得,解之得,又因为,所以

,应填

.

考点：正弦定理及运用．

14．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-

【解析】

试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚

数，则其实部必为零，即，所以

.

考点：复数的运算.

15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8

【解析】 【分析】

由直线方程为2)y x =-与准线:a

l x 4

=-

得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.

【详解】

解：抛物线()2

:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4

=-

过点()2,0M

2)y x =-，

联立方程组2)4y x a x ?=-?

?=-

??

，

解得，交点B

坐标为)

(,)a a 844

+-

， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v

=，

所以点M 为线段AB 的中点，

所以00()442402a x y ?

+-?=?

???+?=??

，解得)

()a a 8A 444++，

将(a A 44+代入抛物线方程，

即()2a

a 44

=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】

本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.

16．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可

得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线

解析：6 【解析】 【分析】

画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322

z

y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由32z x y =-可得322

z

y x =-． 平移直线322z y x =

-，结合图形可得，当直线322

z

y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)， ∴min 326z =?=，

即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】

求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：

a z

y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当

0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z

b

取最小值时，z 也取最小值；②当

0b <时，截距

z b 取最大值时，z 取最小值；截距z

b

取最小值时，z 取最大值． 17．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-

【解析】

复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.

18．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其

【解析】 【分析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】

解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，

∴|z |==

． 【点睛】

对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复

数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为

a bi -．

19．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二

解析：1 【解析】 【分析】

先求出二项式9

()a x x

-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得

展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】

9()a x x -展开式的的通项为()992199r

r r r r r

r a T C x C x a x --+??=-=- ???

， 令9233r r -=?=，

9()a x x

-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-?=，

故答案为1. 【点睛】

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考

查二项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

20．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使

解析：3

4

【解析】 【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。 【详解】 圆22cos ,12sin x y θθ

=+??

=+?化为普通方程为22

(2)(1)2x y -+-=，

圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，

2=，解得34

a =

。 【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

三、解答题

21．

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111

132

C A DE V -=?= 【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为

1

3

?S △A1DE ?CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分

因为DF ?平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分 所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分

（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分 由AA 1=AC=CB=2，

得∠ACB=90°，

，

，

，A 1E=3，故

A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分 所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：

=

=1． 12分

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积

22．（Ⅰ）2

215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又222

25

5

c a b a a -==，由此求出椭圆C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为()0,1

则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由222

25

5

c a b e a a -===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+， 又()110,MA x y y =-u u u r ，()220,MB x y y =-u u u r ，()112,AF x y =--u u u r ，()222,BF x y =--u u u r

， 而1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．（1

10y --=，2

2

(1)(1)2x y -+-=；（2

）1. 【解析】 【分析】

（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；

（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】

（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l

10y --=.

将曲线C

的极坐标方程化为2

sin 22ρθθ??=+ ?

???

. 即2

2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.

故曲线C 的直角坐标方程为()()2

2

112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2

2

112x y -+-=中，得

2

2

1

122

2

t

?

??

-+-=

?

??

????

.

化简，得(2130

t t

-++=.

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.

由根与系数的关系，得

12

1

t t+=，123

t t=，即t1，t2同正.

由直线方程参数的几何意义知,

1212

1

PA PB t t t t

+=+=+=.

【点睛】

本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos

ρθ和sin

ρθ换成x和y即可. 24．（1）()22

39

x y

-+=（2

）

【解析】

分析：（1）将6cos

ρθ

=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB

+．

详解：

（1）由2

6cos,6cos

ρθρρθ

==

得，化为直角坐标方程为226

x y x

+=，

即()22

39

x y

-+=

（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得()

22cos sin70

t t

αα

+--=

因为0

V>，可设

12

,t t是上述方程的两根，

()

12

12

2cos sin

7

t t

t t

αα

?+=--

?

?=-

?

所以

又因为（2，1）为直线所过定点，

1212

PA PB t t t t

∴+=+=-

=

=≥=

所以PA PB的最小值为

∴+

点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．

25．（1）见解析；（

2

【解析】 【分析】

(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；

（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】

（1）PB P 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则11

24

BN BO BD =

=， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB n 中，有1

4

BN BD =

，1

4

PM PD =

， MN PB P ∴． PB ?Q 平面MEF ，MN ?平面MEF ，故PB P 平面MEF ；

（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的

Rt ADE n 与Rt CDF n ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ?＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．

可知PM PN ⊥，则在Rt MND n 中，12PM PN ＝，=

，则

22PM PN 3MN =+=．

在MND n 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得

2226

2MN DN MD cos MND MN DN +-∠==

?． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为

6．

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型. 26．（1）19；（2）89

. 【解析】

试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327??=种，而满足a b c +=的

(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；

（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327??=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．

试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327??=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为

31279

= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327??=种

满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个

故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为

31279

= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199

-= 考点：独立事件的概率．

【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．